Mitä on 0 potenssiin 0?

Minulle opetettiin koulussa, että sitä ei ole määritelty. Toisaalta taas professori Antti Valmari Jyväskylän yliopistosta väittää, että se on 1. : http://users.jyu.fi/~ava/t_potenssi.html
Onhan toki funktioiden x^x ja x^0 raja-arvo nollassa 1, mutta funktion 0^x raja-arvo nollassa on nolla oikealta päin ja ääretön vasemmalta päin. Joten voisi myös ajatella, että kyseessä on moniarvoinen lauseke, niinkuin arc tan.

71 kommenttia

Vastaukset

    • Matematiikkafriikit edempänä saavat itsensä ja sivullisetkin solmuun.
      Kummallakaan porukoilla ei ole ns. käytännöllistä järkeä.
      Samasta syystä melkein kaikki matemaatikot ovat umpipuisevia.

      Eiköhän oteta brandya limesotteella:
      0.5^0.5 = 0.707 , 0.1^0.1 = 0.794 , 0.05^0.05 = 0.861 , 0.01^0.01 = 0.955 ,
      0.005^0.005 = 0.974 , 0.001^0.001 = 0.993 , 0.0005^0.0005 = 0.996 ,
      0.0001^0.0001 = 0.999 jne

      Vetäisin itse nämä 150 mm:n laskutikusta.
      Tarkistakaa laskimella kunnes se saa rytmihäiriön.
      Joko paistaa aurinko risukasaanne.
      Brandyistä paras on Metaxa ***** . Ostakaa sitä ja Kreikka kiittää!

    • PotenssiMeni kirjoitti:

      Matematiikkafriikit edempänä saavat itsensä ja sivullisetkin solmuun.
      Kummallakaan porukoilla ei ole ns. käytännöllistä järkeä.
      Samasta syystä melkein kaikki matemaatikot ovat umpipuisevia.

      Eiköhän oteta brandya limesotteella:
      0.5^0.5 = 0.707 , 0.1^0.1 = 0.794 , 0.05^0.05 = 0.861 , 0.01^0.01 = 0.955 ,
      0.005^0.005 = 0.974 , 0.001^0.001 = 0.993 , 0.0005^0.0005 = 0.996 ,
      0.0001^0.0001 = 0.999 jne

      Vetäisin itse nämä 150 mm:n laskutikusta.
      Tarkistakaa laskimella kunnes se saa rytmihäiriön.
      Joko paistaa aurinko risukasaanne.
      Brandyistä paras on Metaxa ***** . Ostakaa sitä ja Kreikka kiittää!

      tämänhän on tarkoituskin olla matemaattista saivartelua. "umpipuisevaa" js "tarpeetonta", mutta joltain kantilta jopa erityisen mielenkiintoista... (eli kuka mitäkin...)
      ps. totta on, että vanhan ajan laskutikku ei helpolla saa rytmihäiriötä, tosin aurinkon paisteen fokus saattaa tärvellä sitä; sikäli päätellen, että multa ainakin muovihenkari suli saunassa uuteen kuosiin ja vaatteen kanssa klimppiin kun siellä vaatetta kuivasin...

    • Itse asiassa kommenttini tarkoitus on vakava ja etenkin dogmaattisen matemaatikon tulisi sitä pohtia ja ikuisesti muistaa.
      Tarkoitan sitä, että aina pitäisi teoriataidoista huolimatta olla avoin etsimään uusia lähestymitapoja, analyyttisiä, numeerisia tai vielä keksimättömiäkin.

      Eräänä opettajanani maailmalla 40 vuotta sitten oli eläkeläisprofessori O.C.Zienkiewicz, joka oli tunnetuin ja kai arvostetuinkin asiantuntija maailmassa ns, elementtimenetelmän ja sen sukulaismenetelmien kehittämisessä - luonut niille alan arvostetuimman tutkimuskeskuksen Walesin yliopistoon (Swansea/Abertawe).
      Mukava 70-kymppinen, ontui sodassa siipeen saanutta jalkaansa ja taululle kirjoitellessaan. veteli sikariaan. Britanniassa tupakoitiin silloin siellä missä sallittiin ja siellä missä ei sallittu.

      Professori Zienkiewicz kehotti kokeilemaan ennakkoluulottomasti. Jos kokeilu johtaa vaikka yllättäviin tuloksiin, saadaan siten korvaamaton havainto. Havainnolle ehditään aikanaan löytää teoreettinenkin selitys (ja, jos on kyse virheestä, joudutaanhan sekin selvittämään).
      Professori itse toimi kuten opetti siitä lähtien, kun sotainvalidina selvitteli Enigma-koodia Bletchley Parkissa ja differenssimenetelmää 1940-luvun lopulla.

  • TI-89 antaa vastaukseksi 1.
    Linuxin laskin versio 3.18.3 ilmoittaa, ettei sitä ole määritelty.
    Wolframalpha on samaa mieltä Linuxin kanssa.
    Windows 10:n funktiolaskin tarjoaa 1.

    Ilmeisesti kyseessä on aika pitkälti makuasia.

