Sanan osajonojen lukumäärä

Sanan osajono on siitä järjestyksessä poimittujen kirjaimien muodostama sana. Esim. sanalla "KISSA" on osajonot (24 kpl)

['', 'A', 'I', 'IA', 'IS', 'ISA', 'ISS', 'ISSA', 'K', 'KA', 'KI', 'KIA', 'KIS', 'KISA', 'KISS', 'KISSA', 'KS', 'KSA', 'KSS', 'KSSA', 'S', 'SA', 'SS', 'SSA']

Nyt kysytään algoritmiä (tai löytyykö jopa jotain kaavaa) jolla laskea näiden määrä annetulle sanalle.

Tutkitaan sitten tapausta jossa sana on n:n pituinen binäärijono.

Esim. jonolla "01101" on osajonot (18 kpl)

['', '0', '00', '001', '01', '010', '0101', '011', '0110', '01101', '0111', '1', '10', '101', '11', '110', '1101', '111']

Mikä on suurin määrä osajonoja mitä n-binäärijonolla voi olla?
Mikä on keskiarvo?

3

314

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Varmistukseksi että laskut menee oikein, niin mitä saatte seuraavalle?

      "OSAJONOJEN LUKUMÄÄRÄN LASKEMINEN"

      (myös välit lasketaan merkeiksi). Itse saan 1545659216.

    • Ratkaisu: https://membolicsythod.home.blog/2020/02/29/sanan-osajonojen-lukumaara/

      Lisäkysymyksen ensimmäisen kohdan vastaus on f_{n 2} - 1, missä f_k on k:s Fibonacci luku.
      Suurin määrää saadaan selvästikin alternoivalla binäärijonolla, sillä aina kannattaa hypätä lähemmäksi, jotta saadaan enemmän kävelyjä (ja mikäli kaksi samaa merkkiä on peräkkäin aiheuttaa tämä toisen yli hyppäämisen edeltävästä merkistä (ja lähtö on -1 eli tyhjä, niin vaikka se olisi heti alussa, niin haittaa tulee)).
      Alternoivia on kaksi 0101.... ja 1010.... Näille osajonojen määrä, merkataan sitä a(n), on selvästi yhtäsuuri, sillä toinen saadaan toisesta muuttamalla ykköset nolliksi ja nollat ykkösiksi.

      Lasketaan nyt sanan 0101.... (päättyy joko 0 tai 1 riippuen n:n pariteetista) osajonot.
      Induktioaskel kaavan todistuksessa menee samaan tyyliin kuin mikä viimeksikin oli missä ratkaisuun tuli Fibonacci luvut. Jaetaan osajonot kolmeen luokkaan:
      - tyhjä jono
      - 0:lla alkavat
      - 1:llä alkavat

      Jos osajono v alkaa nollalla, niin silloin loppu eli v[1:] on 101... (pituus n-1):n osajono, induktio-oletuksen mukaan näitä on f_{n 1}-1.
      Jos alkaa ykkösellä, niin v[1:] taas on 010... (pituus n-2):n osajono, sillä ensimmäistä nollaa ei ole voitu käyttää, sillä alkoi ykkösellä ja niinkuin tuossa edelläkin se ensimmäinen ykkönen on voitu käyttää tai sitten ei, mutta se loppu on sen lopun osajono joka tapauksessa käytettiin se ensimmäinen ykkönen ekaan paaluun tai myöhemmin. Näitä on f_n - 1.
      Siis yhteensä

      a(n)
      = 1 a_{n-1} a_{n-2}
      = 1 f_{n 1} - 1 f_n - 1
      = f_{n 2} - 1

      • Tämä jono, kun muuten on täällä: https://oeis.org/A000071 ja siellä on yksi muoto, että mistä tuo tulee: "Number of 001-avoiding binary words of length n - 3", niin onko tuo jotenkin kombinatorisesti nähtävissä tuosta suoraan, kun vähän samaltahan tuo kuulostaa, että kahta nollaa ei tule peräkkäin ja sitten ykköstä. Jos merkataan uudella binäärijonolla sitä indeksien osajonoa, josta osajono muodostetaan niin että 0 merkkaa että ei tule mukaan ja 1 että tulee mukaan, niin olisiko se siitä jotenkin nähtävissä?


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kuka oli töllöntyön tekijä?

      Ketä on nyt pidätetty? Oliko syy mustasukkaisuus tyttöystävästä tai oliko muita lieventäviä seikkoja? Katuuko tekijä nyt
      Pieksämäki
      39
      4578
    2. Kotikasvatus siitä se lähtee eli missä meni vikaan että lapsesta tuli puukottaja

      Ottakaa muut oppia, normaali kotielämä. Ei liikaa edes hengellisyyttä.
      Pieksämäki
      53
      2474
    3. Jenkkilahkojen kastekaava

      Jenkkilahkojen yhteinen kastekaava on kirjoitettuna Mormonin Kirjaan, Moroni, luku-8 Pienten lapsien vanhempia uhataan
      Kaste
      139
      1014
    4. Pasi Turunen: Ensimmäisenä Helluntaina ei kastettu sylivauvoja!

      Tänään 31.5.2026 Pasi Turunen noin vastasi soittajan kysymykseen! Raamattu EI KERRO ketä kastettiin
      Kaste
      161
      985
    5. Leijonat Maailmanmestareita!

      Ihanaa Leijonat, ihanaa!!!
      Maailman menoa
      113
      858
    6. Olen melko vakuuttunut

      etten tule olemaan koskaan täysin onnellinen ilman sinua. En uskonut, että näin kävisi kenenkään kanssa. Kunnes sain kok
      Ikävä
      70
      824
    7. Mitä ajatuksia miehet, jos..?

      Nainen on 40v eikä ole omia lapsia?
      Ikävä
      136
      771
    8. Se mies rakastaa minua

      Ja minä rakastan häntä. 😌
      Ikävä
      48
      760
    9. Taas mietin että

      mitä ihmettä sanoisin, jos laittaisin viestiä. Aina voi toivottaa jotain, vaikka hyvää kesää, ja jos ei tule vastausta,
      Ikävä
      48
      716
    10. Odotan sitä hetkeä

      kun nähdään taas. Tiedän, että sinäkin odotat. Kun se päivä koittaa, katseesi hakee minua. Ehkä arkailemme toisiamme väh
      Ikävä
      47
      705
    Aihe