Sulkeuman määrääminen

Anonyymi

Tämmöinen tehtävä: olkoon A reaalilukujen osajoukko s.e. A=(0,1) U {2}. Määrää sulkeuma joukon R kofiniittisessa topologiassa.

Tässä topologiassa ainoat suljetut joukot ovat äärelliset joukot ja koko avaruus. Komplementti koostuu yhdisteestä (-inf, 0] U [1,2) U (2,inf). Määritelmän mukaan komplementin olisi oltava äärellinen, mutta tuohan on ääretön. Onko joukon sulkeuma nyt koko avaruus?

6

140

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Joukon A sulkeuma on pienin suljettu joukko, joka sisältää A:n. Eli toisin sanoen sulkeuma on leikkaus kaikista suljetuista joukoista, jotka sisältävät A:n. Millainen on suljettu joukko joka sisältää A:n? Se sisältää A:n joten sen on oltava ääretön joukko. Koska se on suljettu, on ainoa mahdollisuus koko R.
      Siis leikkauksessa on mukana vain R, eli siitä tulee R.

      Eli kyllä, lopputulos on koko avaruus, mutta päättelysi ei ollut ihan oikein. Esim kohta
      "Määritelmän mukaan komplementin olisi oltava äärellinen, mutta tuohan on ääretön. "
      Tämähän on avoimen joukon määritelmä. Mutta se on nyt A:n sulkeuma jota yritetään löytää, ei osoittaa A:ta avoimeksi.

      • Anonyymi

        Kiitos avusta! Toinen, mitä olen miettinyt on vasen puolisäde-topologia, missä T={tyhjä joukko, R} U {(-inf,a)} , missä a € R.

        Tämän suljetut joukot ovat tyhjä joukko, R sekä välit [a, inf). Jos a on nolla, niin silloin saisin suljetun välin [0, inf), mihin sisältyy A. Sulkeuma olisi siis tuo väli. Onko tämä riittävä perustelu?


      • Anonyymi kirjoitti:

        Kiitos avusta! Toinen, mitä olen miettinyt on vasen puolisäde-topologia, missä T={tyhjä joukko, R} U {(-inf,a)} , missä a € R.

        Tämän suljetut joukot ovat tyhjä joukko, R sekä välit [a, inf). Jos a on nolla, niin silloin saisin suljetun välin [0, inf), mihin sisältyy A. Sulkeuma olisi siis tuo väli. Onko tämä riittävä perustelu?

        Joo, A ⊆ [0, inf), ja [0, inf) on suljettu, joten à ⊆ [0, inf). Perusteluun pitäisi vielä lisätä että miksi [0, inf) ⊆ Ã. Se tulee siitä, että à on suljettu ja koska suljetulle joukolle pätee aina se, että jos se sisältää pisteen x, niin se sisältää myös välin [x, inf), niin siitähän se seuraa, sillä 0∈A ⊆ Ã.

        (Merkintä Ã on A:n sulkeuma.)


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Joo, A ⊆ [0, inf), ja [0, inf) on suljettu, joten à ⊆ [0, inf). Perusteluun pitäisi vielä lisätä että miksi [0, inf) ⊆ Ã. Se tulee siitä, että à on suljettu ja koska suljetulle joukolle pätee aina se, että jos se sisältää pisteen x, niin se sisältää myös välin [x, inf), niin siitähän se seuraa, sillä 0∈A ⊆ Ã.

        (Merkintä Ã on A:n sulkeuma.)

        Sori, nollahan ei kuulunut A:han, joten se perustelu vaatii vähän lisää...
        Tee niin, että osoita ettei à voi olla [x, inf) millekään x>0, joten jäljelle jää ainoa vaihtoehto [0, inf).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kiitos avusta! Toinen, mitä olen miettinyt on vasen puolisäde-topologia, missä T={tyhjä joukko, R} U {(-inf,a)} , missä a € R.

        Tämän suljetut joukot ovat tyhjä joukko, R sekä välit [a, inf). Jos a on nolla, niin silloin saisin suljetun välin [0, inf), mihin sisältyy A. Sulkeuma olisi siis tuo väli. Onko tämä riittävä perustelu?

        Kirjoitan suljetun joukon näin: /a,b/, avoimen (a,b), puoliavoimen /a,b) tsai (a,b/.

        Suljetut joukot ovat siis tyhjä joukko, R ja muotoa /a,inf) olevat joukot missä a on reaaliluku.
        A on osajoukkona jokaisessa joukossa /a,inf) missä a <= 0. Nämä ovat suljettuja ja ainoita suljettuja jotka sisältävät A:n.
        A:n sulkeuma on näiden leikkaus eli /0,inf).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kirjoitan suljetun joukon näin: /a,b/, avoimen (a,b), puoliavoimen /a,b) tsai (a,b/.

        Suljetut joukot ovat siis tyhjä joukko, R ja muotoa /a,inf) olevat joukot missä a on reaaliluku.
        A on osajoukkona jokaisessa joukossa /a,inf) missä a <= 0. Nämä ovat suljettuja ja ainoita suljettuja jotka sisältävät A:n.
        A:n sulkeuma on näiden leikkaus eli /0,inf).

        Pieni korjaus: myös R on suljettu joukko, joka sisältää osajoukkonaan A:n. Mutta R myös sisältää jokaisen noista joukoista /a,inf) missä a <= 0 joten leikkaus on sama /0,inf).


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Moi, nainen

      Tunnustan, olen heikkona sun hymyyn, ja sekään ei auta yhtään, että sulla on täydellinen nenä. Joten ensi kerralla, kun
      Ikävä
      57
      2288
    2. Some räjähti! Joel Harkimo jakoi haikean viestin meriltä tärkeänä merkkipäivänä: "Välillä..."

      Joel Harkimo on lähtenyt yksin purjehdukselle Atlantin yli. Tsemppiä ja voimia, Joel Harkimo! Lue lisää: https://www.s
      Suomalaiset julkkikset
      43
      2027
    3. Sedun opettaja?

      Kukas Sedussa on ahdistellut alaikäisiä opiskelijoita? Tämä kansankynttilä oli saanut monta varoitusta, mutta sama homma
      Seinäjoki
      52
      1531
    4. Bess jakoi hämmentävän kuvan - Anna Puu heittää roisin kommentin: "Onneks ei oo eka synnytys"

      Ohhoh! No nyt on aika provosoiva kuva Bessistä. Kivoja kommentteja julkkisystävät laukoo... Tiesitkö, että Bessin (s.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      16
      1313
    5. Suurinta rakkautta

      On päästää irti ja antaa toisen mennä. 😎🌹
      Ikävä
      83
      1288
    6. Kumpi ihastui teistä ensin

      Sinä vai kaivattusi?
      Ikävä
      73
      1274
    7. Milloin nähdään?

      😕💕 Alan olla ihan loppu.
      Ikävä
      54
      1202
    8. Näytät paremmalta kuin koskaan ennen

      Aivan jokaisena päivänä. Minä pidän sinusta parhaimman huolen. Lupaan sen, sen voin luvata.
      Ikävä
      47
      1151
    9. Mitä mun pitää tehdä?

      Mitä me mies tehdään? Mitä sä haluat mun tekevän? Mä en tiedä. Mä luulen tietäväni, että molemmat kärvistelee tunteid
      Ikävä
      41
      1070
    10. Keskusta on kovassa nousussa

      Persut ovat jäämässä kauas taakse. Maaseudun ihmiset ovat palaamassa järkiinsä epäonnistuneen persuseikkailun jälkeen.
      Maailman menoa
      137
      1041
    Aihe