  • Nolla ^ nolla pitää suhtautua kuin jakolaskuun 0/0, johon laskimet suhtautuu "määrittelemätön" tai NaN (Not a Number), siitäkin huolimatta että jotkut laskimet antavat 0^0:lle arvoksi 1.
    Kai ihan vaan mukavuussyistä; intuitiivisestihan noitten erikoisuuksien päälle on turhaa yrittää ymmärtää juurikaan, koska muodollinen ja vähän 'irrationaalinen' juttu.
    Toisaalta aloitteleva opiskelija yrittää nimenomaan intuition varassa, koska matematiikan laajennukset enimmältään vasta edessä, ja siten jo tutun koulumatematiikan ja laajennusteorioiden saumakohtiinhan näitä mysteerioita syntyy. Niitä voi sitten ympätä laajennettuun teoriaan vaikka väkisin ns.sopimalla mutta toki teoriassa ristiriidattomasti (esim.a^0=1,missä a/=0). Tuo sopiminenkaan 0^0 -tapauksessa ei luonnistu puhdasoppisesti, koska eri perusteista lähtien joudutaan eri tuloksiin, tavallisimmin kaiketi 1 tai 0, niin se on sitten määrittelemätön.
    Eli siinäpä jotain taustoja aloittajalle.

    Ps.Käytännössä, esim.tietokoneohjelmoinnissa jos joudutaan vaikka 0/0 -laskuun, ei pidä luottaa pätkääkään siihen, mitä tietokoneen laskin antaisi, vaan tilanne on aina jotain sen kaltaista, että esim.tilastoaineistossa tarvittava tieto puuttuu, ja vaatii siksi joka tapauksessa oman erityiskäsittelynsä.
    Tai esim. jos jossain koneessa 0^0 sattuu olemaan yksi, ja se sopii niin mikäs siinä, mutta kun ohjelma kannetaan toiseen koneeseen missä se on NaN, johan jonkinasteinen rytinä kuuluu...
    ja tekijän päätä silitetään niin että luu näkyy...
    ps2.teoreettisen viisastelun ja käytännön välille hieman maalaisjärkee mukaan, niin kyllä tarvittavat hommat monesti jopa hoituvatkin ;)

    Vielä: ei x^x ole "moniarvolauseke", joku matemaatikko saattaa piirtää tai luonnehtia sen kuvan.

  • 0^0 = x olisi yhtenevää lg (x) / lg (0) = 0 kanssa. Koska nimittäjä voidaan myös ilmaista 10^y = 0, missä y:lle ei ole olemassa ratkaisuja, myös 0^0 on määrittelemätön.

    • Tai lg(x) = 0 * lg(0) = 0, joten x=10^0 = 1.

  • 42! Ja tässä voi huutomerkin tulkita välimerkiksi tai kertoman merkiksi, miten vain halutaan.

    Lausekkeen 0⁰ arvo voidaan määritellä miten vain halutaan. Määrittelyt ovat ihmisten tekemiä. Jotkin määritelmät ovat hyödyllisiä ainakin joissakin tilanteissa, jotkin eivät, ja minun juuri esittämäni kuulunee jälkimmäiseen tyyppiin.

    Hyödyllisiä määritelmiä tässä yhteydessä lienevät lähinnä 0, 1 ja määrittelemätön (käsitettynä erityiseksi arvoksi, pikemmin kuin määrittelemättä jättämiseksi; tällainen arvo voi propagoitua laskennassa ja välittää eteenpäin tiedon, että laskennassa on tullut eteen operaatio, jolle ei ole määritelmää; voidaan numeerisessa laskennassa tietokoneella esittää arvona NaN, not a number, ”epäluku”).

    • 0^0=42! Sekin sopii, yhtä kaikki, koska legendan mukaan maailmankaikkeuden merkitys supertietokoneella laskettuna on tuo 42.
      Legendan juuret ovat tuossa 1970-luvun puolivälissä, kun ensimmäiset kaupalliset supertietokoneet tulivat markkinoille, ja superkone piti laittaa, totta kai, tosi testiin. (Herkkäuskoisille jäitä hattuun, viihdetuotannolla taitaa olla myös näppinsä pelissä.) Kuitenkin, sen ajan tyyliin, vastaus kysymykseen oli numeerinen.
      Kysymys: mikä olisi elämisen tarkoitus tänä päivänä tekoälyltä kysyttynä? Olisko vastaus, semanttista tekstiä nyt ainakin, sikäli jos/kun uskottava vastaus joskus valmistuu.

      Muuten, opetusnäkökulmaan liittyen: missä määrin matematiikan kouluopetuksessa tultaneen luonnehdituiksi näitä merkillisiä yksityiskohtia. Koulutaustastahan saa käsityksen, että matematiikka on täydellisen mustavalkoista (on/off -juttua), ja jos sitä ei intuitiivisesti ja välittömästi arkikokemuksen kautta ymmärrä, niin jotain olisi vialla. Esim.oppikirjojen lakoninen sanonta "..on sovittu että a^0 on yksi" tai 2^3.5 (miten 2:ta kerrotaan kolme ja puoli kertaa itsellään) saattavat aluksi herättää hämmennystä (tai sitten ei). Malliin: nuukana persoonana totesin kerran, että keitänpä tässä samalla puoli kananmunaa itselleni. Alle murkkuikäinen sukulaistyttö kiinnitti ohimennen huomiota ja kuittasi mennessään, ikäänkuin tuttuna asiana viattomasti: "..setä on vähän höpelö.."

