Todella haastava tehtävä ratkaistavaksi!

haastajaasialla

Jääpallo (x^2) (y^2) (z^2) 10x 14y 4z 69=0 kelluu vedessä. Määritä sen tason vektoriyhtälö, jonka määrittelee pallon kuivan ja märän osan rajalla oleva ympyräviiva, kun pallon massasta 90% on pinnan alapuolella.

18

196

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • KonstaPylkkönen

      Näätähän nyt ensin että jääpallo voipi kellua veessä siten että tismalleen 90 rosenttia sen massasta on veenpinnan alapuolella. Katotahan sitten asiaa.

    • aikapahanpistit

      Yhtälöstä nähdään, että pallokuoren paksuus on nolla ja pallo on ontto. Miten pallolla voisi olla nollasta poikkeava massa? Mikä tahansa taso jakaa nollamassaisen pallon nollamassaisiin osiin, nollaan tai useampaan.

    • jääpallomaila

      Mitähän tähän oikein pitäisi vastata. Vektori sen kysytyn tason keskipisteeseen on
      -5i-7j-0.1748k. Se alue jota jota se ympyräviiva rajoittaa on 2.3809 säteisen ympyrän sisäpuoli. Vektori jääpallon keskipisteeseen on -5i-7j-2k, jääpallon säde on 3.

      • aeija

        Noin se juuri esim.työstökeskuksessa tehdään, eli ilmoitetaan periaatteessa paikkavektori sen alueen keskipisteeseen, ja sitten siinä otetaan käyttöön napakoordinaatisto, jossa on akselit: r ja kulma.
        Kai tämä sitten olisi: r= -5i-7j-0.1748k R φ , 0 ≤ │R│ ≤ 2.3809, (R,φ vektoreita).
        Noihin napakoordinaatiston vektoreihin pitäisi kai sitten liittää yksikkövektorinsa.
        (Tasohan on tietysti vatupassissa, työstökoneissa sitäkin voidaan kääntää, mutta ei tässä.)


    • Ohman

      1. Konstalla hauska huomio. Olipa jääkokkareen muoto mikä tahansa niin jos jään tiheys on d ja veden 1 ja jos massasta d * V osa k* d* V on pinnan alla niin Arkhimedeen lain mukaan

      1 * k* V = d*V joten k = d. Jos jään tiheys on 0,9 niin k = 0,9.

      2. Pallon pinnan yhtälö on (x 5)^2 (y 7)^2 (x 2)^2 = 3^2. Keskipiste on piste
      (-5,-7,-2) ja säde 3.

      Pallon "etelänavalta"ylöspäin laskien korkeudella h oleva taso leikkaa pallon siten, että alaosan tilavuus on ((2 pi R^3) / 3) *( h/R). Tässä R = 3 ja tuon tilavuuden tulee olla 0,9 kertaa pallon tilavuus joten h = 1,8 * 3 = 5,4. Koska pallon keskipisteen z-koordinaatti on -2 on tuon leikkaavan tason z-koordinaatti -5 5,4 = 0,4.

      Kysytyn tason vektoriesitys siinä i,j,k-koordinaatistossa missä pallo on esitetty on

      R(u,v) = u i v j 0,4 k.

      Ohman

      • Ohman

        Taas tuli kirjoitusvirhe. Pallon pinnan yhtälössä sen viimeisen neliön tulee olla tietysti (z 2)^2 eikä (x 2)^2.

        Ohman


      • argheinäin

        Väärin meni. Tuo tilavuusjuttu ei toimi. Pallo on ontto, jonka näkee alkuperäisestä yhtälöstä.


      • Ohman

        No jos sillä on pelkkä pinta niin sen massahan on nolla joten ei se uppoa ollenkaan.

