Jääpallo (x^2) (y^2) (z^2) 10x 14y 4z 69=0 kelluu vedessä. Määritä sen tason vektoriyhtälö, jonka määrittelee pallon kuivan ja märän osan rajalla oleva ympyräviiva, kun pallon massasta 90% on pinnan alapuolella.
Todella haastava tehtävä ratkaistavaksi!
haastajaasialla
18147
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 18
Vanhimmat
Näätähän nyt ensin että jääpallo voipi kellua veessä siten että tismalleen 90 rosenttia sen massasta on veenpinnan alapuolella. Katotahan sitten asiaa.
Yhtälöstä nähdään, että pallokuoren paksuus on nolla ja pallo on ontto. Miten pallolla voisi olla nollasta poikkeava massa? Mikä tahansa taso jakaa nollamassaisen pallon nollamassaisiin osiin, nollaan tai useampaan.
Mitähän tähän oikein pitäisi vastata. Vektori sen kysytyn tason keskipisteeseen on
-5i-7j-0.1748k. Se alue jota jota se ympyräviiva rajoittaa on 2.3809 säteisen ympyrän sisäpuoli. Vektori jääpallon keskipisteeseen on -5i-7j-2k, jääpallon säde on 3.
Noin se juuri esim.työstökeskuksessa tehdään, eli ilmoitetaan periaatteessa paikkavektori sen alueen keskipisteeseen, ja sitten siinä otetaan käyttöön napakoordinaatisto, jossa on akselit: r ja kulma.
Kai tämä sitten olisi: r= -5i-7j-0.1748k R φ , 0 ≤ │R│ ≤ 2.3809, (R,φ vektoreita).
Noihin napakoordinaatiston vektoreihin pitäisi kai sitten liittää yksikkövektorinsa.
(Tasohan on tietysti vatupassissa, työstökoneissa sitäkin voidaan kääntää, mutta ei tässä.)
1. Konstalla hauska huomio. Olipa jääkokkareen muoto mikä tahansa niin jos jään tiheys on d ja veden 1 ja jos massasta d * V osa k* d* V on pinnan alla niin Arkhimedeen lain mukaan
1 * k* V = d*V joten k = d. Jos jään tiheys on 0,9 niin k = 0,9.
2. Pallon pinnan yhtälö on (x 5)^2 (y 7)^2 (x 2)^2 = 3^2. Keskipiste on piste
(-5,-7,-2) ja säde 3.
Pallon "etelänavalta"ylöspäin laskien korkeudella h oleva taso leikkaa pallon siten, että alaosan tilavuus on ((2 pi R^3) / 3) *( h/R). Tässä R = 3 ja tuon tilavuuden tulee olla 0,9 kertaa pallon tilavuus joten h = 1,8 * 3 = 5,4. Koska pallon keskipisteen z-koordinaatti on -2 on tuon leikkaavan tason z-koordinaatti -5 5,4 = 0,4.
Kysytyn tason vektoriesitys siinä i,j,k-koordinaatistossa missä pallo on esitetty on
R(u,v) = u i v j 0,4 k.
Ohman
Taas tuli kirjoitusvirhe. Pallon pinnan yhtälössä sen viimeisen neliön tulee olla tietysti (z 2)^2 eikä (x 2)^2.
Ohman
Väärin meni. Tuo tilavuusjuttu ei toimi. Pallo on ontto, jonka näkee alkuperäisestä yhtälöstä.
No jos sillä on pelkkä pinta niin sen massahan on nolla joten ei se uppoa ollenkaan.
Ohman
Mahtaako olla alaosan tilavuus ((2 pi R^3) / 3) *( h/R) ?
Pallosegmentin tilavuuden kaava ainakin on V=pi*h^2*(R-h/3)
Sinun kaavastasi tulee V = 0 kun h = R vaikka puolipallon tilavuus on 2/3 pi R^3.
Mitä tuo sinun h tarkoittanee? Minulla h oli korkeus pallon etelänavalta siihen leikkaavaan tasoon. Minulla V(0) = 0, V(R) = 2 /3 pi R^3 ja V(2R) = 4/3 pi R^3.
Mutta voinhan tuon johtaakin.Käytetään napakoordinaatteja (pallon keskipiste on nyt origossa):
x = r cos(u) cos(v) y = r sin(u) cos(v) z = r sin(v)
Jacobin determinantti on J(x,y,z / r,u,v) = r^2 cos(v)
Tilavuus korkeudella jossa v = a on Int(-pi/2 <= v <= a)dv Int(0 <= r<= R) dr Int(0 <= u <= 2 pi) r^2 cos(v) du = 2 pi R^3 /3 Int(-pi/2 <= v <= a) cos(v) dv =
2 pi R^3 /3 (sin(a) 1). Nyt h(a) = R R sin(a) = R( 1 sin(a)) joten lopulta
V(h) = 2 pi R^3 / 3 * h/R.
V(0) = 0, V(R) on puolet pallon tilavuudesta ja V(2R) = pallon koko tilavuus.
Mietihän mitä tuo sinun kaavasi tarkoitti. Ei tainnut olla sama h kuin minulla?
