Mihin siis perustuu ratkaisumenettely, jossa korkeamman asteen polynomilausekkeen mahdolliset nollakohdat ovat aina muotoa p/q, missä q on korkeimman asteen termin kertoimen jokin tekijä ja p vakiotermin jokin tekijä (vai oliko se edes näin, no kuiteski)?
Korkeamman asteen yhtälön ratkaisumenetelmän perustelu
pässi
20
1628
Vastaukset
- Strawman
"korkeamman asteen polynomilausekkeen mahdolliset nollakohdat ovat aina muotoa p/q, missä q on korkeimman asteen termin kertoimen jokin tekijä ja p vakiotermin jokin tekijä"
Eiköhän tämä perustu siihen, että mikäli polynomi a_1*x^n a_2*n^(n-1) ... a_(n 1) voidaan hajottaa binomeiksi muotoon (b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x - c_n), ovat tämän nollakohdat x_m = c_m / b_m.
Helposti havaitaan, että kun em. binomit kerrotaan auki ("expand"), on korkeimman asteen termin kerroin a_1 = b_1 * b_2 * ... * b_n ja vakiotermi a_(n 1) = c_1 * c_2 * ... * c_n. Jokainen c_m, missä m \in [1, n] on luonnollisesti c_n:n tulontekijä ja vastaavasti b_m on b_n:n tulontekijä, m.o.t.
Kannattaa kuitenkin huomata, ettei läheskään kaikkia polynomeja voida hajottaa tällä tavalla reaalisiksi binomeiksi, jolloin tämä menetelmä ei tietenkään toimi yhtälönratkaisuna.
Esim. yhtälö x^3 - 6x^2 11x - 6 = 0 ratkeaa kyllä vakiotermin kertoimen ( -)6 tulontekijöiden ja korkeimman asteen termin kertoimen 1 osamääristä (x=1, x=2 tai x=3).
Jos tässä muutetaan 2. asteen termin kerrointa s.e. yhtälö on x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0, niin reaalista binomihajotelmaa ei voida tehdä, eikä ratkaisuja näin ollen "näe" suoraan (edes sitä yhtä reaalista juurta).- mestari
"Eiköhän tämä perustu siihen, että mikäli polynomi a_1*x^n a_2*n^(n-1) ... a_(n 1)..."
Tämä olisi ehkä hieman järkevämpi esitystapa: a_n*x^n a_n-1*x^(n-1) ... a_0. Lisäksi ylläolevasta esityksestä löytyy järkyttävä virhe.
"voidaan hajottaa binomeiksi muotoon (b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x - c_n)"
Binomikehitelmä on esitetty väärin ja toisekseen sen muodostamista ei tässä perustella, mikä sitten kaataakin koko jollan.
"ovat tämän nollakohdat x_m = c_m / b_m"
X_m on eräs nollakohta. Kaikki nollakohdat ovat kyllä samaa muotoa.
"Kannattaa kuitenkin huomata, ettei läheskään kaikkia polynomeja voida hajottaa tällä tavalla reaalisiksi binomeiksi, jolloin tämä menetelmä ei tietenkään toimi yhtälönratkaisuna."
Jaa, että miksi ei toimisi? Tämä menetelmä löytää kaikki yhtälön rationaaliset ratkaisut. Irrationaalilukuratkaisut eivät löydy muuten kuin numeerisilla menetelmillä. Imaginääriluvut taasen ovat täyttä paskaa ja kusetusta. - mestari
mestari kirjoitti:
"Eiköhän tämä perustu siihen, että mikäli polynomi a_1*x^n a_2*n^(n-1) ... a_(n 1)..."
Tämä olisi ehkä hieman järkevämpi esitystapa: a_n*x^n a_n-1*x^(n-1) ... a_0. Lisäksi ylläolevasta esityksestä löytyy järkyttävä virhe.
"voidaan hajottaa binomeiksi muotoon (b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x - c_n)"
Binomikehitelmä on esitetty väärin ja toisekseen sen muodostamista ei tässä perustella, mikä sitten kaataakin koko jollan.
"ovat tämän nollakohdat x_m = c_m / b_m"
X_m on eräs nollakohta. Kaikki nollakohdat ovat kyllä samaa muotoa.
"Kannattaa kuitenkin huomata, ettei läheskään kaikkia polynomeja voida hajottaa tällä tavalla reaalisiksi binomeiksi, jolloin tämä menetelmä ei tietenkään toimi yhtälönratkaisuna."
Jaa, että miksi ei toimisi? Tämä menetelmä löytää kaikki yhtälön rationaaliset ratkaisut. Irrationaalilukuratkaisut eivät löydy muuten kuin numeerisilla menetelmillä. Imaginääriluvut taasen ovat täyttä paskaa ja kusetusta.n on siis positiivinen kokonaisluku..
- f'(x)
mestari kirjoitti:
n on siis positiivinen kokonaisluku..
Yhtälö voidaan aina esittää muodossa a(x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,x2 jne on yhtälöon juuria, ja a on korkeimman asteen termin kerroin. Kun tuo kerrotaan auki, saadaan vastaus kysymykseesi
- Strawman
mestari kirjoitti:
"Eiköhän tämä perustu siihen, että mikäli polynomi a_1*x^n a_2*n^(n-1) ... a_(n 1)..."
Tämä olisi ehkä hieman järkevämpi esitystapa: a_n*x^n a_n-1*x^(n-1) ... a_0. Lisäksi ylläolevasta esityksestä löytyy järkyttävä virhe.
"voidaan hajottaa binomeiksi muotoon (b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x - c_n)"
Binomikehitelmä on esitetty väärin ja toisekseen sen muodostamista ei tässä perustella, mikä sitten kaataakin koko jollan.
"ovat tämän nollakohdat x_m = c_m / b_m"
X_m on eräs nollakohta. Kaikki nollakohdat ovat kyllä samaa muotoa.
