Erään kolmion piiri on p ja sen pinta-ala on A . Toisen, tasasivuisen kolmion piiri on myös p ja sen pinta-ala on B . Osoita, että A<=B .
Tätä tehtävää koskevassa hyvän vastauksen piirteet -selityksessä todetaan: "Tiedetään, että kun kolmion kanta ja pinta-ala (eli käytännössä korkeus) on annettu, niin sen piiri on pienimmillään, kun kaksi muuta sivua ovat keskenään yhtä pitkiä, eli kolmio on tasakylkinen."
Miten osoitetaan (mahdollisimman yksinkertaisesti), että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kolmion kanta ja pinta-ala on kiinnitetty.
Tätä tehtävää koskevassa hyvän vastauksen piirteet -selityksessä todetaan: "Tiedetään, että kun kolmion kanta ja pinta-ala (eli käytännössä korkeus) on annettu, niin sen piiri on pienimmillään, kun kaksi muuta sivua ovat keskenään yhtä pitkiä, eli kolmio on tasakylkinen."
Miten osoitetaan (mahdollisimman yksinkertaisesti), että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kolmion kanta ja pinta-ala on kiinnitetty.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Valitse suoralta kaksi pistettä, nämä määrittävät kolmion kannan. Valitse kolmion kärkipiste A (muuttuja) tämän suoran kanssa yhdensuuntaiselta suoralta - suorien etäisyys määrittää kolmion korkeuden, jolloin millä tahansa A pinta-ala on vakio. Nyt siis kolmion kanta ja pinta-ala on kiinnitetty, ja piiri on A:n funktio, jonka minimissä kolmiolla on siis pienin piiri. Ratkaise tämä minimi ja totea tuo kolmio tasakylkiseksi.
Hieman vähemmällä matemaattisella pyörityksellä pääsee, jos osoittaa niinpäin, että kun kolmion piiri on vakio, tasakylkinen kolmio antaa suurimman alan. Voidaan soveltaa Heronin kaavaa:
A = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
missä p on piirin puolikas.
Kun kolmion kanta a ja piiri 2p on kiinnitetty, on kyse kaavan kahden viimeisen termin maksimoinnista. Jos ehdot täyttävällä tasakylkisellä kolmiolla kyljet ovat d ja jollain toisella ehdot täyttävällä kolmiolla kaksi muuta sivua ovat d e ja d-e, ovat nuo kaksi termiä:
(p-d-e)(p-d e) = (p-d)^2 - e^2
Mistä nähdään suoraan, että e=0 antaa suurimman arvon.
Kyllä se on tasasivuinen kolmio jolla on suurin ala.Tasakylkinen ei ole sama asia kuin tasasivuinen.
Eikös nyt vielä paremmin kuin tuo annettu "tieto" tiedetä, että kolmioista, joiden piiri on tietty luku p on tasasivuisen kolmion pinta-ala suurin.Siis A <= B. Itse asiassa A =B sjvs kun tuo toinenkin kolmio on tasasivuinen eli muulloin A < B.
Tämmöinenkin löytyy (wikipedia : Triangle):Jos kolmion pinta-ala on T ja piiri = p niin
T <= p^2 / (12* sqrt(3)) josssa yhtäsuuruus sjvs kun kolmio on tasasivuinen.Mutta eihän tätä tarvita tässä, riittää tuo, minkä edellä jo totesin. Paninpahan vain nyt esille tämänkin tiedon.
Jos taas haluttiin, että tuo tasasivuista kolmiota koskeva seikka pitää todistaa niin miksi höpistään tuosta tasakylkisestä?Onko se olevinaan jonkinlainen apu? Mutta silloinhan sekin on todistettava kuten kysyjä ajattelikin.Helpottaako tämä nyt asiaa?
Ehkä sinun kannattaisi lukea avausviesti, ennen kuin alat kirjoittaa. Yo-kirjoitusten "hyvän vastauksen piirteet" siis lähtee siitä, että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kanta ja ala on kiinnitetty (ilmeisesti annettu oppimateriaalissa). Sitten todistetaan tuosta lähtien, että pienin piiri on tasasivuisella kolmiolla.