Ohman
Tässä on tuo minun kaavani :
http://aijaa.com/uZ02ze
Tuo sinun kaavasi näyttäisi ainakin lopputuloksen perusteella olevan pallosektorin, jonka kalotin korkeus h, tilavuus
Olisit nyt vaivautunut katsomaan miten sen johdin kun kerran sen esitin. Jos olet sitä mieltä, että olen väärässä, sinun pitäisi kertoa missä minulla on virhe eikä vain esittää kilpailevia ehdotuksia.Niin matematiikassa menetellään.
Näethän, että minun tilavuuteni alkaa nollasta ja kasvaa h:n kasvaessa, on puoli tilavuutta kun h = R ja koko pallon tilavuus kun h = 2R. Ja näytin, miten integroinnilla tähän tulokseen tullaan.
Eikös tässä pitänyt laskea milloin 90 % pallosta on veden alla. Veden pinta on sillä korkeudella missä tuo tapahtuu. Koska pallon etelänapa on 5 yksikköä x,y-tason alapuolella ja veden korkeus on 5,4 yksikköä tämän etelänavan yläpuolella on veden taso 0,4 yksikköä x,y-tason yläpuolella eli z = 0,4.
Ohman
Yritin vielä katsoa mutta en nyt ainakaan näy keksivän mistä tuo ero kaavojemme välille tulee. Lopetan tältä päivältä.
Ohman
En päässyt selvyyteen noista kulmista, niinpä laskin sen itsekin pallokoordinaateilla, ja se lasku on tuolla linkin kommentissa. Siinä minun pallokoordinaatistolaskussa tulee selkeesti liikaa tilavuutta se ympyräkartion tilavuus, ja sen kun vähentää niin pääsee tuohon minun kaavaani, joka on helposti johdettavissa pyörähdyskappaleen tilavuuslaskulla.
Sullahan tulee, että veden yläpuolella olevan pallosegmentin korkeus on 0,6. Semmoisen pallosegmentin tilavuus on pii*0,6^2*(3-0,2)= noin pi.
Se on noin 2,8 % pallon tilavuudesta.
Jos veden yläpuolella olevan segmentin korkeus on 1.1748, niin sen tilavuus on
pii*1,1748^2(3-0.3916)= noin 11,309.
Koska koko pallon tilavuus kun on 4/3*pi*27= noin 113,09, niin tuolla h mitalla yläosa on 10% koko pallon tilavuudesta.
h on siis 1,1748, se on 3-1,1748 keskipisteen yläpuolella eli 1,8252 keskipisteen yläpuolella. Origo kun taas oli 2 keskipisteen yläpuolella, niin
z= veden taso = -0,1748
Eiköhän tämä ollut tässä, ainakin minun osaltani.
Jaa, niin se sun virheesi on siinä, että pallokoordinaateilla laskettaessa tulee pallosektorin tilavuus, eli siitä on vähennettävä keskusympyräkartio, jotta päästään pallosegmenttiin. Sen kyllä jo esitinkin.
Tossa se linkin kommentti
http://aijaa.com/Nls1U3
Sulta itse asiassa puuttuu sen ympyräkartion tilavuus:
http://aijaa.com/PEVJ7U
Yritin laskea sen veden alle jäävän osan tilavuutta suoraan mutta tein siinä virheen. Veden yläpuolelle jäävän pallon osan tilavuus on
Int(z(0) <= z <= R) (pi (R^2 - z^2) dz = pi Sij(z(0),R) (R^2 * z - z^3/3)=
pi(R^2 (R - z(0)) - R^3/3 z(0)^3 /3. Sijoitetaan tähän h = R - z(0) niin saadaan juuri tuo esittämäsi kaava V(h) = pi h^2 (R - h/3). Nyt pitää olla
V(h) /(4/3 * pi * R^3) = 0.1 joka, kun R = 3, johtaa kolmannen asteen yhtälöön
10 h^3 -90 h^2 108 = 0. Tämän kysymykseen tuleva juuri on h = 1.1748 (WA:n mukaan) ja tilavuus V(1.1748) = 11.3097. V(pallo) = 113.0973 ja tuo V(1.1748) / V(pallo) = 0.0999...
3 - 1.1748 = 1.8252 ja koska pallon keskipisteen z-arvo on -2, on vedenpinnan z-koordinaatti tuo jo mainitsemasi - 0.1748.
Taso on siis R(u,v) = u i v j - 0.1748 k.
Oikein olit laskenut. Minä ensin sekoilin sen integraalin kanssa.
Ohman
Voidaan tietyti laskea suoraankin niin että korkeus h otetaan pallon etelänavasta ylöspäin.
Tällöin yhtälöstä V(h) /V(pallo) = 0 .9 seuraa 3. asteen yhtälö
5 h^3 - 45 h^2 486 = 0
jonka tähän sopiva ratkaisu WA:n mukaan on h = 4.8252.
Tämän h:n määräämä taso on siis 1.8252 pallon keskipisteen yläpuolella eli z = -2.0 1.8252 = - 0.1748
Ohman