Lineaarinen Diofantoksen yhtälöhän osataan ratkaista eli ratkaisut (jos niitä on) luetella helposti. Kysymykseni kuuluu, että onko tällaista ratkaisumetodia toisen tai saati sitten useamman asteen Diofantoksen yhtälöille.
Esimerkiksi Pythagoraan kolmikko-ongelmallehan on ratkaisut lueteltavissa:
(2nm, n^2-m^2, n^2 m^2)... Jos muistin oikein ; ).
Mutta voidaanko esim yhtälö
x^2 x = y^2 y z^2 z
ratkaista (jossain mielessä)?
Toisen asteen Diofantoksen yhtälö
Kolmiolukujalaskelke
13
455
Vastaukset
- --
Ei analyyttisesti. Sitä paitsi diofantoksen yhtälöt ovat kahden, eivät kolmen muuttujan yhtälöitä.
Tuolla on myös kolmen muuttujan yhtälöistä asiaa, mutta nekin vain erikoistapauksia:
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html - Jaakko Seppälä
Diofantoksen yhtälöt ovat usein vaikeita ja en tiedä, voidaanko edes kaikkia toisen asteen Diofantoksen yhtälöitä ratkaista. Tuolle yhtälölle x^2 x = y^2 y z^2 z löytyy kaikki ratkaisut, mutta en tiedä saako ne esitettyä suljetussa muodossa. http://math.stackexchange.com/questions/181380/second-degree-diophantine-equations/181384#comment418090_181384
Yleisessä tapauksessa ratkaisualgoritmia ei ole (Matijasevicin lause, kirjoitinkohan oikein), jolloin ratkaisujen lukumäärän todistamiseen on keksittävä kuhunkin tapaukseen oma todistuksensa.- Jaakko Seppälä
Tuossa linkissä taisi vastaaja poistaa vastauksensa.
- Jaakko Seppälä
No, nyt selvisi samasta linkistä, että toisen asteen Diofantoksen yhtälöt voidaan ratkaista algoritmisesti, mutta korkeampiasteisille ei ole tiedossa algoritmia.
- pientarkennus
Jaakko Seppälä kirjoitti:
No, nyt selvisi samasta linkistä, että toisen asteen Diofantoksen yhtälöt voidaan ratkaista algoritmisesti, mutta korkeampiasteisille ei ole tiedossa algoritmia.
Tuon linkin mukaan on olemassa algoritmi, joka kertoo onko 2. asteen Diofantoksen yhtälöllä ratkaisu. Sen sijaan linkistä ei selviä, onko olemassa algoritmi, joka antaa kaikki ratkaisut.
- Kolmiolukujalaskelke
Harmi, kun en kerennyt lukemaan tuon linkin ratkaisua, mutta ilmeisesti siellä sanottiin, että tämän yhtälön ratkaisun kanssa yhtäpitävää on löytää yhtälön
x^2 1 = y^2 z^2
parittomat ratkaisut. Mitäs tuo pariton tuossa tarkoittaa (ai että x, y ja z kaikki ovat parittomia?) ja miten tuo yhtäpitävyys nähdään?- Kolmiolukujalaskelke
Tai siis eihän tuossa yhtälössä x^2 1 = y^2 z^2 ole mahdollista kuin se tapaus, että x on pariton ja y ja z eri pariteettia. Tämän huomaa tarkastelemalla yhtälöä mod 4.
Eli olikohan se poistettu ratkaisu sitten jotenkin väärin (vai mitä se "parittomat ratkaisut" sitten tarkoitti)? Palautuuko alkuperäinen yhtälö kuitenkin tuon tarkasteluun? - Kolmiolukujalaskelke
Kolmiolukujalaskelke kirjoitti:
Tai siis eihän tuossa yhtälössä x^2 1 = y^2 z^2 ole mahdollista kuin se tapaus, että x on pariton ja y ja z eri pariteettia. Tämän huomaa tarkastelemalla yhtälöä mod 4.
Eli olikohan se poistettu ratkaisu sitten jotenkin väärin (vai mitä se "parittomat ratkaisut" sitten tarkoitti)? Palautuuko alkuperäinen yhtälö kuitenkin tuon tarkasteluun?Mitä minä nyt sekoilen; onhan tuossa mahdollista, että kaikki on parittomia esim 1, 1 ja 1. No alkuperäinen kysymys on yhä voimassa ;).