      Matematiikka joskus höpelöä vai ei. Miten vakuuttaa, että "nämä on tärkeitä asioita" ilman että menettää ainakin osittain ns.katu-uskottavuuttaan. Myöhemmällä iällä tieten, kun oppilaat on valikoituneita, opettajan rooli on helpompi olla balanssissa tehtävänsä kanssa.
      Suhteilla olisi pelattava... tulin sanoneeksi toiselle sivistyjälle, kun kolmioläksyjään mietiskeli.

    • Se, että intelin matikkaprosessori antaa tulokseksi NAN, on intelin oma ongelma. Matematiikan kanssa sillä ei ole mitään tekemistä.

  • Ainakin mikä tahansa muu luku potenssiin 0 on 1.
    1^0 = 1
    2^0 = 1
    5^0 = 1
    jne.

    Miksei siis 0:kin?

  • Nolla potenssiin mikä tahansa positiivinen luku on nolla.
    0^3= 0
    0^2=0
    0^1=0
    miksei siis 0^0 ei olisi 0?

    • Nolla ei ole "mikä tahansa positiivinen luku". Entä negatiiviset luvut?

    • Jo on suurta viisautta tämä ketju! Annetaan lausekkeelle 0^0 arvoksi thoyssa.Tämä pitää nyt ohjelmoida kaikkiin algoritmeihin.Siis 0^0 = thoyssa.

    • Siks ei, koska edeltäjävastauksen peruste: mikä tahansa potenssiin nolla on 1, vaikuttais vahvemmalta.
      Mutta voisit äänestää nollan puolesta näin: 0^0.1 0, 0^0.001=0, 0^0.00000001=0 jne.
      ps.toivotaan, ettei Huutiukko saa lisää näppylöitä

  • Tuskinpa Huutiukko näppylöitä toisten huonosta matematiikan ymmärtämisestä saa.Näyttäisi tuo enemmänkin nauraneen.

    Matematiikassa on selvää, ettei 0^0 ole määritelty. Jos esim. x > 0 niin lim (y -> 0) x^y = 1. Jos taas y > 0 niin lim(x -> 0) x^y = 0. Lauseke lähestyy siis eri raja-arvoa riippuen siitä, mistä päin lähestytään. Tällainen funktion arvo ei ole määritelty.

    Tämä asia selostetaan jokaisessa oppikirjassa jossa funktion x^y määrittely esitetään. Tässä ei ole mitään epäselvää josta pitäisi jauhaa kuten tässä ketjussa on tehty.

    On sitten eri asia, mitä joissain laskukoneissa tai tietokoneohjelmissa joistain syistä tehdään. Mutta matematiikassa asia on näin ja siitä kai tässä oli kyse.

    Ohman

  • Tämä on palstan kansanradio tosikoille ja veitikoille, sisäänpäinkin voi naurua yrittää kyhäellä, jos ulospäin tekee mieli enimmäkseen totisena pönötellä... ;D

    Vinkki oppikirjan tekijöille ja vastaaville: miksi tehdä matematiikasta niin puisevaa ja tylsänoloista? Toinen puoli tieten on, ettei koulu periaatteessa ole viihdytyslaitos, mutta jotain elävyyttä kaavojen joukkoon.. no, ehkä se on aika haasteellista
    Muuten, lyhyt yo.koe kaiketi sisältää nykyisin käytäntöä lähellä olevia tehtäviä myös, ja hyvä niin, lyhyen lukijat eivät kovinkaan hakeutune matematiikkateoreettisiin opintoihin myöhemmin.

    Nimim.Öhman
    "Tämä asia selostetaan jokaisessa oppikirjassa jossa funktion x^y määrittely esitetään. Tässä ei ole mitään epäselvää josta pitäisi jauhaa kuten tässä ketjussa on tehty."

    Miten lienee?
    Aloittajan taustanahan oli oppimateriaalin pätkä:
    "Jotkut väittävät, että 0^0 ei ole 1 vaan määrittelemätön. Tämä asia ei ole totuus- vaan sopimuskysymys: jokaisen ilmauksen merkitys määräytyy käyttöön otetuista määritelmistä ja merkintätavoista, ja toisinaan joillakuilla on enemmän tai vähemmän hyviä syitä ottaa käyttöön erilaisia määritelmiä tai merkintöjä kuin muilla. Valinta 0^0=1 on kätevä ja hyvin monien suosima, mukaan lukien MathCheckin tekijä, joten MathCheckin tapauksessa 0^0 on aina 1.
    "
    Em. 'lausunnot' lienevät joskus hieman ongelmallisia. Etenkin opintojen alussa ei noihin osaa suhtautua oikein mitenkään, sittemmin koristelauseet ympäriltä unohtuvat ja jää päälle muistikuva matematiikkana ('käytännön totena') että "ykkönen se on".
    Ja kuten ylempänä huomattu, myös Windows -laskin antaa tuloksena ykkösen.
    No, muistaen toisaalta määrittelemättömyyden, sehän taas antaa sijaa halukkaille puoliviihteelliselle tarinaniskulle ja naljailullekin (liekö poikkeuksellista matikkapalstalla;) ja sitähän tämä ketju sitten lopulta parhaimpansa jälkeen on, ja Huutiukon höynäyttämänä minä mukana tietenkin...
    ajatuksella että, minkähän tuloksen kansanäänestys tästä antaisi
    Elämän tarkoituksen tunnus olisi yksi mahdollinen...
    Ps. no joo, mutta: huolimatta päivänselvistä määritelmistä pientä sumeuttakin matematiikan ympäriltä on mahdollista tunnistaa, luulen - ainakin jos sitä oppilailta kysyy...

