terve!
Pikkuinen geometrinen pähkinä purtavaksi:
(Pelkkä vastaus ei riitä, tietokone laskee saman murto-osasekunnissa)
Sinulla on narua 1m. Maassa on taipuisa muoviputki, jonka vapaa pituus on 4m.
Taivutat putken ympyrän kaaren muotoiseksi ja sidot naurulla putken päät kiinni, niin että niiden etäisyydeksi jää 1m (putken venymää / solmuihin tarvittavaa osuutta ei huomioida)
Tuloksena on siis D-kirjainta muistuttava "puolikuu", jonka säde R=?
Pikkuinen geometrinen pähkinä purtavaksi:
(Pelkkä vastaus ei riitä, tietokone laskee saman murto-osasekunnissa)
Sinulla on narua 1m. Maassa on taipuisa muoviputki, jonka vapaa pituus on 4m.
Taivutat putken ympyrän kaaren muotoiseksi ja sidot naurulla putken päät kiinni, niin että niiden etäisyydeksi jää 1m (putken venymää / solmuihin tarvittavaa osuutta ei huomioida)
Tuloksena on siis D-kirjainta muistuttava "puolikuu", jonka säde R=?
Vastaukset 8
Vanhimmat
jos 4 metrin mittaisen taipuisan muoviputken päät sidotaan yhteen 1 metrin mittaisella narulla, saatu kötöstys ei ole lähelläkään puolikuun muotoinen.
otetaan siis uusiksi:
sinulla on naru, jonka pituus L=a
sinulla on muoviputki, jonka pituus on b
taivutat putken ympyrän kaarelle ja päiden väliin pingotat narun. Tiedetään että putken kaaren muodostama kulma Pi< theta < 2Pi.
R(a,b)=?
theta(a,b)=?
Tilanteesta saadaan kaksi yhtälöä. Olen merkinnyt thetaa t:llä.
yhtälö A: kosinilauseesta:
a^2 = 2R^2 - 2R^2*cos(t)
= 2R^2 * (1-cos(t))
yhtälö B: (2Pi-t)R = b
R=b/(2Pi-t)
yhdistetään A ja B:
a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-cos(t))
pienillä t hyvä arvio on cos(t)=1-t^2/2
=>
a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-(1-t^2/2))
(a^2-b^2)t^2-4a^2Pi*t 4a^2*Pi^2 = 0
tämän toisen asteen yhtälön ratkaisuksi tulee:
t=2Pi*a/(a b)
=> R=b/(2Pi-t)=b/(2Pi(1-a/(a b)))
tämä siis vain pienillä t:n arvoilla. vaikkapa t
kiitoksia, pitää vilkaista asiaa. Ymmärsinkö äkkikatsomalta oikein että vastauksesi ei ole eksakti, vaan likimääräinen?
Tosielämässä t:n arvo on pitkästi yli Pi (ts. b>Pi*a), sillä kyseessä on tikapuiden ympärillä oleva "turvavanne", jonka haalarimies valmistaa tunnetun pituisesta peltisoirosta. Minua alkoi riipomaan tuo R=? ja äkkiä päädyin tilanteeseen, jossa yhtälön molemmin puolin keikkui sinifunktio. Hiustenlähtöä aiheutti se, että asiaan on selvästi tasan yksi ratkaisu, enkä saanut sitä selville.
olin lukenut tehtävänannon huolimattomasti eli se mitä minä olen merkinnyt thetalla olisikin pitänyt olla 2Pi-theta, joten siksi tuo R=? saattaakin näyttää oudolta.
Miten niin tietokone laskee vastauksen murto-osa sekunnissa, jos ratkaisuyhtälöitä ei ole käytössä? Minulla ei ainakaan ole sellaista tietokonetta tai ohjelmaa, joka ratkaisisi pelkästään sanallisesti määritettyjä matemaattisia ongelmia.
Mutta itse asiaan: Yhtälöiden johtaminen tuohon ongelmaan ei ole mitenkään vaikeaa. Ainoa vaikeus tulee yhtälöiden ratkaisussa, koska kysessä ovat transkendentaaliset yhtälöt, joilla ei ole analyyttistä ratkaisua, vaan ne täytyy ratkaista aina numeerisesti. Tosin tuokaan ei ole tässä tapauksessa kovin ongelmallista.
En nyt ehdi paneutua asiaan tarkemmin, mutta tarvittaessa palaan asiaan myöhemmin ja voin kertoa, miten yhtälöt muodostetaan ja ratkaistaan, sillä se ei ole suurikaan ongelma.
- Tarkoitin nimenomaan että en halua/tarvitse numeerista vastausta; CAD-ohjelmat ilmoittavat ko. tiedot 'heti' tolkuttoman desimaalimäärän tarkkuudella.
Sain itsekin kyhättyä yhtälöt = -merkin molemmin puolin. Sitten aletaan kasvattamaan R:n arvoa (R,min=b/2), kunnes yhtälön puolikkaat ~yhtäsuuret tai paremminkin niiden suhde < vaadittu toleranssi?
Mikäli ylläolevaan ratkaisutapaan on joku 'hienompi' menetelmä, otetaan vihjeitä mieluusti vastaan. Suurin pettymys tosin on jo kärsitty, kun toivo eksaktista (symbolisesta) ratkaisusta mureni numeeriseksi iteroinniksi.
Geometrioiden yhteydelle on helppo johtaa yhtälöpari
(2*Pi-theta)*R=b
2*R*sin(theta/2)=a.
Näistä edelleen saadaan yhtälö esimerkiksi thetan ratkaisemiseksi
-theta/b 2*Pi/b-2*sin(theta/2)/a=0.
Edellinen yhtälö voidaan linearisoida eli korvataan sin(theta/2) likiarvollaan theta/2. Nyt thetan ja R:n likiarvot voidaan ratkaista suoraan saaduista lineaarisista yhtälöistä, ja ne ovat
theta≈2*a*Pi/(a b)
R≈(a b)/(2*Pi).
Numeerisesti thetan arvo voidaan ratkaista esimerkiksi Newton-Raphson-iteraatiolla. Tämä onnistuu seuraavasti: Merkitään ensin f(theta) = -theta/b 2*Pi/b-2*sin(theta/2)/a. Nyt voidaan käyttää iteraatiota (hakasulut tarkoittavat alaindeksiä)
theta[n 1]=theta[n]-f(theta[n])/f’(theta[n])),
mihin voidaan ottaa alkuarvaus theta[0] yhtä suureksi kuin linearisoinnilla laskettu thetan likiarvo. Kokeilujeni mukaan jo kaksi iteraatiokierrosta näyttää tuottavan ainakin viisi oikeaa numeroa.