Otetaanpas uusi versio vajatehtävästä, jossa tikkaat ovat paraabelin muotoiset. Tikkaat täytyy siis asettaa nojaamaan (korkean) seinän vieressä olevaa vajaa (leveys: a korkeus: b) vasten siten, että tikkaat lähtevät maasta ja päätyvät seinää vasten.
Mitkä ovat lyhyimmät mahdolliset tällaiset paraabelitikkaat?
Ei huomioida sitä kestäisivätkö tikkaat itsestään pystyssä vai ei. Ajatellaan vaikka että ne on kiinnitetty seinään.
Tässä vielä havainnollistava kuva: https://aijaa.com/78oUCG
Kysytään ratkaisuja seuraaville tapauksille
a = 2, b = 3
a = 27/10, b = 187/40
a = 1,529; b = 1,0515
Mitkä ovat lyhyimmät mahdolliset tällaiset paraabelitikkaat?
Ei huomioida sitä kestäisivätkö tikkaat itsestään pystyssä vai ei. Ajatellaan vaikka että ne on kiinnitetty seinään.
Tässä vielä havainnollistava kuva: https://aijaa.com/78oUCG
Kysytään ratkaisuja seuraaville tapauksille
a = 2, b = 3
a = 27/10, b = 187/40
a = 1,529; b = 1,0515
Vastaukset 10
Vanhimmat
Paraabelin huippumuodosta pääsin tulokseen, että paraabeli leikkaisi x-akselin kohdassa x=2*(huipun x-koordinaatti), mutta sitten ei enää etene, tulee epämääräisiä tuloksia...
Onko tehtävänannossa sanottu, että paraabelin tulee olla (maanpinnan suuntaisen) x-muuttujan funktio? Tuossa esittämässäsi muodossa oikean vastauksen keksiminen on vähän työläämpää, koska paraabeli voisi aueta myös mihin tahansa muuhun suuntaan kuin alaspäin.
Joo, oletetaan funktioksi f(x) = ax^2 bx c. Mutta tuo yleisempi muoto (tai vaikka sallittaisiin mikä tahansa kartioleikkaus) voisi olla myöskin kiinnostava variaatio.
Ai niin a ja b oli jo käytössä, nuo kertoimet ei samat a ja b.
Mitä kauempaa paraabelin huipusta ko. paraabelinpalanen leikataan, sitä lyhyempi se on. Eli kun mennään yhä kauemmas huipusta, paraabelin muoto lähenee suoraa.
y=Ax^2 Bx C
Pitäisköhän tossa vaan antaa C:lle arvoja 3,3.1,3.2,...jne, ja laskea B tiedosta (2,3), sekä paraabelin ja x-akselin lp, joka sekin sisältää A:n.
Sitten pituuden integrointi, ja A:n suhteen derivointi ja löytyy(vitsi) lyhimmät tikkaat kun C=3
Sitten uusi C=3.1, ja verrataan tuloksia.... Käsipelillä ei onnistu.
Joo, ei se mene ihan noin suoraviivaisesti. Siitä derivaatan 0-kohdasta ei ole apua, vaan jos se paraabelin ja x-akselin leikkauskohta on A:n funktio, niin sen derivaatan epäjatkuvuuskohdasta päästään eteenpäin, ja siinäkin täytyy sitten jostain syystä vaihtaa etumerkkejä.
Kaksi paraabelin yhtälöä laskin:
y=-3x^2 6x 3
y=-3.7458x^2 7.2416x 3.5
Pituuksia en enää jaksa laskea, enkä tätä enää muutenkaan..
yhden vielä laskin: y=-4.37x^2 7.24x 6
kuvista näyttäis, että tuo C=3 paraabelin kaari olis lyhin, pitäis laskee, mutta hankala integrointi...
Minä sain optimaaliseksi paraabeliksi
−0.48039x^2 0.7506x 3.420375
Hyvin lähellä muuten lukua -2 tuon toinen juuri, mutta ei kuitenkaan ihan (niillä tarkkuuksilla millä sain ratkaisun). Liekkö vain hauska sattuma?
Otetaan akseleiden leikkaus-koordinaatit muuttujiksi ja ratkaistaan ratkaistaan kertoimet (Lagrangen interpolaatiolla saadaan 2. asteen polynomi, joka kulkee kolmen annetun pisteen kautta.) Ratkaistaan sitten optimiarvo numeerisesti.
https://www.desmos.com/calculator/x6unx8udkv
Voisihan sitä ottaa polynomin kertoimet muuttujiksi ja sitten kirjoittaa ehdot rajoituksiksi. Tai jos ottaisi x-leikkauksen yhdeksi muuttujaksi ja sitten loput kertoimet eli f olisi muotoa (x-x1)*(c_{n-1}x^(n-1) ... c0), niin ainakin se vaadittu nollakohta > a löytyisi (kun lisää x1:lle ehdon x1>a). Kun minä Sagella tuota numeerista optimointia tein, niin jotenkin se minimize_constrained() -funktio ei aina kunnioita niitä annettuja ehtoja, vaan antaa joskus ratkaisun myös kielletyltä alueelta. Noh, tuossa minä tein niin, että etsitään sitä nollakohtaa ja jos sitä ei löydy, niin otetaan vaan joku suuri luku, jota käytetään integroinnissa, niin sen pitäisi kyllä rajoittaa menemistä rajoitetulle alueelle
https://www.desmos.com/calculator/dl0kjts89b
Tuo oli siis yleisemmälle kolmannen jne. asteen. (Mutta tässä en ole varma onko suuremmille löydetty optimi enää globaali minimi, sillä se tuntui vaihtelevan kun kokeili satunnaisia lähtöarvoja).
Paraabelin kaaren pituudellehan saa myös analyyttisen kaavan hyperbelisen arkussinin avulla, mutta en tiedä onko siitä paljon apua, koska kaavasta tulee kuitenkin hyvin monimutkainen, niin en tiedä onko sen analyyttiseen ratkaisemiseen toivoa. Tässä kuitenkin vielä toinen versio, jossa kiinnitetylle x1:n arvolle minimointi y1:n suhteen tehty, niin minimin voi sitten itse etsiä vain vetämällä x1:stä itse oikeaan kohtaan Desmoksessa:
https://www.desmos.com/calculator/yrn6m4siq8