  • Entä miten lasketaan raja-arvo lim(x->0+) x^x ?

    • Yritetäänpä itse. x^x voidaan kirjoittaa muotoon e^(x*lnx). Jos määritetään x*lnx raja-arvo ja korotetaan e siihen, saadaan kysytty raja-arvo. x*lnx voidaan kirjoittaa muotoon:
      lnx/(1/x)
      Hospitalin säännön mukaan sen raja-arvo, kun x->0+ on sama kuin lausekkeen raja-arvo, joka saadaan derivoimalla erikseen osoittaja ja nimittäjä. tulokseksi saadaan -x, joka -> 0, kun x->0+. x^x raja-arvo on siin e^0=1, kun x->0+.

    • Noinkohan kirjoitti:

      Yritetäänpä itse. x^x voidaan kirjoittaa muotoon e^(x*lnx). Jos määritetään x*lnx raja-arvo ja korotetaan e siihen, saadaan kysytty raja-arvo. x*lnx voidaan kirjoittaa muotoon:
      lnx/(1/x)
      Hospitalin säännön mukaan sen raja-arvo, kun x->0+ on sama kuin lausekkeen raja-arvo, joka saadaan derivoimalla erikseen osoittaja ja nimittäjä. tulokseksi saadaan -x, joka -> 0, kun x->0+. x^x raja-arvo on siin e^0=1, kun x->0+.

      Kuvaaja positiivisella puolella paraabelin näköinen, minimipiste noin (0.4,0.7)
      Laskin antaa negatiivillekin luvuiie satunnaisesti arvoja, toisille taas ei.
      Onko jotain kuvaajaa negatiivisella puolella?

    • Youtubeen hakusanaksi "An example that 0^0 does NOT approach 1", niin löytyy useammanlaisia tuloksia.

    • Noinkohan kirjoitti:

      Yritetäänpä itse. x^x voidaan kirjoittaa muotoon e^(x*lnx). Jos määritetään x*lnx raja-arvo ja korotetaan e siihen, saadaan kysytty raja-arvo. x*lnx voidaan kirjoittaa muotoon:
      lnx/(1/x)
      Hospitalin säännön mukaan sen raja-arvo, kun x->0+ on sama kuin lausekkeen raja-arvo, joka saadaan derivoimalla erikseen osoittaja ja nimittäjä. tulokseksi saadaan -x, joka -> 0, kun x->0+. x^x raja-arvo on siin e^0=1, kun x->0+.

      Väärin.

      "Hospitalin" sääntö puhuu tapauksesta, jossa meillä on funktiot f(x) ja g(x) joilla on arvo 0 pisteessä x = a ja kertoo raja-arvosta f(x) / g(x) kun x -> a.Lisäksi funktioiden f ja g on toteutettava Cauchyn teoreeman edellytykset.

      Sinun funktiosi lnx ja 1/x eivät toteuta näitä ehtoja eikä tuota "Hospitalia" voi käyttää.

      Ohman

    • No joo. Siitä Hospitalin säännöstä on kyllä olemassa laajennus tapaukselle ääretön/ääretön. Tietyillä ehdoilla toki. Nyt puheena olevassa tapauksessa Hospital antaa kyllä oikeat raja-arvot.
      https://fi.wikipedia.org/wiki/L’Hôpitalin_sääntö

    • Noinkohan kirjoitti:

      No joo. Siitä Hospitalin säännöstä on kyllä olemassa laajennus tapaukselle ääretön/ääretön. Tietyillä ehdoilla toki. Nyt puheena olevassa tapauksessa Hospital antaa kyllä oikeat raja-arvot.
      https://fi.wikipedia.org/wiki/L’Hôpitalin_sääntö

      Höpötystä!

      Ei se ääretön - tapaus käy tässä. Sinun laskussasi funktiot olivat lnx ja 1/x. Kun x-> 0 niin tosin 1/x -> inf mutta lnx ei. Itse asiassa ln 0 ei ole määritelty.Esim.Lars V. Ahlfors:Complex Analysis, toteaa logaritmifunktiota esitellessään, oikein kursiivilla kirjoitettuna, että (First of all, since e^z is always =/ 0, ) the number 0 has no logarithm.

      "Hospitalin" ääretön-versiossa sekä f(x) -> inf ja g(x) -> inf kun x -> a ja tutkitaan osamäärän f(x) / g(x) raja-arvoa- Tässähän e i k ä y niin!

      Funktiosi eivät täytä "Hospitalin" säännön ehtoja.

      Jos et et tätä ymmärrä tai myönnä niin kirjoittele mieluummin palstalle "humpuukimatematiikkaa ääliöille" kuin matematiikkapalstalle!

      Ohman

    • Ohman kirjoitti:

      Höpötystä!

