Kondensaattori/resistanssilaskuihin vinkkiä kaivattaisiin

Tässä aluksi kohta 1:
"Kondensaattori, joka on ladattu jännitteeseen 12,0 V, kytketään irti jänniteläh-
teestä ja sen päiden välille kytketään jännitemittari, jonka sisäinen resistanssi on 3,40 M. Kun mittari on ollut kytkettynä 4,00 s, on jännite pudonnut arvoon 3,00 V.Mikä on a) Piirin RC-aikavakio, b) kondensaattorin kapasitanssi? c) Missä ajassa kondensaattorin varaus on pudonnut puoleen?"
Kun mittari kytketään 12 voltin jännitteeseen ja sen resistanssi on 3,40 MΩ, siinä kulkee aluksi virta 12 V / 3,40 MΩ = 3,529 μA. Tämä virta kuitenkin pienentää koko ajan kondensaattorin varausta ja sen mukaisesti myös sen lveyjen välistä jännitettä, ja niinpä virtakin pienenee koko ajan.
Jännite on joka hetki yhtä suuri kuin virran ja mittarin resistanssin tulo (U=RI). Toisaalta se on yhtä suuri kuin kondensaattorissa jäljellä oleva varaus jaettuna sen kapasitanssilla (U = Q/C). Yhdistämällä nämä yhtälöt saadaan RI = Q/C. Lisäksi mittarin kautta kulkeva virta on yhtä suuri kuin kondensaattorissa jäljellä olevan varauksen aikaderivaatan vastaluku (I = -dQ/dt). Saadaan siis differentiaaliyhtälö -R dQ/dt = Q/C. Tämän ratkaisu on
Q = Qo exp (-t/RC), missä Qo on kondensaattorin varaus alkuhetkellä. Koska sen jännitekin pienenee samassa suhteessa, pätee sillekin kaava
U = Uo exp(-t/RC).
Tehtävässä oli sanottu, että 4 sekunnin kuluttua jännite 12 V oli pienentynyt 4 volttiin eli kolmasosaan alkuperäisestä. Niinpä exp(-t/RC) = 1/3, josta saadaan
-t/CR = ln(1/3) ja edelleen C = ln(1/3) /R t = ln3 / Rt.

Ja RC-piirin aikavakio on se aika, jossa jännite pienenee 1/e -osaan (e = Neperin luku), ja se on yksinkertaisesti kapasitanssin ja resistanssin tulo.
Näiden johtamieni kaavojen avulla voit varmaan helposti laskea lukuarvotkin, vaikka jätän ne tässä kertomatta.

Kohta 2:
"Kohta taas kaivetaan esiin sähkökyntteliköt tuomaan sitä oikeaa joulun tunnelmaa. Lamppuja myydään mm. seitsemän ja kymmenen lampun kynttelikköihin. Lamput ovat teholtaan 3,0 W ja ne on kytketty sarjaan verkkojännitteen 230 V kanssa. a) Mikä on yhden lampun resistanssi em. kyntteliköissä? b) Vaihdat seitsemän lampun kynttelikköön lampun, joka on tarkoitettu kymmenen lampun kynttelikköön. Millä teholla väärä lamppu palaa? c) Miten käy kokonaistehon b-kohdan tapauksessa?"

Kun verkkojännite on 230 V ja kunkin kynttilän teho 3,0 W, saadaan niiden läpi kulkeva virta jakamalla kynttelikön kokonaisteho jännitteellä (I = P/U) ja resistanssi jakamalla jännite virralla. (R = U/I), joista saadaan R = U² / P. Kokonaistehohan on kymmenen kynttilän tapauksessa 30 W ja seitsemän kynttilän tapauksessa 21 W. Niinpä systeemin kokonaisresistanssi on kymmenen kynttilän tapauksessa 230² / 30 = 1763,3 Ω ja seitsemän kynttilän tapauksessa 230² / 21 = 2519,04 Ω . Kun ne ovat sarjaan kytketyt, yhden kynttilän resistanssi saadaan tietysti jakamalla nämä edellisessä tapauksessa kymmenellä (176,33 Ω) ja jälkimmäisessä tapauksessa seitsemällä (359,86 Ω).
Mutta jos kytketäänkin vahingossa kuusi sellaista kynttilää, joiden resistanssi on 359,86 Ω ja yksi sellainen, jonka resistanssi on 176,33 Ω, saadun systeemin kokonaisresistanssi onkin 6 * 359,86 176,33 = 2335,51 Ω. Tällöin niiden kautta kulkeva virta on 230 V / 2335,51 Ω = 0,1006 A. Väärä lamppu palaa siis teholla, joka saadaan kertomalla tämän virran neliö sen resistanssilla: P=RI² = 176,33 * 0,1006² = 1,78 W. Ja koko kynttelikkö palaa teholla 2335,51 * 0,1006² = 23,63 W. Kokonaisteho siis kasvaa, koska lamppujen läpi kulkee enemmän virtaa (elleivät lamput sitten mene tästä rikki, mikä riski tästä tietysti on), mutta väärä lamppu palaa muita himmeämmin.

"Kohta 3.
Kuvan 1 kytkennässä vastuksen R1 tehohäviö 20,0 W. a) Laske vastuksien R1 ja R2 resistanssit. b) Laske lähdejännite E. c) Laske vastuksessa R2 kulkeva virta. d) Laske kokonaistehohäviö virtapiirissä.
Kuva löytyy täältä:
http://aijaa.com/v.php?i=005749069469.jpg"

Vastuksen R1 kautta kulkeva virta on 2,00 A ja sen tehohäviö on 20,0 W. Sen päiden välinen jännite on siis sen tehohäviön ja virran suhde (P=UI, josta U = P/I) eli 10 V. Tämä onkin samalla myös piirin lähdejännite E, koska tämän vastuksen kautta kulkeva virta ei kulje muiden vastusten kautta.
Ja vastuksen R1 resistanssi on sen päiden välisen jännitteen ja sen kautta kulkevan virran suhde (U=RI, josta R=U/I) eli 10 V / 2,00 A = 5 Ω.
Koko systeemin resistanssi saadaan vastaavasti jakamalla lähdejännite virtalähteestä lähtevällä virralla: R = 10 V / 3,5 A = 2,857 Ω.

Toisin kuin tuossa joulukuusitehtävässä, tässä vastukset onkin kytketty rinnakkain. Silloin systeemin kokonaisresistanssi ei olekaan yksittäisten vastusten resistanssien summa, vaan sen käänteisluku on yksittäisten vastusten resistanssien käänteislukujen summa:
1/R = 1/R1 1/R2 1/R3.
Edellä todettiin jo, että R1 = 5 Ω, joten 1/R1 = 0,2 1/Ω.
Myös todettiin, että R = 10/3,5 Ω, joten 1/R = 0,35 1/ Ω.
Ja R3 oli kuvassa jo annettukin: se on 10 Ω, joten 1/R3 = 0,1 1/Ω.

Saadaan siis: 0,2 1/R2 0,1 = 0,35, joten 1/R2 = 0,05 1/Ω.
Resistanssi R2 on siis 20 Ω.

Systeemin kokonaistehohäviö taas saadaan kertomalla lähdejännite kokonaisvirralla: 10 V * 3,5 A = 35 W.

Kiitos sinulle! Tästä oli valtavasti apua ja nämä myös osoittivat, etten aivan hakoteillä ollut omien yritelmienikään kanssa. Mutta sitten kun se jumi tulee, niin siitä ei niin vain pääsekään pois ilman vinkkiä. Iso kiitos!