Katsokaa Numberphile:n video John Conwayn "Climb to a Prime" väittämästä ja sen todistamisesta vääräksi (James Davis).
https://www.youtube.com/watch?v=3IMAUm2WY70
Arvioikaa kuinka monta vastaava lukua löytyy ja löytyykö lukua 13532385396179 pienempää vastaavaa lukua? Eiköhän tälläkin hetkellä kymmenet kotikoneet raksuta ongelman parissa toinen toistaan älykkäämmillä ohjelmilla. Ei noita pienempiä sopivia kandidaatteja ole kovin monta miljardia.
(Eli jos luku jaetaan alkutekijöihinsä pienimmästä suurimpaam ja poistetaan kerto- ja potenssimerkit, saadaan tämä sama luku.)
Tuloksia tulee ajallaan matematiikan tietokantaan: https://oeis.org/A195264
Väittämä (5) on tuossa: https://oeis.org/A248380/a248380.pdf
13532385396179 = 13*53**2*3853*96179
En_Ole_James_Davis
32
299
Vastaukset
- En_Ole_James_Davis
Suoraan videon lopussa olevista viesteistä:
Etsitty luku n voidaan jakaa kahteen osaan:
n = x * p = f(x) * 10**y p
p on suurin alkuluku ja oletetaan sen olevan potenssiton. (Jos sen potenssi on 2, pitää muodostaa erilaiset kaavat.)
Funktio f(x) (ohjelmapätkä) purkaa x:n alkutekijöihin ja muodostaa niistä vaaditulla tavalla "numeromerkkijonon".
y = p:n numeroiden määrä.
x - 1 = (f(x) * 10**y)/ p
p = (f(x) * 10**y) / (x - 1)
Merkitään m = f(x)/p
=> x = m * 10**y 1
Nyt tarvitsee vain kasvattaa lukua m ja kokeilla, toteutuvatko ylläolevat kaavat ja p on alkuluku ja f(n) = n. Helppoa ja nopeaa.
Muutamassa sekunnissa löytyy y:n arvolla 5 sopiva m = 1407. Siitä saadaan x = 140700001 ja p = 96179.
Ymmärtääkseni y:n arvoja 2, 3 ja 4 on toistaiseksi testattu vain tiettyyn m:n rajaan asti. Joten löydettyä lukua pienempi luku voidaan ehkä löytää tai sitten joku ilmoittaa, ettei löydy.
Alla lnkki Paul -nimerkin kirjoittaman selkeään Python ohjelmaan (kolmas viesti).
https://programmingpraxis.com/2017/06/13/climb-to-a-prime/#comments - 13532385396179
Ei löydy pienempää lukua, jos viimeinen (suurin) alkuluku (k) on toisessa potenssissa. Testaamiseen ei mennyt Python-ohjelmalla kuin muutama tunti (2...3 ytimellä). Helppo ja nopea testata. Pitää vain testata kahdella alkavia ja loppuvia lukuja 2...k2. Pisteiden paikalle laskuri 0...9, 0...99, jne. Luvun on oltava jaollinen k^2:lla. Ehdokkaat karsiutuvat tehokkaasti.
James Davisin luku saattaa jäädä ainoaksi laatuaan. Kaikki 64 bittiset luvut (n. 10^19) on jo varmasti testattu monin eri tavoin. Todennäköisyys löytymiselle pienenee rajusti lukujen kasvaessa.- LukujenMurskaaja
"Kaikki 64 bittiset luvut (n. 10^19) on jo varmasti testattu monin eri tavoin."
En usko tuota. Pitää odotella vielä muutamia kuukausia tuloksia. Eihän yli 90 % lukujen murskauksia harrastavista matemaatikoista ja ohjelmoijista ole vielä edes kuulleet ongelmasta. Pitää olla käytettävissä tuhansia ytimiä, jotta hommaa kannattaisi edes harkita.
Isojen lukujen jakaminen tekijöihin on aina hidas operaatio. Ja jos se suurin tekijä on vain kaksi- tai kolminumeroinen, testitapausten määrä on pahimmillan luokkaa 10^16.
- NopeaaKokeilua
Kannattaisiko ongelmaa lähestyä toista kautta eli ensin generoida jollakin tavalla valikoiduista (valmiiksi lasketuista ja taulukoista) alkuluvuista luvun alkuosa ja laskea sitten ihan vaan jakolaskulla halutun pituinen loppuosa?
