Kaikkihan tietävät että alkuluvuissa on mielivaltaisen suuria hyppyjä (luvut n! 2, n! 3, ..., n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja).
Mutta entäpä jos halutaan että alkuluvusta hyppy edelliseen ja seuraavaan ovat molemmat mielivaltaisen suuria? Eli ts. jos on annettu n, niin löytyykö aina alkuluku p, siten että luvut p-n, ..., p-1, p 1, ..., p n ovat yhdistettyjä lukuja?
Eristetyt alkuluvut
2
133
Vastaukset
- Anonyymi
Löytyy, Perustelu tosin vaatii melko pitkälle lukuteorian tuntemusta. Alkulukujen keskimääräinen esiintymistiheys harvenee lukujen kasvaessa, joska tulos seuraa.
Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.
Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.
Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
Merkitään
M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
(Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n
p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
ja
p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.
Huomioita:
Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.
Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Poliisi tutkii murhaa Paltamossa
Poliisi tutkii Kainuussa sijaitsevassa Paltamon kunnassa epäiltyä henkirikosta, joka on tapahtunut viime viikon perjanta384659Jos me voitais puhua
Jos me voitais puhua tästä, mä sanoisin, että se on vaan tunne ja se menee ohi. Sun ei tarvitse jännittää mua. Mä kyllä203195Jenna meni seksilakkoon
"Olen oppinut ja elän itse siinä uskossa, että feministiset arvot omaava mies on tosi marginaali. Todennäköisyys, että t2722376Jere, 23, ja Aliisa, 20, aloittavat aamunsa Subutexilla tai rauhoittavilla: "Vaikka mä käytän..."
Jere, 23, ja Aliisa, 20, ovat pariskunta, joka aloittaa aamunsa Subutexilla tai rauhoittavilla. Jere on ollut koko aikui532247- 1652079
Vain yksi elämä
Jonka haluaisin jakaa sinun kanssasi. Universumi heitti noppaa ja teki huonon pilan, antoi minun tavata sinut ja rakastu891670Vielä kerran.
Muista että olet ihan itse aloittanut tämän. En ei silti sinua syyllistä tai muutenkaan koskaan tule mainitsemaan tästä3601661- 171653
Aku Hirviniemi tekee paluun televisioon Aiemmin hyllytetty ohjelma nähdään nyt tv:ssä.
Hmmm.....Miksi? Onko asiaton käytös nyt yht´äkkiä painettu villaisella ja unohdettu? Kaiken sitä nykyään saakin anteeksi1131642M nainen tiedätkö mitä
Rovaniemellä sataa nyt lunta, just nyt kun lähden pohjoiseen. Älä ota mitään paineita tästä mun ihastumisesta sinuun, ti151289