Mikä on normaalijakauman kertymäfunktion arvo kohdassa x=0.375 ? Ei varmaan voi pyöristää 0,4:ään eikä taulokkokirjasta löydy suoraan...Miten tuo määritetään ?
Normaalijakauman arvo
Ihmettelee
7245
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Muista, että normaalijakaumia on erilaisia, joten on tärkeää kertoa, mitä normaalijakaumaa käytät. Oletan, että käytät standardinormaalijakaumaa N(0,1). Yleensä laskimet käyttävät jotain numeerista integrointimenetelmää standardinormaalijauman kertymäfunktion arvojen määrittämiseen. Sen voi tehdä käsinkin jos viitsii. Mutta esimerkiksi Wolfram Alphalla saadaan
1/sqrt(2*pi)*int(exp(-x^2/2),x,-infinity,0.375)
0.64617
Kommentti. Voihan sen toki tehdä käsin, mutta siinäpä hommaa riittää, kun integroi - oo:sta: numeeriseksi menee.
Kun joku on jo homman tehnyt ja taulukoinut, niin miksi ei voi käyttää sitä? Interpolaatiota tarvittaessa, jos ei ihan täsmällistä lukua löydy.
"Kun joku on jo homman tehnyt ja taulukoinut, niin miksi ei voi käyttää sitä? "
Joskus tentissä voidaan kysyä, miten tuollaisen integraalin likiarvo lasketaan kynällä ja paperilla. Silloin hyvään vastaukseen kuuluu, että tekee yksityiskohtaisen todistuksen sille, että integraalin arvo on jollain riittävän kapealla välillä. Muutoin teen tuollaiset tehtävät koneella.
No eihän se pahaa tee, jos osaa kynällä ja paperilla. Kaikki normaalijakaumaa tarvitsevat eivät kuitenkaan opiskele analyysin tenttiä vaan elämää varten :-).
Kun me fossiilit olimme nuoria, niin käytettävissä oli vain taulukoita. Silloin me käytimme interpolaatiota. Jos taulukossa on esimerkiksi normaalijakaantuman kertymäfunktion N(x) arvot 0.1 välein, niin likiarvo pisteessä 0.375 saadaan lineaarisella interpolaatiolla seuraavasti:
N(0.375) ~ N(0.3) ((N(0.4) - N(0.3)) / 0.1) * (0.375 - 0.3)
= N(0.3) ((N(0.4) - N(0.3)) * 0.75,
joka saadaan korvaamalla funkion N(x) kuvaaja tällä välillä suoralla.
Jep, ennen vanhaan koulussa opeteltiin lineaarista interpolaatiota ja sitä myös käytettiin kokeissa, joissa sai olla mukana logaritmitaulu. Aika harva taisi kyllä ymmärtää, mistä oli kyse, vaikka ideahan on tosiaan yksinkertainen: approksimoidaan funktiota paikallisesti suoralla.
Normaalijakautuman tiheysfunktion standardoitu tunnus on Φ. Kirjainta N käytetään itse jakaumaan viitattaessa; esimerkiksi N(0, 1) tarkoittaa normitettua normaalijakaumaa. Ja suomen kielessä on edelleen normina, että desimaalierottimena on pilkku, ei piste, vaikka tätä onkin ehdotettu muutettavaksi. Oikeita merkintätapoja voi opiskella e-kirjasta http://www.e-painos.fi/kirjat/jukka-k-korpela-matemaattisten-merkintojen-kirjoittaminen/
MAOL-taulukoissa on arvot Φ(0,37) ≈ 0,6443 ja Φ(0,38) ≈ 0,6480. Lineaarinen interpolaatio merkitsee tässä yksinkertaisesti keskiarvon laskemista, koska haluttu piste on arvojen puolessavälissä. Saadaan siis Φ(0,375) ≈ (0,6443 0,6480)/2 = 0,6461. Tässä viimeistä numeroa on pidettävä epävarmana (oikea vastaus onkin neljään merkitsevään numeroon pyöristettynä 0,6462), koska käytetyt arvot ovat likiarvoja ja koska lineaarinen interpolaatio aiheuttaa virhettä (sitä enemmän, mitä enemmän funktio lokaalisesti poikkeaa suorasta).
”Käsin” laskettavaa lineaarista interpolaatiota harjoitetaan nykyisin aika vähän, koska on näppärämpiä vaihtoehtoja, esimerkiksi
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Φ(0.375)
joka antaa suoraan vastauksen 0.64617. Wolfram Alpha siis tuntee funktion sen standardinimellä Φ. Luvuissa pitää tällöin kuitenkin muistaa käyttää desimaalipistettä.
Mutta interpolaation idea on toki hyvä tuntea. Hyvin monet numeeriset menetelmät käyttävät jonkinlaista interpolaatiota.
Muuten oikein, paitsi että Φ on normaalijakauman kertymäfunktion tunnus; normaalijakauman tiheysfuntion tunnus on φ tai ϕ. Siitä, kumman mallista pikkufiitä pitäisi käyttää, ei mielestäni ole mitään yleispätevää standardia, joten kukin käyttäköön sitä kumpaa lystää.