Tasakylkinen kolmio ja lyhin yhteenlaskettu matka

Jos tiedät, että joku tuossa mättää, niin kerro meillekin, että mikä.

Merkkaa sitä kannan puoleista osaa x. Pytagoran avulla saat lausuttua etäisyydet kahdesta kärjestä ja kolmas on sqrt(21)-x. Summaat nuo etäisyyksien lausekkeet ja derivoit, niin nollakohdasta löytyy minimin antava x.

Pitäisi olla "derivate 2*sqrt(4 x^2) sqrt(21)-x". Mutta vastaus on sama. Tuossa on huomattava että vastaus ei riipu lainkaan noiden ei-kantasivujen pituudesta, silloin kun niiden pituus on vähintään 4/sqrt3.

Onko tämä ketju kilpailu siitä kuka esittää hölmöimmän kommentin..?

Näin se oli!

1. tapa:

Pannaan kolmio ABC x,y-koordinaatistoon siten, että A = (-2,0), B= (2,0) ja C = (sqrt(21), 0). (sqrt(21) = sqrt(5^2 - 2^2))

Kysytty korkeusjanalla oleva piste P olkoon (0,y).

Kulma , jonka kärkipiste on A olkoon a.Janan AP pituus = janan BP pituus = 2/ cos(a).Ja
y = 2 tan(a)
Pitää siis minimoida lauseke
f(a) = 4 /cos(a) sqrt(21) - 2 tan(a).
f'(a) = 4 sin(a)/cos^2(a) -2/cos^2(a) = ( 4 sin(a) - 2) /cos^2(a) = 0.
cos(a) =/ 0. sin(a) = 1/2. Kyseessä on minimi (tutki f':n etumerkkiä).

f(arcsin(1/2) ) = 4/sqrt(1 - 1/4) sqrt(21) - 2 * (1/2) / sqrt(1 - 1/4) = 8/sqrt(3) sqrt(21) - 2/sqrt(3) = 2 sqrt(3) sqrt(21).

y = 2 tan(a) = 2 * 1/2 / (sqrt(3) / 2) = 2/sqrt(3).Kysytty piste on (0,2/sqrt(3)).

2. tapa:

Minimoitava pituus f(y) = 2 sqrt((0 -2)^2 (y-0)^2) sqrt(21) - y =
2 sqrt(y^2 4) - y sqrt(21).

f'(y) = 2y/sqrt(y^2 4) - 1 = 0. 2y = sqrt(y^2 4), 4y^2 = y^2 4, 3y^2 = 4, y= 2/sqrt(3) . Tämä antaa minimin.Kysytty piste on (0,2/sqrt(3))

f(2/sqrt(3)) = 2 sqrt(4/3 4) - 2/sqrt(3) sqrt(21) = 6/sqrt(3) sqrt(21) = 2 sqrt(3) sqrt(21)

Ohman