Lineaarinen Diofantoksen yhtälöhän osataan ratkaista eli ratkaisut (jos niitä on) luetella helposti. Kysymykseni kuuluu, että onko tällaista ratkaisumetodia toisen tai saati sitten useamman asteen Diofantoksen yhtälöille.
Esimerkiksi Pythagoraan kolmikko-ongelmallehan on ratkaisut lueteltavissa:
(2nm, n^2-m^2, n^2 m^2)... Jos muistin oikein ; ).
Mutta voidaanko esim yhtälö
x^2 x = y^2 y z^2 z
ratkaista (jossain mielessä)?
Toisen asteen Diofantoksen yhtälö
Kolmiolukujalaskelke
13
310
Vastaukset
- --
Ei analyyttisesti. Sitä paitsi diofantoksen yhtälöt ovat kahden, eivät kolmen muuttujan yhtälöitä.
Tuolla on myös kolmen muuttujan yhtälöistä asiaa, mutta nekin vain erikoistapauksia:
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html - Jaakko Seppälä
Diofantoksen yhtälöt ovat usein vaikeita ja en tiedä, voidaanko edes kaikkia toisen asteen Diofantoksen yhtälöitä ratkaista. Tuolle yhtälölle x^2 x = y^2 y z^2 z löytyy kaikki ratkaisut, mutta en tiedä saako ne esitettyä suljetussa muodossa. http://math.stackexchange.com/questions/181380/second-degree-diophantine-equations/181384#comment418090_181384
Yleisessä tapauksessa ratkaisualgoritmia ei ole (Matijasevicin lause, kirjoitinkohan oikein), jolloin ratkaisujen lukumäärän todistamiseen on keksittävä kuhunkin tapaukseen oma todistuksensa.- Jaakko Seppälä
Tuossa linkissä taisi vastaaja poistaa vastauksensa.
- Jaakko Seppälä
No, nyt selvisi samasta linkistä, että toisen asteen Diofantoksen yhtälöt voidaan ratkaista algoritmisesti, mutta korkeampiasteisille ei ole tiedossa algoritmia.
- pientarkennus
Jaakko Seppälä kirjoitti:
No, nyt selvisi samasta linkistä, että toisen asteen Diofantoksen yhtälöt voidaan ratkaista algoritmisesti, mutta korkeampiasteisille ei ole tiedossa algoritmia.
Tuon linkin mukaan on olemassa algoritmi, joka kertoo onko 2. asteen Diofantoksen yhtälöllä ratkaisu. Sen sijaan linkistä ei selviä, onko olemassa algoritmi, joka antaa kaikki ratkaisut.
- Kolmiolukujalaskelke
Harmi, kun en kerennyt lukemaan tuon linkin ratkaisua, mutta ilmeisesti siellä sanottiin, että tämän yhtälön ratkaisun kanssa yhtäpitävää on löytää yhtälön
x^2 1 = y^2 z^2
parittomat ratkaisut. Mitäs tuo pariton tuossa tarkoittaa (ai että x, y ja z kaikki ovat parittomia?) ja miten tuo yhtäpitävyys nähdään?- Kolmiolukujalaskelke
Tai siis eihän tuossa yhtälössä x^2 1 = y^2 z^2 ole mahdollista kuin se tapaus, että x on pariton ja y ja z eri pariteettia. Tämän huomaa tarkastelemalla yhtälöä mod 4.
Eli olikohan se poistettu ratkaisu sitten jotenkin väärin (vai mitä se "parittomat ratkaisut" sitten tarkoitti)? Palautuuko alkuperäinen yhtälö kuitenkin tuon tarkasteluun? - Kolmiolukujalaskelke
Kolmiolukujalaskelke kirjoitti:
Tai siis eihän tuossa yhtälössä x^2 1 = y^2 z^2 ole mahdollista kuin se tapaus, että x on pariton ja y ja z eri pariteettia. Tämän huomaa tarkastelemalla yhtälöä mod 4.
Eli olikohan se poistettu ratkaisu sitten jotenkin väärin (vai mitä se "parittomat ratkaisut" sitten tarkoitti)? Palautuuko alkuperäinen yhtälö kuitenkin tuon tarkasteluun?Mitä minä nyt sekoilen; onhan tuossa mahdollista, että kaikki on parittomia esim 1, 1 ja 1. No alkuperäinen kysymys on yhä voimassa ;).
