auttakaaaa paraabelin ja suoran kanssa

Ajattele ensin mitkä ne on ne pisteet, sellaiset pisteet jotka on 1:n etäisyydellä suorasta. (Vinkki: melkein suoria itsekin, eikä vaan ihan melkeinkään)

Tai sitten vaan kirjoitat koko höskän yhtälöksi, mutta siitä voi tulla vähän hankalahko.

Jos paraabelin piste on p, p^2 niin käyttämällä tunnettua pisteen etäisyys suorasta kaavaa, laskun pitäisi helposti onnistua. Ei niitä tosin pitäisi olla kuin yksi piste.....

Vektorien A ja B sisätulo (skalaaritulo, pistetulo) olkoon (A,B). Meillä on suora

(1) ax by = d1. Kun A = a i b j ja suoran pisteen paikkavektori R = x i y j suoran (1) yhtälö voidaan kirjoittaa (A,R) = d1.

Jos S1 ja S2 ovat suoran (1) kahden pisteen paikkavektorit, on (A,S1) = (A,S2) = d1 joten
(A, S1 - S2) = d1 - d1 = 0. S1 - S2 on suoran suuntainen vektori ja A on siis sitä vastaan kohtisuorassa joten A on suoran (1) normaali. Ykkösnormaali on N = 1/ lAl * A (tai - N).l A l = sqrt(a^2 b^2).

Kaikki suorat (A,R) = d, missä d saa eri arvoja, ovat yhdensuuntaiset, niillähän on sama normaali eli tuo N.

Otetaan nyt suorat (A,R) = d1 ja (2) (A,R) = d2. Olkoon R1 suoran (1) piste ja R2 suoran (2) piste
(paikkavektoreita siis).Vektorin R1 - R2 projektio normaalille N on (R1 - R2,N) N ja tämän pituus on suorien välimatka eli suorien etäisyys on l (R1 - R2,N) l = l (R1,N) - (R2,N) l = l d1 - d2l / sqrt(a^2 b^2) .
Tehtävässä on suora

(3) 3x - 4y = 4

eli A = 3 i - 4 j ja suora (3) on (A,R) = 4. l A l = sqrt(9 16) = 5. Suora

(4) (A,R) = d

on suorasta (3) etäisyydellä 1 silloin kun l d - 4 l / 5 = 1 eli kun d = 9 tai d = - 1.

Nämä ovat suorat R(x) = x i ( 3/4 x - 9/4) j ja R(x) = x i ( 3/4 x 1/4) j

Kun d = 9 niin suora 4 ei leikkaa paraabelia R(x) = x i x^2 j (tämä on se y = x^2 parametrimuodossa).
Jos pannaan x^2 = 3/4 x - 9/4 saadaan yhtälö x^2 - 3/4 x 9/4 = 0 josta x = 3/8 /- 1/2 * sqrt(9/16 - 9) joten reaalijuuria ei ole.

Kun d = - 1 saadaan yhtälö x^2 - 3/4 x - 1/4 = 0 josta x = 3/8 /- 1/2 * sqrt(9/16 1) = 3/8 /- 5/8
= - 1/4 tai 1. Paraabelin pisteet ovat siis (- 1/4, 1/16) tai (1,1) kuten täällä on jo moneen kertaan laskettu.

Esityksestä tuli pitkähkö koska halusin esittää laskutavan perusteista lähtien. Ilman noita selityksiä lasku olisi lyhyt.

Ohman