Mitä on 0 potenssiin 0?

Matematiikkafriikit edempänä saavat itsensä ja sivullisetkin solmuun.
Kummallakaan porukoilla ei ole ns. käytännöllistä järkeä.
Samasta syystä melkein kaikki matemaatikot ovat umpipuisevia.

Eiköhän oteta brandya limesotteella:
0.5^0.5 = 0.707 , 0.1^0.1 = 0.794 , 0.05^0.05 = 0.861 , 0.01^0.01 = 0.955 ,
0.005^0.005 = 0.974 , 0.001^0.001 = 0.993 , 0.0005^0.0005 = 0.996 ,
0.0001^0.0001 = 0.999 jne

Vetäisin itse nämä 150 mm:n laskutikusta.
Tarkistakaa laskimella kunnes se saa rytmihäiriön.
Joko paistaa aurinko risukasaanne.
Brandyistä paras on Metaxa ***** . Ostakaa sitä ja Kreikka kiittää!

PotenssiMeni kirjoitti:

Matematiikkafriikit edempänä saavat itsensä ja sivullisetkin solmuun.
Kummallakaan porukoilla ei ole ns. käytännöllistä järkeä.
Samasta syystä melkein kaikki matemaatikot ovat umpipuisevia.

Eiköhän oteta brandya limesotteella:
0.5^0.5 = 0.707 , 0.1^0.1 = 0.794 , 0.05^0.05 = 0.861 , 0.01^0.01 = 0.955 ,
0.005^0.005 = 0.974 , 0.001^0.001 = 0.993 , 0.0005^0.0005 = 0.996 ,
0.0001^0.0001 = 0.999 jne

Vetäisin itse nämä 150 mm:n laskutikusta.
Tarkistakaa laskimella kunnes se saa rytmihäiriön.
Joko paistaa aurinko risukasaanne.
Brandyistä paras on Metaxa ***** . Ostakaa sitä ja Kreikka kiittää!

Lue lisää

tämänhän on tarkoituskin olla matemaattista saivartelua. "umpipuisevaa" js "tarpeetonta", mutta joltain kantilta jopa erityisen mielenkiintoista... (eli kuka mitäkin...)
ps. totta on, että vanhan ajan laskutikku ei helpolla saa rytmihäiriötä, tosin aurinkon paisteen fokus saattaa tärvellä sitä; sikäli päätellen, että multa ainakin muovihenkari suli saunassa uuteen kuosiin ja vaatteen kanssa klimppiin kun siellä vaatetta kuivasin...

Itse asiassa kommenttini tarkoitus on vakava ja etenkin dogmaattisen matemaatikon tulisi sitä pohtia ja ikuisesti muistaa.
Tarkoitan sitä, että aina pitäisi teoriataidoista huolimatta olla avoin etsimään uusia lähestymitapoja, analyyttisiä, numeerisia tai vielä keksimättömiäkin.

Eräänä opettajanani maailmalla 40 vuotta sitten oli eläkeläisprofessori O.C.Zienkiewicz, joka oli tunnetuin ja kai arvostetuinkin asiantuntija maailmassa ns, elementtimenetelmän ja sen sukulaismenetelmien kehittämisessä - luonut niille alan arvostetuimman tutkimuskeskuksen Walesin yliopistoon (Swansea/Abertawe).
Mukava 70-kymppinen, ontui sodassa siipeen saanutta jalkaansa ja taululle kirjoitellessaan. veteli sikariaan. Britanniassa tupakoitiin silloin siellä missä sallittiin ja siellä missä ei sallittu.

Professori Zienkiewicz kehotti kokeilemaan ennakkoluulottomasti. Jos kokeilu johtaa vaikka yllättäviin tuloksiin, saadaan siten korvaamaton havainto. Havainnolle ehditään aikanaan löytää teoreettinenkin selitys (ja, jos on kyse virheestä, joudutaanhan sekin selvittämään).
Professori itse toimi kuten opetti siitä lähtien, kun sotainvalidina selvitteli Enigma-koodia Bletchley Parkissa ja differenssimenetelmää 1940-luvun lopulla.