        Ohman


      • aeija

        Mahtaako olla alaosan tilavuus ((2 pi R^3) / 3) *( h/R) ?
        Pallosegmentin tilavuuden kaava ainakin on V=pi*h^2*(R-h/3)


      • Ohman

        Sinun kaavastasi tulee V = 0 kun h = R vaikka puolipallon tilavuus on 2/3 pi R^3.
        Mitä tuo sinun h tarkoittanee? Minulla h oli korkeus pallon etelänavalta siihen leikkaavaan tasoon. Minulla V(0) = 0, V(R) = 2 /3 pi R^3 ja V(2R) = 4/3 pi R^3.

        Mutta voinhan tuon johtaakin.Käytetään napakoordinaatteja (pallon keskipiste on nyt origossa):

        x = r cos(u) cos(v) y = r sin(u) cos(v) z = r sin(v)

        Jacobin determinantti on J(x,y,z / r,u,v) = r^2 cos(v)

        Tilavuus korkeudella jossa v = a on Int(-pi/2 <= v <= a)dv Int(0 <= r<= R) dr Int(0 <= u <= 2 pi) r^2 cos(v) du = 2 pi R^3 /3 Int(-pi/2 <= v <= a) cos(v) dv =
        2 pi R^3 /3 (sin(a) 1). Nyt h(a) = R R sin(a) = R( 1 sin(a)) joten lopulta
        V(h) = 2 pi R^3 / 3 * h/R.
        V(0) = 0, V(R) on puolet pallon tilavuudesta ja V(2R) = pallon koko tilavuus.

        Mietihän mitä tuo sinun kaavasi tarkoitti. Ei tainnut olla sama h kuin minulla?

        Ohman


    • aeija

      Tässä on tuo minun kaavani :
      http://aijaa.com/uZ02ze
      Tuo sinun kaavasi näyttäisi ainakin lopputuloksen perusteella olevan pallosektorin, jonka kalotin korkeus h, tilavuus

    • Ohman

      Olisit nyt vaivautunut katsomaan miten sen johdin kun kerran sen esitin. Jos olet sitä mieltä, että olen väärässä, sinun pitäisi kertoa missä minulla on virhe eikä vain esittää kilpailevia ehdotuksia.Niin matematiikassa menetellään.

      Näethän, että minun tilavuuteni alkaa nollasta ja kasvaa h:n kasvaessa, on puoli tilavuutta kun h = R ja koko pallon tilavuus kun h = 2R. Ja näytin, miten integroinnilla tähän tulokseen tullaan.

      Eikös tässä pitänyt laskea milloin 90 % pallosta on veden alla. Veden pinta on sillä korkeudella missä tuo tapahtuu. Koska pallon etelänapa on 5 yksikköä x,y-tason alapuolella ja veden korkeus on 5,4 yksikköä tämän etelänavan yläpuolella on veden taso 0,4 yksikköä x,y-tason yläpuolella eli z = 0,4.

      Ohman

      • Ohman

        Yritin vielä katsoa mutta en nyt ainakaan näy keksivän mistä tuo ero kaavojemme välille tulee. Lopetan tältä päivältä.

        Ohman


      • aeija

        En päässyt selvyyteen noista kulmista, niinpä laskin sen itsekin pallokoordinaateilla, ja se lasku on tuolla linkin kommentissa. Siinä minun pallokoordinaatistolaskussa tulee selkeesti liikaa tilavuutta se ympyräkartion tilavuus, ja sen kun vähentää niin pääsee tuohon minun kaavaani, joka on helposti johdettavissa pyörähdyskappaleen tilavuuslaskulla.
        Sullahan tulee, että veden yläpuolella olevan pallosegmentin korkeus on 0,6. Semmoisen pallosegmentin tilavuus on pii*0,6^2*(3-0,2)= noin pi.
        Se on noin 2,8 % pallon tilavuudesta.

        Jos veden yläpuolella olevan segmentin korkeus on 1.1748, niin sen tilavuus on
        pii*1,1748^2(3-0.3916)= noin 11,309.
        Koska koko pallon tilavuus kun on 4/3*pi*27= noin 113,09, niin tuolla h mitalla yläosa on 10% koko pallon tilavuudesta.

        h on siis 1,1748, se on 3-1,1748 keskipisteen yläpuolella eli 1,8252 keskipisteen yläpuolella. Origo kun taas oli 2 keskipisteen yläpuolella, niin
        z= veden taso = -0,1748
        Eiköhän tämä ollut tässä, ainakin minun osaltani.

