Kaikkihan tietävät että alkuluvuissa on mielivaltaisen suuria hyppyjä (luvut n! 2, n! 3, ..., n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja).
Mutta entäpä jos halutaan että alkuluvusta hyppy edelliseen ja seuraavaan ovat molemmat mielivaltaisen suuria? Eli ts. jos on annettu n, niin löytyykö aina alkuluku p, siten että luvut p-n, ..., p-1, p 1, ..., p n ovat yhdistettyjä lukuja?
Eristetyt alkuluvut
2
251
Vastaukset
- Anonyymi
Löytyy, Perustelu tosin vaatii melko pitkälle lukuteorian tuntemusta. Alkulukujen keskimääräinen esiintymistiheys harvenee lukujen kasvaessa, joska tulos seuraa.
Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.
Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.
Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
Merkitään
M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
(Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n
p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
ja
p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.
Huomioita:
Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.
Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
S-kauppa nosti hintoja, K-kauppa laski
Elintarvikkeiden arvonlisävero laski vuodenvaihteessa 13,5 prosenttiin. S-kauppa siirsi alennuksen suoraan katteisiin pi1827742Hiihtäjä Vilma Nissisen kommentit aiheutti paniikkia
ja hernettä vedettiin nenään. Nissinen kertoi torstaina haastattelussa, kun häneltä kysyttiin, että tykkääkö hän hiihtä1415312Vasemmistoliiton Minja Koskela ihailee suunnattomasti Maduroa
Minjan mukaan Suomen hallituksen pitäisi tuomita vasemmistodiktaattorin ja huumelordin tuominen oikeuden eteen. https:/974168Huuto yltyy persujen piirissä Venezuelan johdosta.
Kohta kakofonia yltyy kun persut tajuavat mitä Venezuelassa tapahtui. Von den Leydenki jo kipuilee kuten persut EU:ssa y622821- 2822449
Nyt ottaa persua pattiin: sähköauto joulukuun myydyin
🤣 prööt prööt pakoputkellaan pörisevää persua ottaa nyt saamaristi pattiin, kun paristoilla kulkeva sähköauto on noussu1352347Yhdysvaltain hyökkäys Venezuelaan on YK:n peruskirjan mukaan laiton hyökkäyssota
Oman sävynsä tähän tuo vielä se, että hyökkäys kohdistettiin nimenomaan valtiojohtoa vastaan. Toki, kun tavoitteena on v5762170Ovatko Perussuomalaiset kommunisteja?
Toiset sanovat että ovat, toiset sanovat että eivät. Ainakin heillä on paljon sen aatteen piirteitä, koska haluavat kont812142Persuilla paniikki, kun diktaattorit yksi kerrallaan kaatuvat
Hallapersut halusivat sivarineidostaan sotilasjuntan komentajan Suomeen, jotta persuaatteen mukaiset puhdistukset olisi102074Perussuomalaisten Jani Mäkelä ihailee suunnattomasti Maduroa
Janin mukaan Suomen hallituksen pitäisi tuomita diktaattorin ja huumelordin tuominen oikeuden eteen.41309