Jos alkuun valitaan esim. 13*53**2*3853 = 140700001
Sitten 13532385350000/140700001=96179. Hiukan pyöristäen. Toimii tarkasti isoilla luvuilla. Riittää tarkistaa onko 96179 alkuluku ja kokeilla onnistuiko valinta.
Onko nopeampi ja tehokkaampi todella isoilla luvuilla? Jos kaikkia lukuja ei voi ikinä kokeilla, lienee parasta vaan kokeilla mahdollismman paljon. - Kuvioitakyllämutta
Toki voi löytyä luvuista monenlaisia kuvioita. Esim. jotkut neliöt ovat neliöiden summia, 9 16 =25. Tai toinen esimerkki, joidenkin neliöiden lopussa esiintyy 61. Eli sadalla jakamisen jakojäännös olisi 61.
19 ^2 =361
31 ^2 =961.
Mutta mielestäni näistä ei voi tehdä mitään yleispätevää sääntöä, vaan menee taiteen puolelle. - Tekijät
Fermatin menetelmä jakaa tekijöihin lukuja:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_factorization_method
http://yippy.com/search/?v:project=clusty-new&query=fermat factorization&xtoken=13662076055948fe6b3e9a1- Tekijät
Tuli linkkeihin jotain hässäkkää. Yippy-hakukoneella on näköjään aikaraja.
Opentext.com -hakukoneella onnistui löytää ymmärrettävää selitystä englanniksi.
Hakusanoilla pdf fermat factorization.
Fermatin menetelmä etsiä tekijöitä luvuille. Perustuu algebran kaavaan a^2 -b^2 =(a b) (a-b).
https://www.math.ksu.edu/math511/archive/notes/925.html
Ensin tutkittavasta luvusta t otettaisiin neliöjuuri. Pyöristettäisiin ylös kokonaisluvuksi, esimerkissä käytetty kirjainta n. Sitten kokeiltaisiin, antaako n^2 -t tulokseksi täsmälleen tasan jonkin neliöjuuren. Jos ei anna, kasvatetaan n suuremmaksi ja kokeillaan uudelleen. Esimerkkilinkissä on taulukoitu
Tutkittavana 426749
neliöjuuri(426749) = 653.26...
Aloitetaan arvosta n = 654, ja kullekin n arvolle lasketaan n^2 - 426749
n .. ......... (n2 - 426749)
654 .....967
655 .....2276
656 .....3587
657 .....4900
Löytyi neliö, joten tästä voidaan kaavalla laskea tekijöitä 426749 = (657 70)(657 - 70).
En ole tätä vielä ajatellut ja perehtynyt, että milloin tekijöitä kannattaa hakea pienien lukujen kautta, milloin neliöjuuren läheltä Fermatin menetelmällä. Vai molemmatko tavat yhtä hitaita. - Tekijät
Tekijät kirjoitti:
Tuli linkkeihin jotain hässäkkää. Yippy-hakukoneella on näköjään aikaraja.
Opentext.com -hakukoneella onnistui löytää ymmärrettävää selitystä englanniksi.
Hakusanoilla pdf fermat factorization.
Fermatin menetelmä etsiä tekijöitä luvuille. Perustuu algebran kaavaan a^2 -b^2 =(a b) (a-b).
https://www.math.ksu.edu/math511/archive/notes/925.html
Ensin tutkittavasta luvusta t otettaisiin neliöjuuri. Pyöristettäisiin ylös kokonaisluvuksi, esimerkissä käytetty kirjainta n. Sitten kokeiltaisiin, antaako n^2 -t tulokseksi täsmälleen tasan jonkin neliöjuuren. Jos ei anna, kasvatetaan n suuremmaksi ja kokeillaan uudelleen. Esimerkkilinkissä on taulukoitu
Tutkittavana 426749
neliöjuuri(426749) = 653.26...
Aloitetaan arvosta n = 654, ja kullekin n arvolle lasketaan n^2 - 426749
n .. ......... (n2 - 426749)
654 .....967
655 .....2276
656 .....3587
657 .....4900
Löytyi neliö, joten tästä voidaan kaavalla laskea tekijöitä 426749 = (657 70)(657 - 70).
