Todista, että tason koordinaatistoon ei voida piirtää tasasivuista kolmiota siten että kaikki kärjet ovat kokonaisluku koordinaateissa (eli molemmat koordinaatit kokonaislukuja).
Geometrisesti idea on melko yksinkertainen, mutta itse temppuilin laskujen kanssa monta tuntia (kirjaimellisesti). Noh, viimeiseltä se meni :D! Erityisesti sen että kuvaus (siinä tulee sellainen, että miten ne kärjet kuvataan, jos nyt tekee sellaisella yhdellä tavalla, joka on kyllä netistä helposti löydettävissä) aidosti pienentää sivujen pituuksia, noh ei nyt spoilata...
Myös yleisemmin: kaikille muille säännöllisille monikulmioille paitsi neliöille, joita kokonaisluku-hilasta kyllä löytyy (voisikin kysyä minkä sivuisia löytyy, tästä oli Numberphile-video hiljattain), niin siis mutta säännöllisiä 5-kulmioita, 6-kulmioita jne. ei löydy. Yli 6-kulmiolle geometrinen idea on vielä helpompi, mutta laskua en uskalla edes yrittää. Kuvastahan näkee, että se menee sinne sisälle ja on oltava näin pienempi, hmmm... ehkä sen voisi ilman laskujakin perustella.
No kuitenkin, sitten itse siihen tehtävään, jonka ajattelin tästä innoittuneena asettaa. Säännöllistä ei löydy, mutta kuinka lähelle päästään. Mitataan tätä kuinka lähelle säännöllinen laskemalla sivujen pituuksien neliöt (ei siis oteta neliöjuurta, siitä taitaa tulla vähän eri homma, jos neliöjuuret otetaan). Ja sitten lasketaan parittaiset erotukset näistä. Eli jos sivujen pituuksien neliöt ovat d1, d2 ja d3, niin kolmion poikkeama säännöllisestä on
|d2-d1| |d3-d1| |d3-d2|
Pienimmillään tämä poikkeama on hypoteesini mukaan 2. Eli ykköstäkään ei saada(?). Tehtätä on etsiä kaikki ratkaisut. Huomaa yksi kärki voidaan olettaa olevan origossa, joten ratkaisu on kaksi Z^2:n pistettä (a1, a2), (b1, b2). Tälläisen kuvan olen saanut tehtyä: https://aijaa.com/US91zw . Tuleekohan siitä joku Pellin yhtälö?
Melkein tasasivuinen kokonaislukukoordinaattinen kolmio
13
280
Vastaukset
Poikkeama ei tietenkään voi olla yksi sen takia, että jos yksi eroaa kahdesta toisesta, niin molemmasta erotukseta tulee vähintään yksi. Eli yhteensä ainakin 2.
Lähdin nyt vähän laskeskelemaan tuota. Senhän voi kirjoittaa yhtälöksi
(a^2 b^2-c^2-d^2)^2 (a^2 c^2-2bd-2ac)^2 (b^2 d^2-2bd-2ac)^2 = 2
Mutta tietenkin siinä on vain erilaisia yhtälöryhmiä, että kaksi noista summattavista on -1 ja yksi 0. Tarkastelin nyt vain tapausta, missä eka on 0 ja kaksi muuta 1. Se johti Pellin yhtälöön
(a-2b)^2 - 3b^2 = 1
joka osataan ratkaista. Perusratkaisu on (merk x=a-2b, y=b)
x=2
y = 1
ja loput saadaan tästä generoimalla, vaikka nyt lasketaan (2 sqrt(3))^n auki ja katsotaan kertoimet siitä. Näin saadaan ratkaisut (a,b):
(4,1), (15, 4), (56, 26),...
Välistä näyttää puuttuvan esim. ratkaisu (7, 4). Tuleekohan se toisesta tapauksesta. Siinä kävisi niin, että d^2 = a^2 1 ja c^2 = b^2 - 1, jos nyt oikein laskin. Ja saadaan
a^2 b^2 - 1 = 2a * sqrt(b^2-1) 2b * sqrt(a^2 1) - 1
voisi tietenkin korottaa puolittain toiseen, keskelle jää vielä sitten sqrt((a^2 1)(b^2)-1), ja sitten siirtää muut toiselle puolelle ja korottaa vielä kerran toiseen. Tuleekohan mitään siistiä?- Anonyymi
Pickin lauseen mukaan pinta-alan tulisi ola rationaalinen. Mutta tasasivuisen kokonaislukusivuisen kolmion pinta-ala on muotoa r*sqrt(3), missä r on rationaaliluku.
- Anonyymi
Ei kun eihän sivujen tarvitse olla rationaalisia. Täytyy miettiä uudelleen. Tuleekos alasta muotoa sqrt(3(a^2 b^2)) oleva lauseke, jolloin modulo 4:n avulla nähdään, että lauseke ei ole rationaalinen.
Jes, tuohan onkin kätevä tapa! Toimii myös useampikulmioille. Neliö on ainoa, jolle ala on rationaalinen (kun sivu on), sillä sin(2pi/n) ei ole rationaalinen, jos n>4 (tai toisten päin ajatellen: sin(2pi/n):n irrationaalisuus saadaan, kun tiedetään, että säännöllistä kokonaislukukulmiota ei löydy).
minkkilaukku kirjoitti:
Jes, tuohan onkin kätevä tapa! Toimii myös useampikulmioille. Neliö on ainoa, jolle ala on rationaalinen (kun sivu on), sillä sin(2pi/n) ei ole rationaalinen, jos n>4 (tai toisten päin ajatellen: sin(2pi/n):n irrationaalisuus saadaan, kun tiedetään, että säännöllistä kokonaislukukulmiota ei löydy).
