a) Osoita että ei ole sellaisia reaalilukuja α ja β, että 1/(α β )=
1/α 1/β
b) Anna kaksi sellaista kompleksilukua α ja β, että 1/(α β) =
1/α 1/β
Apua tähän kiitos:)
1/α 1/β
b) Anna kaksi sellaista kompleksilukua α ja β, että 1/(α β) =
1/α 1/β
Apua tähän kiitos:)
Vastaukset 20
Vanhimmat
Lähde ratkaisemaan yhtälöä toisen suhteen. Varmaan päätyy toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja siinä tulee diskriminantti olemaan pakostakin negatiivinen. Aidosti kompleksisen ratkaisun saat sitten kun sijoitat vapaan muuttujan (sen toisen joka jäi ratkaisuun mukaan) paikalle minkä tahansa sallitun (nollasta eroavan) arvon. Jos ei siitä nyt sitten satu tulemaan vastalukuja muuttujien arvoiksi (sijoita reaalinen, niin ei ainakaan tule).
Yhtälö 1/(α β) = 1/α 1/β voidaan saattaa muotoon α² αβ β² = 0. Yritetään ratkaista tämä muuttujan α suhteen. Huomataan kuitenkin, että
D = β² - 4 * 1 * β² = -3β² < 0, kun β ≠ 0.
Jos yhtälöä lähdettäisiin vastaavasti ratkaisemaan muuttujan β suhteen, osoittautuisi, että myös tuolloin diskriminantti olisi aina negatiivinen.
Näin ollen yhtälöllä α² αβ β² = 0 ei ole yhtään reaalista ratkaisua.
Tuon yhtälön a^2 ba b^2 = 0 ratkaisut ovat a = (-b/2 ) * (1 - i sqrt(3)) ja
a = (-b/2) * ( 1 i sqrt(3))
Kun otetaan a:n arvoksi jompi kumpi noista niin yhtälö
1/a 1/b = 1 / (a b) toteutuu. Ratkaisuja ovat siis kaikki kompleksiluvut a ja b joissa siis a:lla on jompi kumpi noista arvoista. b voi olla mikä hyvänsä nollasta eroava kompleksiluku.
Ohman
Ei tuon a)-kohdan käsittelyssä tarvita toisen asteen yhtälön yleistä ratkaisukaavaa. Neliöksi täydentäminen riittää.
Yhtälöstä
1/(a b)=1/a 1/b
nähdään, että lukujen a, b ja a b on oltava nollasta eroavia.
Kertomalla yhtälö puolittain nollasta eroavalla luvulla ab(a b) saadaan
ab = b(a b) a(a b)
<=> ab = ab b^2 a^2 ab
<=> a^2 ab b^2 = 0
<=> (a^2 2a(b/2) (b/2)^2) (b^2-(b/2)^2) = 0
<=> (a b/2)^2 3(b/2)^2 = 0
<=> a=b=0.
Tämä on ristiriita, joten reaalisia ratkaisuja ei ole.
Lukijaa kehotan miettimään, missä kohdassa käsittely eroaa kompleksiluvuista.
Enpä nyt oikein näe kommenttisi tarpeellisuutta.
1. Ei kai tuo toisen asteen yhtälön ratkaisukaava nyt niin monimutkainen ole! Nuo sinun laskelmasi vaikuttavat sitäpaitsi vähintään yhtä konstikkailta.
2.2-osan kompleksiratkaisujen löytämiseksi tuo toisen asteen yhtälö on kuitenkin ratkaistava. Miksi siis ei saman tien ratkaista sitä jo heti tehtävän 1-osassa ja päätellä siitä 1-osan ratkaisua.
Mutta taaplatkoon nyt kukin tyylillään!
Ohman
Voisiko Siiri91 alias Ohman kuitenkin kertoa, missä kohdassa tuo Sinisalon esittämä ratkaisu reaaliluvuille eroaa kompleksilukujen käsittelystä?
En ole Siiri91. Ja tehtävän ratkaisun olen jo esittänyt. Miettikööt muut Sinisalon juttuja.
Ohman
Minä olen nyt miettinyt Sinisalon juttuja.
Jos tätä yhtälöä käsittellään ensin reaaliluku pohjalta, niin kuin käsketäänkin ja sitten kompleksisena, niin eroa on kuin yöllä ja päivällä.
Sinisalo ensin toteaa, että reaalisena syntyy toisen asteen yhtälö, jolle ei ratkaisua reaalilukujen joukosta löydy.
Ratkaisu on siis puhtaasti imaginäärinen, eli alfa ja beta ovat toistensa liittolukuja.