En ole tätä vielä ajatellut ja perehtynyt, että milloin tekijöitä kannattaa hakea pienien lukujen kautta, milloin neliöjuuren läheltä Fermatin menetelmällä. Vai molemmatko tavat yhtä hitaita.Ja tässä vielä linkkiä Opentext-hakukoneeseen: http://fqs.opentext.com/web.htm
- Huutiukko
Tekijät kirjoitti:
Tuli linkkeihin jotain hässäkkää. Yippy-hakukoneella on näköjään aikaraja.
Opentext.com -hakukoneella onnistui löytää ymmärrettävää selitystä englanniksi.
Hakusanoilla pdf fermat factorization.
Fermatin menetelmä etsiä tekijöitä luvuille. Perustuu algebran kaavaan a^2 -b^2 =(a b) (a-b).
https://www.math.ksu.edu/math511/archive/notes/925.html
Ensin tutkittavasta luvusta t otettaisiin neliöjuuri. Pyöristettäisiin ylös kokonaisluvuksi, esimerkissä käytetty kirjainta n. Sitten kokeiltaisiin, antaako n^2 -t tulokseksi täsmälleen tasan jonkin neliöjuuren. Jos ei anna, kasvatetaan n suuremmaksi ja kokeillaan uudelleen. Esimerkkilinkissä on taulukoitu
Tutkittavana 426749
neliöjuuri(426749) = 653.26...
Aloitetaan arvosta n = 654, ja kullekin n arvolle lasketaan n^2 - 426749
n .. ......... (n2 - 426749)
654 .....967
655 .....2276
656 .....3587
657 .....4900
Löytyi neliö, joten tästä voidaan kaavalla laskea tekijöitä 426749 = (657 70)(657 - 70).
En ole tätä vielä ajatellut ja perehtynyt, että milloin tekijöitä kannattaa hakea pienien lukujen kautta, milloin neliöjuuren läheltä Fermatin menetelmällä. Vai molemmatko tavat yhtä hitaita.No koeta nyt perehtyä. Ihmiskunta odottaa malttamattomana tämän ongelman ratkaisua.Alienit ovat asettaneet ihmiskunnan säilymisen ehdoksi että löytyy tälle ongelmalle ratkaisija.
Mutta muista, että kun nokka irtoaa niin pyrstö tarttuu. - Arvellen
Huutiukko kirjoitti:
No koeta nyt perehtyä. Ihmiskunta odottaa malttamattomana tämän ongelman ratkaisua.Alienit ovat asettaneet ihmiskunnan säilymisen ehdoksi että löytyy tälle ongelmalle ratkaisija.
Mutta muista, että kun nokka irtoaa niin pyrstö tarttuu.Tietokoneen suorituskyvyn kannalta ei ole yhdentekevää, haetaanko luvulle tekijöitä tällä tai tuolla algoritmilla. Sikäli kuin niitä kovin monenlaisia onkaan. Kryptografian puolella tämä on juuri pullonkaulana, että miten nopeasti kryptaus voidaan murtaa esim. tekijöihin jakamisen kautta.
Luulisin, että perinteinen pienistä luvuista lähtien tekijöiden etsintä jakolaskulla on nopeampaa, kuin lähteä neliöjuurilla ja neliöillä haeskelemaan, Fermatin tavalla. - Huutishisch-hissishtszki
Arvellen kirjoitti:
Tietokoneen suorituskyvyn kannalta ei ole yhdentekevää, haetaanko luvulle tekijöitä tällä tai tuolla algoritmilla. Sikäli kuin niitä kovin monenlaisia onkaan. Kryptografian puolella tämä on juuri pullonkaulana, että miten nopeasti kryptaus voidaan murtaa esim. tekijöihin jakamisen kautta.
Luulisin, että perinteinen pienistä luvuista lähtien tekijöiden etsintä jakolaskulla on nopeampaa, kuin lähteä neliöjuurilla ja neliöillä haeskelemaan, Fermatin tavalla.Ei huutiukon vittuiluista kannata välittää, jos se vain oomannin vittuileva sivupersoona, joka vetää yötäpäivää hernekeittoa molempiin sieraimiinsa. Ja aivastelee pärskii sillinkatkua ympäriinsä sitten.
- En_Ole_James_Davis
Jos joku haluaa kotikoneellaan löytää löydetyä lukua pienemmän Conwayn Climb to a Prime -väittämän vääräksi todistaman luvun, niin kannattanee keskittyä löytämään kahden tai kolmen luvun muodostama päättymätön ketju.
