jos käyrän pienin mahdollinen arvo on -ääretön ja suurin ääretön, niin sen absoluuttinen minimi on -ääretön, koska -ääretön on järjellisesti pienin tunnettu käsite kuin vaikka -3, joka sekin on käsite. Käsitettä voi myös kutsua termiksi, miksei voisi? Onko mahdoton ymmärtää, mitä tarkoittaa -ääretön. Jos se ei ole mahdonta, ei ole mitään syytä olla sanomatta, että se on ko. funktion absoluuttinen minimi - Ei niin mitään.
Äskeinen pohdinta pätee myös absoluuttiseen maksimiin.
Äskeinen pohdinta pätee myös absoluuttiseen maksimiin.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Kun jokin voi suureta tai pienetä äärettömäst, ei voida sanoa että jokin mainittu arvo on ylä-/alarajana. Oikeastaan raja ei äärettömässä, vaan ei ole rajaa lainkaan.
Funktion siis voi kasvaa ja pienetä rajattomasti, jos sen "rajat" ovat ∞ -∞.
Näköjään on ääretönkin määritelty luvuksi:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Laajennettu_reaalilukujoukko
En tosin ymmärrä sitä.
Tässäkin asiassa kannattaa katsoa, mitä Wikipedia-sivulla väitetään lähteeksi. Jos lähteitä ei edes mainita, teksti voi olla vain jonkun lämpimikseen kirjoittama. Jos mainitaan, niin maininnat voivat pitää paikkansa tai sitten eivät.
Reaalilukujen joukon "laajentaminen" ∞:llä ja −∞:llä ei ole kovin kiinnostavaa. Olennaista on, että tuloksena ei ole mikään ”laajennettu lukujoukko”, vaan joukko, joka sisältää reaaliluvut ja kaksi muuta alkiota ja jossa aritmetiikan lait eivät yleisesti päde, eli kaikkia alkioita ei voi pitää lukuina missään normaalissa mielessä.
Normaalisti merkintöjä ∞ ja −∞ ei matematiikassa käsitetä alkioiden symboleiksi vaan sovinnaisten merkintöjen osiksi, joilla ei ole itsenäistä merkitystä. Vaikka esimerkiksi raja-arvomerkinnässä käytetty a → ∞ luetaan usein ”a lähestyy ääretöntä”, oikeampi lukutapa on ”a kasvaa rajatta”, ja tällaisen raja-arvomerkinnän määritelmä on sellainen, jossa ei lainkaan esiinny symbolia ∞ eikä muutakaan ”äärettömän” merkkiä.
"Olennaista on, että tuloksena ei ole mikään 'laajennettu lukujoukko',"
Oletko ihan varma? Käsite "laajennettu reaalilukujoukko" esiintyy ihan yliopiston luentomuistiinpanoissa, http://users.jyu.fi/~tuheli/MIT2008/mitta_ja_int.pdf ?
Juu, kyllä tuo laajennettu reaalilukujoukko ihan "oikea" käsite on, mutta se ei vain toteuta enää kaikkia aksioomia, jotka reaaliluvut toteuttavat, joten siinä mielessä on perusteltua sanoa ettei se ole "kovin kiinnostava" esim. sovellusmielessä – toisaalta sitä on kuitenkin pidetty niinkin kiinnostavana, että kyseessä on ihan "yleisesti tunnettu" konstruktio.
Jos haluaa kirjasta lukea, esimerkiksi Metsänkylän & Näätäisen Algebrasta (Limeksen kustantama) löytyy määritelmä. Kirja on yliopistotasoa, mutta keskittyy sen verran perustavanlaatuisiin asioihin, että uskoisin suuren osan olevan luettavissa lukion pitkän matematiikan jälkeen, joten sitä voi varmaan lukea myös "ei-matemaattisella" opiskelutaustalla.
"Vaikka esimerkiksi raja-arvomerkinnässä käytetty a → ∞ luetaan usein 'a lähestyy ääretöntä', oikeampi lukutapa on 'a kasvaa rajatta'"
Eikö tämäkin riipu tilanteesta? Jos vaikkapa kompaktisoin kompeksitason ja haluan lähestyä äärettömyyspistettä, niin en kai voi puhua rajattomasta kasvamisesta, kun kompeksilukuja ei voi laittaa suuruusjärjestykseen siten, että reaalilukujen aksioomat yleistyvät kompeksiluvuille?
Tuostako kyse?
http://fi.wikipedia.org/wiki/Aleksandrovin_kompaktisointi
http://solmu.math.helsinki.fi/2010/algebra.pdf
Niin. Tätä tarkoitin. Tai ihan yleisesti tapausta, jossa kompaktisoidaan avaruus, jonka algebrallinen struktuuri ei ole järjestetty.
No voihan sitä sanoa että absoluuttinen minimi on -ääretön. Kieli ja matematiikan termistö ovat pelkästään tapa ilmaista matematiikkaa selkokielellä, ikäänkuin lyhennyksiä käyttäen, mutta todellisuudessa jokaisen matematiikan termin taakse piiloutuu monimutkainen abstrakti konstruktio jota puhuja oikeasti tarkoittaa. Esim. luku 1 täytyy todellisuudessa määritellä, ja kun kuulija ja puhuja tuntevat määritelmän he voivat kätevästi puhua siitä käyttämällä termiä ''1''. Koulumatematiikassa kokonaislukuja ei määritellä sen hankaluuden ja abstraktiuden takia. Reaaliluvut ovat vielä paljon monimutkaisempia.
Joka tapauksessa voit sanoa että ''funktiolla on absoluuttinen minimi -ääretön'' tarkoitetaan lausetta ''Jokaisella reaaliluvulla M on olemassa reaaliluku x siten että funktion f arvo pisteessä x on pienempi kuin M.''. Tämä on konsistentti ja täsmällinen määritelmä tuolle ''funktiolla f on absoluuttinen minimi -ääretön''. Nyt kun kuulija ja puhuja tuntevat saman määritelmän he voivat käyttää tuota termiä puheessa lyhenteenä antamalleni täsmälliselle määritelmälle.