Mahdoton mieltää tuollaista lukua.
Lukujen neliönhän voi kuvitella neliönmuotoisen tason pinta-alaksi, ja neliöjuuren sen sivun pituudeksi.
Mutta kun pinta-ala on negatiivinen. On siis neliö (pinta-ala -1) jota ei voi nähdä eikä kuvitella, vielä vaikeampaa kuvitella sen sivun pituus i.
Lukujen neliönhän voi kuvitella neliönmuotoisen tason pinta-alaksi, ja neliöjuuren sen sivun pituudeksi.
Mutta kun pinta-ala on negatiivinen. On siis neliö (pinta-ala -1) jota ei voi nähdä eikä kuvitella, vielä vaikeampaa kuvitella sen sivun pituus i.
Vastaukset 23
Vanhimmat
Ehkä sinun olisi syytä kehittää mielikuvitustasi ennen matematiikan jatko-opintoja.
Tai sitten unohda koko mielikuvitus. Pääset paljon helpommalla.
En ole harkinnut matematiikan jatko-opintoja. Tiedän kyllä että imaginääriluvuilla voi aivan hyvin laskea vaikkei koskaan edes miettisi mitä ne ovat.
Matematiikka lähtee määritelmistä. Kerta kaikkiaan MÄÄRITELLÄÄN, että i on sellainen otus, että i * i = -1. Hämmästyttävää kyllä i on hyvin hyödyllinen käsite. Mm sähkötekniikassa siitä on apua. Lopuksi vielä hauska kaava;
e^{i*PI} = -1,
jossa esiintuvät uudemman matematiikan tärkeät symbolit e, PI ja -1.
lämpötilakin olla negatiivinen, tai rahan määrä (velka). Se miten matematiikalla todellisuuksia kuvataan, on jossain määrin sopimusten ja määritelmien varaisia asioita. Toisaalta pitää määritelmienkin olla jossain järjellisessä suhteessa reaalimaailman todellisuuksiin; esim. jos määriteltäisiin yleisesti ettei p**ka haise, se tuntuisi hieman hullulta....
Olet muutaman vuosisadan kehityksestä jäljessä. Itse asiassa termi "imaginaariluku" on alunperin pilkkanimi, jonka antoi ihan oikea kuuluisa matemaatikko muistaakseni 1700-luvulla, kun kärsi samasta ymmärrysongelmasta.Lohdutukseksi: mm. lukuisia tärkeitä keksintöjä tehnyt matemaatikko Kronecker oli sitä mieltä, etä vain kokonaisluvut ovat oikeita lukuja, muu humpuukia.
Kyllä i:llä on todella paljon käyttöä. Ylempänä ketjussa mainittu sähkötekniikka on ainakin käytännönläheistä!
Onhan ääretönkin tosimaailmassa mahdoton, mutta matematiikassa aivan yleinen. Esimerkiksi asymptoottia on hiukan hankala havainnollistaa, mutta eipä sillä ole väliäkään.
I:n voi ymmärtää myös täysin luonnollisestikin. Ei tarvitse ajatella, että se on vain joku hullu määritelmä. Nimittäin kaikkihan tietävät, että -1:llä kertominen kääntää lukua aina 180 astetta. Mitä jos ottaisimme neliöjuuren luvusta -1? Se tarkoittaisi, että pitäisi kertoa kaksi kertaa peräkkäin tällä kyseisellä luvulla ennen kuin se kääntäisi 180 astetta. Kertominen -1:llä ei voi erota paljoa sen neliöjuurella kertomisesta, ainoa ero vain että nyt kerrotaan puolet vähemmän, eli 180/2=90 astetta. I:llä kertominen kääntää siis aina 90 astetta, joten neljä kertaa peräkkäin i:llä kertominen kääntää 360 astetta (i^4=1). Luonnollisesti jos haluamme kääntää lukua mielivaltaisesti, niin silloin i saa eksponentikseen minkä tahansa reaaliluvun. Matemaattisella tarkastelulla voidaan kuitenkin nopeasti havaita, että i^x yleistyy tuttuun eksponenttimuotoon e^(pi/2*ix) aivan kuten esim. 2^x yleistyy muotoon e^(x*ln2). Me siis lopulta päädymme siihen, että "kääntäminen" on itseasiassa eksponentiaalinen ilmiö ja täten käytännössä kaikkia jaksollisia ilmiöitä voidaan mallintaa kompleksieksponentin avulla. Jaksolliset ilmiöt ovat aaltoja, jotka ovat tuttuja esim. vaihtovirrassa tai vaikkapa kvanttimekaniikan aaltofunktiossa.
