Miten lasketaan yhtölöparilla esim. Nauloja on yhteensä 500. Toisessa laatikossa on 30 naulaa vähemmän. Paljonko on kummassakin laatikossa (kaksi laatikkoa)?
Yhtälöpari
Anonyymi
20
212
Vastaukset
Muodostamalla yhtälöpari ja ratkaisemalla se. Muuttujiksi tietenkin laatikoiden naulamäärät. Millaiset yhtälöt saat annetuista tiedoista muodostettua?
Mitä se tarkoittaisi, että yhteensä on 500 naulaa? Siis jos molemman laatikon sisältö kaadetaan samaan kasaan ja sitten lasketaan naulat yksi kerrallaan, niin saadaan luku 500. Vinkki: tämähän tarkoittaa summaamista.
Entäpä sitten se, että toisessa on 30 vähemmän? Sehän tarkoittaa että siinä toisessa on sitten 30 enemmän. Jos alat ottamaan laatikoista nauloja kummastakin yksi kerrallaan (paritellen, siis naulat paritellen ei tarvitse samalla yhdyntää harjoittaa) pois eli otat yhtä monta kummastakin ja sitten kun toisessa on nolla, niin toisessa on vielä 30. Tällähän on jotain tekemistä erotuksen kanssa.
Nämähän ovat molemmat ajatuskokeita, sillä jos ekassa jo sotket naulat yhteen et enää muista kuinka monta per laatikko oli, toki sen voi rekonstruoida tiedoista. Mutta jos sinulla ne laatikot oikeasti on, niin ratkaisuhan onnistuu ihan laskemallakin laatikoiden sisällöt.- Anonyymi
Ota 30 naulaa pois kokonaismäärästä. Jäljellä jää 470. Tuosta on puolet eli 235 kummassakin laatikossa. Lisää 30 takaisin toiseen laatikkoon.
Nyt kun tiedät vastauksen ja tarvittavat laskutoimitukset, voi muodosta helposti kaksi yhtälöä. - Anonyymi
a b = 500
a - b = 30 - Anonyymi
V=A-LAATIKKO 265 JA B LAATIKKO 235 JA KAIKKI TÄMÄ ILMAN YHMYNTÖJÄ.
Matriisilla voisi laskea näin
[[1,1], [1,-1]] [x, y] = [500, 30],
joten
[x, y] = [[1,1], [1,-1]]^{-1} [500, 30] = [265, 235].- Anonyymi
Matriisin käyttö tuntuu magialta :)
Jostain syystä se toimii. - Anonyymi
Ilmeisesti kuitenkin niin itsestään selvää ettei sen yleistä todistusta näe missään ;-(
Anonyymi kirjoitti:
Ilmeisesti kuitenkin niin itsestään selvää ettei sen yleistä todistusta näe missään ;-(
Ovat hyvä abstraktio. Muodostavat sitten renkaan itsessäänkin ja tietysti mielenkiintoisia ryhmiä.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ilmeisesti kuitenkin niin itsestään selvää ettei sen yleistä todistusta näe missään ;-(
A olkoon matriisi jolla on käänteismatriisi A^( - 1).Sen määritelmä on seuraava:
A*A^(- 1) =A^(- 1) * A = I missä I on ykkösmatriisi: jokaiselle matriisille C on I*C = C*I = C.
Jos meillä on yhtälöryhmä
A*X = B niin A^( - 1) * A * X =A^( - 1) * B eli I*X = A^( - 1) * B
joten X =A^( - 1) * B.
Ei ole magiaa. Mutta tietysti matriisilaskenta näin yksinkertaisessa tehtävässä on vähän ylimitoitettua. Lienee huumoria. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
A olkoon matriisi jolla on käänteismatriisi A^( - 1).Sen määritelmä on seuraava:
A*A^(- 1) =A^(- 1) * A = I missä I on ykkösmatriisi: jokaiselle matriisille C on I*C = C*I = C.
Jos meillä on yhtälöryhmä
A*X = B niin A^( - 1) * A * X =A^( - 1) * B eli I*X = A^( - 1) * B
joten X =A^( - 1) * B.
Ei ole magiaa. Mutta tietysti matriisilaskenta näin yksinkertaisessa tehtävässä on vähän ylimitoitettua. Lienee huumoria.Jos ajatteleen vaikka kuuden muuttujan kuuden yhtälön ryhmää. Se että kaikki ne laskutoimitukset jotka suoritetaan tuottavat halutun tuloksen.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos ajatteleen vaikka kuuden muuttujan kuuden yhtälön ryhmää. Se että kaikki ne laskutoimitukset jotka suoritetaan tuottavat halutun tuloksen.
Saako sen jotenkin rekursiivisesti kun ensin osoittaa 2 x 2 tapauksen.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Saako sen jotenkin rekursiivisesti kun ensin osoittaa 2 x 2 tapauksen.
Ei tässä tarvita mitään rekursiota. A on n x n - matriisi jolloin yhtälöryhmässä on n-yhtälöä ja n-tumtematonta, n n = 2,3,4,...
Kunhan käänteismatriisi on olemasssa eli A:n determinantti det(A) = / 0, niin ratkaisu toimii kuten näytin.
Eräs mukava tapa ratkaista yhtälöryhmä on Cramerin sääntö, kts. esim. Wikipedia. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei tässä tarvita mitään rekursiota. A on n x n - matriisi jolloin yhtälöryhmässä on n-yhtälöä ja n-tumtematonta, n n = 2,3,4,...
Kunhan käänteismatriisi on olemasssa eli A:n determinantti det(A) = / 0, niin ratkaisu toimii kuten näytin.