- Jaakko Seppälä
Eli jos meillä on yhtälö
x^2 x = y^2 y z^2 z, niin kertomalla 4:llä ja lisäämällä 2 puolittain saadaan
4x^2 4x 1 1=4y^2 4y 1 4z^2 4z 1. Siis
(2x 1)^2 1=(2y 1)^2 (2z 1)^2
Kerrottakoon tähänkin tehtävään selkeä ratkaisu.
Se onnistuu vaikkapa näin:
x^2 x = y^2 y z^2 z
x^2 x - y^2 - y = z^2 z
x^2 - y^2 x - y = z^2 z
(x-y)(x y) (x - y) = z^2 z
(x-y)(x y 1) = z(z 1)
Merkitään
x-y = m ja
x y 1=n
Tällöin mn=z(z 1).
Ratkaistaan x ja y laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vastaavasti vähentämällä ensimmäinen toisesta
x=(m n-1)/2
y=(n-m-1)/2
Kokonaislukuratkaisu saadaan silloin ja vain silloin, kun luvuista m ja n toinen on parillinen ja toinen pariton.
Jokaisella kokonaisluvun z arvolla luvut m ja n voidaan valita usealla eri tavalla, koska z(z 1) on aina parillinen.
Esim. z=2
z(z 1)=6
Nyt voidaan valita
m=-6, n=-1, x=-4, y=2
m=-3, n=-2, x=-3, y=0
m=-2, n=-3, x=-3, y=-1
m=-1, n=-6, x=-4, y=-3
m=1, n=6, x=3, y=2
m=2, n=3, x=2, y=0
m=3, n=2, x=2, y=-1
m=6, n=1, x=3, y=-3- Kolmiolukujalaskel
http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM
Tuolla on kahden muuttujan toisen asteen yleinen ratkaisin (ja muitakin mielenkiintoisia laskimia yms...), jonka näin jälkikäteen olen löytänyt. Mutta tuokaan ei siis ratkaise mielivaltaisen monen muuttujan yhtälöitä. Olikohan näille siis algoritmia olemassa?- amatööri
En tiedä, ja täällä käy aika vähän ammattilaisia. Eikö kannattaisi kysyä vaikkapa foorumilta http://math.stackexchange.com/ tai http://mathoverflow.net/ ?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Voitasko leikkiä jotain tunnisteleikkiä?
Tietäisi ketä täällä käy kaipaamassa.. kerro jotain mikä liittyy sinuun ja häneen eikä muut tiedä. Vastaan itsekin kohta801867Tietysti jokainen ansaitsee
Hän varmasti ansaitsee vain parasta ja sopivinta tietenkin, suon sen onnen hänelle enemmän kuin mielelläni. Aika on nyt181709- 161564
50+ naiset kyl
Lemottaa sillille mut myös niitte kaka lemottaa pahlle ku kävin naiste veskis nuuhiin201266En voi sille mitään
Tulen niin pahalle tuulelle tästä paikasta nykyisin. Nähnyt ja lukenut jo kaiken ja teidän juttu on samaa illasta toisee121214Välitän sinusta mies
Kaikki mitä yritin kertoa tänään ei mennyt ihan putkeen..Joka jäi jälkeenpäin ajateltuna suoraan sanottuna harmittaa aiv61212hieman diabetes...
Kävin eilen kaverin kanssa keskusapteekissa kun on muutama kuukausi sitten tullut suomesta ja oli diabetes insuliinit lo121176Miten joku voi käyttää koko elämänsä
siihen että nostelee täällä vanhoja ketjuja ja troIIaa niihin jotain linkkiä mitä kukaan ei avaa? Ihmisellä ei ole mitää91160Annetaanko olla vaan
Siinä se, tavallaan kysymys ja toteamuskin. Niin turhaa, niin rikkovaa. On niin äärettömän tärkeä, ja rakas olo.. N291151Pakkoruotsi on leikkikieli, jota ei ole tarkoituskaan osata
Pakkoruotsi on leikkikieli. Ennen leikkikieltä sanottiin siansaksaksi, sitten keksittiin tilalle pakkoruotsi. Pakkoruot91140