Erään kolmion piiri on p ja sen pinta-ala on A . Toisen, tasasivuisen kolmion piiri on myös p ja sen pinta-ala on B . Osoita, että A<=B .
Tätä tehtävää koskevassa hyvän vastauksen piirteet -selityksessä todetaan: "Tiedetään, että kun kolmion kanta ja pinta-ala (eli käytännössä korkeus) on annettu, niin sen piiri on pienimmillään, kun kaksi muuta sivua ovat keskenään yhtä pitkiä, eli kolmio on tasakylkinen."
Miten osoitetaan (mahdollisimman yksinkertaisesti), että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kolmion kanta ja pinta-ala on kiinnitetty.
Yo kevät 2019, pitkä matematiikka, T.12
13
169
Vastaukset
- laskee
Valitse suoralta kaksi pistettä, nämä määrittävät kolmion kannan. Valitse kolmion kärkipiste A (muuttuja) tämän suoran kanssa yhdensuuntaiselta suoralta - suorien etäisyys määrittää kolmion korkeuden, jolloin millä tahansa A pinta-ala on vakio. Nyt siis kolmion kanta ja pinta-ala on kiinnitetty, ja piiri on A:n funktio, jonka minimissä kolmiolla on siis pienin piiri. Ratkaise tämä minimi ja totea tuo kolmio tasakylkiseksi.
- NoinhanSeMenee
Hieman vähemmällä matemaattisella pyörityksellä pääsee, jos osoittaa niinpäin, että kun kolmion piiri on vakio, tasakylkinen kolmio antaa suurimman alan. Voidaan soveltaa Heronin kaavaa:
A = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
missä p on piirin puolikas.
Kun kolmion kanta a ja piiri 2p on kiinnitetty, on kyse kaavan kahden viimeisen termin maksimoinnista. Jos ehdot täyttävällä tasakylkisellä kolmiolla kyljet ovat d ja jollain toisella ehdot täyttävällä kolmiolla kaksi muuta sivua ovat d e ja d-e, ovat nuo kaksi termiä:
(p-d-e)(p-d e) = (p-d)^2 - e^2
Mistä nähdään suoraan, että e=0 antaa suurimman arvon.- Ohman4
Kyllä se on tasasivuinen kolmio jolla on suurin ala.Tasakylkinen ei ole sama asia kuin tasasivuinen.
- Ohman4
Eikös nyt vielä paremmin kuin tuo annettu "tieto" tiedetä, että kolmioista, joiden piiri on tietty luku p on tasasivuisen kolmion pinta-ala suurin.Siis A <= B. Itse asiassa A =B sjvs kun tuo toinenkin kolmio on tasasivuinen eli muulloin A < B.
Tämmöinenkin löytyy (wikipedia : Triangle):Jos kolmion pinta-ala on T ja piiri = p niin
T <= p^2 / (12* sqrt(3)) josssa yhtäsuuruus sjvs kun kolmio on tasasivuinen.Mutta eihän tätä tarvita tässä, riittää tuo, minkä edellä jo totesin. Paninpahan vain nyt esille tämänkin tiedon.
Jos taas haluttiin, että tuo tasasivuista kolmiota koskeva seikka pitää todistaa niin miksi höpistään tuosta tasakylkisestä?Onko se olevinaan jonkinlainen apu? Mutta silloinhan sekin on todistettava kuten kysyjä ajattelikin.Helpottaako tämä nyt asiaa?- MitenLie
Ehkä sinun kannattaisi lukea avausviesti, ennen kuin alat kirjoittaa. Yo-kirjoitusten "hyvän vastauksen piirteet" siis lähtee siitä, että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kanta ja ala on kiinnitetty (ilmeisesti annettu oppimateriaalissa). Sitten todistetaan tuosta lähtien, että pienin piiri on tasasivuisella kolmiolla.
Tehtävänä oli nyt osoittaa vain tuo lähtöväittämä, että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kanta ja ala on kiinnitetty. Todistus siitä eteenpäin sisältyy hyvän vastauksen piirteet -aineistoon. - NoinhanSeMenee
Voi tuon suoraankin, että tasasivuinen kolmio antaa suurimman alan, kun piiri on kiinnitetty. Edellyttäisi kuitenkin kahden muuttujan funktion osittaisderivaattoja, mikä ei kuulu lukion kurssiin.
- Ohman4
MitenLie kirjoitti:
Ehkä sinun kannattaisi lukea avausviesti, ennen kuin alat kirjoittaa. Yo-kirjoitusten "hyvän vastauksen piirteet" siis lähtee siitä, että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kanta ja ala on kiinnitetty (ilmeisesti annettu oppimateriaalissa). Sitten todistetaan tuosta lähtien, että pienin piiri on tasasivuisella kolmiolla.
Tehtävänä oli nyt osoittaa vain tuo lähtöväittämä, että tasakylkisellä kolmiolla on pienin piiri, kun kanta ja ala on kiinnitetty. Todistus siitä eteenpäin sisältyy hyvän vastauksen piirteet -aineistoon.Tarkoitin vain, että minusta tuo tasasivuista kolmiota koskeva asia on yleisesti tunnettu ja tuo annettu tasakylkistä kolmiota koskeva vinkki taas vähän spesifempää tietoa joten minusta oli kummallista käyttää sellaista. Kyllä minä luin avausviestin.