Tehtävänä oli nyt osoittaa vain tuo lähtöväittämä, että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kanta ja ala on kiinnitetty. Todistus siitä eteenpäin sisältyy hyvän vastauksen piirteet -aineistoon.
Voi tuon suoraankin, että tasasivuinen kolmio antaa suurimman alan, kun piiri on kiinnitetty. Edellyttäisi kuitenkin kahden muuttujan funktion osittaisderivaattoja, mikä ei kuulu lukion kurssiin.
Tarkoitin vain, että minusta tuo tasasivuista kolmiota koskeva asia on yleisesti tunnettu ja tuo annettu tasakylkistä kolmiota koskeva vinkki taas vähän spesifempää tietoa joten minusta oli kummallista käyttää sellaista. Kyllä minä luin avausviestin.
Tuossa oli kuitenkin kyseessä ylioppilaskirjoitukset, ja niissä on käytettävä lukiokursseihin sisältyvää materiaalia. Eli ei voi käyttää esim yhtälöä T <= p^2 / (12* sqrt(3)) johtamatta sitä.
No eihän tuota jo minunkin mainitsemaani epäyhtälöä ehkä kuulu lukion kurssiin mutta eihän sitä tässä varsinaisesti tarvitakaan, ainoastaan tieto, että kolmioista, joiden piiri on annettu, tasasivuinen on pinta-alaltaan suurin. Ja tämän miltei yleistiedon luulisi lukion kurssiin kuuluvan.
Tarkoitin siis, että tuo annettu lisäohje on tavallaan konstikkaampi kuin tuo yleinen tosiseikka tasasivuisesta kolmiosta.
No, välistä on ylioppilaskirjoituksiin sisältynyt pytagoraan lauseen todistaminen, vaikka sekin on annettu oppimateriaalissa. Mutta lukiotiedoilla on ilmeisesti ensin todistettava asia tasakylkiselle kolmiolle ja sen jälkeen tasasivuiselle. Yllättävää, että tasakylkiselle kolmiolle piirin minimaalisuus oletetaan tiedettävän.
Olkoot kolmion sivut a,b ja c. p = a b c ja s = p/2. Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-ala
T = sqrt(s (s-a) (s-b) (s-c)). "sjvs" tarkoittaa " silloin ja vain silloin" .
s on siis nyt annettu ja s - a >0, s - b > 0 ja s - c > 0. T:n lauseke saa suurimman arvonsa silloin kun tulo
(s-a) (s-b) (s-c) saa suurimman arvonsa.
Positiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo >= niiden geometrinen keskiarvo ja = sjvs kun luvut ovat yhtäsuuret.Tästä syystä
((s-a) (s-b) (s-c)) ^(1/3) <= 1/3 (3s - 2 s) = s/3
Koska s on annettu vakio on tuon epäyhtälön vasemman puolen suurin arvo , sjvs kun a=b=c,
juuri tuo s/3.Siis s(s-a)(s-b)(s-c) saa suurimman arvonsa sjvs kun a=b=c ja tuo arvo on s*(s/3)^3
Eli T<=( (s/3)^3 * s )^(1/2) = s^2 / 3^(3/2) = s^2/(3 sqrt(3)) = p^2 / (12 sqrt(3)) ja T siis saa tuon suurimman arvon sjvs kun a=b=c.
En tiedä, pitäisikö lukiolaisen tuo todistukseni osata tehdä, mutta ei siinä nyt kovin ihmeellistä matematiikkaa ollut. Heronin kaava ja tuo keskiarvoepäyhtälö vain.
Näin se käy, sanoi Billy Pilgrim.
Tossa paperissa on jotain tehtävästä, ja jatkoa seuraa kohta: (jos ei poisteta)
https://aijaa.com/Pm4spl
Tossa sitten se jatko: https://aijaa.com/LHig31