- Jaakko Seppälä
Eli jos meillä on yhtälö
x^2 x = y^2 y z^2 z, niin kertomalla 4:llä ja lisäämällä 2 puolittain saadaan
4x^2 4x 1 1=4y^2 4y 1 4z^2 4z 1. Siis
(2x 1)^2 1=(2y 1)^2 (2z 1)^2
Kerrottakoon tähänkin tehtävään selkeä ratkaisu.
Se onnistuu vaikkapa näin:
x^2 x = y^2 y z^2 z
x^2 x - y^2 - y = z^2 z
x^2 - y^2 x - y = z^2 z
(x-y)(x y) (x - y) = z^2 z
(x-y)(x y 1) = z(z 1)
Merkitään
x-y = m ja
x y 1=n
Tällöin mn=z(z 1).
Ratkaistaan x ja y laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vastaavasti vähentämällä ensimmäinen toisesta
x=(m n-1)/2
y=(n-m-1)/2
Kokonaislukuratkaisu saadaan silloin ja vain silloin, kun luvuista m ja n toinen on parillinen ja toinen pariton.
Jokaisella kokonaisluvun z arvolla luvut m ja n voidaan valita usealla eri tavalla, koska z(z 1) on aina parillinen.
Esim. z=2
z(z 1)=6
Nyt voidaan valita
m=-6, n=-1, x=-4, y=2
m=-3, n=-2, x=-3, y=0
m=-2, n=-3, x=-3, y=-1
m=-1, n=-6, x=-4, y=-3
m=1, n=6, x=3, y=2
m=2, n=3, x=2, y=0
m=3, n=2, x=2, y=-1
m=6, n=1, x=3, y=-3- Kolmiolukujalaskel
http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM
Tuolla on kahden muuttujan toisen asteen yleinen ratkaisin (ja muitakin mielenkiintoisia laskimia yms...), jonka näin jälkikäteen olen löytänyt. Mutta tuokaan ei siis ratkaise mielivaltaisen monen muuttujan yhtälöitä. Olikohan näille siis algoritmia olemassa?- amatööri
En tiedä, ja täällä käy aika vähän ammattilaisia. Eikö kannattaisi kysyä vaikkapa foorumilta http://math.stackexchange.com/ tai http://mathoverflow.net/ ?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Työttömyys on kasvussa - Hallitus halusi kannustaa työttömät töihin leikkaamalla sosiaaliturvaa
Hallitus halusi kannustaa työttömät töihin leikkaamalla sosiaaliturvaa. Työttömyys on kuitenkin kasvussa. Mitä itse aja3472784Mikä piirre on kasvoissa tärkein?
Mikä piirre on kasvoissa tärkein kun valitset seuraa itsellesi?1201549Suurimman myrskyilyn jälkeen
vakiintuu tyynenpi tunne. Entistä vakaampi, entistä varmempi. Aina vaikealla hetkellä auttaa, kun ajattelen sinua. Minul481370Ruumis kanavassa
Mikä juttu eilen ollut poliisit palokunta ambulanssi ja ruumis auto sillalla. Tekikö itsemurhan151026Mikä häpeä Haapaveden kaupungille
Avin huomautuksen mukaa hoitoyksikkö on ollut monin osin lainvastainen. Huomautettavaa on monista asioista. Miten Haa57997Tojotamies törttöili taas auton eteen
Ja taas joku Tojotapappa vähät välitti liikennesäännöistä ja kääntyi viitostietä ajaneen auton eteen tänään, tällä kerta27944En sano tätä pahalla
Mutta olihan meillä aika reippaasti ikäeroa ja aivan erilaiset elämäntilanteetkin. En vaan jotenkin tajunnut sitä aiemm82923Ei mitään menetettävää
Arvostin ja kunnioitin sun tunteita. Menit nyt liian pitkälle. Mulla ei ole enää mitään menetettävää ja sä tulet sen huo149898- 80898
Tiedättekö miksi mies on olemassa?
Lisääntymistä varten. Ei mitään muuta hyötyä. Jos nainen voisi lisääntyä ilman miestä, luuletteko miehet että naiset tar205839