Sanan osajono on siitä järjestyksessä poimittujen kirjaimien muodostama sana. Esim. sanalla "KISSA" on osajonot (24 kpl)
['', 'A', 'I', 'IA', 'IS', 'ISA', 'ISS', 'ISSA', 'K', 'KA', 'KI', 'KIA', 'KIS', 'KISA', 'KISS', 'KISSA', 'KS', 'KSA', 'KSS', 'KSSA', 'S', 'SA', 'SS', 'SSA']
Nyt kysytään algoritmiä (tai löytyykö jopa jotain kaavaa) jolla laskea näiden määrä annetulle sanalle.
Tutkitaan sitten tapausta jossa sana on n:n pituinen binäärijono.
Esim. jonolla "01101" on osajonot (18 kpl)
['', '0', '00', '001', '01', '010', '0101', '011', '0110', '01101', '0111', '1', '10', '101', '11', '110', '1101', '111']
Mikä on suurin määrä osajonoja mitä n-binäärijonolla voi olla?
Mikä on keskiarvo?
Sanan osajonojen lukumäärä
3
270
Vastaukset
Varmistukseksi että laskut menee oikein, niin mitä saatte seuraavalle?
"OSAJONOJEN LUKUMÄÄRÄN LASKEMINEN"
(myös välit lasketaan merkeiksi). Itse saan 1545659216.Ratkaisu: https://membolicsythod.home.blog/2020/02/29/sanan-osajonojen-lukumaara/
Lisäkysymyksen ensimmäisen kohdan vastaus on f_{n 2} - 1, missä f_k on k:s Fibonacci luku.
Suurin määrää saadaan selvästikin alternoivalla binäärijonolla, sillä aina kannattaa hypätä lähemmäksi, jotta saadaan enemmän kävelyjä (ja mikäli kaksi samaa merkkiä on peräkkäin aiheuttaa tämä toisen yli hyppäämisen edeltävästä merkistä (ja lähtö on -1 eli tyhjä, niin vaikka se olisi heti alussa, niin haittaa tulee)).
Alternoivia on kaksi 0101.... ja 1010.... Näille osajonojen määrä, merkataan sitä a(n), on selvästi yhtäsuuri, sillä toinen saadaan toisesta muuttamalla ykköset nolliksi ja nollat ykkösiksi.
Lasketaan nyt sanan 0101.... (päättyy joko 0 tai 1 riippuen n:n pariteetista) osajonot.
Induktioaskel kaavan todistuksessa menee samaan tyyliin kuin mikä viimeksikin oli missä ratkaisuun tuli Fibonacci luvut. Jaetaan osajonot kolmeen luokkaan:
- tyhjä jono
- 0:lla alkavat
- 1:llä alkavat
Jos osajono v alkaa nollalla, niin silloin loppu eli v[1:] on 101... (pituus n-1):n osajono, induktio-oletuksen mukaan näitä on f_{n 1}-1.
Jos alkaa ykkösellä, niin v[1:] taas on 010... (pituus n-2):n osajono, sillä ensimmäistä nollaa ei ole voitu käyttää, sillä alkoi ykkösellä ja niinkuin tuossa edelläkin se ensimmäinen ykkönen on voitu käyttää tai sitten ei, mutta se loppu on sen lopun osajono joka tapauksessa käytettiin se ensimmäinen ykkönen ekaan paaluun tai myöhemmin. Näitä on f_n - 1.
Siis yhteensä
a(n)
= 1 a_{n-1} a_{n-2}
= 1 f_{n 1} - 1 f_n - 1
= f_{n 2} - 1Tämä jono, kun muuten on täällä: https://oeis.org/A000071 ja siellä on yksi muoto, että mistä tuo tulee: "Number of 001-avoiding binary words of length n - 3", niin onko tuo jotenkin kombinatorisesti nähtävissä tuosta suoraan, kun vähän samaltahan tuo kuulostaa, että kahta nollaa ei tule peräkkäin ja sitten ykköstä. Jos merkataan uudella binäärijonolla sitä indeksien osajonoa, josta osajono muodostetaan niin että 0 merkkaa että ei tule mukaan ja 1 että tulee mukaan, niin olisiko se siitä jotenkin nähtävissä?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Silmienvääntelijä-persut pääsivät Japanissa sarjakuvaan
Torille! https://www.hs.fi/kulttuuri/art-2000011943173.html1454823Avopuoliso, mies-/naisystävä vai mikä?
Kävin eilen irl keskustelun, joka jätti minut pohtimaan seuraavaa ... millä nimityksellä kutsua henkilöä, jonka kanssa o2524448Miksi Kuhmolaiset on niin nyrpeä ilmeisiä?
Miksi suurin osa (ei onneksi kaikki) on niin typääntyneen näkösiä elämäänsä? Tuijotetaan toisia pahansuopaisesti ja kat314291Nato kaatamassa Petterin haaveileman Tunnin junan?
Nato edellyttää pohjoisessa Jäämereltä Rovaniemelle saakka kapearaitesta suoraa rautatieväylää, joka maksaa paperirahaa,104234Huvittava ilmiö: Vasemmistolaiset uskoo sokeasti SDP:n parantavan heidän
elämäänsä, jos demarit johtaa seuraavaa hallitusta (Kyse on siis palstan vasemmistolaisista) Totuus on toinen, nimittäi1913501Riikka ohoi! Saksa alensi bensaveroa, missä euron bensa?
Perussuomalaisten yksi vaalilupauksista oli euron bensiini suomalaisille autoilijoille. Ei ole näkynyt. Jopa vasemmis863190Tulipalo rivitalossa, tuhoutuu täysin
Kainuun pelastuslaitos sai hieman puolenyön jälkeen maanantaina ilmoituksen rivitalon huoneistossa syttyneestä tulipalos813119Älkää vaan sairastuko syöpään Suomessa
Tilaston mukaan Suomi, Slovakia ja Latvia lääkitsee aivan pohjamudissa syöpää. Sairastunutta hoidetaan edelleen vanhana2382810Donald Trump pääsi samalle listalle Sanna Marinin kanssa
Eli vasemmistolaisen Time-median top 100 jännäihmisten listalle. https://time.com/collections/time100-next-2021/593769992777Kyllä, maata ei halua puolustaa nimenomaan punavihreän puolen edustajat
"Esimerkiksi maanpuolustushenki on keskimääräistä alempana naisten, arvoliberaalien, heikossa taloustilanteessa olevien1432772