Pitää vain aloittaa jostakin satunnaisesti valitusta noin dekadin tai parin (löydettyä lukua) pienemmästä luvusta ja käydä läpi esim. miljoona seuraava lukua. Tutkittavat luvut eivät kasva kovin suuriksi kolmen peräkkäisen muunnoksen aikana ja homma sujuu todella nopeasti. Tunnissa saa testattua usean miljoonn luvun alueen. Vaihtoehto lottoamiselle! - Conways_Conjecture
Alla lista 10000:sta alkulukuun päättyvistä ja toistaiseksi ratkeamattomista luvuista.
http://chesswanks.com/seq/a195264/
Klikatkaa esim. lukujen 20 tai 105 Unknown -linkkiä. Saatte hyvän käsityksen ongelmasta. Lukujen viimeinen tekijä kasvaa niin suureksi, että sen murskaaminen kestää viikkoja tai kuukausia. Listaa päivitetään jatkuvasti.
"Tiedemaailma" keskittyi nähtävästi lähes pelkästään noiden alkupään (alle miljardi) numeroiden selvittelyyn ja ja on uhrannut niihin tuhansia vuosia cpu-aikaa. James Davis selvitti lukunsa alle 3 sekunnin cpu-ajalla alle 20 rivisellä Python ohjelmalla. - En_Ole_James_Davis
Alla oleva Python 3 ohjelmapätkä yrittää löytää lukuja, jotka päättyisivät kahden tai kolmen luvun päättymättömään silmukkaan. Ohjelma testaa 10 miljoonaa (saa muutella vapaasti) parittottomasta luvusta alkavaa ketjua. Tulostetaan jotain mielenkiinnon vuoksi 10000 luvun välein. Paljon alle promille luvuista muuntuu parillisiksi (viimeinen tekijä parillisessa potenssissa), joten niihin ei vielä kannata uhrata aikaa kotikoneilla. Kannattanee keskittyä 12...14 numeroisiin lukuihin.
Toimiiko vastaava Julia-ohjelma nopeammin? Löytyykö nopeampia factorint tai isprime (is_prime) kirjastofunktioita tai voiko f(x) toteuttaa nopeammaksi? Muuttakaa ja mitatkaa 2...10 tulostukseen kuluva aika.
from sympy.ntheory import factorint
from sympy.ntheory.primetest import isprime
def f(x):
fac = factorint(x)
s = ''
for p in sorted(fac.keys()):
s = str(p) (str(fac[p]) if fac[p] > 1 else '')
return int(s)
x = 1156830000000 - 1 # Valitkaa joku muu alku (5...7 numeroa.)
for cc in range(0, 1000):
for m in range(0, 10000):
x = x 2
if isprime(x): continue
a = f(x)
if isprime(a): continue
b = f(a)
if isprime(b): continue
z = f(b)
if z==x or z==a or z==b: print("******* Found ******* ",x,a,b,z)
print(cc, x, a, b, z)
Testattavaa ketjua voi pidentää lisäämällä siihen c=f(b), d=f(c), ... ja lisäämällä vastaavat or-ehdot ja pidentämällä tulostuksia. Luvut kasvavat kuitenkin mielettömän suuriksi ja ohjelma hidastuu. (f-kirjainta ei voi käyttää, ellei muuta f(x):n nimeä. )- frimefac_functions
Frimefac kirjasto-ohjelmat toimivat Python 2:ssa (2.7) ainakin 40 % nopeammin kuin vastaavat sympy.ntheory kirjasto-ohjelmat Python 3:ssa (3.5). (Frimefac-kirjastoa ei ole vielä käännetty Python 3:lle sopivaksi.) Alla yhdellä pidennetty silmukka. Jos sisennykset eivät säily, niin vika on Suomi24:n editorissa.
import primefac
from primefac import factorint
from primefac import isprime
def f(x):
fac = factorint(x)
s = ''
for p in sorted(fac.keys()):
s = str(p) (str(fac[p]) if fac[p] > 1 else '')
return int(s)
x = 27540000000 - 1 #Keksikää tähän joku oma aloituskohta
for cc in range(0, 1000):
for m in range(0, 10000):
x = x 1
a = f(x)
if isprime(a): continue
b = f(a)
if isprime(b): continue
c = f(b)
if isprime(c): continue
z = f(c)
if z==x or z==a or z==b or z==c: print "******* Found ******* ",x,a,b,c,z
print cc, x, a, b, c, z
- Anonyymi
Kukaan ei nähtävästi ole löytänyt 13532385396179:n kaltaista toista lukua.
