Kuinka paljon kasvaa kappaleen pinta-ala, kun sen tilavuus kaksinkertaistuu?
Oletetaan, että kappaleen muoto säilyy samana.
Kuinka
arvoitus1
9
3655
Vastaukset
- stroier
Otetaan esimerkiksi vaikkapa kuutio. Kun kuution sivun pituus on a, on se tilavuus a^3 ja pinta-ala 6a^2. Kun tilavuus kasvaa 2-kertaiseksi, niin sivun pituus a kasvaa 2^(1/3)-kertaiseksi (kuutiojuuri 2:sta). Silloin pinta-ala kasvaa (2^(1/3))^2-kertaiseksi, eli
2^(2/3)-kertaiseksi (likiarvo 1,5874).
Yleinen todistus vaatisi hieman matemaattista punnerrusta. - stroier
Hahmotellaan vähän miten tämä voitaisiin todistaa hieman yleisemmille kappaleille.
Oletetaan, että kappaleen sisältä voidaan löytää piste H , mistä lähtevät vektorit leikkaavat kappaleen pinnan vain yhdessä pisteessä. Muun muassa konveksit kappaleet ovat sellaisia.
Muutetaan kappaleen kokoa tämän pisteen suhteen homoteettisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että jos pisteestä H lähtee vektori, jonka toinen pää on kappaleen pinnalla, ja vektorin pituus on L, niin homotetiamuunnoksen jälkeen vektorin pituus on p*L, missä p on sama kaikille mainitunlaisille H-alkuisille vektoreille.
Jaetaan kappaleen pinta pieniin kolmionmuotoisiin alueisiin. Kunkin kolmion kärjet yhdistetään suorilla pisteeseen H. Näin saadaan kolmiopohjainen kartio, jonka pohjakolmion ala olkoon a ja pohjatason etäisyys pisteestä H on h. Silloin kartion tilavuus on a*h/3.
Kun kappaleen kokoa muutetaan homoteettisesti suhteessa p, niin pohjakolmio pysyy yhdenmuotoisena alkuperäisen kolmion kanssa, ja sen uudeksi alaksi tulee
(p^2) * a. Pohjatason etäisyydeksi tulee p * h. Näin ollen kartion uusi tilavuus on
p^3 * (a * h / 3).
Kaikki näin muodostetut kartiot yhdessä täyttävät (suurin piirtein) kappaleen. Kunkin kartion tilavuus muuttuu suhteessa p^3, joten koko kappaleen tilavuuskin muuttuu suhteessa p^3.
Kolmionmuotoisten pienten alueiden pinta-alojen summa on (suurin piirtein) kappaleen pinta-ala. Kunkin kolmion ala muuttuu suhteessä p^2, joten kappaleen pinta-alakin muuttuu suhteessa p^2.
Tarkka matemaattinen todististus vaatisi vielä oletuksia pinnan sileydestä. Kun tihennetään kolmioverkkoa rajatta, saadaan lopuksi raja-arvoina tulos.
Mahdoliisesti tämä voidaan perustella hieman yksinkertaisemmalla tavalla, mutta ei nyt tullut mieleen.- Tietää_
Hmm... olisikohan mahdollista approksimoida kappaletta differentiaalisen pienten kuutioiden avulla ja tarkastella yksittäistä tahkoa, joka on kappaleen reunaa vasten? Nyt koska pinta-ala on on verrannollinen sivun 2. potenssiin ja tilavuus 3. pontenssiin, niin kuution tilavuuden kaksinkertaistuessa kappaleen reunalla olevan tahkon pinta-alan tulee 2^(2/3) -kertaistua. Summaamalla yli kaikkien reunaa vasten olevien tahkojen saadaan, että kappaleen pinta-ala 2^(2/3) -kertaistuu.
- Tietää_
Tietää_ kirjoitti:
Hmm... olisikohan mahdollista approksimoida kappaletta differentiaalisen pienten kuutioiden avulla ja tarkastella yksittäistä tahkoa, joka on kappaleen reunaa vasten? Nyt koska pinta-ala on on verrannollinen sivun 2. potenssiin ja tilavuus 3. pontenssiin, niin kuution tilavuuden kaksinkertaistuessa kappaleen reunalla olevan tahkon pinta-alan tulee 2^(2/3) -kertaistua. Summaamalla yli kaikkien reunaa vasten olevien tahkojen saadaan, että kappaleen pinta-ala 2^(2/3) -kertaistuu.
EDIT: Joo, kappaleen pinta tulee todellakin olettaa sieläksi, sillä 1.) yleistä jatkuvaa pintaa ei voi approksimoida äärellisellä määrällä neliöitä, ja 2.) ei-sileä pinta voi olla pinta-alaltaan ääretön, esim. Kochin fraktaalista muodostettu lieriö.
Lisäksi, jos oikein muistan, niin käyrän 1/x pyörähdyskappaleen (x-akselin suhteen) tilavuus välillä [0,∞] on äärellinen, mutta pinta-ala ääretön, joten sekään ei kelpaa tarkasteltavaksi kappaleeksi, vaikka muoto pysyykin samana. - Tietää_
Tietää_ kirjoitti:
EDIT: Joo, kappaleen pinta tulee todellakin olettaa sieläksi, sillä 1.) yleistä jatkuvaa pintaa ei voi approksimoida äärellisellä määrällä neliöitä, ja 2.) ei-sileä pinta voi olla pinta-alaltaan ääretön, esim. Kochin fraktaalista muodostettu lieriö.