"Kannattaa kuitenkin huomata, ettei läheskään kaikkia polynomeja voida hajottaa tällä tavalla reaalisiksi binomeiksi, jolloin tämä menetelmä ei tietenkään toimi yhtälönratkaisuna."
Jaa, että miksi ei toimisi? Tämä menetelmä löytää kaikki yhtälön rationaaliset ratkaisut. Irrationaalilukuratkaisut eivät löydy muuten kuin numeerisilla menetelmillä. Imaginääriluvut taasen ovat täyttä paskaa ja kusetusta."Tämä olisi ehkä hieman järkevämpi esitystapa: a_n*x^n a_n-1*x^(n-1) ... a_0."
Ja tämä eroaa radikaalisti antamastani esitystavasta miten? Länsimaissa numerointi on yleensä tapana aloittaa 1:stä, joten ajattelin, että korkeimman asteen tekijän kertoimelle olisi ihan fiksua antaa numero 1, seuraavalle 2 jne.
"Lisäksi ylläolevasta esityksestä löytyy järkyttävä virhe."
Joka on mikä? Totta on, että siellä on yksi typo (korvaa n x:llä), mutta en nyt näe tätä niin maailman järkyttävimmäksi virheeksi. Tai ehkä sinä sitten vain järkytyt vähän liian helposti.
"Binomikehitelmä on esitetty väärin"
Ole hyvä ja esitä se oikein.
"toisekseen sen muodostamista ei tässä perustella, mikä sitten kaataakin koko jollan."
Sen muodostamista ei "tehtävänannossa" pyydetty perustelemaan. Voit sinä sen toki tietenkin perustella, en minä suutu.
""ovat tämän nollakohdat x_m = c_m / b_m""
"X_m on eräs nollakohta. Kaikki nollakohdat ovat kyllä samaa muotoa."
Jaaha, olisi varmaan nipottajia varten pitänyt mainita erikseen, että m = 1, 2, ..., n. Hei, mutta minähän olin maininnut sen, joskin vähän epämääräisesti. Toistan siis väitteeni, että (kaikki) nollakohdat ovat x_m = c_m / b_m, m = 1, 2, ..., n.
""Kannattaa kuitenkin huomata, ettei läheskään kaikkia polynomeja voida hajottaa tällä tavalla reaalisiksi binomeiksi, jolloin tämä menetelmä ei tietenkään toimi yhtälönratkaisuna.""
"Jaa, että miksi ei toimisi?"
Herra on hyvä ja näyttää, miten se toimii yhtälölle x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0.
"Imaginääriluvut taasen ovat täyttä paskaa ja kusetusta."
Tämä kertoo kyllä kaiken olennaisen viestisi vakavastiotettavuudesta. - Strawman
f'(x) kirjoitti:
Yhtälö voidaan aina esittää muodossa a(x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,x2 jne on yhtälöon juuria, ja a on korkeimman asteen termin kerroin. Kun tuo kerrotaan auki, saadaan vastaus kysymykseesi
"Yhtälö voidaan aina esittää muodossa a(x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,x2 jne on yhtälöon juuria"
Voisitko esittää yhtälöt
a) cos x - x = 0
b) x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0
mainitsemassasi muodossa.
Oletetaan, että x_n on siis reaalinen, koska et sitä ainakaan erikseen kompleksiseksi ole määritellyt (ja tällöin olisitkin varmaan valinnut muuttujan z x:n sijaan).
"Kun tuo kerrotaan auki, saadaan vastaus kysymykseesi"
Mihin kysymykseen? - antti
Strawman kirjoitti:
"Yhtälö voidaan aina esittää muodossa a(x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,x2 jne on yhtälöon juuria"
Voisitko esittää yhtälöt
a) cos x - x = 0
b) x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0
mainitsemassasi muodossa.
Oletetaan, että x_n on siis reaalinen, koska et sitä ainakaan erikseen kompleksiseksi ole määritellyt (ja tällöin olisitkin varmaan valinnut muuttujan z x:n sijaan).
"Kun tuo kerrotaan auki, saadaan vastaus kysymykseesi"
Mihin kysymykseen?Aikaisempi kirjoittaja varmaankin tarkoitti, että polynomi voidaan ilmoittaa tuossa muodossa. Koska tässä ketjussa on muutenkin puhuttu vain polynomeista, on turha sotkea tuota kosinia tähän. b-kohdan polynomin voi ilmoittaa muodossa a(x-x1)(x-x2)(x-x3), jossa kaksi juurta ovat imaginäärisiä (mutta tuosta tulee niin pitkä lauseke etten jaksa kirjoittaa sitä tähän.)
Miksi ihmeessä oletat, että x_n:t ovat reaalisia, kun tiedät hyvin, että lause ei päde silloin?
Tuosta ko. lauseestahan seuraa myös, että n-asteisella yhtälöllä on aina n ratkaisua. (Usein nämä ratkaisut ovat imaginäärisiä.)
Esim.
x^3=1
x=1 tai x=-1/2-i*sqrt(3)/2 tai x=-1/2 i*sqrt(3)/2 - mestari
Strawman kirjoitti:
"Tämä olisi ehkä hieman järkevämpi esitystapa: a_n*x^n a_n-1*x^(n-1) ... a_0."
Ja tämä eroaa radikaalisti antamastani esitystavasta miten? Länsimaissa numerointi on yleensä tapana aloittaa 1:stä, joten ajattelin, että korkeimman asteen tekijän kertoimelle olisi ihan fiksua antaa numero 1, seuraavalle 2 jne.
"Lisäksi ylläolevasta esityksestä löytyy järkyttävä virhe."
Joka on mikä? Totta on, että siellä on yksi typo (korvaa n x:llä), mutta en nyt näe tätä niin maailman järkyttävimmäksi virheeksi. Tai ehkä sinä sitten vain järkytyt vähän liian helposti.
