Yo kevät 2019, pitkä matematiikka, T.12

Valitse suoralta kaksi pistettä, nämä määrittävät kolmion kannan. Valitse kolmion kärkipiste A (muuttuja) tämän suoran kanssa yhdensuuntaiselta suoralta - suorien etäisyys määrittää kolmion korkeuden, jolloin millä tahansa A pinta-ala on vakio. Nyt siis kolmion kanta ja pinta-ala on kiinnitetty, ja piiri on A:n funktio, jonka minimissä kolmiolla on siis pienin piiri. Ratkaise tämä minimi ja totea tuo kolmio tasakylkiseksi.

Hieman vähemmällä matemaattisella pyörityksellä pääsee, jos osoittaa niinpäin, että kun kolmion piiri on vakio, tasakylkinen kolmio antaa suurimman alan. Voidaan soveltaa Heronin kaavaa:
A = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
missä p on piirin puolikas.
Kun kolmion kanta a ja piiri 2p on kiinnitetty, on kyse kaavan kahden viimeisen termin maksimoinnista. Jos ehdot täyttävällä tasakylkisellä kolmiolla kyljet ovat d ja jollain toisella ehdot täyttävällä kolmiolla kaksi muuta sivua ovat d e ja d-e, ovat nuo kaksi termiä:
(p-d-e)(p-d e) = (p-d)^2 - e^2
Mistä nähdään suoraan, että e=0 antaa suurimman arvon.

Eikös nyt vielä paremmin kuin tuo annettu "tieto" tiedetä, että kolmioista, joiden piiri on tietty luku p on tasasivuisen kolmion pinta-ala suurin.Siis A <= B. Itse asiassa A =B sjvs kun tuo toinenkin kolmio on tasasivuinen eli muulloin A < B.

Tämmöinenkin löytyy (wikipedia : Triangle):Jos kolmion pinta-ala on T ja piiri = p niin
T <= p^2 / (12* sqrt(3)) josssa yhtäsuuruus sjvs kun kolmio on tasasivuinen.Mutta eihän tätä tarvita tässä, riittää tuo, minkä edellä jo totesin. Paninpahan vain nyt esille tämänkin tiedon.

Jos taas haluttiin, että tuo tasasivuista kolmiota koskeva seikka pitää todistaa niin miksi höpistään tuosta tasakylkisestä?Onko se olevinaan jonkinlainen apu? Mutta silloinhan sekin on todistettava kuten kysyjä ajattelikin.Helpottaako tämä nyt asiaa?

Olkoot kolmion sivut a,b ja c. p = a b c ja s = p/2. Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-ala

T = sqrt(s (s-a) (s-b) (s-c)). "sjvs" tarkoittaa " silloin ja vain silloin" .

s on siis nyt annettu ja s - a >0, s - b > 0 ja s - c > 0. T:n lauseke saa suurimman arvonsa silloin kun tulo
(s-a) (s-b) (s-c) saa suurimman arvonsa.
Positiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo >= niiden geometrinen keskiarvo ja = sjvs kun luvut ovat yhtäsuuret.Tästä syystä

((s-a) (s-b) (s-c)) ^(1/3) <= 1/3 (3s - 2 s) = s/3
Koska s on annettu vakio on tuon epäyhtälön vasemman puolen suurin arvo , sjvs kun a=b=c,
juuri tuo s/3.Siis s(s-a)(s-b)(s-c) saa suurimman arvonsa sjvs kun a=b=c ja tuo arvo on s*(s/3)^3

Eli T<=( (s/3)^3 * s )^(1/2) = s^2 / 3^(3/2) = s^2/(3 sqrt(3)) = p^2 / (12 sqrt(3)) ja T siis saa tuon suurimman arvon sjvs kun a=b=c.

En tiedä, pitäisikö lukiolaisen tuo todistukseni osata tehdä, mutta ei siinä nyt kovin ihmeellistä matematiikkaa ollut. Heronin kaava ja tuo keskiarvoepäyhtälö vain.

Näin se käy, sanoi Billy Pilgrim.

Tossa paperissa on jotain tehtävästä, ja jatkoa seuraa kohta: (jos ei poisteta)
https://aijaa.com/Pm4spl