Tasakylkisen kolmion sivut ovat 5 metriä ja kanta 4 metriä. Kolmion kannan vastaiselle korkeusjanalle piirretään piste. Mihin kohtaan piste on sijoitettava, että yhteenlaskettu matka kolmion kärjistä pisteeseen on mahdollisimman pieni?
Huvittaisi sanoa, että tiedän suurin piirtein mistä aloittaa, mutta en tiedä. Tai sen verran tiedän toki, että jos kolmion kärjet ovat A, B ja C, niin matkat A->kysytty piste B-> kysytty piste C-> kysytty piste on funktio, ja sen derivaatta jollain tietyllä välillä on 0, niin tätä kysytään mutta.. joku tuossa mättää?
Huvittaisi sanoa, että tiedän suurin piirtein mistä aloittaa, mutta en tiedä. Tai sen verran tiedän toki, että jos kolmion kärjet ovat A, B ja C, niin matkat A->kysytty piste B-> kysytty piste C-> kysytty piste on funktio, ja sen derivaatta jollain tietyllä välillä on 0, niin tätä kysytään mutta.. joku tuossa mättää?
Vastaukset 9
Vanhimmat
Jos tiedät, että joku tuossa mättää, niin kerro meillekin, että mikä.
Merkkaa sitä kannan puoleista osaa x. Pytagoran avulla saat lausuttua etäisyydet kahdesta kärjestä ja kolmas on sqrt(21)-x. Summaat nuo etäisyyksien lausekkeet ja derivoit, niin nollakohdasta löytyy minimin antava x.
Voisiko vastaus olla 2/sqrt(3) ?
Tarjosin wolframalphalle kaavaa "derivate 2*sqrt(4 x^2)-sqrt(21)-x"
Pitäisi olla "derivate 2*sqrt(4 x^2) sqrt(21)-x". Mutta vastaus on sama. Tuossa on huomattava että vastaus ei riipu lainkaan noiden ei-kantasivujen pituudesta, silloin kun niiden pituus on vähintään 4/sqrt3.
Hups, hyvä huomio. Yhteenhän ne etäisyydet pitää toki laskea.. outo että tuli siitä huolimatta sama vastaus :-)
Onko tämä ketju kilpailu siitä kuka esittää hölmöimmän kommentin..?
Sinä johdat...
Näin se oli!
1. tapa:
Pannaan kolmio ABC x,y-koordinaatistoon siten, että A = (-2,0), B= (2,0) ja C = (sqrt(21), 0). (sqrt(21) = sqrt(5^2 - 2^2))
Kysytty korkeusjanalla oleva piste P olkoon (0,y).
Kulma , jonka kärkipiste on A olkoon a.Janan AP pituus = janan BP pituus = 2/ cos(a).Ja
y = 2 tan(a)
Pitää siis minimoida lauseke
f(a) = 4 /cos(a) sqrt(21) - 2 tan(a).
f'(a) = 4 sin(a)/cos^2(a) -2/cos^2(a) = ( 4 sin(a) - 2) /cos^2(a) = 0.
cos(a) =/ 0. sin(a) = 1/2. Kyseessä on minimi (tutki f':n etumerkkiä).
f(arcsin(1/2) ) = 4/sqrt(1 - 1/4) sqrt(21) - 2 * (1/2) / sqrt(1 - 1/4) = 8/sqrt(3) sqrt(21) - 2/sqrt(3) = 2 sqrt(3) sqrt(21).
y = 2 tan(a) = 2 * 1/2 / (sqrt(3) / 2) = 2/sqrt(3).Kysytty piste on (0,2/sqrt(3)).
2. tapa:
Minimoitava pituus f(y) = 2 sqrt((0 -2)^2 (y-0)^2) sqrt(21) - y =
2 sqrt(y^2 4) - y sqrt(21).
f'(y) = 2y/sqrt(y^2 4) - 1 = 0. 2y = sqrt(y^2 4), 4y^2 = y^2 4, 3y^2 = 4, y= 2/sqrt(3) . Tämä antaa minimin.Kysytty piste on (0,2/sqrt(3))
f(2/sqrt(3)) = 2 sqrt(4/3 4) - 2/sqrt(3) sqrt(21) = 6/sqrt(3) sqrt(21) = 2 sqrt(3) sqrt(21)
Ohman