"Binomikehitelmä on esitetty väärin"
Ole hyvä ja esitä se oikein.
"toisekseen sen muodostamista ei tässä perustella, mikä sitten kaataakin koko jollan."
Sen muodostamista ei "tehtävänannossa" pyydetty perustelemaan. Voit sinä sen toki tietenkin perustella, en minä suutu.
""ovat tämän nollakohdat x_m = c_m / b_m""
"X_m on eräs nollakohta. Kaikki nollakohdat ovat kyllä samaa muotoa."
Jaaha, olisi varmaan nipottajia varten pitänyt mainita erikseen, että m = 1, 2, ..., n. Hei, mutta minähän olin maininnut sen, joskin vähän epämääräisesti. Toistan siis väitteeni, että (kaikki) nollakohdat ovat x_m = c_m / b_m, m = 1, 2, ..., n.
""Kannattaa kuitenkin huomata, ettei läheskään kaikkia polynomeja voida hajottaa tällä tavalla reaalisiksi binomeiksi, jolloin tämä menetelmä ei tietenkään toimi yhtälönratkaisuna.""
"Jaa, että miksi ei toimisi?"
Herra on hyvä ja näyttää, miten se toimii yhtälölle x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0.
"Imaginääriluvut taasen ovat täyttä paskaa ja kusetusta."
Tämä kertoo kyllä kaiken olennaisen viestisi vakavastiotettavuudesta.Pitääkös tässä nyt kädestä pitäen taluttaa...
"Ja tämä eroaa radikaalisti antamastani esitystavasta miten?"
En väittänyt, että se eroaa, mutta mielestäni antamani esitystapa on hieman selkeämpi.
"että korkeimman asteen tekijän kertoimelle olisi ihan fiksua antaa numero 1, seuraavalle 2 jne."
Järkevämpää on asettaa kertoimelle sama numero kuin on muuttuja aste.
"Joka on mikä? Totta on, että siellä on yksi typo (korvaa n x:llä)..."
Esityksessäsi ei ole tämän vuoksi mitään järkeä.
"Ole hyvä ja esitä se oikein."
a(b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x - c_n), missä a on korkeimman asteen termin kerroin.
"Sen muodostamista ei "tehtävänannossa" pyydetty perustelemaan. Voit sinä sen toki tietenkin perustella, en minä suutu."
Kuulepas. Jos olet joskus kirjasta lukenut tuon binomikehitelmän, niin se ei valitettavasti riitä, vaan matematiikassa tulee kaikki perustella täsmällisin välivaihein. Mistä kysyjä voi tietää, että binomikehitelmäsi ei ole täyttä kakkaa? Et voi olettaa, että kaveri on perillä moisesta tai alkaa sitä itse todistelemaan. Toisekseen, minä en sitä perustelemaan ala, koska en ole täällä mitään muutakaan ollut todistelemassa, toisin kuin eräät sunnuntailaskijat.
"Toistan siis väitteeni, että (kaikki) nollakohdat ovat x_m = c_m / b_m, m = 1, 2, ..., n."
Väärin. x_m kuvaa yhtä lukua. Muotoile lauseesi uudelleen.
"Herra on hyvä ja näyttää, miten se toimii yhtälölle x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0."
Herra on hyvä ja tutkii montako rationaalista ratkaisua yhtälöllä on, jonka jälkeen esittää oman
analyyttisen tapansa ratkaista vastaavia yhtälöitä.
"Tämä kertoo kyllä kaiken olennaisen viestisi vakavastiotettavuudesta."
Ei, vaan se kertoo oman mielipiteeni. - mestari
antti kirjoitti:
Aikaisempi kirjoittaja varmaankin tarkoitti, että polynomi voidaan ilmoittaa tuossa muodossa. Koska tässä ketjussa on muutenkin puhuttu vain polynomeista, on turha sotkea tuota kosinia tähän. b-kohdan polynomin voi ilmoittaa muodossa a(x-x1)(x-x2)(x-x3), jossa kaksi juurta ovat imaginäärisiä (mutta tuosta tulee niin pitkä lauseke etten jaksa kirjoittaa sitä tähän.)
Miksi ihmeessä oletat, että x_n:t ovat reaalisia, kun tiedät hyvin, että lause ei päde silloin?
Tuosta ko. lauseestahan seuraa myös, että n-asteisella yhtälöllä on aina n ratkaisua. (Usein nämä ratkaisut ovat imaginäärisiä.)
Esim.
x^3=1
x=1 tai x=-1/2-i*sqrt(3)/2 tai x=-1/2 i*sqrt(3)/2"Aikaisempi kirjoittaja varmaankin tarkoitti, että polynomi voidaan ilmoittaa tuossa muodossa."
Miten niin varmaankin? Kysymyksessähän sanotaan selvällä suomekielellä, että kyse on polynomeista:
" Mihin siis perustuu ratkaisumenettely, jossa korkeamman asteen polynomilausekkeen..."
"Tuosta ko. lauseestahan seuraa myös, että n-asteisella yhtälöllä on aina n ratkaisua."
Niin että mistä lauseesta?
"(Usein nämä ratkaisut ovat imaginäärisiä.)"
No tuskinpa vain. Päinvaistoin, on aika harvinaista, että yhtälöllä on vain imaginäärisiä ratkaisuja. - Strawman
antti kirjoitti:
Aikaisempi kirjoittaja varmaankin tarkoitti, että polynomi voidaan ilmoittaa tuossa muodossa. Koska tässä ketjussa on muutenkin puhuttu vain polynomeista, on turha sotkea tuota kosinia tähän. b-kohdan polynomin voi ilmoittaa muodossa a(x-x1)(x-x2)(x-x3), jossa kaksi juurta ovat imaginäärisiä (mutta tuosta tulee niin pitkä lauseke etten jaksa kirjoittaa sitä tähän.)