Ei pitäisi olla mahdotonta. Pystyykö joku arvioimaan todennäköisyyttä tälläisen toisen luvun löytymiselle?
Kaava on yksinkertainen:
n = x * p = f(x) * 10^y p
x = (f(x)/p)* 10^y 1
m = f(x)/p
x = m* 10^y 1
f(x)/m on oltava kokonaisluku ja oikean kokoinen alkuluku (p)
Alkulukujen pituuksia (y) on ääretön määrä ja niille kaikille on lähes ääretön määrä vaihtoehtoja. Vaikka p olisi yli 100 tai 1000 numeroinen, niin ei mitenkään estää ehdot täyttävän x:n löytymistä ihan "pienilläkin" (<10^20) m:n arvoilla.
Tehtävä on tietysti matemaattisesti typerä, joten kukaan ei saa käyttöönsä mitään tehokasta supertietokonetta jauhamaan sitä kuukausien ajan. Triljoonien isojen lukujen jako tekijöihin on vieläkin aivan liian työlästä.- Anonyymi
Todennäköisyyttä ei voi oikein arvioida, ellei pysty testaamaan valtavaa määrää tapauksia. Lukujen kasvaessa kaikki muuttuu vaikeammaksi ja harvinaisemmaksi, joten käytännössä ei saa mitään tilastoa aikaan. Conway varmasti ymmärsi kaiken.
f(x) pitäisi olla pienempi kuin x. Harvinaista isoilla luvuilla. Paljon alle prosentti.
f(x):n pitäisi olla jaollinen m:llä. Äärimmäisen harvinaista. Ja jos m on parillinen, tämä on vielä todella paljon harvinaisempaa. Ja jos m on jaollinen 5:llä, käytännössä täysin mahdotonta. (f(x):n suurimman tekijän potenssi pitäisi olla 5.)
Jos f(x) olisi jaollinen m:llä, niin jakotulos olisi erittäinn harvoin oikean kokoinen alkuluku. Alkuluvut harvenevat koon kasvaessa.
Kokeilkaa vaikka y:n arvolla 5. Helposti löytyy m:n arvo 21391, jolla f(x) on jaollinen. Tällä arvolla f(x) on kuitenkin aivan liian suuri. Sitten ei mitään vaikka testaisi 100 miljoonaa m:n arvoa. Sama juttu muilla y:n arvoilla paljon vaikeampana. Testasin 5 vuotta sitten miljardeja erilasia tapauksia eri y:n arvoilla. Oli täysin toivotonta päästä lähellekään. Muut ovat testanneet varmasti satoja kertoja enemmän.
- Anonyymi
No nyt on sen verran turbonörttikilpailu etten taida osallistua
- Anonyymi
Kannattaa ehdottomasti osallistua.
Voit lyödä vetoa siitä löytyykö vai eikö löydy vastaavaa lukua. Pienin panos on miljoona euroa. Panosta ei tarvitse maksaa etukäteen. Maksut kerätään vasta kun tulos selviää. Kaikkien on pakko osallistua. Mitä teet? - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kannattaa ehdottomasti osallistua.
Voit lyödä vetoa siitä löytyykö vai eikö löydy vastaavaa lukua. Pienin panos on miljoona euroa. Panosta ei tarvitse maksaa etukäteen. Maksut kerätään vasta kun tulos selviää. Kaikkien on pakko osallistua. Mitä teet?No sehän pomppas ihan parin lauseen välillä siitä että "kannattaa osallistua", siihen että "kaikkien on pakko osallistua".
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
No sehän pomppas ihan parin lauseen välillä siitä että "kannattaa osallistua", siihen että "kaikkien on pakko osallistua".
Jokainen matematiikasta jotain tietävä osallistuu heti. Itse löin vetoa miljardilla löytymisen puolesta.
Täysin riskitöntä. Voi voittaa useita senttejä. Ei voi missään tilanteessa edes treoriassa hävitä.
Mikä sinulle on epäselvää? - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jokainen matematiikasta jotain tietävä osallistuu heti. Itse löin vetoa miljardilla löytymisen puolesta.
Täysin riskitöntä. Voi voittaa useita senttejä. Ei voi missään tilanteessa edes treoriassa hävitä.