        Jaa, niin se sun virheesi on siinä, että pallokoordinaateilla laskettaessa tulee pallosektorin tilavuus, eli siitä on vähennettävä keskusympyräkartio, jotta päästään pallosegmenttiin. Sen kyllä jo esitinkin.


      • aeija
        aeija kirjoitti:

        En päässyt selvyyteen noista kulmista, niinpä laskin sen itsekin pallokoordinaateilla, ja se lasku on tuolla linkin kommentissa. Siinä minun pallokoordinaatistolaskussa tulee selkeesti liikaa tilavuutta se ympyräkartion tilavuus, ja sen kun vähentää niin pääsee tuohon minun kaavaani, joka on helposti johdettavissa pyörähdyskappaleen tilavuuslaskulla.
        Sullahan tulee, että veden yläpuolella olevan pallosegmentin korkeus on 0,6. Semmoisen pallosegmentin tilavuus on pii*0,6^2*(3-0,2)= noin pi.
        Se on noin 2,8 % pallon tilavuudesta.

        Jos veden yläpuolella olevan segmentin korkeus on 1.1748, niin sen tilavuus on
        pii*1,1748^2(3-0.3916)= noin 11,309.
        Koska koko pallon tilavuus kun on 4/3*pi*27= noin 113,09, niin tuolla h mitalla yläosa on 10% koko pallon tilavuudesta.

        h on siis 1,1748, se on 3-1,1748 keskipisteen yläpuolella eli 1,8252 keskipisteen yläpuolella. Origo kun taas oli 2 keskipisteen yläpuolella, niin
        z= veden taso = -0,1748
        Eiköhän tämä ollut tässä, ainakin minun osaltani.

        Jaa, niin se sun virheesi on siinä, että pallokoordinaateilla laskettaessa tulee pallosektorin tilavuus, eli siitä on vähennettävä keskusympyräkartio, jotta päästään pallosegmenttiin. Sen kyllä jo esitinkin.

        Tossa se linkin kommentti
        http://aijaa.com/Nls1U3


      • aeija
        Ohman kirjoitti:

        Yritin vielä katsoa mutta en nyt ainakaan näy keksivän mistä tuo ero kaavojemme välille tulee. Lopetan tältä päivältä.

        Ohman

        Sulta itse asiassa puuttuu sen ympyräkartion tilavuus:
        http://aijaa.com/PEVJ7U


      • Ohman

        Yritin laskea sen veden alle jäävän osan tilavuutta suoraan mutta tein siinä virheen. Veden yläpuolelle jäävän pallon osan tilavuus on

        Int(z(0) <= z <= R) (pi (R^2 - z^2) dz = pi Sij(z(0),R) (R^2 * z - z^3/3)=

        pi(R^2 (R - z(0)) - R^3/3 z(0)^3 /3. Sijoitetaan tähän h = R - z(0) niin saadaan juuri tuo esittämäsi kaava V(h) = pi h^2 (R - h/3). Nyt pitää olla

        V(h) /(4/3 * pi * R^3) = 0.1 joka, kun R = 3, johtaa kolmannen asteen yhtälöön

        10 h^3 -90 h^2 108 = 0. Tämän kysymykseen tuleva juuri on h = 1.1748 (WA:n mukaan) ja tilavuus V(1.1748) = 11.3097. V(pallo) = 113.0973 ja tuo V(1.1748) / V(pallo) = 0.0999...

        3 - 1.1748 = 1.8252 ja koska pallon keskipisteen z-arvo on -2, on vedenpinnan z-koordinaatti tuo jo mainitsemasi - 0.1748.

        Taso on siis R(u,v) = u i v j - 0.1748 k.

        Oikein olit laskenut. Minä ensin sekoilin sen integraalin kanssa.