      Ei se ääretön - tapaus käy tässä. Sinun laskussasi funktiot olivat lnx ja 1/x. Kun x-> 0 niin tosin 1/x -> inf mutta lnx ei. Itse asiassa ln 0 ei ole määritelty.Esim.Lars V. Ahlfors:Complex Analysis, toteaa logaritmifunktiota esitellessään, oikein kursiivilla kirjoitettuna, että (First of all, since e^z is always =/ 0, ) the number 0 has no logarithm.

      "Hospitalin" ääretön-versiossa sekä f(x) -> inf ja g(x) -> inf kun x -> a ja tutkitaan osamäärän f(x) / g(x) raja-arvoa- Tässähän e i k ä y niin!

      Funktiosi eivät täytä "Hospitalin" säännön ehtoja.

      Jos et et tätä ymmärrä tai myönnä niin kirjoittele mieluummin palstalle "humpuukimatematiikkaa ääliöille" kuin matematiikkapalstalle!

      Ohman

      No, annan nyt tässä sen oikean todistuksenkin.

      Kirjoitetaan y = x^x Koska ln on jatkuva funktio, on ln(lim y) = lim ln(y) = lim(ln(x^x)) = lim(x ln(x)).

      lim(x -> 0) (x ln(x) ) = lim(x -> 0) (ln(x) / (1/x)) = lim (x -> 0) (1/x) / (- 1/x^2) = - lim (x -> 0) x = 0.

      Koska ln( lim y) = 0 niin lim y = e^0 = 1 eli lim (x -> 0) x^x = 1.

      Tämä on tosiaan yksi versio tuosta puhutusta säännöstä.

      Ohman

    • Suoraan sanoen, en nyt ymmärrä mitä eroa on minun laskelmallasi ja minun laskelmallani. Vähän sama kuin tuossa toisessa ketjussa. Minä laskin ensin tehtävän muodossa
      101^2-99^2 = (101+99)*(101-99) = 200*2 = 400
      Sitten vähän alempana sinä ratkaisit tehtävän muodossa
      101^2 - 99^2 = (101 - 99) * (101 +99) = 2*200 = 400.
      Ilmeisesti tuo sinun ratkaisusi oli mielestäsi oikein, minun väärin.
      Mutta jos toisten solvaaminen tuottaa sinulle oomanni tyydytystä niin ole hyvä!

    • Noinkohan kirjoitti:

      Suoraan sanoen, en nyt ymmärrä mitä eroa on minun laskelmallasi ja minun laskelmallani. Vähän sama kuin tuossa toisessa ketjussa. Minä laskin ensin tehtävän muodossa
      101^2-99^2 = (101+99)*(101-99) = 200*2 = 400
      Sitten vähän alempana sinä ratkaisit tehtävän muodossa
      101^2 - 99^2 = (101 - 99) * (101 +99) = 2*200 = 400.
      Ilmeisesti tuo sinun ratkaisusi oli mielestäsi oikein, minun väärin.
      Mutta jos toisten solvaaminen tuottaa sinulle oomanni tyydytystä niin ole hyvä!

      En tosiaan huomannut, että olit jo laskenut tuon 101 jne - laskun tavalla, jonka sitten esitin. Pitäisi aina näköjään nuuskia jokaikinen vastaus ennenkuin menee kommentoimaan. En siis mitenkään halunnut esittää sinun laskuasi vääräksi.

      Mitä tulee tähän limes-tehtävään, esitin sen nyt vähän yksityiskohtaisemmin enkä niinku-tavalla.

      Ja kiitos tuosta luvasta solvata! Helpottaa oloa kun saa tehdä oikein luvallisesti!

      Ohman

  • Negatiivisilla x:n arvoilla syntyy spiraalia muistuttava käyrä, joka alkaa origosta x:n arvolla -ääretön ja origon kierrettyään lähestyy arvoa 1, kun x->0-. Näin siis kalkylaattorilla kalkyloiden. En ole vielä löytänyt todistusta, että lim x^x olisi 1, kun x->0-. Tuskinpa tuo kovin vaikea on.

    • Tuossa x^x ilmeisesti lähestyy arvoa (1, 0). HP 42 näyttö ei paljon näytä, mutta arvolla x = 1e-5 saadaan tulokseksi (1.00, 3.14e-5) ja x:n arvolla 1e-6 (1.00, 3.14e-6). Mahtaako tuolla imaginaariosassa pesiä Pii?

    • arvelenpa.vain kirjoitti:

      Tuossa x^x ilmeisesti lähestyy arvoa (1, 0). HP 42 näyttö ei paljon näytä, mutta arvolla x = 1e-5 saadaan tulokseksi (1.00, 3.14e-5) ja x:n arvolla 1e-6 (1.00, 3.14e-6). Mahtaako tuolla imaginaariosassa pesiä Pii?

      Taas mokasin. Tuossa on tietysti x = -1e-5, jolloin saadaan (1.00, 3.14e-5) ja arvolla x = -1e-6 saadaan (1.00, 3.14e-6).

  • Neliöjuuri(0^0)=0^(0/2) =0^0. Jos merkitään 0^0=x, saadaan yhtälö neliöjuuri(x)=x. Siis x=x^2, jolle on kaksi ratkaisua, 0 ja 1. Siis nolla potenssiin nolla on joko nolla tai yksi.