Antin näkemys on aika lähellä 0,n ikuisuuskysymystä. Nyt kuoli Matti, no, kerkispä tuo thaissa tapattaa ihtesä!!

Tai lg(x) = 0 * lg(0) = 0, joten x=10^0 = 1.

0^0=42! Sekin sopii, yhtä kaikki, koska legendan mukaan maailmankaikkeuden merkitys supertietokoneella laskettuna on tuo 42.
Legendan juuret ovat tuossa 1970-luvun puolivälissä, kun ensimmäiset kaupalliset supertietokoneet tulivat markkinoille, ja superkone piti laittaa, totta kai, tosi testiin. (Herkkäuskoisille jäitä hattuun, viihdetuotannolla taitaa olla myös näppinsä pelissä.) Kuitenkin, sen ajan tyyliin, vastaus kysymykseen oli numeerinen.
Kysymys: mikä olisi elämisen tarkoitus tänä päivänä tekoälyltä kysyttynä? Olisko vastaus, semanttista tekstiä nyt ainakin, sikäli jos/kun uskottava vastaus joskus valmistuu.

Muuten, opetusnäkökulmaan liittyen: missä määrin matematiikan kouluopetuksessa tultaneen luonnehdituiksi näitä merkillisiä yksityiskohtia. Koulutaustastahan saa käsityksen, että matematiikka on täydellisen mustavalkoista (on/off -juttua), ja jos sitä ei intuitiivisesti ja välittömästi arkikokemuksen kautta ymmärrä, niin jotain olisi vialla. Esim.oppikirjojen lakoninen sanonta "..on sovittu että a^0 on yksi" tai 2^3.5 (miten 2:ta kerrotaan kolme ja puoli kertaa itsellään) saattavat aluksi herättää hämmennystä (tai sitten ei). Malliin: nuukana persoonana totesin kerran, että keitänpä tässä samalla puoli kananmunaa itselleni. Alle murkkuikäinen sukulaistyttö kiinnitti ohimennen huomiota ja kuittasi mennessään, ikäänkuin tuttuna asiana viattomasti: "..setä on vähän höpelö.."

Matematiikka joskus höpelöä vai ei. Miten vakuuttaa, että "nämä on tärkeitä asioita" ilman että menettää ainakin osittain ns.katu-uskottavuuttaan. Myöhemmällä iällä tieten, kun oppilaat on valikoituneita, opettajan rooli on helpompi olla balanssissa tehtävänsä kanssa.
Suhteilla olisi pelattava... tulin sanoneeksi toiselle sivistyjälle, kun kolmioläksyjään mietiskeli.

Se, että intelin matikkaprosessori antaa tulokseksi NAN, on intelin oma ongelma. Matematiikan kanssa sillä ei ole mitään tekemistä.

0 ainakin mihin tahansa positiiviseen ( >0 ) potenssiin on 0, ja mihon tahansa negaiiviseen potenssiin on ääretön ( mukava lukualueen laajennus sekin ). Lähestyttäessä tuota raja-arvoa x=a^b; a->0, b->0, eri tavoin eri suunnista voidaan ilmeisesti saada tulokseksi mitä vaan halutaan, joten parempi käsitellä kuin 0/0 (laskeminen loppuu siihen), jottei tule käytännön töissä suurempia vahinkoja.

Nolla ei ole "mikä tahansa positiivinen luku". Entä negatiiviset luvut?

Jo on suurta viisautta tämä ketju! Annetaan lausekkeelle 0^0 arvoksi thoyssa.Tämä pitää nyt ohjelmoida kaikkiin algoritmeihin.Siis 0^0 = thoyssa.