        Ohman


      • Ohman

        Voidaan tietyti laskea suoraankin niin että korkeus h otetaan pallon etelänavasta ylöspäin.
        Tällöin yhtälöstä V(h) /V(pallo) = 0 .9 seuraa 3. asteen yhtälö

        5 h^3 - 45 h^2 486 = 0

        jonka tähän sopiva ratkaisu WA:n mukaan on h = 4.8252.
        Tämän h:n määräämä taso on siis 1.8252 pallon keskipisteen yläpuolella eli z = -2.0 1.8252 = - 0.1748

        Ohman


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hoitajalakko peruuntuu, tilalle joukkoirtisanoutumiset

      "Tehyn ja Superin hallitukset kokoontuivat tänään toteamaan, että tilanne edellyttää järeämpiä työtaistelutoimia." https://www.hs.fi/politiikka/art-2
      Maailman menoa
      739
      9297
    2. Johan tuli oikea aivopieru Britti Lordilta

      Emeritusprofessori Lordi Robert Skidelsky sanoi Suomen rikkovan YYA sopimusta joka on tehty Neuvostoliiton kanssaa 1948. Mitä pir
      Maailman menoa
      374
      8202
    3. Tehyn Rytkösellä tallessa tekstiviestit A-studiokohussa

      https://www.mtvuutiset.fi/artikkeli/a-studiosta-kohu-tehyn-rytkosen-mukaan-ministeri-linden-sai-paattaa-osallistujat-ohjelma-kiistaa-vaitteen/8407068
      Maailman menoa
      164
      6053
    4. William ja Sonja Aiello ERO

      Hyvä Sonja! Nyt etsit uudet kaverit ja jätät nuo huume- ja rahanpesu porukat haisemaan taaksesi!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      54
      2467
    5. Oho! Seurapiirikaunotar, ex-missi Sabina Särkkä yllättää tällä harvinaisella kyvyllä: "Mulla on..."

      Sabina Särkkä on nähty monissa tv-reality-sarjoissa. Mutta tiesitkö, että Särkällä on valokuvamuisti? https://www.suomi24.fi/viihde/oho-seurapiirikaun
      Kotimaiset julkkisjuorut
      6
      2167
    6. Se siitä sitten

      Kirjoitan tänne kun en sulle voi. En vaivaa sua enää koskaan. En ikinä tarkoittanut olla ahdistava tai takertuva. Tunteet heräsi enkä osannut olla tyy
      Ikävä
      82
      1799
    7. Ohhoh! Rita Niemi-Manninen otti ison tatuoinnin - Herätti somekansan: "Täydellinen paikka!"

      Rita Niemi-Mannisen suuri, uusi tatuointi on saanut somekansan heräämään talvihorroksesta. Niemi-Manninen otti tatskan rakkauslomalla Aki-miehensä kan
      Kotimaiset julkkisjuorut
      20
      1744
    8. Harvoin julkisuudessa nähty Jari Sillanpää, 56, julkaisi uusia kuvia - Karisti Suomen pölyt jaloista

      Huumekohun jälkeen matalaa profiilia pitänyt Jari "Siltsu" Sillanpää on ollut vaitonainen elämästään. Tänä keväänä miehen some on ollut hiljainen. Nyt
      Kotimaiset julkkisjuorut
      9
      1619
    9. Ihastumisesta kertominen

      Olen päättänyt kertoa tunteistani ihastukseni kohteelle. Erityisen vaikeaksi tilanteeni tekee se, että kyseessä on ns. kielletty rakkaus. Olen jo toi
      Ihastuminen
      92
      1525
    10. Taas Venäjän tiedoittaja akka Varoitti Suomea ja Ruotsia liittymästä Natoon

      Juuri sopivasti julkaistu varoitus, kun Suomen eduskunta alkaa klo 13:50 käsitellä asiaa suorassa TV 1:n lähetyksessä. ILtasanomat.
      Maailman menoa
      441
      1422
    Aihe