Eristetyt alkuluvut

Kaikkihan tietävät että alkuluvuissa on mielivaltaisen suuria hyppyjä (luvut n! 2, n! 3, ..., n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja).

Mutta entäpä jos halutaan että alkuluvusta hyppy edelliseen ja seuraavaan ovat molemmat mielivaltaisen suuria? Eli ts. jos on annettu n, niin löytyykö aina alkuluku p, siten että luvut p-n, ..., p-1, p 1, ..., p n ovat yhdistettyjä lukuja?

2

211

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Löytyy, Perustelu tosin vaatii melko pitkälle lukuteorian tuntemusta. Alkulukujen keskimääräinen esiintymistiheys harvenee lukujen kasvaessa, joska tulos seuraa.

      • Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.

        Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.

        Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
        Merkitään
        M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
        (Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
        Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
        Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
        Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n

        p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
        ja
        p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.

        Huomioita:

        Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.

        Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Keskisarja loisti A-studiossa, vauhkoontunut Sofia Virta munasi itsensä

      Keskisarja taas puhui 100% faktaa maahanmuuttoon liittyen. Kokoomuksen Kaumalta tuli pari hyvää puheenvuoroa, joskin muu
      Maailman menoa
      661
      3470
    2. Janni Tikkanen ohjattiin miesten pukuhuoneeseen

      Vai olisko sittenkin Janne Tikkanen? Jos siellä jalkojen välissä on miesten killukkeet, mieshän tämä Janni on. Ja kuuluu
      Kajaani
      100
      2728
    3. Sä olet epävakaa

      tai ainakin yrität onnistuneesti vaikuttaa siltä. Ei sun kanssa uskalla ruveta yhtään mihinkään, menis hommat ojasta all
      Ikävä
      21
      1721
    4. Rakastan ja ikävöin sinua

      Ei helpota tämä ikävä millään. Pelkäsin että tämä ajanjakso tulee olemaan juuri näin vaikea. Siksi halusin ennen tätä pä
      Ikävä
      77
      1612
    5. Mieti miten paljon yritin

      Löytää yhteyttä kanssasi uudelleen sen väärinymmärryksen jälkeen. Koen etten tullut puoleltasi hyvin kohdelluksi mies😔
      Ikävä
      51
      1565
    6. Vihjeketju naisille

      Kirjoita tähän vihjeesi kaivatullesi.
      Ikävä
      80
      1530
    7. Tiedän ettet tehnyt tahallasi pahaa

      Asiat tapahtuivat, ristiriidat ovat meitä vahvempia. Olemmeko me niin vahvoja, että selviämme tästäkin vielä? Aika paljo
      Ikävä
      110
      1510
    8. Teräväkielinen Virta jauhotti totaalisesti sössöttävän Keskisarjan

      Harvoin on noin suvereenia jauhotusta A-studiossa nähty. Ja minä äänestän demareita, joita ei oltu paikalle edes kutsut
      Maailman menoa
      364
      1475
    9. Kurkkiiko myyrä jo

      Milloin tulee kolostaan?
      Ikävä
      28
      1359
    10. Haluatko tietää totuuden?

      Olen kyllästynyt sinuun. Et herätä enää mielenkiintoa. Samat jutut x 100. Kuten narskuilla aina. Samalla tunnen myötätun
      Ikävä
      90
      1253
    Aihe