Miksi ihmeessä oletat, että x_n:t ovat reaalisia, kun tiedät hyvin, että lause ei päde silloin?
Tuosta ko. lauseestahan seuraa myös, että n-asteisella yhtälöllä on aina n ratkaisua. (Usein nämä ratkaisut ovat imaginäärisiä.)
Esim.
x^3=1
x=1 tai x=-1/2-i*sqrt(3)/2 tai x=-1/2 i*sqrt(3)/2"Miksi ihmeessä oletat, että x_n:t ovat reaalisia, kun tiedät hyvin, että lause ei päde silloin?"
Miksi minun pitäisi olettaa että ne ovat jotain muuta kuin reaalisia, ellei kirjoittaja vaivaudu sitä itse kertomaan? Matematiikka ei toimi siten, että lukijan oletetaan kristallipallostansa näkevän, mitä jonkin väitteen esittäjällä ehkä on ollut mielessä.
"Tuosta ko. lauseestahan seuraa myös, että n-asteisella yhtälöllä on aina n ratkaisua."
Tuo on kyllä tulkinnallinen kysymys (voidaanko moninkertaisia ratkaisuja laskea eri ratkaisuiksi). Lisäksi minusta tuollainen päätelmä vaikuttaa enemmän kehäpäätelmältä kuin pätevältä todistukselta:
- Polynomi, jolla on n nollakohtaa, voidaan kirjoittaa muodossa a*\prod_{k=1}^{n}(x-x_k)
- Koska ym. lausekkeesta selvästi nähdään, että lausekkeella on nollakohtia n kpl, myös polynomilla on nollakohtia n kpl (jolloin ollaan taas 1. vaiheessa).
Se, mistä tuo väite oikeasti seuraa, on algebran peruslause: Jokaisella astetta n (n ≥ 1) olevalla polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Tämän todisti Gauss joskus 1700-luvulla. - mestari
Strawman kirjoitti:
"Yhtälö voidaan aina esittää muodossa a(x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,x2 jne on yhtälöon juuria"
Voisitko esittää yhtälöt
a) cos x - x = 0
b) x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0
mainitsemassasi muodossa.
Oletetaan, että x_n on siis reaalinen, koska et sitä ainakaan erikseen kompleksiseksi ole määritellyt (ja tällöin olisitkin varmaan valinnut muuttujan z x:n sijaan).
"Kun tuo kerrotaan auki, saadaan vastaus kysymykseesi"
Mihin kysymykseen?""Yhtälö voidaan aina esittää muodossa a(x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,x2 jne on yhtälöon juuria"
Voisitko esittää yhtälöt
a) cos x - x = 0
b) x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0
mainitsemassasi muodossa."
Mitenkähän jokin yhtälö voidaan esittää binomilausekkeena, herätys! - Strawman
mestari kirjoitti:
Pitääkös tässä nyt kädestä pitäen taluttaa...
"Ja tämä eroaa radikaalisti antamastani esitystavasta miten?"
En väittänyt, että se eroaa, mutta mielestäni antamani esitystapa on hieman selkeämpi.
"että korkeimman asteen tekijän kertoimelle olisi ihan fiksua antaa numero 1, seuraavalle 2 jne."
Järkevämpää on asettaa kertoimelle sama numero kuin on muuttuja aste.
"Joka on mikä? Totta on, että siellä on yksi typo (korvaa n x:llä)..."
Esityksessäsi ei ole tämän vuoksi mitään järkeä.
"Ole hyvä ja esitä se oikein."
a(b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x - c_n), missä a on korkeimman asteen termin kerroin.
"Sen muodostamista ei "tehtävänannossa" pyydetty perustelemaan. Voit sinä sen toki tietenkin perustella, en minä suutu."
Kuulepas. Jos olet joskus kirjasta lukenut tuon binomikehitelmän, niin se ei valitettavasti riitä, vaan matematiikassa tulee kaikki perustella täsmällisin välivaihein. Mistä kysyjä voi tietää, että binomikehitelmäsi ei ole täyttä kakkaa? Et voi olettaa, että kaveri on perillä moisesta tai alkaa sitä itse todistelemaan. Toisekseen, minä en sitä perustelemaan ala, koska en ole täällä mitään muutakaan ollut todistelemassa, toisin kuin eräät sunnuntailaskijat.
"Toistan siis väitteeni, että (kaikki) nollakohdat ovat x_m = c_m / b_m, m = 1, 2, ..., n."
Väärin. x_m kuvaa yhtä lukua. Muotoile lauseesi uudelleen.
"Herra on hyvä ja näyttää, miten se toimii yhtälölle x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0."
Herra on hyvä ja tutkii montako rationaalista ratkaisua yhtälöllä on, jonka jälkeen esittää oman
analyyttisen tapansa ratkaista vastaavia yhtälöitä.
"Tämä kertoo kyllä kaiken olennaisen viestisi vakavastiotettavuudesta."
Ei, vaan se kertoo oman mielipiteeni."Pitääkös tässä nyt kädestä pitäen taluttaa... "
Näille ilmiselville trolleillehan ei pitäisi vastata, mutta (jälleen kerran) en voi vastustaa kiusausta..
"Järkevämpää on asettaa kertoimelle sama numero kuin on muuttuja aste. "
Eipäs ole. Perustelut ovat edellisessä viestissä. Sinun perustelusi puuttuvat.
"Esityksessäsi ei ole tämän vuoksi mitään järkeä."
Jos oikeasti olet niin kone, ettet ikinä tee kirjoitusvirheitä, niin onneksi olkoon.
"Jos olet joskus kirjasta lukenut tuon binomikehitelmän, niin se ei valitettavasti riitä, vaan matematiikassa tulee kaikki perustella täsmällisin välivaihein."