Siks ei, koska edeltäjävastauksen peruste: mikä tahansa potenssiin nolla on 1, vaikuttais vahvemmalta.
Mutta voisit äänestää nollan puolesta näin: 0^0.1 0, 0^0.001=0, 0^0.00000001=0 jne.
ps.toivotaan, ettei Huutiukko saa lisää näppylöitä

Yritetäänpä itse. x^x voidaan kirjoittaa muotoon e^(x*lnx). Jos määritetään x*lnx raja-arvo ja korotetaan e siihen, saadaan kysytty raja-arvo. x*lnx voidaan kirjoittaa muotoon:
lnx/(1/x)
Hospitalin säännön mukaan sen raja-arvo, kun x->0 on sama kuin lausekkeen raja-arvo, joka saadaan derivoimalla erikseen osoittaja ja nimittäjä. tulokseksi saadaan -x, joka -> 0, kun x->0 . x^x raja-arvo on siin e^0=1, kun x->0 .

Noinkohan kirjoitti:

Yritetäänpä itse. x^x voidaan kirjoittaa muotoon e^(x*lnx). Jos määritetään x*lnx raja-arvo ja korotetaan e siihen, saadaan kysytty raja-arvo. x*lnx voidaan kirjoittaa muotoon:
lnx/(1/x)
Hospitalin säännön mukaan sen raja-arvo, kun x->0 on sama kuin lausekkeen raja-arvo, joka saadaan derivoimalla erikseen osoittaja ja nimittäjä. tulokseksi saadaan -x, joka -> 0, kun x->0 . x^x raja-arvo on siin e^0=1, kun x->0 .

Lue lisää

Kuvaaja positiivisella puolella paraabelin näköinen, minimipiste noin (0.4,0.7)
Laskin antaa negatiivillekin luvuiie satunnaisesti arvoja, toisille taas ei.
Onko jotain kuvaajaa negatiivisella puolella?

Youtubeen hakusanaksi "An example that 0^0 does NOT approach 1", niin löytyy useammanlaisia tuloksia.

Noinkohan kirjoitti:

Yritetäänpä itse. x^x voidaan kirjoittaa muotoon e^(x*lnx). Jos määritetään x*lnx raja-arvo ja korotetaan e siihen, saadaan kysytty raja-arvo. x*lnx voidaan kirjoittaa muotoon:
lnx/(1/x)
Hospitalin säännön mukaan sen raja-arvo, kun x->0 on sama kuin lausekkeen raja-arvo, joka saadaan derivoimalla erikseen osoittaja ja nimittäjä. tulokseksi saadaan -x, joka -> 0, kun x->0 . x^x raja-arvo on siin e^0=1, kun x->0 .

Lue lisää

Väärin.

"Hospitalin" sääntö puhuu tapauksesta, jossa meillä on funktiot f(x) ja g(x) joilla on arvo 0 pisteessä x = a ja kertoo raja-arvosta f(x) / g(x) kun x -> a.Lisäksi funktioiden f ja g on toteutettava Cauchyn teoreeman edellytykset.

Sinun funktiosi lnx ja 1/x eivät toteuta näitä ehtoja eikä tuota "Hospitalia" voi käyttää.

Ohman

No joo. Siitä Hospitalin säännöstä on kyllä olemassa laajennus tapaukselle ääretön/ääretön. Tietyillä ehdoilla toki. Nyt puheena olevassa tapauksessa Hospital antaa kyllä oikeat raja-arvot.
https://fi.wikipedia.org/wiki/L’Hôpitalin_sääntö

Noinkohan kirjoitti:

No joo. Siitä Hospitalin säännöstä on kyllä olemassa laajennus tapaukselle ääretön/ääretön. Tietyillä ehdoilla toki. Nyt puheena olevassa tapauksessa Hospital antaa kyllä oikeat raja-arvot.
https://fi.wikipedia.org/wiki/L’Hôpitalin_sääntö

Lue lisää

Höpötystä!

Ei se ääretön - tapaus käy tässä. Sinun laskussasi funktiot olivat lnx ja 1/x. Kun x-> 0 niin tosin 1/x -> inf mutta lnx ei. Itse asiassa ln 0 ei ole määritelty.Esim.Lars V. Ahlfors:Complex Analysis, toteaa logaritmifunktiota esitellessään, oikein kursiivilla kirjoitettuna, että (First of all, since e^z is always =/ 0, ) the number 0 has no logarithm.

