Yhtälöpari

Anonyymi

Miten lasketaan yhtölöparilla esim. Nauloja on yhteensä 500. Toisessa laatikossa on 30 naulaa vähemmän. Paljonko on kummassakin laatikossa (kaksi laatikkoa)?

20 kommenttia

Vastaukset

  • Muodostamalla yhtälöpari ja ratkaisemalla se. Muuttujiksi tietenkin laatikoiden naulamäärät. Millaiset yhtälöt saat annetuista tiedoista muodostettua?

    Mitä se tarkoittaisi, että yhteensä on 500 naulaa? Siis jos molemman laatikon sisältö kaadetaan samaan kasaan ja sitten lasketaan naulat yksi kerrallaan, niin saadaan luku 500. Vinkki: tämähän tarkoittaa summaamista.

    Entäpä sitten se, että toisessa on 30 vähemmän? Sehän tarkoittaa että siinä toisessa on sitten 30 enemmän. Jos alat ottamaan laatikoista nauloja kummastakin yksi kerrallaan (paritellen, siis naulat paritellen ei tarvitse samalla yhdyntää harjoittaa) pois eli otat yhtä monta kummastakin ja sitten kun toisessa on nolla, niin toisessa on vielä 30. Tällähän on jotain tekemistä erotuksen kanssa.

    Nämähän ovat molemmat ajatuskokeita, sillä jos ekassa jo sotket naulat yhteen et enää muista kuinka monta per laatikko oli, toki sen voi rekonstruoida tiedoista. Mutta jos sinulla ne laatikot oikeasti on, niin ratkaisuhan onnistuu ihan laskemallakin laatikoiden sisällöt.

  • Ota 30 naulaa pois kokonaismäärästä. Jäljellä jää 470. Tuosta on puolet eli 235 kummassakin laatikossa. Lisää 30 takaisin toiseen laatikkoon.

    Nyt kun tiedät vastauksen ja tarvittavat laskutoimitukset, voi muodosta helposti kaksi yhtälöä.

  • a + b = 500
    a - b = 30

  • V=A-LAATIKKO 265 JA B LAATIKKO 235 JA KAIKKI TÄMÄ ILMAN YHMYNTÖJÄ.

  • Matriisilla voisi laskea näin
    [[1,1], [1,-1]] [x, y] = [500, 30],
    joten
    [x, y] = [[1,1], [1,-1]]^{-1} [500, 30] = [265, 235].

    • Matriisin käyttö tuntuu magialta :)
      Jostain syystä se toimii.


    • Ilmeisesti kuitenkin niin itsestään selvää ettei sen yleistä todistusta näe missään ;-(


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ilmeisesti kuitenkin niin itsestään selvää ettei sen yleistä todistusta näe missään ;-(

      Ovat hyvä abstraktio. Muodostavat sitten renkaan itsessäänkin ja tietysti mielenkiintoisia ryhmiä.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ilmeisesti kuitenkin niin itsestään selvää ettei sen yleistä todistusta näe missään ;-(

      A olkoon matriisi jolla on käänteismatriisi A^( - 1).Sen määritelmä on seuraava:

      A*A^(- 1) =A^(- 1) * A = I missä I on ykkösmatriisi: jokaiselle matriisille C on I*C = C*I = C.

      Jos meillä on yhtälöryhmä

      A*X = B niin A^( - 1) * A * X =A^( - 1) * B eli I*X = A^( - 1) * B
      joten X =A^( - 1) * B.

      Ei ole magiaa. Mutta tietysti matriisilaskenta näin yksinkertaisessa tehtävässä on vähän ylimitoitettua. Lienee huumoria.


    • Anonyymi kirjoitti:

      A olkoon matriisi jolla on käänteismatriisi A^( - 1).Sen määritelmä on seuraava:

      A*A^(- 1) =A^(- 1) * A = I missä I on ykkösmatriisi: jokaiselle matriisille C on I*C = C*I = C.

      Jos meillä on yhtälöryhmä

      A*X = B niin A^( - 1) * A * X =A^( - 1) * B eli I*X = A^( - 1) * B
      joten X =A^( - 1) * B.

      Ei ole magiaa. Mutta tietysti matriisilaskenta näin yksinkertaisessa tehtävässä on vähän ylimitoitettua. Lienee huumoria.

      Jos ajatteleen vaikka kuuden muuttujan kuuden yhtälön ryhmää. Se että kaikki ne laskutoimitukset jotka suoritetaan tuottavat halutun tuloksen.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Jos ajatteleen vaikka kuuden muuttujan kuuden yhtälön ryhmää. Se että kaikki ne laskutoimitukset jotka suoritetaan tuottavat halutun tuloksen.

      Saako sen jotenkin rekursiivisesti kun ensin osoittaa 2 x 2 tapauksen.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Saako sen jotenkin rekursiivisesti kun ensin osoittaa 2 x 2 tapauksen.

      Ei tässä tarvita mitään rekursiota. A on n x n - matriisi jolloin yhtälöryhmässä on n-yhtälöä ja n-tumtematonta, n n = 2,3,4,...

      Kunhan käänteismatriisi on olemasssa eli A:n determinantti det(A) = / 0, niin ratkaisu toimii kuten näytin.

