Öljysäiliön tilavuus on 1L ,vanhaa öljyä.
Sitä otetaan pois 1dl ja lisätään 1dl puhdasta öljyä.
Kuinka monta kertaa tämä tulee toistaa, että
säiliö sisältää yli 95% uutta öljyä. ?
Sitä otetaan pois 1dl ja lisätään 1dl puhdasta öljyä.
Kuinka monta kertaa tämä tulee toistaa, että
säiliö sisältää yli 95% uutta öljyä. ?
Vastaukset 17
Vanhimmat
30
korj. 29
Puhtaan öljyn osuus vaiheittain
U(i) = 100 * (1 - 0,9 ^ i) % ; i = vaihtokerrat
28 vaihto antaa 94,76 % ja 29 vaihto sitten 95,29 %
thanks juu kaikille, eikun öljyn ostolle sitten... tarvitaan näemmä litra lisää.
ai niin tuosta laskukaavasta
U(i) = 100 * (1 - 0,9 ^ i) % ; i = vaihtokerrat
jäi hieman epäselväksi näiden merkkien tarkoitus
^ =?
; =?
* =?
% pitäisikö olla kertomerkki x edessä
Lasku menee näin.
Jos vaihdossa jää 90 % entistä seosta niin tämä 0.9 korotettuna potenssiin x pitäisi antaa tuloksen 0.05 ( 5 %)
Kaava on siis
0.9^x = 0.05, josta
x = lg(0.05) / lg(0.9)
e.d.k:lle
Kuinka tuosta saadaan vastaus tehtyyn kysymykseen ja mikä
se on ?
Jos kerran 10 % laitetaan uutta, jää vanhaa 90 % , seoraavalla kerralla 90 % 90 pr0sentista jne jne.. kunnes saavutetaan jäljellejäänyt 5 % eli uutta on 95%
Laskusta tulee x.n arvoksi 28.43 , joka tarkoittaa että ainakin 29 kertaa se lainennus on tehtävä.
Logaritmin kantaluku voi tietenkin olla mielivaltainen, tulokseen se ei vaikuta.
Siinä voi pähkäillä uuden öljyn määrää aina vaihdon jälkeen.
Eka vaihdon jälkeen uutta öljyä on 1 dl, josta otetaan pois 1/10*1 dl, ja lisää laitetaan 1 dl, eli
toka vaihdon jälkeen uutta öljyä on 1 (9/10) (dl)
Kolmannen vaihdon jälkeen uutta öljyä on tuo edellinen määrä kertaa (9/10) 1, eli (9/10) (9/10)^2 1.
Uuden öljyn määrä muodostaa geometrisen sarjan: 1 (9/10) (9/10)^2 (9/10)^3 …
Tuon geometrisen sarjan summa on (1-(9/10)^n)/(1-(9/10)), ja sen pitää siis olla 9,5 (dl)
Tuosta ratkaisemalla vaihtojen lukumäärä n=noin 28.5, eli 29 vaihtoa tarvitaan
Ihan kuin kuitenkin tarvittaisiin se 30 vaihtoa , koska n arvolla 28 on jo tehty 29 vaihtoa, mutta uutta öljyä ei kuitenkaan vielä ole 9,5 dl:aa ?
Jaa, ei tietenkään olekaan, sotken aina sarjojen eksponentit ja termien lukumäärän...
29 on oikea,
tervehdys taas
Entäs kun öljytilavuus onkin 8 dl ja kerrallaan siitä saa pois 1,2 dl
mitenkäs monimutkaiseksi kaava sitten muuttuu.?
(ei sillä että olisin tajunnut ensimmäistäkään, jotain apua siitä kuitenkin...)
joten laskeskelin jokaisen lisäyksen kerrallaan
kutakuinkin näin:
1 1
2 1.9
3 1.9 x 0,9 1= 2,71
4 2,71 x 0,9 1 = 3,439
5 3,439 x 0,9 1= 4,0951
jne, jne
Rautalangasta taivutettu yksinkertainen laskukaava olisi ehkä
meikäläisen Äö:lle sopivampi.
Uuden öljyn määrä on nyt geometrisen sarjan:
1,2 (6,8/8)*1,2 (6,8/8)^2*1,2 ... osasumma, ja osasumman pitää olla 9,5/100*8
osasumman kaava on a*(1-q^n)/(1-q), jossa a=1,2 ja q=6,8/8 ja n= sarjan termien lukumäärä, eli vaihtokertojen lukumäärä.
Tuosta ratkaisemalla tulee n= noin 11,6, eli 12 vaihtokertaa tarvitaan
Korjataan nyt toikin
pitää olla 95/100*8
Ei taida mennä noin.
Ei se menekään ,koska oli näppäilyvirhe laskimeen, mutta
Säiliössä olevasta öljystä lähtee aina pois 1,2/8 osaa. Tämä pätee myös säiliössä olevalle uudelle öljylle. Siitä lähtee pois (1,2/8)*säiliössä sillä hetkellä oleva uuden öljyn määrästä.
Säiliöön jää uutta öljyä (6,8/8)*säiliössä sillä hetkellä olevan uuden öljyn määrästä.
Säiliöön laitetaan aina lisää 1,2 uutta öljyä, ja uutta öljyä on lopuksi oltava 95%*8= 7,6
Lasketaan nyt sitten vaiheittain:
Eka kerran jälkeen uutta öljyä on (6,8/8*0)+1,2= (0,85*0)+1,2= 1,2
Toka kerran jälkeen uutta öljyä on (0,85*1,2)+1,2=2,22
Kolmannen jälkeen uutta öljyä on (0,85*2,22)+1,2= 3,087
Neljännen 3,62395
Viidennen 4,28
Kuudennen 4,83
Seitsemännen 5,31
Kahdeksannen 5,71
Yhdeksännen 6,05
Kymmenennen 6,34
Yhdennentoista 6,6
Kahdennentoista 6,8
Kolmannentoista 6,98
Neljännentoista 7,13
Viidennentoista 7,26
Kuudennentoista 7,37
Seitsemäntoista 7,47
Kahdeksantoista 7,55
Yhdeksäntoista 7,61
Tarvittiinkin yllättäen 19 vaihtokertaa. Tarkistetaan tulos sillä geometrisen sarjan osasummakaavalla: 1,2*(1-0,85^n)/(0,15)=7,6=>1-0,85^n= 0,95=>0,85^n=0,05
n=lg(0,05)/lg(0,85)= noin 18,4, eli 19 vaihtokertaa
(oli näppäilyvirhe laskimeen. 0,05 oli muuttunut 0,15)