Seuraavaan tehtävään olisi löydettävä mahdollisimman yksinkertainen ratkaisu:
Ympyrään, jonka säde on r, piirretään kolmio, jonka kulmapisteet ovat em. ympyrän kehällä. Osoitettava, että kolmion pinta-ala saa maksimiarvonsa, kun se on tasasivuinen, ts. sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.
Ympyrään, jonka säde on r, piirretään kolmio, jonka kulmapisteet ovat em. ympyrän kehällä. Osoitettava, että kolmion pinta-ala saa maksimiarvonsa, kun se on tasasivuinen, ts. sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.
Vastaukset 25
Vanhimmat
Merkataan kolmion kulmia x, y ja 180-x-y. Yhdistetään kolmion kärjet ympyrän keskipisteeseen jolloin tulee kolme tasakylkistä kolmiota joista kunkin yksi kulma on keskuskulma, edellä mainittu keskuskulma kaksinkertaisena. Nähdään että alkuperäisen kolmion ala on:
A = r^2*(sinx*cosx siny*cosy sin(180-x-y)*cos(180-x-y)) = r^2*(sinx*cosx siny*cosy - sin(x y)*cos(x y))
Kun derivoidaan x suhteen saadaan:
DA/dx = r^2((cosx)^2 - (sinx)^2 -(cos(x y))^2 (sin(x y))^2)
Muuntamalla kaikki sineiksi tai kosineiksi ja asettamalla derivaatta nollaksi saadaan
(sinx)^2 = (sin(x y))^2 tai (cosx)^2 = (cos(x y))^2
Nähdään että nuo toteutuvat soveltuvalla alueella kun x = y = 60 astetta, mikä todetaan maksimikohdaksi. Vastaava saadaan jos derivoidaan y suhteen.
Oikeastaan tuo menee helpoimmin kun piirrät ensin ympyrän sisään tasasivuisen kolmion. Sitten siirrät yhtä pistettä (kolmion kärkeä) sivuun ympyrän kehällä. Muodostuvassa uudessa kolmiossa on sama kanta kuin alkuperäisessä ja on aika yksinkertasista osoittaa, että kolmion korkeus on pienempi kuin alkuperäisessä.
Eikös tuo todista vain että tasakylkinen kolmio on suurin samankantaisista kolmioista?
"Sitten siirrät yhtä pistettä (kolmion kärkeä) sivuun ympyrän kehällä. "
Minusta tämä ei ole yleispätevä menetelmä. Vaikka yhden pisteen siirtäminen pienetäisikin kolmiota, niin mikä takaa sen, että kahden pisteen siirtämisellä ei löydy suurempaa kolmiota? Ilmeisesti tasakylkisyyden voi osoittaa yhtä pistettä siirtämällä muttei tasasivuisuutta.
Jos saisi todistettua jotenkin niin että ottaa vuorotellen jokaisen sivun kannaksi?
Joo, olet oikeassa. Eli tuolla menetelmällä voi osoittaa että kun yksi sivu (kanta) on annettu, tasakylkinen kolmio antaa suurimman alan ympyrän piirillä. Pitäisi osoittaa että tasakylkinen on suurin tuollaisista kolmioista. Trigonometrisesti aika helppoa mutta yhtäkkiä en kekkaa simppeliä geometrista konstia.
Tapa 1. Olkoot A, B ja C kolmion kärjet. Jos niiden ympäri piirretyn ympyrän säde ei ole r, niin homotetian avulla voidaan kolmio skaalata siten, että kärjet ovat r-säteisellä ympyrällä.
Jos sivu AB on kiinteä, niin maksimiala saadaan kun AC=BC. Tämä siksi, että kun kanta on kiinnitetty, korkeus tulee maksimoitua kun C on mahdollisimman kaukana ja korkeus on C:n kulman puolittaja ja kohtisuorassa AB:tä vastaan.
Koska jokainen sivu voidaan valita kannaksi ja toiset kaksi sivua tulee olla yhtä pitkiä, voidaan aina löytää parempi sivu kannaksi jos kolmio ei ole tasasivuinen.