"Hospitalin" ääretön-versiossa sekä f(x) -> inf ja g(x) -> inf kun x -> a ja tutkitaan osamäärän f(x) / g(x) raja-arvoa- Tässähän e i k ä y niin!

Funktiosi eivät täytä "Hospitalin" säännön ehtoja.

Jos et et tätä ymmärrä tai myönnä niin kirjoittele mieluummin palstalle "humpuukimatematiikkaa ääliöille" kuin matematiikkapalstalle!

Ohman

Ohman kirjoitti:

Höpötystä!

Ei se ääretön - tapaus käy tässä. Sinun laskussasi funktiot olivat lnx ja 1/x. Kun x-> 0 niin tosin 1/x -> inf mutta lnx ei. Itse asiassa ln 0 ei ole määritelty.Esim.Lars V. Ahlfors:Complex Analysis, toteaa logaritmifunktiota esitellessään, oikein kursiivilla kirjoitettuna, että (First of all, since e^z is always =/ 0, ) the number 0 has no logarithm.

"Hospitalin" ääretön-versiossa sekä f(x) -> inf ja g(x) -> inf kun x -> a ja tutkitaan osamäärän f(x) / g(x) raja-arvoa- Tässähän e i k ä y niin!

Funktiosi eivät täytä "Hospitalin" säännön ehtoja.

Jos et et tätä ymmärrä tai myönnä niin kirjoittele mieluummin palstalle "humpuukimatematiikkaa ääliöille" kuin matematiikkapalstalle!

Ohman

Lue lisää

No, annan nyt tässä sen oikean todistuksenkin.

Kirjoitetaan y = x^x Koska ln on jatkuva funktio, on ln(lim y) = lim ln(y) = lim(ln(x^x)) = lim(x ln(x)).

lim(x -> 0) (x ln(x) ) = lim(x -> 0) (ln(x) / (1/x)) = lim (x -> 0) (1/x) / (- 1/x^2) = - lim (x -> 0) x = 0.

Koska ln( lim y) = 0 niin lim y = e^0 = 1 eli lim (x -> 0) x^x = 1.

Tämä on tosiaan yksi versio tuosta puhutusta säännöstä.

Ohman

Suoraan sanoen, en nyt ymmärrä mitä eroa on minun laskelmallasi ja minun laskelmallani. Vähän sama kuin tuossa toisessa ketjussa. Minä laskin ensin tehtävän muodossa
101^2-99^2 = (101 99)*(101-99) = 200*2 = 400
Sitten vähän alempana sinä ratkaisit tehtävän muodossa
101^2 - 99^2 = (101 - 99) * (101 99) = 2*200 = 400.
Ilmeisesti tuo sinun ratkaisusi oli mielestäsi oikein, minun väärin.
Mutta jos toisten solvaaminen tuottaa sinulle oomanni tyydytystä niin ole hyvä!

Noinkohan kirjoitti:

Suoraan sanoen, en nyt ymmärrä mitä eroa on minun laskelmallasi ja minun laskelmallani. Vähän sama kuin tuossa toisessa ketjussa. Minä laskin ensin tehtävän muodossa
101^2-99^2 = (101 99)*(101-99) = 200*2 = 400
Sitten vähän alempana sinä ratkaisit tehtävän muodossa
101^2 - 99^2 = (101 - 99) * (101 99) = 2*200 = 400.
Ilmeisesti tuo sinun ratkaisusi oli mielestäsi oikein, minun väärin.
Mutta jos toisten solvaaminen tuottaa sinulle oomanni tyydytystä niin ole hyvä!

Lue lisää

En tosiaan huomannut, että olit jo laskenut tuon 101 jne - laskun tavalla, jonka sitten esitin. Pitäisi aina näköjään nuuskia jokaikinen vastaus ennenkuin menee kommentoimaan. En siis mitenkään halunnut esittää sinun laskuasi vääräksi.

Mitä tulee tähän limes-tehtävään, esitin sen nyt vähän yksityiskohtaisemmin enkä niinku-tavalla.