    • Jess, oivallusta sisältävää ajattelua, siitä pointsit!
      Toinen puoli on se, että palstan joku oikein myötämielinen matemaatikko voisi nähdä tuossa jotain osatotuutta, useimmat ei mitään totta ;)
      Syy on, että jos kaavassa on edes vähänkään joltain kantilta määrittelemätöntä ainesta, laskukaavat eivät päde ja homma menee läskiksi. Tässä 0^0 lähtökohtaisesti ei ole täsmäluku, joten siihen laskusi todistusvoima 'lässähtää'.

  • Noh, kai 0^0 on sitten kai määrittelemätön.

    • Vastustaisitko mielelläsi asiaa ;)
      eli oliko oppimatskusi viesti (eka oppisi) sen verran vahva, että haluaisit edes yhden 'määrätyn' matemaattisen arvon tuolle lausekkeelle?

      Siksi kyselen, kun ylempänä nimim.kansanvalta toteaa
      "Em. 'lausunnot' lienevät joskus hieman ongelmallisia. Etenkin opintojen alussa..." jne

      Eli tuntuuko siltä, että haluaisi kritisoida jotenkin oppimatskujen tekijöitä, ainakin nyt tässä, sinällään pikkuasiassa?

  • 0^0 on kaksiarvoinen lauseke, joka on joko 0 tai 1.

  • 0^0 on kaksiarvoinen lauseke, joka on joko 0 tai 1.
    Samaantapaan, kuin voisi pitää neliöjuurta 4 joko 2 tai -2 .

    • Ei ole.

  • Jos lim(x -> +0) x^x on jotain niin se tarkoittaa, että funktiolla y^x on tämä raja-arvo kun nollaa lähestytään pitkin suoraa y = x.Funktiolla y^x on kuitenkin eri raja-arvot riippuen siitä miten origoa lähestytään eli y^x ei ole määritely pisteessä (0,0).

    Ohman

  • Lim (x->0+) x^x=1. Ilmiselvää, kun piirtää kuvaajan.
    Lim (x-> 0+) 0^x=0.
    Siis lauseketta 0^0 ei voi yksikäsitteisesti määritellä. Eli Windows-laskin ja Antti Valmari ovat väärässä.

    • Ei A.Valmari täysin väärässäkään ole. Itsehän sanoo "Tämä asia ei ole totuus- vaan sopimuskysymys"
      ja siten ominut politiikakseen saman kuin lähteensä (MathCheckin tekijä) eli hänen kyseisellä kurssillaan valinta 0^0 on 1. Yleisemmin ei ota kantaa.
      Miten x^x mahdollisesti käyttäytyy negatiivisilla arvoilla (ei koulumatematiikkaa), sitähän parikin kirjoittajaa tuossa jäljempänä tutkailee.

    • Myös negatiivisilla arvoilla x^x reaaliosa ->1 ja imaginääriosa ->0. Mutta 0^0 ei ole sama kuin x^x raja-arvo nollassa, vaan 0^0 tyyppisiin raja-arvoihin voidaan päätyä myös muilla funktioilla. Tosin raja-arvo ei ole 1 vain silloin, kun y=0.

  • Tarkastellaan funktion z = y^x arvoja ympyrillä x^2+y^2=e^2. Plotataan z:n arvoja, kun e->0. Osoittautuu, että z->1 kaikilla muilla arvoilla paitsi kun y=0. Eli näyttäisi siltä, että z:n raja-arvo on 1 kaikilla muilla lähestymisreiteillä paitsi kun y=0. Esim. jos y=x^n, jolloin y'(0)=0, saadaan z raja-arvoksi 1.

  • y^x ei ole määritelty, jos y on negatiivinen. Paitsi jos x on ei-negatiivinen kokonaisluku.

    • Itse asiassa tarkastelin vain tilanteita, joissa x ja y lähestyvät 0+ puolelta. Jos x lähestyy 0- puolelta, on raja-arvo ääretön (sillä y^(-x) = 1/y^x). Funktiolla y^x on siis kolme raja-arvoa origossa:
      0 kun y=0 ja x->0+
      ääretön kun y=0 ja x->0-
      muulloin 1.

    • Kyllä x^x tai y^x on aivan tarkasti määriteltyjä, olivat x tai y positiivisia tai negatiivisia kunhan eivät ole nollia. Esimerkiksi -1^-1 = -1, ja -0.5^-0.5 = -i sqrt(2).

    • Noinkohan kirjoitti:

      Itse asiassa tarkastelin vain tilanteita, joissa x ja y lähestyvät 0+ puolelta. Jos x lähestyy 0- puolelta, on raja-arvo ääretön (sillä y^(-x) = 1/y^x). Funktiolla y^x on siis kolme raja-arvoa origossa:
      0 kun y=0 ja x->0+
      ääretön kun y=0 ja x->0-
      muulloin 1.

      Tai tarkkaan ottaen kaksi raja-arvoa, sillä ääretön ei ole raja-arvo. Lisäksi voidaan tulkita, että imaginääriosa lähenee -ääretöntä, kun y=0 ja x->0-.

    • Tarkkaan ottaen x^x imaginaariosa lähestyy nollaa, kun x -> 0-.