Tapa 2. Olkoon ABC kolmio, jonka ala on maksimaalinen. Kuten yllä, homotetian avulla nähdään, että A, B ja C sijaitsevat ympyrän kehällä. Oletetaan, että ABC ei ole tasasivuinen. Tällöin on olemassa kärki, vaikkapa A, siten, että sivun BC kanssa yhdensuuntainen A:n kautta kulkeva suora leikkaa ympyrän pisteessä E erisuuri kuin A. Valitaan piste P suoralta AE, joka ei ole A eikä E. Tällöin kolmion BPC ala on sama kuin kolmion ABC ala. Jatketaan BP leikkaamaan ympyrä pisteessä F. Tällöin kolmion BCF ala on aidosti suurempi kuin ABC:n ala ja tämä on ristiriita.
1) Formuloi minimointiprobleema (maksimoi kolmion pinta-ala)
2) Muodosta lagrangiaani jossa rajoite-ehto mukana
3) Osoita KKT-ehdoilla optimaalisuus
n-kulmio R-säteisessä ympyrässä.
Olkoot keskuskulmat a(1),...a(n).
Rajoite: a(1) ... a(n) = 2PI.
Lagrange-funktio: Monikulmion alasta ja rajoitteesta:
0.5 * R^2 * (sin(a(1) ) ... sin(a(n)) L * (2*PI - a(1) -...- a(n)).
Lagrange-funktion osittaisderivaatta a(k) suhteen (k = 1,...,n):
0.5 * R^2 * cos(a(k)) - L = 0, mistä
cos(a(k) = 2*L/R^2 = vakio, joten keskuskulmat ovat yhtäsuuret, ja monikulmio on säännöllinen.
Lisätääs tänne , kun on semmoinen otsikko, että voi joskus löytääkin
http://aijaa.com/lR7Vam
sori vaan, mutta tuosta rapeluksesta en saanut mitään tolkkua.
Ratkaisu on helpoin kun merkitään ympyrän säteen kantapistettä kohti ja kolmion korkeusjanan välistä kulmaa ß, niin (1 cos(ß))*sin(ß) = A
Derivoidaan ß.n suhteen ja merkitään 0.ksi ja ratkaistaan -> cos(ß) =1/2
Luultavasti ja toivottavasti joku ehkä kuitenkin saa.
Minäkään en saanut selvää. Matikan tehtävissä kuuluu kirjoittaa myös selittävää tekstiä sen verran, että ratkaisua voi seurata ilman kuvaa. Valitan, mutta tuollaiset ratkaisut eivät ole hyviä ratkaisuja. Tuskinpa tuollainen määrittelemättömien symbolien läiskiminen paperille auttaa ketään.
Ei näitä ilman kuvia pysty ymmärtämään, nämä molemmat pitäisikin nyt tulostaa ja katsella yhtä aikaa. http://aijaa.com/AHRXzr
tommonenkin löyty http://www.sccollege.edu/Faculty/RScott/Documents/280_14-7_Prob_23.pdf
Niin. Ei noita raapustuksiasi ymmärrä. Mutta jos vastaukset kirjoittaa kunnolla, ei kuvia tarvita. Hilbertin aksioomissa geometrian termit määritellään ilman kuvia, ja hyvin monet matemaatikot lukevat geometrian tuloksia ihan kuvattomista LaTeX-dokumenteista.
Saatu lauseke kolmion pinta-alalle ei kuitenkaan taida päteä, jos ympyrän keskipiste sijaitsee kolmion ulkopuolella.
http://aijaa.com/J1Y14v
Mietin siis juuri tuota tapausta, jonka piirsit.
Eli ½y olisi yli 90 astetta, jolloin numerolla kolme merkityn kolmion pinta-alan lausekkeessa esiintyvä sin y olisi negatiivinen.
Ratkaisusi on minusta muuten oikein hyvä ja selkeä.
Tuollaisilla vastauksilla pärjää ehkä peruskoulussa ja lukiossa, mutta vaikkapa yliopistoissa vastausten tulisi olla sellaisia, että siinä on selittävää tekstiä ja että siinä olisi kerrottu, mitä mikäkin symboli tarkoittaa. Siten omasta mielestäni vastaus ei ole hyvä, vaikka sen laskuosuus onkin hyvin tehty. Kannattaa lukea vaikkapa palstoja http://math.stackexchange.com/ ja http://mathoverflow.net/ jos haluaa oppia hyvää vastaustekniikkaa. Eli ei heitetä paperille satunnaisia symboleja x, y ja z vaan alkuun teksti "Olkoot kolmion kulmat x, y ja z. Tällöin ..."
