Determinantti on matriisin pystyvektoreista muodostetun hypersärmiön tilavuus.
Mutta onko minoreilla jokin geometrinen tulkinta? Osaako joku kertoa vai onko tämä lähinnä peruskoululaisten koulutehtävien ratkaisemiseen tarkoitettu paikka ja korkeampaa osaamista ei löydy.
Mutta onko minoreilla jokin geometrinen tulkinta? Osaako joku kertoa vai onko tämä lähinnä peruskoululaisten koulutehtävien ratkaisemiseen tarkoitettu paikka ja korkeampaa osaamista ei löydy.
Vastaukset 19
Vanhimmat
Ei se determinantti noin mene. Determinantti voi olla negatiivinen. Determinantin avulla voidaan toki laskea tilavuuksia.
Noista minoreista en ole kuullut ennen. Dokumentin http://matriisi.ee.tut.fi/courses/7303045/6_Matriisilaskennan kertausta.pdf mukaan minori on matriisi eikä determinantti. En ole ennen ajatellut matriiseja geometrisinä otuksina, joten en osaa sanoa niiden geometrisesta tulkinnasta.
Kyllä matriisit vekroreiden yleistyksinä ovat täysin geometrisia - geometria tulee esille kun tehdään matriisioperaatioita.
Kaikkeen hyödylliseen liittyy selkeä geometrinen tulkinta.
En ole myöskään kuullut minoreista.
Aloittaja tarkoittanee determinantin laskennassa (määritelmän mukaisen) saatavia alideterminantteja.
Determinantin itseisarvo on tarkalleen ottaen se tilavuus mistä aloittaja puhuu.
En ole ajatellut mitä geometristä tulkintaa olisi alideterminanteilla, jos niillä on tulkinta niin ne ovat jonkin sortin hypersärmiön tahkojen "pinta-aloja", mutta nyt en laita kättäni Calculukselle ja vanno!
Kyllä se determinantti ihan oikeasti kuvaa sen särmiön tilavuutta. Etumerkki määräytyy kätisyyden perusteella.
Matriisi voidaan tulkita lineaarikuvaukseksi, joten kyse ei ole mistää vektoreiden yleistyksestä, ellei sitten aleta puhumaan 1xn-matriiseista.
Determinantti voidaan määrittää induktiivisesti alideterminanttien avulla, joten ne alideterminantit ovat myös tavallisia determinantteja joille voidaan antaa tilavuustulkinta.
2x2-matriisin determinantti voidaan antaa Laplace-kehitelmän avulla 1x1-matriisin determinanttien avulla. Yleisemmin nxn-matriisin determinantti saadaan (n-1)x(n-1)-matriisin determinanttien avulla, joten mistään ihmeellisestä ei ole kyse vaan tavallisesta induktiosta.
Jaa, nxn koostuu n:stä sarekevektorista eli n:stä profiilista horisontaalisesti ilmaistuna. Joten?
No koostuuhan vektorikin yksittäisistä vertikaalisesti asetetuista reaaliluvuista. Joten?
Siis: vektori voidaan TULKITA avaruuden R^n pisteenä ja matriisi voidaan TULKITA tuon vektoriavaruuden lineaarikuvauksena.
Alunperin neliömatriisin determinantilla (neliömatriisia kuvaava reaaliluku) haluttiin tietää, että onko matriisin kuvaamalla yhtälöryhmällä yksikäsitteistä ratkaisua (onko neliömatriisi kääntyvä) ja tämä tietysti onnistuu helposti 2x2-matriisille, mutta jo 3x3-matriisin tapaus menee hankalaksi. Joku nokkela sitten keksi, että nxn-matriisin determinantti voidaan muodostaa induktiivisesti alideterminanttien avulla, ja tuolla tavalla muodostetulla determinantilla on samat hyvät ominaisuudet, kuin triviaalilla 2x2-matriisin determinantilla.
Determinantti on loppupeleissä melko simppeli juttu, ellei sitten heti aluksi ala tuijottamaan permutaatioilla annettua määritelmää, josta ei ota Erkkikään selvää ilman ymmrrystä Laplace-kehitelmästä.
Ok ,,, determinantti on laskennallisesti varsin simplex (kiitos kai Hamiltonin?), mutta pirun tärkeä ...
Kyllä. Determinantti on pirun tärkeä lähes kaikissa luonnontieteissä, mutta vaikka se teoreettisesti on suht koht helppo ymmärtää, niin laskennallisesti se on hankala: nxn-matriisin determinantin laskemisessa täytyy suorittaa n! termin summaus, kun alideterminantit täytyy laskea auki. Toinen toistaan tehokkaampia algoritmeja on determinantin laskemiseksi kehitetty.
Toki kalkylointi computerilla on inha juttu johtuen liukuluvuista (ja muutoinkin), mutta vielä tosta tärkeydestä ... determinantti antaa paikallisen mittakaavasuhteen, joten pirun tärkeä info käytännössä.
No löytyykö vastausta? Onko alideterminanteilla geometrista tulkintaa kuten koko determinantin tulkinta on hypertilavuus.
Nimimerkki ffffs on ainoa joka on sivunnut itse kysymystä, eli voisiko alideterminantit tulkita särmiön "pohjan hyperpinta-alaksi"?
http://mathinsight.org/relationship_determinants_area_volume
Eli ei mitään alideterminanteista tuollakaan sivulla. Sanoin aloituksessani virheelliseksi alideterminantteja minoreiksi, Minorit ovat niitä alimatriiseja joista alideterminantit muodostetaan.
Tämä taitaa olla liian vaikea kysymys suomalaisille matemaatikoille.
Determinantti antaa paikallisen kuvaussuhteen eli hypertilavuuden. Siinäpä se.
Ei ole mitään geometristä tulkintaa. Alideterminantit ovat vain osa induktiivista määritelmää. Triviaalisti alideterminantti tietysti kuvaa (n-1)x(n-1)-matriisin volyymiä, jos poistat nxn-matriisista jonkin rivin tai sarakkeen...
Vertaa vaikka lukujonojen tapausta: ensin induktiossa käytetään (n-1) termin summaa, jonka avulla saadaan n termin summa. Nyt nxn-matriisin determinantti saadaan käyttämällä (n-1)x(n-1)-matriisin determinanttia ja Laplace-kehitelmä antaa lopulta summan, jolla nxn-matriisin determinantti saadaan laskettua.
Oletko varma ettei ole geometrista tulkintaa?
Kyllä minorit voidaan ajatella yhdistettyinä lineaarisina kuvauksina eri avaruuksien välillä: http://math.stackexchange.com/questions/538538/geometric-meaning-of-minors/538563?noredirect=1#538563
Mutta mitä sitten? Mitä ne kertoo alkuperäisestä matriisista tai sen determinantista? Totta kai se minori kuvaa jotakin lineaarikuvausta, kun se kerta on matriisi!
No, eipä se paljoa kerro alkuperäisestä matriisista tai determinantista, kun kerran monilla matriiseilla voi olla sama minori. Omasta mielestäni ongelma ei ole tieteellisessä mielessä mitenkään kiinnostava, joten en aio pohtia asiaa sen syvällisemmin.