      Eräs mukava tapa ratkaista yhtälöryhmä on Cramerin sääntö, kts. esim. Wikipedia.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ei tässä tarvita mitään rekursiota. A on n x n - matriisi jolloin yhtälöryhmässä on n-yhtälöä ja n-tumtematonta, n n = 2,3,4,...

      Kunhan käänteismatriisi on olemasssa eli A:n determinantti det(A) = / 0, niin ratkaisu toimii kuten näytin.

      Eräs mukava tapa ratkaista yhtälöryhmä on Cramerin sääntö, kts. esim. Wikipedia.

      p.o. n = 2,3,4,...


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ei tässä tarvita mitään rekursiota. A on n x n - matriisi jolloin yhtälöryhmässä on n-yhtälöä ja n-tumtematonta, n n = 2,3,4,...

      Kunhan käänteismatriisi on olemasssa eli A:n determinantti det(A) = / 0, niin ratkaisu toimii kuten näytin.

      Eräs mukava tapa ratkaista yhtälöryhmä on Cramerin sääntö, kts. esim. Wikipedia.

      Minun mielestäni tuo on vain valmiin merkintätavan käyttöä.
      Ei osoita tai todista mitään että se toimii tai miksi se toimii.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Minun mielestäni tuo on vain valmiin merkintätavan käyttöä.
      Ei osoita tai todista mitään että se toimii tai miksi se toimii.

      Miksi sen pitäisi jotain todistaa ja mitä sen pitäisi todistaa?


    • Anonyymi kirjoitti:

      Minun mielestäni tuo on vain valmiin merkintätavan käyttöä.
      Ei osoita tai todista mitään että se toimii tai miksi se toimii.

      Olkoon sinulla yhden muuttujan yhtälö a x = b. Jos a =/ 0 niin sillä on käänteiselementti a^( - 1) = 1/a. Kerrot yhtälön molemmat puolet sillä. Saadaan
      1/a * a x = 1/a * b eli x = b/a.
      Tässä sinulla on 1 x 1 - matriisi a jas sen käänteismatriisi on 1/a. det(a) = a =/ 0.
      Ihan samoin käy yleisemmän n x n - matriisin kanssa kuten aiemmin jo yritin serlittää. Matriisialgebrassa A^( - 1) * A = I jne.

      a(1,1) x(1) + a(1,2) x(2) +...+ a(1,n) x(n) = b(1)
      ....
      a(n,1) x(1) +... + a(n,n) x(n) = b(n)

      on matriisimuodossa A *X = B missä A on kertoimien a(i,j) muodostama matriisi, X on tuntemattomien x(i) muodostama pystyvektori ja B on tunnettujen lukujen b(i) muodostama pystyvektori.
      Matriisialgebran sääntöjen mukaan täytyy olla X = A^( - 1) * B.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Olkoon sinulla yhden muuttujan yhtälö a x = b. Jos a =/ 0 niin sillä on käänteiselementti a^( - 1) = 1/a. Kerrot yhtälön molemmat puolet sillä. Saadaan
      1/a * a x = 1/a * b eli x = b/a.
      Tässä sinulla on 1 x 1 - matriisi a jas sen käänteismatriisi on 1/a. det(a) = a =/ 0.
      Ihan samoin käy yleisemmän n x n - matriisin kanssa kuten aiemmin jo yritin serlittää. Matriisialgebrassa A^( - 1) * A = I jne.

      a(1,1) x(1) + a(1,2) x(2) +...+ a(1,n) x(n) = b(1)
      ....
      a(n,1) x(1) +... + a(n,n) x(n) = b(n)

      on matriisimuodossa A *X = B missä A on kertoimien a(i,j) muodostama matriisi, X on tuntemattomien x(i) muodostama pystyvektori ja B on tunnettujen lukujen b(i) muodostama pystyvektori.
      Matriisialgebran sääntöjen mukaan täytyy olla X = A^( - 1) * B.

      Kiitos selityksestä. Yritän varsinkin tuota "Ihan samoin käy yleisemmän n x n - matriisin kanssa " kohtaa saada itselleni selitettyä. Pitää ottaa kynä ja paperi avuksi pitämään ajatukset kasassa.

      Ehkä tämä on sitä että "kuinka selität lapselle" kategoriaa 😁


  • Tällaisen laskee päässä nopeasti siten, että ensin jakaa 500 kahdella ja saa 250. Sitten muokkaa tulosta 15 molempiin suuntiin eli 235 ja 265.

  • 500 = X + X – 30

    530 = 2X

    X = 530 / 2

    X = 265

    Eli toisessa laatikossa (laatikko X) on nauloja 265.

    Toisessa laatikossa (laatikko Y) on nauloja 30 vähemmän eli 235.

    Tarkistetaan: 265 + 235 = 500 ; ELI OIKEIN LASKETTU

    • Ikävä kyllä saat tällä kertaa vain 1 pisteen.

      Tehtävä piti ehdottomasti ratkaista yhtälöparilla. Niitähän tällä kurssilla harjoitellaan ensimmäistä kertaa. Aivan liian helppoa ilman sitä. On tietysti maailman helpoin yhtälöparitehtävänäkin:

      x + y = 500
      x - y = 30


Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.