Lisäksi, jos oikein muistan, niin käyrän 1/x pyörähdyskappaleen (x-akselin suhteen) tilavuus välillä [0,∞] on äärellinen, mutta pinta-ala ääretön, joten sekään ei kelpaa tarkasteltavaksi kappaleeksi, vaikka muoto pysyykin samana.EDIT: Jos kyseessä on jokin kotitehtävä, niin pidä huoli, että tehtävää koulussa tarkastettaessa opettaja antaa vedenpitävän selityksen sille, että mitä todellisuudessa tarkoitetaan, kun sanotaan "kappaleen muoto säilyy samana". Mikään kuutio- tai ympyräesimerkki ei kelpaa, sillä yleisesti kappale voi olla millainen tahansa.
- stroier
Tietää_ kirjoitti:
Hmm... olisikohan mahdollista approksimoida kappaletta differentiaalisen pienten kuutioiden avulla ja tarkastella yksittäistä tahkoa, joka on kappaleen reunaa vasten? Nyt koska pinta-ala on on verrannollinen sivun 2. potenssiin ja tilavuus 3. pontenssiin, niin kuution tilavuuden kaksinkertaistuessa kappaleen reunalla olevan tahkon pinta-alan tulee 2^(2/3) -kertaistua. Summaamalla yli kaikkien reunaa vasten olevien tahkojen saadaan, että kappaleen pinta-ala 2^(2/3) -kertaistuu.
Lähestymistapa, jonka nimimerkki Tietää_ esitti on epäilemättä yksinkertaisempi. Se avaruuden alue, missä kappale on, jaetaan samankokoisiin kuuioihin. Kuutioita otetaan mukaan niin paljon, että kappale juuri ja juuri mahtuu kuutiorykelmän sisään.
Kappaleen pinta-alan määräävät ne kuutiot, jotka leikkaavat pintaa. Ne leikkaavat pinnasta osia, jotka likimääräisesti ovat nelikulmioita tai kolmioita. Kun kappaleen kokoa ja kuutioiden kokoa muutetaan samassa suhteessa p, niin kuutiorykelmän tilavuus muuttuu suhteessa p^3 ja kappaleen pinta-alaa approksimoivien reunakuutioiden leikkauskuvioiden alojen summat muuttuvat suhteessa p^2.
Kun kuutioiden koko pienee rajatta, niin kuutiorykelmän tilavuus lähenee kappaleen tilavuutta ja leikkauskuvoiden alojen summa lähenee kappaleen pinta-alaa.
Tämän lähestymistaan etuna on vielä se, että ei tarvitse olettaa esimerkiksi kappaleen konveksisuutta, kunhan kappale ei ole jokin ihme fraktaali.
- Demonstrationman
Sanoisin, ettei tuo pinta-ala kasva juuri paljonkaan.
Tämän olen huomannut vuosien varrella itsestäni. Painoni on noussut parin vuosikymmenen aikana entiseen nähden suunnilleen kaksinkertaiseksi. Koska tiheyteni on pysynyt suunnilleen samana, on siis tilavuuteni myös kasvanut suunnilleen kaksinkertaiseksi. Samalla olen kuitenkin huomannut vartaloni tavoittelevan entistä enemmän pyöreitä muotoja, joille on ominaista pinta-alan minimoituminen suhteessa tilavuuteen. Niinpä en usko pinta-alani kasvaneen lainkaan samassa määrin, kuin tuon painon nousun ja siihen liittyvän tilavuuden kasvun voitaisiin luulla edellyttävän.- Demonstrationman
Niin, ja lisättäköön vielä, että ainakin omasta mielestäni muotoni on säilynyt suunnilleen entisen laisena.
- insP
Demonstrationman kirjoitti:
Niin, ja lisättäköön vielä, että ainakin omasta mielestäni muotoni on säilynyt suunnilleen entisen laisena.
Näinkin
Samanmuotoisilla kappaleilla, muodoista riippumatta on voimassa säännöt:
a) Toisiaan vastaavien viivojen pituuksien suhde = viivasuhde
b) Toisiaan vastaavien pinta-alojen suhde = viivasuhteen neliö
c) Toisiaan vastaavien tilavuuksien suhde = viivasuhteen kuutio
Tilavuuden kasvaessa 2 kertaiseksi, kasvaa viivasuhde arvoon =(kuutiojuuri kahdesta).
Pinta-ala sitten edellisen neliöksi. Likiarvona 1,587..
Tämä tulos kuutiolla ratkaistuna aiemmin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 836019
ROTAT VALTAAVAT ALUEITA
Asukkaat nyt loukkuja tekemään ja kiireellä, jätehuolto kuntoon, jätteet niille kuuluville paikoille, huomioikaa yrittäj474055- 1314011
- 693793
Miten minusta tuntuu että kaikki tietää sun tunteista mua kohtaan
Paitsi suoraan minä itse, vai mitä hlvettiä täällä tapahtuu ja miksi ihmiset susta kyselee minulta 🤔❤️262968Alavuden sairaala
Säästääkö Alavuden sairaala sähkössä. Kävin Sunnuntaina vast. otolla. Odotushuone ja käytävä jolla lääkäri otti vastaan72567Siekkilässä ajettu ihmisten yli- mitä tapahtui? Länsi-Savo ei ole uutisoinut asiata
Manneja, vaiko matuja?332379- 282252
- 2042141
Reuters: Ukraina on iskenyt Venäjän strategisia pommikoneita vastaan. Jopa 40 konetta vahingoittunut
Ukrainan turvallisuuspalvelu SBU on iskenyt Venäjän strategisia pommikoneita vastaan, kertoo Reuters. Uutistoimiston läh4501849