    • Tarkaan ottaen en tarkastellut funktiota x^x vaan funktiota y^x, kun sekä x että y ->0. x^x on tällöin erikoistapaus, jossa lähestyminen tapahtuu suoraa y=x pitkin. Tarkastelin origon ympärillä olevia ympyröitä e^2 =x^2+y^2 , annoin e->0 ja tarkastelin WA:lla funktion y^x arvoja pienillä ympyröillä. Ja näyttäisi että kun y=0 ja x->0-, on raja-arvo ääretön-ääretön*i. Jos x->0+ ja y=0, on raja-arvo 0. Muulloin 1.

  • Esimerkki muusta raja-arvosta kuin 1, 0 tai ääretön 0^0 tyyppisellä funktiolla:
    x^(1/lnx) = e^(ln(x^(1/lnx)) = e^((1/lnx)*lnx) = e

    • Ja vastaavasti voidaan helposti todeta, että x^(-1/lnx) = 1/e.

  • Täsmennetään vielä tuon funktion z = y^x raja-arvoja, kun x ja y->0. Yleensä raja-arvo on 1. Jos /x/>>>/y/, ovat raja-arvot seuraavat. Jos x->0+ ja y->0+, on raja-arvo 0. Jos x->0- ja y->0+, on raja-arvo ääretön. Jos x->0+ ja y->0-, on raja-arvo "kompleksinen nolla". Jos x->0- ja y->0-, on raja-arvo "kompleksinen ääretön".

    • Tarkoittaako tuo merkintäsi /x/ >>>/y/ sitä, että x:n itseisarvo on paljon suurempi kuin y:n vai mitä?
      Jos sitä, niin olkoon x = k y , k > 0. Tällöin y^x = y^(ky) = (y^y)^k. Jos nyt y -> 0+ niin y^y -> 1 ja y^(ky) -> 1. Riippumatta siitä onko k (>0) suuri vai pieni.

      Näin käy jokaisella suoralla y =( 1/k) x. Voin tietysti kirjoittaa näinkin:
      y = x/k. y^x = (x/k)^x = (1/k)^x * x^x ja tämän limes, kun x -> 0+ on 1.

      Joten mitähän tarkoitit?

      Ohman

    • Ohman kirjoitti:

      Tarkoittaako tuo merkintäsi /x/ >>>/y/ sitä, että x:n itseisarvo on paljon suurempi kuin y:n vai mitä?
      Jos sitä, niin olkoon x = k y , k > 0. Tällöin y^x = y^(ky) = (y^y)^k. Jos nyt y -> 0+ niin y^y -> 1 ja y^(ky) -> 1. Riippumatta siitä onko k (>0) suuri vai pieni.

      Näin käy jokaisella suoralla y =( 1/k) x. Voin tietysti kirjoittaa näinkin:
      y = x/k. y^x = (x/k)^x = (1/k)^x * x^x ja tämän limes, kun x -> 0+ on 1.

      Joten mitähän tarkoitit?

      Ohman

      Olkoot z ja w kompleksilukuja. z = x + i y ja w = a + i b. lzl = r, z = r e^(i t) (kirjoitin nyt t tavanomaisen fiin asemesta).

      Yleisen potenssin määritelmä on seuraava:
      z^w = e^(w log(z)). Tämä on siis m ä ä r i t e l m ä, ei tavanomainen yhtälö.

      Kun tuo funktio lausutaan reaali- ja imaginaariosiensa avulla eli z^w = u(x,y) + i v(x,y) saadaaan tuosta määritelmästä sijoittamalla nuo arvot ja laskemalla, että

      u(x,y) = r^a * e^( - b t) cos( a t + b log(r))
      (1)
      v(x,y) = r^a * e^(- b t) sin(a t + b log(r))

      Potenssilla z^w on äärettömän monta haaraa. jokainen näistä on yksikäsitteinen pitkin positiivista reaaliakselia aukileikatussa tasossa ja vaihtuu seuraavaan haaraan kun z kiertää origon ympäri positiiviseen suuntaan. z^w on analyyttinen funktio joka on säännöllinen kaikkialla paitsi pisteissä 0 ja ääretön.

      Tuo oli ihan kirjatietoa. Kaavoista (1) voi jokainen halutessaan laskeskella noita eri raja-arvoja kun z-> 0 ja w-> 0 milloin mitäkin reittiä.

      Ohman

  • Gamma-funktio vieläkin hukassa?

    • Anteeksi, itseltäni on aivot hukassa!

  • Tuo /x/ >>>/y/ tarkoitti todella itseisarvoja, mutta ei lineaarista suhdetta. Esimerkkifunktioina voidaan ottaa edellä esittämäni y^(1/lny). Tässä x = 1/lny
    Eli tuossa sekä y että 1/lny -> 0 kun y->0+. Mutta jos vaikkapa y= 10^10, 1/lny = 0,043, eli jälkimmäinen lähenee nollaa koko ajan hitammin ja hitaammin kuin y. Ja kuten edellä osoitin, tuon funktion raja-arvo = e kun y-> 0+.
    Vastaavasti y^(-1/lny) raja-arvo on 1/e, kun y->0+.
    Eli sopivilla funktioilla voidaan saada kaikki mahdolliset raja-arvot 0 ja ääretön välillä.