Ja kiitos tuosta luvasta solvata! Helpottaa oloa kun saa tehdä oikein luvallisesti!

Ohman

Tuossa x^x ilmeisesti lähestyy arvoa (1, 0). HP 42 näyttö ei paljon näytä, mutta arvolla x = 1e-5 saadaan tulokseksi (1.00, 3.14e-5) ja x:n arvolla 1e-6 (1.00, 3.14e-6). Mahtaako tuolla imaginaariosassa pesiä Pii?

arvelenpa.vain kirjoitti:

Tuossa x^x ilmeisesti lähestyy arvoa (1, 0). HP 42 näyttö ei paljon näytä, mutta arvolla x = 1e-5 saadaan tulokseksi (1.00, 3.14e-5) ja x:n arvolla 1e-6 (1.00, 3.14e-6). Mahtaako tuolla imaginaariosassa pesiä Pii?

Lue lisää

Taas mokasin. Tuossa on tietysti x = -1e-5, jolloin saadaan (1.00, 3.14e-5) ja arvolla x = -1e-6 saadaan (1.00, 3.14e-6).

Jess, oivallusta sisältävää ajattelua, siitä pointsit!
Toinen puoli on se, että palstan joku oikein myötämielinen matemaatikko voisi nähdä tuossa jotain osatotuutta, useimmat ei mitään totta ;)
Syy on, että jos kaavassa on edes vähänkään joltain kantilta määrittelemätöntä ainesta, laskukaavat eivät päde ja homma menee läskiksi. Tässä 0^0 lähtökohtaisesti ei ole täsmäluku, joten siihen laskusi todistusvoima 'lässähtää'.

Vastustaisitko mielelläsi asiaa ;)
eli oliko oppimatskusi viesti (eka oppisi) sen verran vahva, että haluaisit edes yhden 'määrätyn' matemaattisen arvon tuolle lausekkeelle?

Siksi kyselen, kun ylempänä nimim.kansanvalta toteaa
"Em. 'lausunnot' lienevät joskus hieman ongelmallisia. Etenkin opintojen alussa..." jne

Eli tuntuuko siltä, että haluaisi kritisoida jotenkin oppimatskujen tekijöitä, ainakin nyt tässä, sinällään pikkuasiassa?

Ei ole.

Ei A.Valmari täysin väärässäkään ole. Itsehän sanoo "Tämä asia ei ole totuus- vaan sopimuskysymys"
ja siten ominut politiikakseen saman kuin lähteensä (MathCheckin tekijä) eli hänen kyseisellä kurssillaan valinta 0^0 on 1. Yleisemmin ei ota kantaa.
Miten x^x mahdollisesti käyttäytyy negatiivisilla arvoilla (ei koulumatematiikkaa), sitähän parikin kirjoittajaa tuossa jäljempänä tutkailee.

Myös negatiivisilla arvoilla x^x reaaliosa ->1 ja imaginääriosa ->0. Mutta 0^0 ei ole sama kuin x^x raja-arvo nollassa, vaan 0^0 tyyppisiin raja-arvoihin voidaan päätyä myös muilla funktioilla. Tosin raja-arvo ei ole 1 vain silloin, kun y=0.

Itse asiassa tarkastelin vain tilanteita, joissa x ja y lähestyvät 0 puolelta. Jos x lähestyy 0- puolelta, on raja-arvo ääretön (sillä y^(-x) = 1/y^x). Funktiolla y^x on siis kolme raja-arvoa origossa:
0 kun y=0 ja x->0
ääretön kun y=0 ja x->0-
muulloin 1.

Kyllä x^x tai y^x on aivan tarkasti määriteltyjä, olivat x tai y positiivisia tai negatiivisia kunhan eivät ole nollia. Esimerkiksi -1^-1 = -1, ja -0.5^-0.5 = -i sqrt(2).

