Sulkeuman määrääminen

Anonyymi

Tämmöinen tehtävä: olkoon A reaalilukujen osajoukko s.e. A=(0,1) U {2}. Määrää sulkeuma joukon R kofiniittisessa topologiassa.

Tässä topologiassa ainoat suljetut joukot ovat äärelliset joukot ja koko avaruus. Komplementti koostuu yhdisteestä (-inf, 0] U [1,2) U (2,inf). Määritelmän mukaan komplementin olisi oltava äärellinen, mutta tuohan on ääretön. Onko joukon sulkeuma nyt koko avaruus?

6

163

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Joukon A sulkeuma on pienin suljettu joukko, joka sisältää A:n. Eli toisin sanoen sulkeuma on leikkaus kaikista suljetuista joukoista, jotka sisältävät A:n. Millainen on suljettu joukko joka sisältää A:n? Se sisältää A:n joten sen on oltava ääretön joukko. Koska se on suljettu, on ainoa mahdollisuus koko R.
      Siis leikkauksessa on mukana vain R, eli siitä tulee R.

      Eli kyllä, lopputulos on koko avaruus, mutta päättelysi ei ollut ihan oikein. Esim kohta
      "Määritelmän mukaan komplementin olisi oltava äärellinen, mutta tuohan on ääretön. "
      Tämähän on avoimen joukon määritelmä. Mutta se on nyt A:n sulkeuma jota yritetään löytää, ei osoittaa A:ta avoimeksi.

      • Anonyymi

        Kiitos avusta! Toinen, mitä olen miettinyt on vasen puolisäde-topologia, missä T={tyhjä joukko, R} U {(-inf,a)} , missä a € R.

        Tämän suljetut joukot ovat tyhjä joukko, R sekä välit [a, inf). Jos a on nolla, niin silloin saisin suljetun välin [0, inf), mihin sisältyy A. Sulkeuma olisi siis tuo väli. Onko tämä riittävä perustelu?


      • Anonyymi kirjoitti:

        Kiitos avusta! Toinen, mitä olen miettinyt on vasen puolisäde-topologia, missä T={tyhjä joukko, R} U {(-inf,a)} , missä a € R.

        Tämän suljetut joukot ovat tyhjä joukko, R sekä välit [a, inf). Jos a on nolla, niin silloin saisin suljetun välin [0, inf), mihin sisältyy A. Sulkeuma olisi siis tuo väli. Onko tämä riittävä perustelu?

        Joo, A ⊆ [0, inf), ja [0, inf) on suljettu, joten à ⊆ [0, inf). Perusteluun pitäisi vielä lisätä että miksi [0, inf) ⊆ Ã. Se tulee siitä, että à on suljettu ja koska suljetulle joukolle pätee aina se, että jos se sisältää pisteen x, niin se sisältää myös välin [x, inf), niin siitähän se seuraa, sillä 0∈A ⊆ Ã.

        (Merkintä Ã on A:n sulkeuma.)


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Joo, A ⊆ [0, inf), ja [0, inf) on suljettu, joten à ⊆ [0, inf). Perusteluun pitäisi vielä lisätä että miksi [0, inf) ⊆ Ã. Se tulee siitä, että à on suljettu ja koska suljetulle joukolle pätee aina se, että jos se sisältää pisteen x, niin se sisältää myös välin [x, inf), niin siitähän se seuraa, sillä 0∈A ⊆ Ã.

        (Merkintä Ã on A:n sulkeuma.)

        Sori, nollahan ei kuulunut A:han, joten se perustelu vaatii vähän lisää...
        Tee niin, että osoita ettei à voi olla [x, inf) millekään x>0, joten jäljelle jää ainoa vaihtoehto [0, inf).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kiitos avusta! Toinen, mitä olen miettinyt on vasen puolisäde-topologia, missä T={tyhjä joukko, R} U {(-inf,a)} , missä a € R.

        Tämän suljetut joukot ovat tyhjä joukko, R sekä välit [a, inf). Jos a on nolla, niin silloin saisin suljetun välin [0, inf), mihin sisältyy A. Sulkeuma olisi siis tuo väli. Onko tämä riittävä perustelu?

        Kirjoitan suljetun joukon näin: /a,b/, avoimen (a,b), puoliavoimen /a,b) tsai (a,b/.

        Suljetut joukot ovat siis tyhjä joukko, R ja muotoa /a,inf) olevat joukot missä a on reaaliluku.
        A on osajoukkona jokaisessa joukossa /a,inf) missä a <= 0. Nämä ovat suljettuja ja ainoita suljettuja jotka sisältävät A:n.
        A:n sulkeuma on näiden leikkaus eli /0,inf).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kirjoitan suljetun joukon näin: /a,b/, avoimen (a,b), puoliavoimen /a,b) tsai (a,b/.

        Suljetut joukot ovat siis tyhjä joukko, R ja muotoa /a,inf) olevat joukot missä a on reaaliluku.
        A on osajoukkona jokaisessa joukossa /a,inf) missä a <= 0. Nämä ovat suljettuja ja ainoita suljettuja jotka sisältävät A:n.
        A:n sulkeuma on näiden leikkaus eli /0,inf).

        Pieni korjaus: myös R on suljettu joukko, joka sisältää osajoukkonaan A:n. Mutta R myös sisältää jokaisen noista joukoista /a,inf) missä a <= 0 joten leikkaus on sama /0,inf).


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Miksi et irrota otettasi

      Suhteeni?
      Ikävä
      90
      3275
    2. Koko ajan olet

      Senkin suhteen kiusannut. Halut on ihan mielettömät olleet jo pitkään
      Ikävä
      88
      3043
    3. Muutama syy

      Sille miksi IRL kohtaaminen on hänelle vaikeaa
      Ikävä
      68
      1872
    4. Tykkään susta

      Elämäni loppuun asti. Olet niin suuresti siihen vaikuttanut. Tykkäsit tai et siitä
      Ikävä
      19
      1842
    5. Onko kaikki hyvin, iso huoli sinusta

      Miten jakselet? Onko sattunut jotain ikävää. Naiselta
      Ikävä
      30
      1777
    6. Estitkö sä minut

      Oikeasti. Haluatko, että jätän sun ajattelemisen? :3
      Ikävä
      21
      1711
    7. Onko kaivatullasi

      Hyvä vai huono huumorintaju?
      Ikävä
      24
      1687
    8. Pettymys! Tähdet, tähdet -kisassa tämä erikoisjakso pois - Pistänyt artistit todella lujille!

      Tähdet, tähdet -kisa on edennyt genrestä toiseen. Mutta erästä monen toivomaa erikoisjaksoa ei tällä kaudella nähdä. Voi
      Tv-sarjat
      34
      1389
    9. Tiedätkö tykkääkö

      Kaivatustasi siinä mielessä joku muukin kuin sinä itse
      Ikävä
      48
      1327
    10. Onko meillä

      Molemmilla nyt hyvät fiilikset😢ei ainakaan mulla mutta eteenpäin on mentävä😏ikävä on, kait se helpottaa ajan myötä. Ko
      Ikävä
      9
      1319
    Aihe