En ymmärrä seuraavan raja-arvon laskemista:
lim (2 - x/2)^(1/x-2)
x->2
ainakin eksponentissa x ei voi olla 2. 0^0 on selvästi epämääräinen muoto. Onko Neperin luvun (1 1/x)^x avulla temppuilusta tässä apua. Toisaalta tuo on x-2 juuri luvusta 2 - x/2.
L'Hospitalia ei voi käyttää, enkä ole kokeillut olisiko siitä apua. Toisin sanoen saattaisiko se lausekkeen muotoon, joka ei olisi epämääräinen.
Toinen mitä mietin on lim x->0 (3^x - 2^x) / x
ääretön - ääretön on jälleen epämääräinen muoto. Vaikeita nämä temppuilut mielestäni.
Entä vielä tämä kolmas
lim x ->0 ln(x 1) - x / xsinx
Voiko tuota puristaa Sandwich periaatteen avulla
muotoon 1
lim (2 - x/2)^(1/x-2)
x->2
ainakin eksponentissa x ei voi olla 2. 0^0 on selvästi epämääräinen muoto. Onko Neperin luvun (1 1/x)^x avulla temppuilusta tässä apua. Toisaalta tuo on x-2 juuri luvusta 2 - x/2.
L'Hospitalia ei voi käyttää, enkä ole kokeillut olisiko siitä apua. Toisin sanoen saattaisiko se lausekkeen muotoon, joka ei olisi epämääräinen.
Toinen mitä mietin on lim x->0 (3^x - 2^x) / x
ääretön - ääretön on jälleen epämääräinen muoto. Vaikeita nämä temppuilut mielestäni.
Entä vielä tämä kolmas
lim x ->0 ln(x 1) - x / xsinx
Voiko tuota puristaa Sandwich periaatteen avulla
muotoon 1
Vastaukset 8
Vanhimmat
Et tarvitse mitään hienoja periaatteita tai lauseita. Perussarjakehitelmät riittää ratkaisuun.
Ensimmäisessä käytetään Taylorin sarjaa:
(2-x/2)^(1/x-2)
=1 3(x-2)/4 jne
-> 1, kun x->2
Toisessakin lasketaan 3^x:n ja 2^x:n Taylorin sarjat:
3^x=1 x*ln(3) x^2*1/2(ln3)^2 jne
2^x=1 x*ln(2) x^2*1/2(ln2)^2 jne
eli
(3^x - 2^x)/x
=ln(3)-ln(2) P(x), ja tuo P(0)=0
eli tämän raja-arvo on ln(3)-ln(2)
Kolmannessa oletin, että tarkoitit lauseketta (ln(x 1)-x)/(x*sinx). Ilman sulkuja tuo olisi aika triviaali. Otetaan ln(x 1):n ja sinx:n sarjakehitelmät. En jaksa kirjoittaa, mutta periaate on, että otetaan ne sarjakehitelmät ja lavennetaan x^2:lla. Raja-arvoksi tulee -1/2.
Tuo ensimmäisen kohdan vastaukseni on ihan puppua. Siis kyseessä piti ilmeisesti olla lauseke
((2-x)/2)^(1/(x-2)). Tuohan on sama kuin
(1/2)^(1/(x-2))*(2-x)^(1/(x-2))
Tuo lähestyy 0:aa, en kyllä oikein osaa perustella sitä. Riittääköhän perusteeksi, että eksponentiaalinen kasvu on voimakkaampaa kuin polynomiaalinen? Ei varmaan.
Varmaan tuossa ensiksi tarkoitat jotakin muuta kuin mitä kirjoitat, koska ongelmassa ei ole muutoin mitään vaikeutta. Onko lausekkeesi
lim ((2 - x)/2)^(1/(x-2))
x->2
vai kerrassaan jotakin muuta?
Sitä olisi kannattanut pysyä luennolla hereillä tai sitten käyttää sitä l'Hospitalin sääntöä. Kun kirjoittaa ensimmäisen eksponenttimuodossa (siis e^ln[alkuperäinen lauseke])saadaan eksponenttiin lauseke, joka on muotoa 0/0. Koska eksponenttifunktio on jatkuva, pätee:
lim e^f(x)=e^lim f(x)
Eli l'Hospitalilla tutkit eksponentin lauseketta ja sijoitat sitten saamasi arvon. Tulos on e^-1/2.
Toinen kohta on suoraan muotoa 0/0, sillä eikös vain a^0 (a reaalinen ja erisuuri kuin nolla) ole 1 ja siis 1-1=0 ? Kunhan vain muistaa, miten a^x derivoidaan oikein... Täältä lopulta saadaan ln(3/2)
Viimeisessä ei myöskään ole mitään ihmeellistä, jos vain olen tulkinnut sen oikein.
Jos tehtävä todella oli lim ln(1 x)-x/[x*sinx]
x->0
niin ensimmäinen termi lähenee nollaa ja toinen termi - ääretöntä. Oliko tässä jokin ongelma?
Jos ongelma on:
Lim((2-(x/2))^(1/(x-2))), kun x->2
Tällöin vastaus on e^-(1/2). Helppoa ja hauskaa...
Lim((3^x-2^x)/x),x->0
Vastaus: ln(3/2)
Lim((ln(x 1)-x)/(xsinx)),x->0
vastaus: -1/2
Mikä näissä on vaikeata.????
Mathematica, matlab, maple?
tai wolfram alpha