Eräs mukava tapa ratkaista yhtälöryhmä on Cramerin sääntö, kts. esim. Wikipedia.p.o. n = 2,3,4,...
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei tässä tarvita mitään rekursiota. A on n x n - matriisi jolloin yhtälöryhmässä on n-yhtälöä ja n-tumtematonta, n n = 2,3,4,...
Kunhan käänteismatriisi on olemasssa eli A:n determinantti det(A) = / 0, niin ratkaisu toimii kuten näytin.
Eräs mukava tapa ratkaista yhtälöryhmä on Cramerin sääntö, kts. esim. Wikipedia.Minun mielestäni tuo on vain valmiin merkintätavan käyttöä.
Ei osoita tai todista mitään että se toimii tai miksi se toimii. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Minun mielestäni tuo on vain valmiin merkintätavan käyttöä.
Ei osoita tai todista mitään että se toimii tai miksi se toimii.Miksi sen pitäisi jotain todistaa ja mitä sen pitäisi todistaa?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Minun mielestäni tuo on vain valmiin merkintätavan käyttöä.
Ei osoita tai todista mitään että se toimii tai miksi se toimii.Olkoon sinulla yhden muuttujan yhtälö a x = b. Jos a =/ 0 niin sillä on käänteiselementti a^( - 1) = 1/a. Kerrot yhtälön molemmat puolet sillä. Saadaan
1/a * a x = 1/a * b eli x = b/a.
Tässä sinulla on 1 x 1 - matriisi a jas sen käänteismatriisi on 1/a. det(a) = a =/ 0.
Ihan samoin käy yleisemmän n x n - matriisin kanssa kuten aiemmin jo yritin serlittää. Matriisialgebrassa A^( - 1) * A = I jne.
a(1,1) x(1) a(1,2) x(2) ... a(1,n) x(n) = b(1)
....
a(n,1) x(1) ... a(n,n) x(n) = b(n)
on matriisimuodossa A *X = B missä A on kertoimien a(i,j) muodostama matriisi, X on tuntemattomien x(i) muodostama pystyvektori ja B on tunnettujen lukujen b(i) muodostama pystyvektori.
Matriisialgebran sääntöjen mukaan täytyy olla X = A^( - 1) * B. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Olkoon sinulla yhden muuttujan yhtälö a x = b. Jos a =/ 0 niin sillä on käänteiselementti a^( - 1) = 1/a. Kerrot yhtälön molemmat puolet sillä. Saadaan
1/a * a x = 1/a * b eli x = b/a.
Tässä sinulla on 1 x 1 - matriisi a jas sen käänteismatriisi on 1/a. det(a) = a =/ 0.
Ihan samoin käy yleisemmän n x n - matriisin kanssa kuten aiemmin jo yritin serlittää. Matriisialgebrassa A^( - 1) * A = I jne.
a(1,1) x(1) a(1,2) x(2) ... a(1,n) x(n) = b(1)
....
a(n,1) x(1) ... a(n,n) x(n) = b(n)
on matriisimuodossa A *X = B missä A on kertoimien a(i,j) muodostama matriisi, X on tuntemattomien x(i) muodostama pystyvektori ja B on tunnettujen lukujen b(i) muodostama pystyvektori.
Matriisialgebran sääntöjen mukaan täytyy olla X = A^( - 1) * B.Kiitos selityksestä. Yritän varsinkin tuota "Ihan samoin käy yleisemmän n x n - matriisin kanssa " kohtaa saada itselleni selitettyä. Pitää ottaa kynä ja paperi avuksi pitämään ajatukset kasassa.
Ehkä tämä on sitä että "kuinka selität lapselle" kategoriaa 😁
Tällaisen laskee päässä nopeasti siten, että ensin jakaa 500 kahdella ja saa 250. Sitten muokkaa tulosta 15 molempiin suuntiin eli 235 ja 265.
- Anonyymi
500 = X X – 30
530 = 2X
X = 530 / 2
X = 265
Eli toisessa laatikossa (laatikko X) on nauloja 265.
Toisessa laatikossa (laatikko Y) on nauloja 30 vähemmän eli 235.
Tarkistetaan: 265 235 = 500 ; ELI OIKEIN LASKETTU- Anonyymi
Ikävä kyllä saat tällä kertaa vain 1 pisteen.
Tehtävä piti ehdottomasti ratkaista yhtälöparilla. Niitähän tällä kurssilla harjoitellaan ensimmäistä kertaa. Aivan liian helppoa ilman sitä. On tietysti maailman helpoin yhtälöparitehtävänäkin:
x y = 500
x - y = 30
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ensi kesänä
Näin kesän viimeisenä minuutteina ajattelen sinua. Olisiko seuraava kesä "meidän" kesä? Tänä vuonna ei onnistuttu, mutta633204Tukalaa kuumuutta
Tietäisitpä vaan kuinka kuumana olen käynyt viime päivät. Eikä johdu helteestä, vaan sinusta. Mitäköhän taikoja olet teh433087- 422437
Anne Kukkohovin karmeat velat ovat Suomessa.
Lähtikö se siksi pois Suomesta ? Et on noin kar? mean suuret velat naisella olemassa992150- 311903
Okei, myönnetään,
Oisit sä saanut ottaa ne housutkin pois, mutta ehkä joskus jossain toisaalla. 😘271790- 481616
Mihin hävisi
Mihin hävisi asiallinen keskustelu tositapahtumista, vai pitikö jonkin Hannulle kateellisen näyttää typeryytensä841397- 391290
- 811132