Kyllä se kuuleppas riittää. Kysyjä ei kysynyt perusteluja tälle lauseelle, joten riittää, että sen tiedetään pitävän paikkansa. Jos sinä otat tämän foorumin niin kuolemanvakavasti (miltä nyt näyttää), niin voit aivan vapaasti perustella kaikkien muiden perustelematta jättämät ilmeiset väittämät. Olisin ehkä voinut mainita, että ym. väite seuraa algebran peruslauseesta, mutta tällöin olisit tietenkin vaatinut, että minun pitää todistaa algebran peruslause.
Ymmärrän, jos siellä yliopistossa viilataan pilkkua viimeiseen asti, mutta älä oleta, että se kiinnostaisi kaikkia muitakin. Useimmille on tärkeintä ymmärtää, tajuta ja osata soveltaa asioita.
""Herra on hyvä ja näyttää, miten se toimii yhtälölle x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0.""
"Herra on hyvä ja tutkii montako rationaalista ratkaisua yhtälöllä on, jonka jälkeen esittää oman
analyyttisen tapansa ratkaista vastaavia yhtälöitä."
Kerrataanpas nyt vähän.
- Minä väitin, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä.
- Sinä "kysyit", että kuinka niin ei toimi.
- Minä esitin yhtälön, jolle se ei toimi.
- Nyt sinä mussutat jotain jostain rationaalisista ratkaisuista, millä ei ole mitään merkitystä, koska väitteeni siitä, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä, pitää paikkansa niistä huolimatta.
"Ei, vaan se kertoo oman mielipiteeni."
Aijaa! Ja kaikki, mitä tänne kirjoitat, ei olekaan mielipiteitäsi, vai? Minun mielipiteeni on edelleen se, että kirjoitat vain trollataksesi. - Strawman
mestari kirjoitti:
""Yhtälö voidaan aina esittää muodossa a(x-x1)(x-x2)...(x-xn), missä x1,x2 jne on yhtälöon juuria"
Voisitko esittää yhtälöt
a) cos x - x = 0
b) x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0
mainitsemassasi muodossa."
Mitenkähän jokin yhtälö voidaan esittää binomilausekkeena, herätys!"Mitenkähän jokin yhtälö voidaan esittää binomilausekkeena, herätys!"
Kerro ihmeessä, jos tiedät jonkin helpon tavan.
cos(x) voidaan toki kirjoittaa sarjaksi, mutta sen lausuminen binomeina taitaa mennä vähän vaikeaksi. - Strawman
mestari kirjoitti:
Pitääkös tässä nyt kädestä pitäen taluttaa...
"Ja tämä eroaa radikaalisti antamastani esitystavasta miten?"
En väittänyt, että se eroaa, mutta mielestäni antamani esitystapa on hieman selkeämpi.
"että korkeimman asteen tekijän kertoimelle olisi ihan fiksua antaa numero 1, seuraavalle 2 jne."
Järkevämpää on asettaa kertoimelle sama numero kuin on muuttuja aste.
"Joka on mikä? Totta on, että siellä on yksi typo (korvaa n x:llä)..."
Esityksessäsi ei ole tämän vuoksi mitään järkeä.
"Ole hyvä ja esitä se oikein."
a(b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x - c_n), missä a on korkeimman asteen termin kerroin.
"Sen muodostamista ei "tehtävänannossa" pyydetty perustelemaan. Voit sinä sen toki tietenkin perustella, en minä suutu."
Kuulepas. Jos olet joskus kirjasta lukenut tuon binomikehitelmän, niin se ei valitettavasti riitä, vaan matematiikassa tulee kaikki perustella täsmällisin välivaihein. Mistä kysyjä voi tietää, että binomikehitelmäsi ei ole täyttä kakkaa? Et voi olettaa, että kaveri on perillä moisesta tai alkaa sitä itse todistelemaan. Toisekseen, minä en sitä perustelemaan ala, koska en ole täällä mitään muutakaan ollut todistelemassa, toisin kuin eräät sunnuntailaskijat.
"Toistan siis väitteeni, että (kaikki) nollakohdat ovat x_m = c_m / b_m, m = 1, 2, ..., n."
Väärin. x_m kuvaa yhtä lukua. Muotoile lauseesi uudelleen.
"Herra on hyvä ja näyttää, miten se toimii yhtälölle x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0."
Herra on hyvä ja tutkii montako rationaalista ratkaisua yhtälöllä on, jonka jälkeen esittää oman
analyyttisen tapansa ratkaista vastaavia yhtälöitä.
"Tämä kertoo kyllä kaiken olennaisen viestisi vakavastiotettavuudesta."
Ei, vaan se kertoo oman mielipiteeni.> "Ole hyvä ja esitä se oikein."
>
> a(b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x -
> c_n), missä a on korkeimman asteen termin kerroin.
Tämä siis pikaisesti vilkaistuna eroaa minun esityksestä siten, että lausekkeen eteen on tuotu korkeimman asteen termin kerroin a. Koska tässä on kuitenkin jokaisen x:n edellä jokin kerroin b_m, voidaan tuo a helposti kertoa minkä tahansa sulkulausekkeen sisään, jolloin sitä ei tarvitse roikottaa siellä edessä. Näin ollen jo aikaisemmin esittämäni muoto oli aivan oikein.
Mitä tähän viestiketjuun yleensäottaen tulee, niin minusta on kerrassaan *mahtavaa*, että matematiikkaryhmässäkin saadaan muutamasta typosta aikaan helposti kymmenen viestin mittainen sota! Hauskaa piristystä muuten vähän kuivahkoon ryhmään. - mestari
Strawman kirjoitti:
"Pitääkös tässä nyt kädestä pitäen taluttaa... "
Näille ilmiselville trolleillehan ei pitäisi vastata, mutta (jälleen kerran) en voi vastustaa kiusausta..
"Järkevämpää on asettaa kertoimelle sama numero kuin on muuttuja aste. "
Eipäs ole. Perustelut ovat edellisessä viestissä. Sinun perustelusi puuttuvat.