Noinkohan kirjoitti:

Itse asiassa tarkastelin vain tilanteita, joissa x ja y lähestyvät 0 puolelta. Jos x lähestyy 0- puolelta, on raja-arvo ääretön (sillä y^(-x) = 1/y^x). Funktiolla y^x on siis kolme raja-arvoa origossa:
0 kun y=0 ja x->0
ääretön kun y=0 ja x->0-
muulloin 1.

Lue lisää

Tai tarkkaan ottaen kaksi raja-arvoa, sillä ääretön ei ole raja-arvo. Lisäksi voidaan tulkita, että imaginääriosa lähenee -ääretöntä, kun y=0 ja x->0-.

Tarkkaan ottaen x^x imaginaariosa lähestyy nollaa, kun x -> 0-.

Tarkaan ottaen en tarkastellut funktiota x^x vaan funktiota y^x, kun sekä x että y ->0. x^x on tällöin erikoistapaus, jossa lähestyminen tapahtuu suoraa y=x pitkin. Tarkastelin origon ympärillä olevia ympyröitä e^2 =x^2 y^2 , annoin e->0 ja tarkastelin WA:lla funktion y^x arvoja pienillä ympyröillä. Ja näyttäisi että kun y=0 ja x->0-, on raja-arvo ääretön-ääretön*i. Jos x->0 ja y=0, on raja-arvo 0. Muulloin 1.

Ja vastaavasti voidaan helposti todeta, että x^(-1/lnx) = 1/e.

Tarkoittaako tuo merkintäsi /x/ >>>/y/ sitä, että x:n itseisarvo on paljon suurempi kuin y:n vai mitä?
Jos sitä, niin olkoon x = k y , k > 0. Tällöin y^x = y^(ky) = (y^y)^k. Jos nyt y -> 0 niin y^y -> 1 ja y^(ky) -> 1. Riippumatta siitä onko k (>0) suuri vai pieni.

Näin käy jokaisella suoralla y =( 1/k) x. Voin tietysti kirjoittaa näinkin:
y = x/k. y^x = (x/k)^x = (1/k)^x * x^x ja tämän limes, kun x -> 0 on 1.

Joten mitähän tarkoitit?

Ohman

Ohman kirjoitti:

Tarkoittaako tuo merkintäsi /x/ >>>/y/ sitä, että x:n itseisarvo on paljon suurempi kuin y:n vai mitä?
Jos sitä, niin olkoon x = k y , k > 0. Tällöin y^x = y^(ky) = (y^y)^k. Jos nyt y -> 0 niin y^y -> 1 ja y^(ky) -> 1. Riippumatta siitä onko k (>0) suuri vai pieni.

Näin käy jokaisella suoralla y =( 1/k) x. Voin tietysti kirjoittaa näinkin:
y = x/k. y^x = (x/k)^x = (1/k)^x * x^x ja tämän limes, kun x -> 0 on 1.

Joten mitähän tarkoitit?

Ohman

Lue lisää

Olkoot z ja w kompleksilukuja. z = x i y ja w = a i b. lzl = r, z = r e^(i t) (kirjoitin nyt t tavanomaisen fiin asemesta).

Yleisen potenssin määritelmä on seuraava:
z^w = e^(w log(z)). Tämä on siis m ä ä r i t e l m ä, ei tavanomainen yhtälö.

Kun tuo funktio lausutaan reaali- ja imaginaariosiensa avulla eli z^w = u(x,y) i v(x,y) saadaaan tuosta määritelmästä sijoittamalla nuo arvot ja laskemalla, että

u(x,y) = r^a * e^( - b t) cos( a t b log(r))
(1)
v(x,y) = r^a * e^(- b t) sin(a t b log(r))

Potenssilla z^w on äärettömän monta haaraa. jokainen näistä on yksikäsitteinen pitkin positiivista reaaliakselia aukileikatussa tasossa ja vaihtuu seuraavaan haaraan kun z kiertää origon ympäri positiiviseen suuntaan. z^w on analyyttinen funktio joka on säännöllinen kaikkialla paitsi pisteissä 0 ja ääretön.

