Lineaarinen Diofantoksen yhtälöhän osataan ratkaista eli ratkaisut (jos niitä on) luetella helposti. Kysymykseni kuuluu, että onko tällaista ratkaisumetodia toisen tai saati sitten useamman asteen Diofantoksen yhtälöille.
Esimerkiksi Pythagoraan kolmikko-ongelmallehan on ratkaisut lueteltavissa:
(2nm, n^2-m^2, n^2 m^2)... Jos muistin oikein ; ).
Mutta voidaanko esim yhtälö
x^2 x = y^2 y z^2 z
ratkaista (jossain mielessä)?
Esimerkiksi Pythagoraan kolmikko-ongelmallehan on ratkaisut lueteltavissa:
(2nm, n^2-m^2, n^2 m^2)... Jos muistin oikein ; ).
Mutta voidaanko esim yhtälö
x^2 x = y^2 y z^2 z
ratkaista (jossain mielessä)?
Vastaukset 13
Vanhimmat
Ei analyyttisesti. Sitä paitsi diofantoksen yhtälöt ovat kahden, eivät kolmen muuttujan yhtälöitä.
Tuolla on myös kolmen muuttujan yhtälöistä asiaa, mutta nekin vain erikoistapauksia:
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html
Diofantoksen yhtälöt ovat usein vaikeita ja en tiedä, voidaanko edes kaikkia toisen asteen Diofantoksen yhtälöitä ratkaista. Tuolle yhtälölle x^2 x = y^2 y z^2 z löytyy kaikki ratkaisut, mutta en tiedä saako ne esitettyä suljetussa muodossa. http://math.stackexchange.com/questions/181380/second-degree-diophantine-equations/181384#comment418090_181384
Yleisessä tapauksessa ratkaisualgoritmia ei ole (Matijasevicin lause, kirjoitinkohan oikein), jolloin ratkaisujen lukumäärän todistamiseen on keksittävä kuhunkin tapaukseen oma todistuksensa.
Tuossa linkissä taisi vastaaja poistaa vastauksensa.
No, nyt selvisi samasta linkistä, että toisen asteen Diofantoksen yhtälöt voidaan ratkaista algoritmisesti, mutta korkeampiasteisille ei ole tiedossa algoritmia.
Tuon linkin mukaan on olemassa algoritmi, joka kertoo onko 2. asteen Diofantoksen yhtälöllä ratkaisu. Sen sijaan linkistä ei selviä, onko olemassa algoritmi, joka antaa kaikki ratkaisut.
Harmi, kun en kerennyt lukemaan tuon linkin ratkaisua, mutta ilmeisesti siellä sanottiin, että tämän yhtälön ratkaisun kanssa yhtäpitävää on löytää yhtälön
x^2 1 = y^2 z^2
parittomat ratkaisut. Mitäs tuo pariton tuossa tarkoittaa (ai että x, y ja z kaikki ovat parittomia?) ja miten tuo yhtäpitävyys nähdään?
Tai siis eihän tuossa yhtälössä x^2 1 = y^2 z^2 ole mahdollista kuin se tapaus, että x on pariton ja y ja z eri pariteettia. Tämän huomaa tarkastelemalla yhtälöä mod 4.
Eli olikohan se poistettu ratkaisu sitten jotenkin väärin (vai mitä se "parittomat ratkaisut" sitten tarkoitti)? Palautuuko alkuperäinen yhtälö kuitenkin tuon tarkasteluun?
Mitä minä nyt sekoilen; onhan tuossa mahdollista, että kaikki on parittomia esim 1, 1 ja 1. No alkuperäinen kysymys on yhä voimassa ;).
Eli jos meillä on yhtälö
x^2 x = y^2 y z^2 z, niin kertomalla 4:llä ja lisäämällä 2 puolittain saadaan
4x^2 4x 1 1=4y^2 4y 1 4z^2 4z 1. Siis
(2x 1)^2 1=(2y 1)^2 (2z 1)^2
Kerrottakoon tähänkin tehtävään selkeä ratkaisu.
Se onnistuu vaikkapa näin:
x^2 x = y^2 y z^2 z
x^2 x - y^2 - y = z^2 z
x^2 - y^2 x - y = z^2 z
(x-y)(x y) (x - y) = z^2 z
(x-y)(x y 1) = z(z 1)
Merkitään
x-y = m ja
x y 1=n
Tällöin mn=z(z 1).
Ratkaistaan x ja y laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vastaavasti vähentämällä ensimmäinen toisesta
x=(m n-1)/2
y=(n-m-1)/2
Kokonaislukuratkaisu saadaan silloin ja vain silloin, kun luvuista m ja n toinen on parillinen ja toinen pariton.
Jokaisella kokonaisluvun z arvolla luvut m ja n voidaan valita usealla eri tavalla, koska z(z 1) on aina parillinen.
Esim. z=2
z(z 1)=6
Nyt voidaan valita
m=-6, n=-1, x=-4, y=2
m=-3, n=-2, x=-3, y=0
m=-2, n=-3, x=-3, y=-1
m=-1, n=-6, x=-4, y=-3
m=1, n=6, x=3, y=2
m=2, n=3, x=2, y=0
m=3, n=2, x=2, y=-1
m=6, n=1, x=3, y=-3
http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM
Tuolla on kahden muuttujan toisen asteen yleinen ratkaisin (ja muitakin mielenkiintoisia laskimia yms...), jonka näin jälkikäteen olen löytänyt. Mutta tuokaan ei siis ratkaise mielivaltaisen monen muuttujan yhtälöitä. Olikohan näille siis algoritmia olemassa?
En tiedä, ja täällä käy aika vähän ammattilaisia. Eikö kannattaisi kysyä vaikkapa foorumilta http://math.stackexchange.com/ tai http://mathoverflow.net/ ?
On olemassa. http://mathoverflow.net/questions/142938/is-there-an-algorithm-to-solve-quadratic-diophantine-equations