"Esityksessäsi ei ole tämän vuoksi mitään järkeä."
Jos oikeasti olet niin kone, ettet ikinä tee kirjoitusvirheitä, niin onneksi olkoon.
"Jos olet joskus kirjasta lukenut tuon binomikehitelmän, niin se ei valitettavasti riitä, vaan matematiikassa tulee kaikki perustella täsmällisin välivaihein."
Kyllä se kuuleppas riittää. Kysyjä ei kysynyt perusteluja tälle lauseelle, joten riittää, että sen tiedetään pitävän paikkansa. Jos sinä otat tämän foorumin niin kuolemanvakavasti (miltä nyt näyttää), niin voit aivan vapaasti perustella kaikkien muiden perustelematta jättämät ilmeiset väittämät. Olisin ehkä voinut mainita, että ym. väite seuraa algebran peruslauseesta, mutta tällöin olisit tietenkin vaatinut, että minun pitää todistaa algebran peruslause.
Ymmärrän, jos siellä yliopistossa viilataan pilkkua viimeiseen asti, mutta älä oleta, että se kiinnostaisi kaikkia muitakin. Useimmille on tärkeintä ymmärtää, tajuta ja osata soveltaa asioita.
""Herra on hyvä ja näyttää, miten se toimii yhtälölle x^3 - 5x^2 11x - 6 = 0.""
"Herra on hyvä ja tutkii montako rationaalista ratkaisua yhtälöllä on, jonka jälkeen esittää oman
analyyttisen tapansa ratkaista vastaavia yhtälöitä."
Kerrataanpas nyt vähän.
- Minä väitin, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä.
- Sinä "kysyit", että kuinka niin ei toimi.
- Minä esitin yhtälön, jolle se ei toimi.
- Nyt sinä mussutat jotain jostain rationaalisista ratkaisuista, millä ei ole mitään merkitystä, koska väitteeni siitä, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä, pitää paikkansa niistä huolimatta.
"Ei, vaan se kertoo oman mielipiteeni."
Aijaa! Ja kaikki, mitä tänne kirjoitat, ei olekaan mielipiteitäsi, vai? Minun mielipiteeni on edelleen se, että kirjoitat vain trollataksesi."Eipäs ole. Perustelut ovat edellisessä viestissä. Sinun perustelusi puuttuvat."
Tämä myönnettäkööt mielipidekysymykseksi. En tosin pitänyt perustelujasi kovin järkevinä.
"Kyllä se kuuleppas riittää. Kysyjä ei kysynyt perusteluja tälle lauseelle, joten riittää, että sen tiedetään pitävän paikkansa. Jos sinä otat tämän foorumin niin kuolemanvakavasti (miltä nyt näyttää), niin voit aivan vapaasti perustella kaikkien muiden perustelematta jättämät ilmeiset väittämät. Olisin ehkä voinut mainita, että ym. väite seuraa algebran peruslauseesta, mutta tällöin olisit tietenkin vaatinut, että minun pitää todistaa algebran peruslause. "
Mistä tiedät minkään lauseen pitävän paikkansa, jos et ole sitä todistanut tai jonkun muun todistusta tarkkaavaisesti tutkinut? "No ku se lukee tääl fiksun duden kirjassa." Valitettavasti osoittaa epäkypsyyttä uskoa asioita, jos ei ensin tutki niiden tarkkaa todistusta. Näin siis, kun on kyse matematiikasta. Ainoastaan esim. koulujen kokeissa voi olettaa, että tiettyjä asioita voi jättää perustelematta, jos siitä on opettajan kanssa sovittu tai se on muuten selvää. Muussa tapauksessa kaikki tulee perustella, lukuunottamatta matemaattisia perusaksioomeja, joiden käyttö tulee kuitenkin mainita. Todennäköisesti tässäkin on käynyt niin, että olet kaivanut nuo lauseesi netistä yms. sen kummemmin niitä todistelematta tai tutkimatta.
"Useimmille on tärkeintä ymmärtää, tajuta ja osata soveltaa asioita."
Miten voit ymmärtää tai tajuta mitään, jos et sitä täsmällisesti todista ja perustele. Ei matematiikka ole mikään uskonto!
"Kerrataanpas nyt vähän.
- Minä väitin, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä.
- Sinä "kysyit", että kuinka niin ei toimi.
- Minä esitin yhtälön, jolle se ei toimi.
- Nyt sinä mussutat jotain jostain rationaalisista ratkaisuista, millä ei ole mitään merkitystä, koska väitteeni siitä, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä, pitää paikkansa niistä huolimatta."
Uskomatonta huttua. Tuo menetelmä toimii analyyttisenä polynomiyhtälönratkaisukeinona täydellisesti. Jos yhtälöllä on vain irrationaalisia ratkaisuja, niin se ei tietenkään toimi. Tällöin yhtälöä ei kuitenkaan voida analyyttisesti ratkaista, vaan ratkaisu määritetään numeerisesti. Näin ollen lauseesi "ei voida käyttää yhtälön ratkaisemisessa" ei ole missään nimessä mielekäs, sillä sellaista menetelmää ei ole olemassakaan, jolla noita esimerkkejäsi voisi ratkoa. - mestari
Strawman kirjoitti:
"Mitenkähän jokin yhtälö voidaan esittää binomilausekkeena, herätys!"
Kerro ihmeessä, jos tiedät jonkin helpon tavan.
cos(x) voidaan toki kirjoittaa sarjaksi, mutta sen lausuminen binomeina taitaa mennä vähän vaikeaksi.Lausekkeita muutetaan binokehitelmiksi/sarjoiksi, yhtälöitä ei.
- mestari
Strawman kirjoitti:
> "Ole hyvä ja esitä se oikein."
>
> a(b_1*x - c_1) * (b_2*x - c_2) * ... * (b_n*x -
> c_n), missä a on korkeimman asteen termin kerroin.