    • Pitää olla tietysti y= 10^(-10), 1/lny = -0,043

  • Katsohan viestissäni / 8:23 kirjoittamiani kaavoja (1) jotka kuvaavat funktion z^w reaali- ja imaginaariosia. Mieti sitten, voiko sanomasi " kaikki mahdolliset raja-arvot 0 ja ääretön välillä" pitää paikkansa. Huomaa, että kaavoissa funktioiden sin ja cos muuttujat ovat reaaliset joten funktioiden itseisarvot <= 1.

    Ohman

    • No juuri tuolla edellä esittelin sulle 0^0 tyyppiä olevan funktion y^(1/lny), jonka raja-arvo on e (eli >1), kun y->0+.

    • NoinOn kirjoitti:

      No juuri tuolla edellä esittelin sulle 0^0 tyyppiä olevan funktion y^(1/lny), jonka raja-arvo on e (eli >1), kun y->0+.

      Puuttumatta muuten laskuusi niin onko mielestäsi funktio y^(log(y) sama funktio kuin y^x tai y^y. Näistä funktioista tai kompleksiversiosta z^w tässä piti olla puhe.

      Ja katsohan nyt vaan noita kaavoja 1 ja kerro, miten tuo potenssi esim. voisi kasvaa rajatta kun lähestytään origoa.

      Ohman

    • Minä olen tarkoittanut z = y^x funktiota, ja etsinyt sellaisia y(t) ja x(t) funktioita, jotka ->0 , kun t->0, jolloin z on muotoa 0^0. Ja tuo mainitsemana t^(1/lnt) on sellainen. Merkinnöissä on vähän sekavuutta, olisi heti pitänyt ottaa käyttöön tuo parametriesitys.
      Jos nyt tarkastellaan vain tapausta y>=0, jolloin funktio z saa vain reaalisia arvoja. Silloin funktion raja-arvo origossa on 1, paitsi silloin, kun y lähenee nollaa hyvin paljon nopeammin kuin x (esim. t vs 1/lnt). Jos läheneminen tapahtuu x->0+ , on raja-arvo välillä 0-1. Jos läheneminen tapahtuu x->0-, on raja-arvo välillä 1-ääretön.

  • Yrität nyt luikerrella ryhtymällä puhumaan yleisemmistä funktioista kuin z^w. Mutta kun katsot kaavoja (1) niin miten ihmeessä saat tuloksen u -> inf tai v -> inf kun sekä r että a ja b menevät nollaan, menivät ne nyt miten hyvänsä? Ja kuten jo sanoin sin- ja cos-termit ovat itseisarvoltaan <= 1.

    Ohman

    • Olen puhunut koko ajan funktiosta z = y(t)^x(t), jossa sekä y(t) että x(t)->0 kun t->0. Sen erikostapaus on funktio t^t, josta keskustelu alkoi, ja jonka raja-arvo on 1. Mutta tuo 1 on raja-arvo myös laajalle joukolle muita funktioita y(t) ja x(t). Jos y=0, silloin raja-arvo on luonnollisesti 0. Mutta jos "lähestymisura" kohti origoa on asymptoottinen akselille y=0, voi z saada muitakin arvoja kuin 1 tai 0. Esimerkkinä tuo y=t ja x=1/lnt, jonka raja-arvo on e. Mutta esim. asymptoottinen lähestyminen esim. funktioilla y=t ja x=t^(1/n), jossa n>>1, ei riitä, vaan raja-arvo on 1.
      Tuolla aiemmassa viestissä verifioin numeerisesti z=y^x mahdollisia arvoja pienillä ympyröillä e^2=y^2+x^2. Kun e->0, z->1 muualla paitsi y=0 ympäristössä. Ja sopivilla y ja x arvoilla voi saada z>1 arvoja.

  • Et nyt vastaa huomautukseeni kaavojani (1) koskien. Pidä rauhassa raja-arvosi. En viitsi jatkaa.

    Ohman

    • No sinä tarkatelet funktiota z^w, jaat muuttujat z ja w reaali- ja imaginaariosaan u ja v, jotka esität parametrin a,b,r ja t avulla. En tiedä, mitä tuosta pitäisi sanoa.
      Minun tarkasteluni on paljon yksinkertaisempi: y^x arvot x-y-tasossa, kun sekä x että y->0; mikä on raja-arvo eri uria pitkin.

    • Siis laskin vain reaaliluvuilla x ja y. Mutta jos lasketaan kompleksiluvilla, näyttää myös tulevan raja-arvoksi reaalinen 1 muulloin paitsi y=0 "ympäristössä".

  • eikö tämän ketjun vois jo lopettaa?

    0^0 = 1 ja sillä siisti

    • Noin on raja-arvona useimmilla 0^0 muotoisilla funktioilla. Mutta ei ihan kaikilla. Eikä ole pakko lukea ketjua.

  • Jos nyt kommentoin noita Ohmannin kaavoja. Niissähän on tuo tekijä r^a, jonka raja-arvo voi olla >1, kun r ja a menevät nollaan tietyllä tavalla. Otetaan vaikkapa funktio (c^(-1/t))^(-t), c>1. Se on identtisesti c, vaikka sen molemmat osatekijät, c^(-1/t) ja -t, ->0 kun t->0+.

SEISKA.FI

Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.