No, tuttujahan ne. Kvanttimekaniikkahan on kaikille jokapäiväistä kauraa...
Kuinka moni tarvitsee tavallisessa elämässä neliöjuurta tai siniä? Tällä ajatustavalla kompleksiluvut voi mieltää yhtä mielettömiksi kuin reaaliluvut, johon kuuluu esim. luku pii. Reaalilukuja ei voi "nähdä" sen paremmin kuin kompleksilukujakaan. On totta, että reaaliluvuille keksittiin aikaisemmin "käyttöä" kuin kompleksiluvuille. Matematiikan tutkimus etenee teoriasta käytäntöön, ja niin on käynyt myös kompleksilukujen kohdalla. Tällä 2000-luvulla kun elämme, niin voimme todellakin nauttia siitä, miten paljon kompleksiluvuille on sovelluksia. Aivan kuten aiemmin täällä todettiin, niin on täysin vanhanaikaista ajatella kompleksilukujen olevan mielettömiä. Ilman kompleksilukuja et esimerkiksi omistaisi kännykkää, koska sen kehittäminen on edellyttänyt tietoa kvanttimekaniikasta (jossa luonnollisesti kompleksiluvut ovat täysin välttämättömiä). Et pääse kompleksilukuja pakoon vaikka ne olisivat kuinka kauheita!
No kyllähän neliöjuuri, pii ja sini on paljon helpompi mieltää kuin kompleksiluvut.
Neliöjuuri = sivun pituus neliössä jonka pinta-ala on juurrettava.
Pii = ympyrän kehän pituus jaettuna halkaisijalla
sin = kulman vastainen kateetti / hypotenuusa
Ei siis mitään ongelmaa. Mutta i: pinta-alaltaan NEGATIIVISEN neliön sivun pituus.
"Neliöjuuri = sivun pituus neliössä jonka pinta-ala on juurrettava."
Ei matematiikkaa voi rajautua ajattelemaan pelkästään noin (fiksautuma, totta sinällään, mutta ei siinä kaikki). Usein teorioissa on olemassa jokin "polttopiste" (origo, nollakohta,....) jonka toiselle puolelle teoria myös (tavallaan heijastuksena) jatkuu. Jo alakoulussa tästä voisi olla esimerkki: miten voi olla vähempää kuin ei mitään, eli tyhjäa tai nollaa vähempää. On kuitenkin negatiiviset luvut.
Neliöjuuri on paljon helpompi ymmärtää puhtaana työkaluna sen sijaan että rajoittuisi pelkkään geometriseen sivun pituuteen. Matematiikassa on loputtomasti kaavoja, jotka sisältävät neliöön korotuksia esim. liike-energia 0,5mv^2. Jos haluat ratkaista nopeuden, niin käytä neliöjuurta. Toinen esimerkki on differentiaaliyhtälöt, joita ratkaistaan tyypillisesti integraalilla. Sen sijaan, että kuvittelisi integraalin olevan jokin käyrän rajoittama pinta-ala, niin integraalin voi paljon helpommin ymmärtää työkaluna, joka ratkaisee differentiaaliyhtälöitä.
Jos kerrot luvun itsellään, niin se yksinkertaisesti tarkoittaa, että kerrot sillä toistamiseen, eli kaksi kertaa. Vastaavasti voit kertoa sillä kolme tai neljä kertaa ja silloin potenssi kasvaa. Ei tarvitse mitään pinta-aloja näin simppelin asian ymmärtämiseksi.
koululaiselle lisää ihmeteltävää, vaikkapa jakolasku. Miten voidaan jakaa vähempään kuin yhteen osaan? No, matematiikan teorian mukaan voidaan jakaa vaikkapa puolella ja mitä v**: tulos on sama kuin kerrottaisiin kahdella. Tuossa tapauksessa tavallaan peilauspisteenä on ykkönen, jota pienemmillä arvoilla jakaminen muuttuukin kertolaskuksi. Tämän oloisia tapauksia matematiikan teoriasta löytyy paljonkin.