Ja ne liittoluvut löytyvät seuraavasti, (eikä siinä todellakaan käytetä ratkaisukaavoja, eikä edes neliöksi täydentämistä.)
http://aijaa.com/oIBEdM
No, eipä näytä kukaan oivaltaneen, missä ero reaalilukujen ja kompleksilukujen välille esittämässäni ratkaisussa tulee, joten tämä kerrottakoon. Ero tulee ratkaisun viimeisessä vaiheessa. Jos kahden ei-negatiivisen reaaliluvun summa on nolla, niin molemmat yhteenlaskettavat luvut ovat nollia. Ja reaalilukujen neliöt ovat ei-negatiivisia.
Kompleksilukujen tapauksen käsittely menee pitkälti samalla tavalla kuin reaalilukutapauksen käsittely. Ero tulee siis tuossa loppuvaiheessa.
Käyttämällä neliöksi täydentämistä yksinkertaisen termien lisäys-/vähennyskikan avulla olemme päässeet tarkastelemaan muotoa x^2 y^2=0 olevaa yhtälöä. Nyt otamme käyttöön samankaltaisen yksinkertaisen, mutta tehokkaan menetelmän, termin kertomisen ykkösellä. Tässä operaatiossa, kuten myös lisäys-/vähennyskikassa lausekkeen yhtäsuuruus säilyy. Toimimme siis tällä tavalla:
x^2 y^2 = 0
<=> x^2 1*y^2 = 0
<=> x^2 (-i^2)*y^2=0
<=> x^2-(iy)^2 = 0
<=> (x-iy)(x iy) = 0
<=> x = iy tai x = -iy.
Lausekkeen muokkaaminen ykkösellä kertomalla, saman termin lisäys-/vähennyskikka tai vaikkapa lausekkeen kertominen ja jakaminen lukujärjestelmän kantaluvulla , usein binäärilukujärjestelmän kantaluvulla 2 (x=2*(x/2), ja ykkösen lisääminen ja vähentäminen (x=(x 1)-1) ovat usein yllättävän tehokkaita laskutoimituksia. Niitä voidaan hyödyntää mm. tehokkaiden matemaattisten algoritmien suunnittelussa. Jostain syystä näiden periaatteessa äärimmäisen yksinkertaisten operaatioiden käyttöä ei kouluissa juurikaan opeteta. Matemaattisten algoritmien periaatteiden oppimisen ja ymmärtämisen kannalta koulumatematiikka yksipuolisuudessaan ja -suuntaisuudessaan on harhaanjohtavaa.
Kyllä niitä limes-jutskissa ainakin käytetään, mutta varmaan menee aika äkkiä ohi silmien...
Osamurtohajotelmissa integraalilaskennassa myös, mutta eipä kai niitä enää nykyään kukaan viitsi opetella, kun koneelta näkee kaikki integraalit suoraan,(intergraali-tableista ennen.)
Taikka mistä minä tiedän mitä käytetään, kun lukioni kävin 70-luvun puolivälissä.
Kyllä ainakin "näytät oivaltaneen" miten yksinkertaisesti ratkaistusta tehtävästä (esim. Ohman / 24.2. klo 14.16 antoi nuo kompleksiluvut jotka toteuttavat kysyjän yhtälön) väännettyä pitkää juttua joka tuskin alkuperäiselle kysyjälle paljon antaa.
Kun tätä yksinkertaista tehtävää nyt jaksetaan jauhaa niin tässä vielä kommentti.
Missä siinä "käsketään" käsittelemään ensin reaalilukupohjalta?Päin vastoin, viitataan selvästi kompleksilukukäsittelyyn(b-osa).
"Eroa kuin yöllä ja päivällä". Ei mitään eroa. Käsitellään vaan lukuja a ja b alun perinkin kompleksilukuina. Yhtälöstä johdetaan helposti tuo toisen asteen yhtälö
b^2 ba b^2 = 0
josta esim. a saadaan lausuttua b:n avulla ja tuloksena saadaan nuo kaksi juurta a1(b) = -b/2 (1 - i sqrt(3)) ja a2(b) = -b/2 (1 i sqrt(3)). Alkuperäisen yhtälön perusteella b ei voi olla nolla . Yhtälöllä on siis vain nuo kompleksijuuret a1 ja a2 (a-osa).Jos yhtälöön sijoitetetaa a:n tilalle a1(b) tai a2(b) ja b:n tilalle itse b niin tarkastusmielessä voi laskemalla todeta että yhtälö toteutuu:
1/a1 1/b = 1/(a1 b) ja 1/a2 1/b = 1 / (a2 b).
Jos haluaa ihan konkreettisen esimerkin niin antamalla b:lle vaikkapa arvo 2 ( =2 i*0) saadaan juuriksi a1 = -1 i sqrt(3) ja -1 - i sqrt(3) jotka kumpikin yhdessä arvon b =2 kanssa toteuttavat yhtälön.