Tämä siis pikaisesti vilkaistuna eroaa minun esityksestä siten, että lausekkeen eteen on tuotu korkeimman asteen termin kerroin a. Koska tässä on kuitenkin jokaisen x:n edellä jokin kerroin b_m, voidaan tuo a helposti kertoa minkä tahansa sulkulausekkeen sisään, jolloin sitä ei tarvitse roikottaa siellä edessä. Näin ollen jo aikaisemmin esittämäni muoto oli aivan oikein.
Mitä tähän viestiketjuun yleensäottaen tulee, niin minusta on kerrassaan *mahtavaa*, että matematiikkaryhmässäkin saadaan muutamasta typosta aikaan helposti kymmenen viestin mittainen sota! Hauskaa piristystä muuten vähän kuivahkoon ryhmään.Tarkoitus oli kyllä kirjoittaa tuo binokehitelmä muotoon a(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3), missä a on korkeimman asteen termin kerroin ja c:t lausekkeen nollakohtia. Anteeksi virheeni.
- Strawman
mestari kirjoitti:
"Eipäs ole. Perustelut ovat edellisessä viestissä. Sinun perustelusi puuttuvat."
Tämä myönnettäkööt mielipidekysymykseksi. En tosin pitänyt perustelujasi kovin järkevinä.
"Kyllä se kuuleppas riittää. Kysyjä ei kysynyt perusteluja tälle lauseelle, joten riittää, että sen tiedetään pitävän paikkansa. Jos sinä otat tämän foorumin niin kuolemanvakavasti (miltä nyt näyttää), niin voit aivan vapaasti perustella kaikkien muiden perustelematta jättämät ilmeiset väittämät. Olisin ehkä voinut mainita, että ym. väite seuraa algebran peruslauseesta, mutta tällöin olisit tietenkin vaatinut, että minun pitää todistaa algebran peruslause. "
Mistä tiedät minkään lauseen pitävän paikkansa, jos et ole sitä todistanut tai jonkun muun todistusta tarkkaavaisesti tutkinut? "No ku se lukee tääl fiksun duden kirjassa." Valitettavasti osoittaa epäkypsyyttä uskoa asioita, jos ei ensin tutki niiden tarkkaa todistusta. Näin siis, kun on kyse matematiikasta. Ainoastaan esim. koulujen kokeissa voi olettaa, että tiettyjä asioita voi jättää perustelematta, jos siitä on opettajan kanssa sovittu tai se on muuten selvää. Muussa tapauksessa kaikki tulee perustella, lukuunottamatta matemaattisia perusaksioomeja, joiden käyttö tulee kuitenkin mainita. Todennäköisesti tässäkin on käynyt niin, että olet kaivanut nuo lauseesi netistä yms. sen kummemmin niitä todistelematta tai tutkimatta.
"Useimmille on tärkeintä ymmärtää, tajuta ja osata soveltaa asioita."
Miten voit ymmärtää tai tajuta mitään, jos et sitä täsmällisesti todista ja perustele. Ei matematiikka ole mikään uskonto!
"Kerrataanpas nyt vähän.
- Minä väitin, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä.
- Sinä "kysyit", että kuinka niin ei toimi.
- Minä esitin yhtälön, jolle se ei toimi.
- Nyt sinä mussutat jotain jostain rationaalisista ratkaisuista, millä ei ole mitään merkitystä, koska väitteeni siitä, että menetelmä ei toimi kaikilla yhtälöillä, pitää paikkansa niistä huolimatta."
Uskomatonta huttua. Tuo menetelmä toimii analyyttisenä polynomiyhtälönratkaisukeinona täydellisesti. Jos yhtälöllä on vain irrationaalisia ratkaisuja, niin se ei tietenkään toimi. Tällöin yhtälöä ei kuitenkaan voida analyyttisesti ratkaista, vaan ratkaisu määritetään numeerisesti. Näin ollen lauseesi "ei voida käyttää yhtälön ratkaisemisessa" ei ole missään nimessä mielekäs, sillä sellaista menetelmää ei ole olemassakaan, jolla noita esimerkkejäsi voisi ratkoa."Valitettavasti osoittaa epäkypsyyttä uskoa asioita, jos ei ensin tutki niiden tarkkaa todistusta."
Minulle riittää, että luennoitsija tai kirjan kirjoittaja selvittää jonkin asian todistuksineen ja välivaiheineen. Minun ei tarvise keksiä pyörää uudestaan.
"Ainoastaan esim. koulujen kokeissa voi olettaa, että tiettyjä asioita voi jättää perustelematta, jos siitä on opettajan kanssa sovittu tai se on muuten selvää."
Esim.? Toinen esimerkki olkoon keskustelufoorumi, jossa jotain asiaa (albegran peruslausetta) käytetään todistamaan jotain aivan muuta asiaa. Algebran peruslauseen todistus ei liity olennaisesti siihen toiseen asiaan, vaan riittää, että algebran peruslauseen tiedetään pitävän paikkansa.
Muutenhan voit tehdä laskuista aivan mielettömän pitkiä, jos kaikki asiat pitää aina todistaa realilukujen aksioomista alkaen (tai ehkä myös ne pitää todistaa ensin). Todistuksen pituutta pitää rajata jotenkin järkevästi, ja se tapahtuu olettamalla, että lukija tuntee entuudestaan tietyt asiat tosiksi, koska ne on todistettu aikaisemmin muualla.
"Muussa tapauksessa kaikki tulee perustella, lukuunottamatta matemaattisia perusaksioomeja, joiden käyttö tulee kuitenkin mainita."
Tämä menee jo koomiseksi. Jos siis jossain laskussa kirjoitan, että 3*5 = 5*3, niin minun pitää perustella, että tämä pitää paikkansa, koska reaalilukujen aksioomien (vaihdantalain) mukaan 3 ja 5 kommutoivat. Selvä.