Eikun taisin tuon käänteisin suunnan ajatella liian hätäisesti! Eihän se, että ala on rationaalinen vielä takaa, että kokonaislukupisteinen löytyy vai takaako(??)
Anonyymi kirjoitti:
Ei kun eihän sivujen tarvitse olla rationaalisia. Täytyy miettiä uudelleen. Tuleekos alasta muotoa sqrt(3(a^2 b^2)) oleva lauseke, jolloin modulo 4:n avulla nähdään, että lauseke ei ole rationaalinen.
Äh, haksahdin tähän itsekin...
Anonyymi kirjoitti:
Ei kun eihän sivujen tarvitse olla rationaalisia. Täytyy miettiä uudelleen. Tuleekos alasta muotoa sqrt(3(a^2 b^2)) oleva lauseke, jolloin modulo 4:n avulla nähdään, että lauseke ei ole rationaalinen.
Mutta siinä alan kaavassahan on r^2, joten kyllähän tuo taktiikka toimii sellaisenaan(?)
- Anonyymi
Olkoot kolmion kärjet (0,0), (a,b) ja (a, -b). Kaksi sivua ovat yhtä pitkät, pituus on sqrt(a^2 b^2).
Kolmannen sivun pituus on 2 b..
Jotta kolmio olisi tasasivuinen täytyy olla sqrt(a¨2 b^2) = 2 b eli a= sqrt(3) b.
Ei ole koknaislukuja a ja b jotka toteuttaisivat tämän ehdon.- Anonyymi
p.o. ... kokonaislukuja...
Tuo osoittaa, ettei ole sellaisia, joissa yksi sivu on koordinaattiakselin suuntainen. Entäpä esim. (0, 0), (3, 3), (4, -1) ?
Jos sen kiertää siten, että sivu on koordinaattiakselin suuntainen, niin se ei osu kokonaiskoordinaatteihin.
Eihän se tietenkään ole säännöllinen, mutta sivut ovat sqrt(17), sqrt(17) ja sqrt(18) eli se on tällainen "lähiosuma", joita tehtävän toisessa osassa metsästetään.
Jotenkin ne lähiosumat tuon neliöjuuri kolmosen approksimoinnista tulee. Pellin yhtälön x^2 -3y^2 = -1 ratkaisuthan ovat tällaisia neliöjuuri kolmosen hyviä approksimaation antavia x/y:itä. (Miinus ykköselle ratkaisuja ei kylläkään löydy.) Myös itse tuon yhtälön (eikä vain sijoituksen x = a-2b, jonka ensimmäisessä yrityksessäni löysin) ratkaisuistakin näyttäisi ainakin tuo ((7,4), (0,8)) tulevan. Minulla oli muuten virhe tuossa yo. yhtälössä: c^2 ja b^2 pitäisi olla kahdessa jälkimmäisessä palassa eri paloissa, mutta onnenkantamoisena sieltä löytyy sellaisia symmetrisiä ratkaisuja, joissa c=b, niin löysin ne ensimmäisessä ratkaisussani. Edelleen, jos vaaditaan että eka pala on 1, toka 1 ja kolmas 0, eli
a^2 b^2 = c^2 d^2 1
a^2 b^2 = 2ac 2bd 1
c^2 d^2 = 2ac 2bd
Jos nyt lisäksi helpotukseksi asetetaan c=0, niin d=2b ja saadaan itse asiassa juuri tuo Pellin yhtälö a^2 - 3b^2 = 1.
Mutta en ole varma löytyykö tässä kaikki ratkaisut.- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
p.o. ... kokonaislukuja...
Tuo kommenttini oli vain pikku lisähuomautus asiaan eikä tietenkään ole mikään yleisen tehtävän ratkaisu kuten minkkilaukku huomauttikin.
- Anonyymi
"Olkoot kolmion kärjet (0,0), (a,b) ja (a, -b)."
MIksi tällainen rajoite? Voihan se kolmio olla missä asennossa tahansa.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ensi kesänä
Näin kesän viimeisenä minuutteina ajattelen sinua. Olisiko seuraava kesä "meidän" kesä? Tänä vuonna ei onnistuttu, mutta663382Tukalaa kuumuutta
Tietäisitpä vaan kuinka kuumana olen käynyt viime päivät. Eikä johdu helteestä, vaan sinusta. Mitäköhän taikoja olet teh463192Anne Kukkohovin karmeat velat ovat Suomessa.
Lähtikö se siksi pois Suomesta ? Et on noin kar? mean suuret velat naisella olemassa1232718- 432548
- 311953
Okei, myönnetään,
Oisit sä saanut ottaa ne housutkin pois, mutta ehkä joskus jossain toisaalla. 😘271860- 481636
Mihin hävisi
Mihin hävisi asiallinen keskustelu tositapahtumista, vai pitikö jonkin Hannulle kateellisen näyttää typeryytensä871495- 391330
- 821199