- MitenLie
Tuossa oli kuitenkin kyseessä ylioppilaskirjoitukset, ja niissä on käytettävä lukiokursseihin sisältyvää materiaalia. Eli ei voi käyttää esim yhtälöä T <= p^2 / (12* sqrt(3)) johtamatta sitä.
- Ohman4
MitenLie kirjoitti:
Tuossa oli kuitenkin kyseessä ylioppilaskirjoitukset, ja niissä on käytettävä lukiokursseihin sisältyvää materiaalia. Eli ei voi käyttää esim yhtälöä T <= p^2 / (12* sqrt(3)) johtamatta sitä.
No eihän tuota jo minunkin mainitsemaani epäyhtälöä ehkä kuulu lukion kurssiin mutta eihän sitä tässä varsinaisesti tarvitakaan, ainoastaan tieto, että kolmioista, joiden piiri on annettu, tasasivuinen on pinta-alaltaan suurin. Ja tämän miltei yleistiedon luulisi lukion kurssiin kuuluvan.
Tarkoitin siis, että tuo annettu lisäohje on tavallaan konstikkaampi kuin tuo yleinen tosiseikka tasasivuisesta kolmiosta. - MitenLie
No, välistä on ylioppilaskirjoituksiin sisältynyt pytagoraan lauseen todistaminen, vaikka sekin on annettu oppimateriaalissa. Mutta lukiotiedoilla on ilmeisesti ensin todistettava asia tasakylkiselle kolmiolle ja sen jälkeen tasasivuiselle. Yllättävää, että tasakylkiselle kolmiolle piirin minimaalisuus oletetaan tiedettävän.
- Ohman4
Olkoot kolmion sivut a,b ja c. p = a b c ja s = p/2. Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-ala
T = sqrt(s (s-a) (s-b) (s-c)). "sjvs" tarkoittaa " silloin ja vain silloin" .
s on siis nyt annettu ja s - a >0, s - b > 0 ja s - c > 0. T:n lauseke saa suurimman arvonsa silloin kun tulo
(s-a) (s-b) (s-c) saa suurimman arvonsa.
Positiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo >= niiden geometrinen keskiarvo ja = sjvs kun luvut ovat yhtäsuuret.Tästä syystä
((s-a) (s-b) (s-c)) ^(1/3) <= 1/3 (3s - 2 s) = s/3
Koska s on annettu vakio on tuon epäyhtälön vasemman puolen suurin arvo , sjvs kun a=b=c,
juuri tuo s/3.Siis s(s-a)(s-b)(s-c) saa suurimman arvonsa sjvs kun a=b=c ja tuo arvo on s*(s/3)^3
Eli T<=( (s/3)^3 * s )^(1/2) = s^2 / 3^(3/2) = s^2/(3 sqrt(3)) = p^2 / (12 sqrt(3)) ja T siis saa tuon suurimman arvon sjvs kun a=b=c.
En tiedä, pitäisikö lukiolaisen tuo todistukseni osata tehdä, mutta ei siinä nyt kovin ihmeellistä matematiikkaa ollut. Heronin kaava ja tuo keskiarvoepäyhtälö vain.
Näin se käy, sanoi Billy Pilgrim. - aeija
Tossa paperissa on jotain tehtävästä, ja jatkoa seuraa kohta: (jos ei poisteta)
https://aijaa.com/Pm4spl
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
4 tuntia töitä kerran viikossa on naisen mukaan liian raskasta
Tämä ei taija olls lieksalaine vaikka "tuntomerkkiin" perusteella nii vois eppäillä! 🤣 31-vuotias Maya ei kykene tekemä522804Riikka Purra rosvosi eläkeläiset!
1900 euron eläkkeestä rosvottiin 350 euroa. Kohtuullista vai? Perussuomalaisia ei enää ole olemassa meille eläkeläisille5202642- 481845
- 321767
Ihastuksesi persoonalliset piirteet ulkonäössä?
Onko jotain massasta poikkeavaa? Uskallatko paljastaa? Aloitan; todella kauniit kädet ja sirot sormet miehellä.1171723SDP:n kannatus edelleen kovassa nousussa, ps ja kokoomus putoavat
SDP on noussut Helsingin Sanomien tuoreessa kannatuskyselyssä kokoomuksen ohi Suomen suosituimmaksi puolueeksi. SDP:n ka3011659Tappo Kokkolassa
Päivitetty tänään Iltalehti 17.04.2024 Klo: 15:23..Mikähän tämä tapaus nyt sitten taas on.? Henkirikos Kokkolassa on tap91272Kansaneläkkeiden maksu ulkomaille loppuu
Hyvä homma! Yli 30 miljoonan säästö siitäkin. Toxia.871106Ketä ammuttu ?
Ketä sielä Juupajoela ammuttu ei kait mainemies alkanu amuskelemaan , , Kyösti H ?221082Nainen, meistä tulisi maailman ihanin pari
Mutta tosiasiat tosiasioina, on liian monta asiaa, jotka sotivat meidän yhteistä taivalta vastaan. Surulla tämän sanon,541067