Tuo oli ihan kirjatietoa. Kaavoista (1) voi jokainen halutessaan laskeskella noita eri raja-arvoja kun z-> 0 ja w-> 0 milloin mitäkin reittiä.

Ohman

Anteeksi, itseltäni on aivot hukassa!

Pitää olla tietysti y= 10^(-10), 1/lny = -0,043

No juuri tuolla edellä esittelin sulle 0^0 tyyppiä olevan funktion y^(1/lny), jonka raja-arvo on e (eli >1), kun y->0 .

NoinOn kirjoitti:

No juuri tuolla edellä esittelin sulle 0^0 tyyppiä olevan funktion y^(1/lny), jonka raja-arvo on e (eli >1), kun y->0 .

Puuttumatta muuten laskuusi niin onko mielestäsi funktio y^(log(y) sama funktio kuin y^x tai y^y. Näistä funktioista tai kompleksiversiosta z^w tässä piti olla puhe.

Ja katsohan nyt vaan noita kaavoja 1 ja kerro, miten tuo potenssi esim. voisi kasvaa rajatta kun lähestytään origoa.

Ohman

Minä olen tarkoittanut z = y^x funktiota, ja etsinyt sellaisia y(t) ja x(t) funktioita, jotka ->0 , kun t->0, jolloin z on muotoa 0^0. Ja tuo mainitsemana t^(1/lnt) on sellainen. Merkinnöissä on vähän sekavuutta, olisi heti pitänyt ottaa käyttöön tuo parametriesitys.
Jos nyt tarkastellaan vain tapausta y>=0, jolloin funktio z saa vain reaalisia arvoja. Silloin funktion raja-arvo origossa on 1, paitsi silloin, kun y lähenee nollaa hyvin paljon nopeammin kuin x (esim. t vs 1/lnt). Jos läheneminen tapahtuu x->0 , on raja-arvo välillä 0-1. Jos läheneminen tapahtuu x->0-, on raja-arvo välillä 1-ääretön.

Olen puhunut koko ajan funktiosta z = y(t)^x(t), jossa sekä y(t) että x(t)->0 kun t->0. Sen erikostapaus on funktio t^t, josta keskustelu alkoi, ja jonka raja-arvo on 1. Mutta tuo 1 on raja-arvo myös laajalle joukolle muita funktioita y(t) ja x(t). Jos y=0, silloin raja-arvo on luonnollisesti 0. Mutta jos "lähestymisura" kohti origoa on asymptoottinen akselille y=0, voi z saada muitakin arvoja kuin 1 tai 0. Esimerkkinä tuo y=t ja x=1/lnt, jonka raja-arvo on e. Mutta esim. asymptoottinen lähestyminen esim. funktioilla y=t ja x=t^(1/n), jossa n>>1, ei riitä, vaan raja-arvo on 1.
Tuolla aiemmassa viestissä verifioin numeerisesti z=y^x mahdollisia arvoja pienillä ympyröillä e^2=y^2 x^2. Kun e->0, z->1 muualla paitsi y=0 ympäristössä. Ja sopivilla y ja x arvoilla voi saada z>1 arvoja.

No sinä tarkatelet funktiota z^w, jaat muuttujat z ja w reaali- ja imaginaariosaan u ja v, jotka esität parametrin a,b,r ja t avulla. En tiedä, mitä tuosta pitäisi sanoa.
Minun tarkasteluni on paljon yksinkertaisempi: y^x arvot x-y-tasossa, kun sekä x että y->0; mikä on raja-arvo eri uria pitkin.

Siis laskin vain reaaliluvuilla x ja y. Mutta jos lasketaan kompleksiluvilla, näyttää myös tulevan raja-arvoksi reaalinen 1 muulloin paitsi y=0 "ympäristössä".

Noin on raja-arvona useimmilla 0^0 muotoisilla funktioilla. Mutta ei ihan kaikilla. Eikä ole pakko lukea ketjua.

En tiedä mutta ainakin yksi täysi nolla näkyy laskua jonkin verran tehneen.

Mikä tuo p on? Jotain uudenlaista laskentoa?