Nuo negatiiviset luvut voi kyllä helposti kuvitella lukusuoralle ja koordinaatistoon.
Kysymys ei kohdallani ole ymmärtämisestä vaan mieltämisestä, visualisoimisesta (siis tämä i = nelijuuri -1:stä).
Okei. Imaginaariluvut muodostavat kohtisuoran akselin reaalilukusuoran kanssa, mitkä yhdessä muodostavat kompleksitason. Neliöjuuren visualisointi negatiivisesta reaaliluvusta on 90 asteen kierto. Kuten jo aiemmin sanoin, niin -1:llä kertominen ei voi erota paljoa sen neliöjuurella kertomisesta, joten ei ole mitään outoa että imaginaariluvut muodostavat oman kohtisuoran akselinsa. Kun kerrot toistamiseen (eli neliöllä) jollain imaginaariluvulla niin saat reaaliluvun niin kuin pitääkin!
Kompleksiluvuilla määritellään luvut järjestettyinä pareina
a=x1 y1*i=(x1,y1),
b=x2 y2*i=(x2,y2)
ja yhteenlaskulle on voimassa
a b=(x1 x2,y1 y2)
ja asiaan päästään, kun kertolasku esitetään "noidan kertotauluna"
a*b=(x1*x2-y1*y2,x1*y2 x2*y1). (1)
Ja kun siis
a*b=(x1 y1*i)*(x2 y2*i)
=x1*x2 x1*y2*i y1*i*x2 y1*i*y2*i, (2)
niin tällöin selvästi vaaditaan, jotta yhtälöt yhtyisivät (1)=(2), että i*i=i^2=-1.
Helppoa!!
Yllä hieno näkemys siitä, että lähtökohdaksi voi ottaa myös lukujen esittämisen pareina. Jotta nämä parit käyttäytyisivät samoin kuin "tavalliset" luvut, eli niiden kertominen tapahtuisi vanhaan tapaan, niin lukuparien on oltava muotoa x iy, jossa i^2 = -1. Tältä näkökulmalta katsottuna herää kysymys, että voisiko luvut esittää sitten kolmikkoina tai nelikkoina jne. En ole matemaatikko, joten en osaa vastata tähän kysymykseen kovin perusteellisesti, mutta intuitiivinen selitys olisi, että meidän polynomimme ratkeavat aina kompleksiluvuilla, joten lukupareja voidaan pitää jossain mielessä "oikeina" lukuina. Lienee myös, että on olemassa todistuksia siitä, että kompleksilukuja ei ole mahdollista enää laajentaa, niin että algebra pelaisi vanhaan tapaan. Luvut ovat siis luonnollisesti 2-ulotteisia, vähän samaan tapaan kuin liike voi olla etenevää (=1D) tai pyörivää (=2D). Mielestäni ei ole sattumaa, että kompleksiluvuilla voi kuvata niin hyvin pyörimistä.
Kompleksiluvut muodostavat algebrallisesti suljetun kunnan, joten C:n jokainen äärellinen laajennus on C itse. Toisaalta vaikka kvaternionit ovat yleisempiä struktuureita. Nämä eivät ole enää kuntia, vaan normitettuja jakoalbegroja (normed division algebra, en ole varma suomennoksesta). Niin sanottu karvapallolause (hairy ball theorem) sanoo, että ei ole olemassa kolmiuloitteista reaalinormista algebraa.
Kirjoitin palturia. Siis karvapallolauseesta seuraa, että ei ole olemassa kolmiuloitteista reaalinormista algebraa.
>>a*b=(x1*x2-y1*y2,x1*y2 x2*y1). (1)
Onko tuo yksi miinusmerkki tuissa painovirhe?
Ei ole.
http://www.bbc.co.uk/programmes/b00tt6b2
Tässä muuten erittäin mielenkiintoinen radio-ohjelma kompleksiluvuista. Ohjelmassa käydään läpi imaginaariluvun i historia päätyen nykypäivän sovelluksiin.