Kaikkihan tietävät että alkuluvuissa on mielivaltaisen suuria hyppyjä (luvut n! 2, n! 3, ..., n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja).
Mutta entäpä jos halutaan että alkuluvusta hyppy edelliseen ja seuraavaan ovat molemmat mielivaltaisen suuria? Eli ts. jos on annettu n, niin löytyykö aina alkuluku p, siten että luvut p-n, ..., p-1, p 1, ..., p n ovat yhdistettyjä lukuja?
Eristetyt alkuluvut
2
139
Vastaukset
- Anonyymi
Löytyy, Perustelu tosin vaatii melko pitkälle lukuteorian tuntemusta. Alkulukujen keskimääräinen esiintymistiheys harvenee lukujen kasvaessa, joska tulos seuraa.
Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.
Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.
Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
Merkitään
M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
(Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n
p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
ja
p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.
Huomioita:
Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.
Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Neljä nuorta kuoli Nurmijärvellä, auto suistui jokeen Onnettomuuden tutkinta on vielä alussa.
Neljä nuorta kuoli Nurmijärvellä, auto suistui jokeen Onnettomuuden tutkinta on vielä alussa. Poliisi sai lauantaina 4.31511449- 2174863
Tänään olisn uskaltanut
Ainakin luulen, kun tänään oli jotenkin varma olo. Olisin vähintään sanonut moi ja jos olisit ollut yksin olisin pyytäny112568- 1621894
- 1291891
Tiedäthän että
Pohdin paljon siirtymistä. Tulen surulliseksi tietyistä tai monistakin asioista. Siksi parempi kun saat elää vapaasti il111247Tiistaina nähdään.
Pitkästä aikaa. Minua on alkanut jännittää kovasti se näkeminen ja miten taas osaan olla. En tiedä yhtään oletko kiinnos921228Rattoisaa lauantai iltaa
Mitäs tänään tapahtuu? Mitäs kirsikalle kuuluu? Onko lähdössä iltaelämään? 😊✨💞🌆 Minä vietä taas yksinäistä koti-iltaa2411146Sinusta jäi lopulta kuitenkin hyvä kuva
Vaikka voit ajatella itsestäsi kaikkea, mitä siinä mylläkässä saattoi tapahtua, mutta näin se on. Seurasin kyllä, ja mon401040- 84931