Kiitos !
Olen minä siis ainakin yhdessä asiassa onnistunut. Olen nimittäin kaikin mahdollisin tavoin yrittänyt välttää sitä kuivaa ja narisevaa yliopistoslangia, joka tappaa kaiken mielenkiinnon matematiikkaan. Varsinkin tuo sana "olkoon" on sellainen, jota varmasti en ikinä ole käyttänyt.
Joskus aikanaan täällä raakkui yksi korppi, jolle oikeastaan mikään jonkun muun tekemä ratkaisu ei kelvannut, vaan aina siitä joku vika piti hakea.
Tuolla Tiede.fi sivustalla , tämä nimimerkkien keskinäinen v......u on mennyt jo överiksikin.
Minä en juurikaan kommentoi kenenkään tekemisiä, joskus voin oikaista jonkun väärin käsityksen. Kestän kyllä ihan mitä vaan, kritiikki kannustaa jatkamaan samaa linjaa.
Älä nyt ota ittees, kyllä laskusi ovat ihan jees, mutta käsiala on sitä luokkaa että noiden hieroglyfien tulkinta kyrsii joskus niin paljon että ei viitsi edes riviä pidemmälle katsoa.
Toive siis, hieman rauhallisemmin ja jos koneella kirjoittaminen ei käy, niin edes tekstaamalla.
Mitään ylimääräisiä esittelyjä ei kaipaa, ne jotka haluavat selvittää, tietävät kyllä jo ensimmäisistä yhtälöistä mitä tehdään.
.. Mutta kun saisi tekstistä ja merkeistä selvää !
Voit jättää lukematta jos herne menee nenään.
Minä ainakin luen milellään selitykset jos joku viitsi kirjoittaa sellaiset. KUvat myös auttaa hohmottamaat tehtävää. Piirrän itsekin aina ratkaisua hakiessa.
Täällä on erilaisia lukijoita. Älä yritä saada palstaa itsekkäästi vaijn iseäsi miellyttäväksi.
Täällä tuntuu häiriköivän (minun mielestäni) kaksi ryhmää. Koulukiusaaja tyypit ja ufoilijat.
Ufolut voi kukin halutessaa jättää lukematta.
Toisille vittuilun ja ainakin latistamisen voisitte ainakin jättää.
Jotenkin vaikuttaa neitimäiseltä loukkaantua noin pahasti arvostelusta ja vielä päälle vaatia yksityiskohtaisesti millaista palstan esitys pitäisi olla !
tiedoksesi, jos et edeltä ymmärtänyt, minä en lue em "hieroglyfejä", joten tuon näköisinä saavat puolestani olla sisällöltään mitä tahansa, yritin vain kertoa asian tilan.
Ne hieroglyfit ainakin pahenevat jos eivät peräti synny tossa skannausvaiheessa, alkuperäisessä paperissa ei ole tulkinnalle tarvetta ainakaan käsialan suhteen.
Olen kyllä suorittanut aikoinaan Koneenpiirustus ja deskriptiivinen geometria nimisen kurssin, mutta ovat tussit päässeet kuivaan. Enkä ainakaan minä mistään mitättömistä loukkaannu, olen sen verran elämää nähnyt, ettei arvostelut täällä hetkauta mihinkään suuntaan ja olen tähän ketjuun vastannut vain yhden kerran muulla kuin aeija nimimerkillä(10 8).
Nämä muuten onneksi katoavat tuolta kuvienjakopalvelusta, jos ei niitä lueta, joten ongelmia näistä ei sikäli synny.
Yleensä näitä luetaan noin 20-30 kertaa, paitsi yhtä fysiikan puolella on luettu 300 kertaa. Sitä on varmaan käytetty jossain oppilaitoksessa esimerkkinä siitä miten ei pidä asioita kokeessa esittää.