Ohman
Tuli taas kirjoitusvirhe. Se toisen asteen yhtälö on tietenkin a^2 b a b^2 = 0.
Ohman
Lisätään vielä nimimerkille "aeija" että eivät nuo ratkaisut a ja b mitään "liittolukuja " ole. Eivät edes juuret a1 ja a2 ole liittolukuja sillä b voi olla kompleksiluku.Tosin ne luvun -b/2 kertoimet ovat toistensa kompleksikonjugaatteja: 1 i sqrt(3) ja 1 - i sqrt(3) mutta koska b voi olla kompleksiluku (siis nimenomaan ei-reaalinen) niin a1 a2 = - b joka on kompleksiluku vaikka sen pitäisi olla reaaliluku jos a1 ja a2 olisivat konjugaattilukuja.
Jos b:ksi valitaan reaaliluku kuten vaikkapa b = 2 niin a1 ja a2 ovat kyllä liittolukuja mutta eivät a1 ja b tai a2 ja b ole.
En siis oikein tiedä mitä yritit sanoa.
Ohman
En kommentoi tätä enää yhtään mitenkään muuten kuin että:
Koska tehtävässä ei pyydetä yhtälön ratkaisua vaan pelkästään kahta kompleksilukua Alfa ja Beta, jotka toteuttavat yhtälön, niin syytä on epäillä että tehtävä on tarkoitettu liittolukujen ominaisuuksien tutkimiseen.
Siksi hain ne kaksi yksityisratkaisua nimenomaan liittolukuina, sillä tuolla yhtälöllä kun on ratkaisut Alfa ja sen liittoluku, sekä Beta ja sen liittoluku, niin yhtenä ratkaisuna saattaa olla hyvinkin se, että Alfa on Betan liittoluku, sitä kannattaa ainakin koittaa. http://aijaa.com/RmkwEH
No koska b voi olla mikä hyvänsä nollasta eroava kompleksiluku niin voidaan se valitaan niinkin, että ratkaisuiksi saadaan liittoluvut. Otetaan reaaliluku x joka ei ole nolla ja valitaan luvuksi b esim. b = x(1- i sqrt(3)) ja siten a = -x/2 * (1 - i sqrt(3)*(1 - i sqrt(3)) = -x/2(1 - 2 sqrt(3) i - 3) = x (1 i sqrt(3)). Nyt a ja b ovat liittolukuja ja
1/(x (1 i sqrt(3)) 1/(x (1 - i sqrt(3)) = (1 - i sqrt(3) 1 i sqrt(3)) /( 4 x) =
1/(2x)
ja
1/(x(1 i sqrt(3)) x(1 - i sqrt(3))) = 1 / (2x)
eli nuo liittoluvut toteuttavat yhtälön. x voi olla mikä tahansa nollasta eroava reaaliluku.
Mutta yhtälöllä on siis yleisempiäkin ratkaisuja kuin nuo liittoluvut.
Ainakin minulle tuottaa joskus vaikeuksia lukea noita sinun "aijaa" - juttujasi, etten sanoisi "harakanvarpaita".
Ohman
Eikö tuo toisen asteen yhtälön ratkaisu opeteta jo alakoulussa? Mitenkä se nyt joillekin nimimerkeille on niin mahdottoman monimutkainen asia että sitä on vältettävä kaikin mahdollisin tempuin?
Maan tapa. Vältetään kaikkea ajattelua kaikin keinoin. Älä surra huoli. Eivät nuo itse asiassa osaa ratkaista edes ensimmäisen asteen yhtälöä, vältetään sitäkin nykyään kaikin keinoin. Viimeinen sammuttaa sitten valot.
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava opetetaan vasta lukiossa.
Tuli mieleeni eräs hauska tapa ratkaista tätä siinä erikoistapauksessa että oletetaan joidenkin ratkaisujen olevan toistensa liittolukuja. Olkoon luvun z = x i y liittoluku z' = x - iy.
1/z 1/z' = 1/(z z')
2 Re(z) / l z l ^2 = 1/(2 re(z)) -> 4 Re(z)^2 = lzl^2 joten 4 x^2 = x^2 y^2 ja siis
y = /- sqrt(3) x.
z = x(1 /- i sqrt(3)) ja mikä hyvänsä reaalinen nollasta eroava x kelpaa.
Tarkastus:
1/(x(1 /- i sqrt(3))) 1/(x (1 -/ i sqrt(3))) = (1 -/ i sqrt(3) 1 /- i sqrt(3)) / (4x) = 1/(2x)
1/(x(1 /- isqrt(3) 1 -/ i sqrt(3))) = 1/(2x)
Yleisemmän ratkaisunhan annoin jo aiemmin. Tämä nyt vain hupina.
Ohman