limes

Et tarvitse mitään hienoja periaatteita tai lauseita. Perussarjakehitelmät riittää ratkaisuun.

Ensimmäisessä käytetään Taylorin sarjaa:
(2-x/2)^(1/x-2)
=1 3(x-2)/4 jne
-> 1, kun x->2

Toisessakin lasketaan 3^x:n ja 2^x:n Taylorin sarjat:
3^x=1 x*ln(3) x^2*1/2(ln3)^2 jne
2^x=1 x*ln(2) x^2*1/2(ln2)^2 jne
eli
(3^x - 2^x)/x
=ln(3)-ln(2) P(x), ja tuo P(0)=0
eli tämän raja-arvo on ln(3)-ln(2)

Kolmannessa oletin, että tarkoitit lauseketta (ln(x 1)-x)/(x*sinx). Ilman sulkuja tuo olisi aika triviaali. Otetaan ln(x 1):n ja sinx:n sarjakehitelmät. En jaksa kirjoittaa, mutta periaate on, että otetaan ne sarjakehitelmät ja lavennetaan x^2:lla. Raja-arvoksi tulee -1/2.

Varmaan tuossa ensiksi tarkoitat jotakin muuta kuin mitä kirjoitat, koska ongelmassa ei ole muutoin mitään vaikeutta. Onko lausekkeesi

lim ((2 - x)/2)^(1/(x-2))
x->2

vai kerrassaan jotakin muuta?

Sitä olisi kannattanut pysyä luennolla hereillä tai sitten käyttää sitä l'Hospitalin sääntöä. Kun kirjoittaa ensimmäisen eksponenttimuodossa (siis e^ln[alkuperäinen lauseke])saadaan eksponenttiin lauseke, joka on muotoa 0/0. Koska eksponenttifunktio on jatkuva, pätee:
lim e^f(x)=e^lim f(x)
Eli l'Hospitalilla tutkit eksponentin lauseketta ja sijoitat sitten saamasi arvon. Tulos on e^-1/2.
Toinen kohta on suoraan muotoa 0/0, sillä eikös vain a^0 (a reaalinen ja erisuuri kuin nolla) ole 1 ja siis 1-1=0 ? Kunhan vain muistaa, miten a^x derivoidaan oikein... Täältä lopulta saadaan ln(3/2)
Viimeisessä ei myöskään ole mitään ihmeellistä, jos vain olen tulkinnut sen oikein.
Jos tehtävä todella oli lim ln(1 x)-x/[x*sinx]
x->0
niin ensimmäinen termi lähenee nollaa ja toinen termi - ääretöntä. Oliko tässä jokin ongelma?

Jos ongelma on:


Lim((2-(x/2))^(1/(x-2))), kun x->2

Tällöin vastaus on e^-(1/2). Helppoa ja hauskaa...