Etäisyyksien tulo on 1

Yksikköympyrältä on valittu kolme pistettä A = (1, 0), B=(cos a, sin a) ja C = (cos a, -sin a). Tutkitaan funktiota f, joka lasketaan tason pisteelle Z laskemalla etäisyys jokaiseen pisteeseen A, B ja C ja ottamalla näistä tulo. Ts

f(Z) = |ZA| * |ZB| * |ZC|

Nyt tutkitaan tasa-arvo käyrää {f=1}. Tehtävä on ratkaista parametrin a arvo, jolla tasa-arvo käyrä sivuaa yksikköympyrää (oikeassa puolitasossa). Tässä kuva tilanteesta:
https://membolicsythodhome.files.wordpress.com/2020/05/distprod1.png?w=600

PS. tasa-arvo käyrä on aika mukavan näköinen lenkura (tai useampi osainen), kun parametri-pisteitä siirtelee (ja ottaa vielä jopa lisääkin!). Olisin tehnyt tietenkin Desmos-kuvaajiston, mutta Desmos ei näytä toimivan. Jotain "Failed to load resource: the server responded with a status of 404 (), fi is not an available language." se herjaa. Pitäiskö kokeilla vaihtaa selain enkuks...

6

227

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Jes, Desmoksen saa toimimaan, kun lisää ?lang=en osoitteen perään. Ihan sattumalta kokeilin toimisko noin, ni sehän toimi!

      https://www.desmos.com/calculator/6gkegn5ovb?lang=en

      Miten pitkälle pisteitä lisäilemällä pääsee, että ympyrä jää siltä matkalta joukon {f<1} sisään? Kokonaan se ei voi sitä syödä, sille asialle on olemassa hyvinkin elegantti todistus (vinkki: kompleksianalyysi).

    • Anonyymi

      f(Z;a)) = f(x,y;a) = 1 missä olen merkinnyt erikseen näkyviin parametrin a. Jokaisella a:n arvolla f on siis x:n ja y:n funktio. f = 1 on f:n tasa-arvokäyrä.

      f(x,y;a) = sqrt((x-1)^2 y^2)* sqrt((x-cos(a))^2 (y-sin(a))^2) * (sqrt((x-cos(a))^2 (y sin(a))^2)

      Olkoon g(x,y) = x^2 y^2 . g = 1 on g:n tasa-arvokäyrä.

      grad(f) on kohtisuorassa tuota f:n tasa-arvokäyrää vastaan ja grad(g) vastaavasti g:n tasa-arvokäyrää vastaan. Jos piste P on f:n ja g:n säännöllinen piste (grad = / 0) niin pisteessä P tapahtuvan sivuamisen ehto on, että grad(f) = k* grad(g) missä k on jokin reaaliluku =/ 0.
      Pisteet joissa jompi kumpi gradientti häviää pitää sitten vielä tarkastella.

      Olisihan tuossa laskemista ennenkuin a:n mahdolliset arvot selviävät! Enpä taida käyttää aamuani siihen.

      • Anonyymi

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).

        Tarkennan vielä. f^( - 1) (1) =( (x,y) l f(x,y) = 1) ja vastaavasti g^( - 1) (1).Nämä ovat noiden fuktioiden tasa-arvokäyriä joiden tangenttien tulee olla yhdensuuntaisia eli normaaleiden pitää olla yhdensuuntaisia jossain pisteessä P joista seuraa tuo grad-ehto.Ja tietenkin noiden käyrien pitää leikata tuossa pisteessä P.

        Näin aamulla en näy heti pääsevän vauhtiin!


      • Kannattaa huomata, että {f^2 = 1} = {f=1}, niin neliöjuuret voi heittää pois.


    • Tässä olis miten minä sen laskin:
      https://membolicsythod.home.blog/2020/05/23/etaisyyksien-tulo-on-1/

      Useammalle pisteelle vastaavasti kohdat, joissa sivuaa saadaan Chebyshevin polynomien avulla:
      https://math.stackexchange.com/questions/3689253/n-insects-on-z-1-occupy-a-point-if-the-product-of-their-distances-to-it

      Kun n kasvaa, ympyrästä voidaan syödä mielivaltasen suuri osa ja hauskasti tasa-arvo käyrä |f|=1 muodostaa sisälle "pienemmän ympyrän". Ympyrän kehä ei voi kuitenkaan kokonaan jäädä |f|<1:n sisään, sillä ympyrällä on aina piste, jossa |f|>1. Jos tämä jäi jotakuta vaivaamaan, niin sehän tulee maksimi moduluksen periaatteesta: Funktio f on analyyttinen (sehän on polynomi) ja origossa |f| = 1. Koska f ei ole vakio, niin ympyrän reunalla täytyy olla piste jossa |f|>1.

      Maksimi moduluksen periaate: https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_modulus_principle

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Sä olet epävakaa

      tai ainakin yrität onnistuneesti vaikuttaa siltä. Ei sun kanssa uskalla ruveta yhtään mihinkään, menis hommat ojasta all
      Ikävä
      27
      1941
    2. Mieti miten paljon yritin

      Löytää yhteyttä kanssasi uudelleen sen väärinymmärryksen jälkeen. Koen etten tullut puoleltasi hyvin kohdelluksi mies😔
      Ikävä
      57
      1779
    3. Kurkkiiko myyrä jo

      Milloin tulee kolostaan?
      Ikävä
      36
      1494
    4. Kaikki on hyvin rakkaani

      Ja tulee olemaan.
      Ikävä
      77
      1200
    5. En enää uskalla laittaa sulle viestiä

      Naiselta miehelle ****
      Ikävä
      52
      1079
    6. Yksi viesti häneltä ja ottaisin takaisin

      Mutta ei sitä tule. Ja ehkä parempi niin, tein jo valintani. En saanut häneltä tarpeeksi, kaikki muu meni minun edelle j
      Ikävä
      23
      1075
    7. En ikinä koskaan

      En tule ikinä hyväksymään!
      Tunteet
      54
      920
    8. Sovitaanko ja halataanko?

      Pyydetään toisiltamme anteeksi...❤️
      Ikävä
      49
      893
    9. Olen selvästi rikki

      Narsistiset ihmiset jotenkin koukuttaa minut.
      Ikävä
      24
      884
    10. Keskisarjan puheet

      Onko kansanedustajan sopivaa puhua tuollai vai pitäisikkö potkia pois eduskunnasta?
      Suomussalmi
      178
      879
    Aihe