"Todennäköisesti tässäkin on käynyt niin, että olet kaivanut nuo lauseesi netistä yms. sen kummemmin niitä todistelematta tai tutkimatta."
Algebran peruslauseen "melkein algebrallinen todistus" löytyy Timo Nevalan prujuista (8.12.1994), ja se vie 30 sivua. Analyyttinen todistus mahtuu yhdelle sivulle. "Melkein algebrallista todistusta" en ole tutkinut "sen kummemmin", mutta minä _uskon_, että Nevalan todistus on pätevä. Ja kuten jo mainitsin, Gauss todisti sen joskus 1700-luvulla. Miksi pyörä pitäisi keksiä taas uudelleen?
"Miten voit ymmärtää tai tajuta mitään, jos et sitä täsmällisesti todista ja perustele."
Otetaan esimerkki. Ymmärrän ja tajuan, miten normaalijakauman tiheysfunktio toimii, mihin sitä käytetään ja sovelletaan jne., mutta minulla ei ole hajuakaan, mistä se funktio tulee. Mutta se ei haittaa menoa millään tavalla.
Kai sinäkin olet joskus laskenut normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä? Sinun pitäisi siis tietää, mistä se funktio tulee. Haluaisin mielelläni tietää siitä lisää, joten viitsitkö vähän valaista asiaa..?
"Ei matematiikka ole mikään uskonto!"
Eräs matematiikan lehtori vertasi "juuri" (muutama vuosi sitten) matematiikkaa uskontoon, ja samankaltaisia piirteitä löytyi yllättävän paljon.
"Tuo menetelmä toimii analyyttisenä polynomiyhtälönratkaisukeinona täydellisesti. Jos yhtälöllä on vain irrationaalisia ratkaisuja, niin se ei tietenkään toimi."
Koeta nyt päättää, toimiiko se vai ei. Laita ruksi toiseen seuraavista:
(_) Toimii täydellisesti
(_) Ei toimi täydellisesti - Strawman
mestari kirjoitti:
Tarkoitus oli kyllä kirjoittaa tuo binokehitelmä muotoon a(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3), missä a on korkeimman asteen termin kerroin ja c:t lausekkeen nollakohtia. Anteeksi virheeni.
"Tarkoitus oli kyllä kirjoittaa tuo binokehitelmä muotoon a(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3), missä a on korkeimman asteen termin kerroin ja c:t lausekkeen nollakohtia."
Jos nyt palataan keskustelussa tasolle "asiallinen", niin haluaisin tietää, että eroaako ym. muoto oleellisesti esittämästäni muodosta
(a_1*x - b_1)(a_2*x - b_2)(a_3*x - b_3),
missä nollakohdat ovat {x | x = b_n/a_n, n=1,2,3}
ja korkeimman asteen termin kerroin saadaan tulona a_1 * a_2 * a_3. Esim. Mathematicalla on tapana faktorisoida polynomi juuri tällaiseen muotoon.
Tämänhän sinä sanoit olevan "väärin", eikö niin? - mestari
Strawman kirjoitti:
"Tarkoitus oli kyllä kirjoittaa tuo binokehitelmä muotoon a(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3), missä a on korkeimman asteen termin kerroin ja c:t lausekkeen nollakohtia."
Jos nyt palataan keskustelussa tasolle "asiallinen", niin haluaisin tietää, että eroaako ym. muoto oleellisesti esittämästäni muodosta
(a_1*x - b_1)(a_2*x - b_2)(a_3*x - b_3),
missä nollakohdat ovat {x | x = b_n/a_n, n=1,2,3}
ja korkeimman asteen termin kerroin saadaan tulona a_1 * a_2 * a_3. Esim. Mathematicalla on tapana faktorisoida polynomi juuri tällaiseen muotoon.
Tämänhän sinä sanoit olevan "väärin", eikö niin?No joo, jos tosiaan palataan asialliseen keskusteluun. Hajotelmassasi ei ainakaan minulle avaudu, miten muuttuja x voi esittää lausekkeen nollakohtia, kun se kerta määritellään lausekkeen vapaaksi muuttujaksi? Nollakohtienhan pitäisi olla vakioita, esim. a, b ja c. En myöskään ymmärtänyt mistä nuo mystiset a ja b on johdettu? Toisaalta, kyllähän tuo noin intuitiivisesti näyttäisi toimivan, mutta en ainakaan näillä eväillä ymmärrä tuota täysin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Miten Eerolan silmäkuvat voivat levitä muutamassa tunnissa ympäri maailmaa?
Seuraako koko maailma persujen ja erityisesti Eerolan somea reaaliajassa? Edes kansanedustajan itsemurha eduskuntatalos4356336Suomen kansa haluaa Antti Lindtmanista pääministerin
Lindtman on miltei tuplasti suositumpi kuin etunimikaimansa Kaikkonen. Näin kertoo porvarimedian teettämä kysely. http1243652Vain 21% kannattaa Lindtmania pääministeriksi
se on selvästi vähemmän kuin puolueen kannatus, mites nyt noin?952439Miten löydän sinut
Ja saan sanottua kaiken mitä haluan sinulle kertoa? Ja kuinka kuuntelisit minua sen hetken? Kuinka voin ilmaista sen mit251899Moraaliköyhä S-ryhmä
S-ryhmä on kehystänyt Israel-boikottipäätöksen “ihmisoikeuslinjaukseksi”, mutta toteutus paljastaa sen onttouden: valiko1111271Yöllinen autolla kaahari Heinolan seudulla
Asukkaita häiriköivän nuoren herran autokaahaus keskustelu poistettu, onko jokin hyvävelijärjestelmä käytössä ?921234- 631055
- 621048
Vaikea tilanne
Hieman kolkuttaa omatuntoa, kun on osoittanut kiinnostusta väärää naista kohtaan. En ymmärrä miten toinen on voinut te76950- 41924