Mikä sinulle on epäselvää?Mut mitä jos ei osallistu?
Ihan sama. Laitan kaks euroo sen puolesta ettei ikinä tulla löytämään. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mut mitä jos ei osallistu?
Ihan sama. Laitan kaks euroo sen puolesta ettei ikinä tulla löytämään.Hävisit. Miljoonat matemaatikot jakavat keskenään sinun eurosi.
Miten tuon voi ikinä todistaa, ettei löydy? Mieti hetki. Voisi hyvin löytyä, vaikka p olisi kolminumeroinen.
Ääretön^2 on iso luku. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Hävisit. Miljoonat matemaatikot jakavat keskenään sinun eurosi.
Miten tuon voi ikinä todistaa, ettei löydy? Mieti hetki. Voisi hyvin löytyä, vaikka p olisi kolminumeroinen.
Ääretön^2 on iso luku.No entä jos laitan 3 euroo?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
No entä jos laitan 3 euroo?
Miljoona on pienin panos. Laita miljardi, niin jotkut matemaatikot saattaisivat saada kympin. Osa on pelannut triljoonilla, joten vaikea laskea miten voitot jakautuisivat. Kymmenissä vuosissa ehtii kertyä mielettömiä summia ja syntyä tuhansia uusia älykkäitä matemaatikkoja.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Miljoona on pienin panos. Laita miljardi, niin jotkut matemaatikot saattaisivat saada kympin. Osa on pelannut triljoonilla, joten vaikea laskea miten voitot jakautuisivat. Kymmenissä vuosissa ehtii kertyä mielettömiä summia ja syntyä tuhansia uusia älykkäitä matemaatikkoja.
Laitoin jo kolme euroo. Jos oisin miljardööri ni sitte voisin pistää miljoonan, mutta nyt ei oo ihan niin suurta rahaa maksaa siitä ilosta että ääretön määrä matemaatikkoja jakaa äärettömän suurilla panoksilla eurojani palasiin ja tappelee äärettömän kauan ketä saa suurimman määrän infinitesimaaleja.
- Anonyymi
Todennäköisyys sille, ettei löytyisi vastaavaa ratkaisua lähestyy nollaa vaikka miten laskisi.
- Anonyymi
Jos keskittyy vain p:n arvoon 6, niin lähestyykö tuolloinkin vastaava todennäköisyys nollaa? Pienenee kyllä, mutta aika hitaasti.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos keskittyy vain p:n arvoon 6, niin lähestyykö tuolloinkin vastaava todennäköisyys nollaa? Pienenee kyllä, mutta aika hitaasti.
Piti tietysti olla y:n arvoon 6. Siis kuusinumeroisiin p:n arvoihin.
- Anonyymi
Päinvastoin. Todennäköisyys lähestyyy ääretöntä. Taisit unohtaa kerto taulun
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Päinvastoin. Todennäköisyys lähestyyy ääretöntä. Taisit unohtaa kerto taulun
Ja sinä matematiikan ja suomen kielen.
Älä jatkuvasti jaa typeriä venäläisiä oppejasi täällä. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ja sinä matematiikan ja suomen kielen.
Älä jatkuvasti jaa typeriä venäläisiä oppejasi täällä.Tämmöstä se teettää kun ei osaa kerto taulua ja lähtee pätemään intter netissä! Kaikea hulua sitä tulee kirjoiteltua, jos tajuaisit niin häpeäisit!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1773631
Tekisi niin mieli laittaa sulle viestiä
En vaan ole varma ollaanko siihen vielä valmiita, vaikka halua löytyykin täältä suunnalta, ja ikävää, ja kaikkea muuta m851618Miksi ihmeessä?
Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek261347- 1581252
Pitääkö penkeillä hypätä Martina?
Eivätkö puistonpenkit ole istumista varten.Ei niitä kannata liata hyppäämällä koskaa likaantuvat eikä siellä kukaan niit1941023Erika Vikman diskattiin, tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek
Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek https://www.rumba.fi/uut161013- 351001
Kuinka kauan
Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?84951Maikkarin tentti: Orpo jälleen rauhallinen ja erittäin hyvä, myös Purra oli hyvä
Lindtman ja Kaikkonen oli kohtalaisia, sen sijaan punavihreät Koskela ja Virta olivat taas heikkoja. Ja vastustavat jalk98869- 62775