k>1 ja f(x)=k×k^x sekä g(x)=k×(1/2)^x
Funktion kuvaajien leikkauspisteeseen piirretyt tangentit rajaavat yhdessä x-akselin kanssa kolmion. Mitkä ovat kolmion pinta-alan ääriarvot? Miten ne lasketaan?
Funktion kuvaajien leikkauspisteeseen piirretyt tangentit rajaavat yhdessä x-akselin kanssa kolmion. Mitkä ovat kolmion pinta-alan ääriarvot? Miten ne lasketaan?
Vastaukset 13
Vanhimmat
Eikös se k*k^x ole k^(x 1)? Oletko taas yksi niistä joka ei edes tehtävää osaa kirjoittaa oikein? Vai miksi tuo merkillinen kirjoitustapa?
Tämä onkin hiukan hankalahko tehtävä, ja laitan siitä vaan tämän suttupaperin, johon sitä äsken laskin: https://aijaa.com/ygzOpZ
Ihan ekana siinä pitää laskea tai älytä käyrien leikkauspisteeksi (0,k)..
Se, että tuo löydetty ääriarvokohta on juuri alan minimi ja, se että alan maksimi on ääretön vaatii liikaa arpeetia, en siihen ryhdy....Ainakin siinä pitää laskea alan limes kun k lähenee 1 ylhäältä..
Funktio on
A(k) = 1/2k*|1/ln(k) 1/ln(2) |, joten melko selvää, että kun k-->1, niin A--> infty, sillä nimittäjässä oleva ln(k) --> 0 ja kerroin 1/2k --> 1/2.
Mimimikohdan arvon voi vielä sieventää aika mukavaan muotoon. Niin sanottuun "neljän neliöjuuren" muotoon:
1/sqrt(2) * sqrt(e) ^ (sqrt{ln2}*sqrt{ln2 4})
Muuten, jos annetaan k:n mennä myös <1, niin sieltä löytyy kaksi alan nollakohtaa (k=0 ja k=1/2) sekä yksi lokaali maksimi kohdassa k=0,287.
https://www.desmos.com/calculator/cd3yjmvfur
(Kuvassa pistettä A vetämällä saa k:n arvoa muutettua, koska leikkauspiste A on (0, k))
Mitähän ihmettä sinä oikein kirjoittelet? Etkö tajunnut tuota kommenttia/09:02? Vai onko sinulla salattua tietoa siitä, että funktiot eivät olekaan aloittajan antamat?
k^(x 1) = k/2^x
k^x= 1/2^x
k= 1/2
Mitähän ääriarvoja tästä saat aikaan? k = 1/2 < 1.
Tuossa minun suttupaperissani on leikkauspisteen määritys aika lailla päin parametriä p. Otetaan se uusiksi:
Tässähän on kaksi eri funktiota : f(x) =k*(k)^x , ja g(x)=k*(½)^x, joissa k on parametri ja k>1.
Se , että k >1 estää sen, että kyseessä olisi identtisesti sama funktio , joka toteutuisi kun k=½.
Ensimmäisenä haetaan käyrien leikkauspiste (xₒ, yₒ), eli f(xₒ)=g(xₒ).
(Ei siis niin, että f(x)=g(x), jolloin saadaan k:n arvo, k=½, jolla funktiot olisivat identtisesti samoja)
f(xₒ)=k*(k)^(xₒ)
g(xₒ)=k*(½)^(xₒ)
k*(k)^(xₒ)=k*(½)^(xₒ), voidaan jakaa puolittain k:lla, koska k >1, ja samasta syystä voidaan ottaa puolittain luonnollinen logaritmi, koska varmasti molemmmat puolet ovat >0.
(xₒ)*ln(k)=(xₒ)*ln(½), otetaan (xₒ) yhteiseksi tekijäksi:
(xₒ)*(ln(k)-ln(½))=0, tulon nollasäännöllä saadaan xₒ=0, joten f(xₒ)=g(xₒ)=k
(Tuosta tulon nollasäännöstä tulisi myös se identtisten funktioiden tapaus , kun k=½, mutta ei ole silloin k>1)
Vielä kerran: eikös k*k^x = k^(x 1) ?Leikkaus tapahtuu kun f(x) = g(x).
k^(x 1) = k/2^x
k^x =( 1/2)^x
=> k= 1/2.
Ota huomioon, jos x=0, niin silloin molemmat puolet ovat 1 (riippumatta k:sta).
Niinpä. Olkoon siis k > 1.
f(x) = k*k^x = g(x) = k/2^x
(2k)^x = 1 => x=0
f(0) = k ja g(0) = k
f'(x) = k ln(k) k^x ja f'(0) = k ln(k)
g'(x) = - k ln(2) 2^( - x) ja g'(0) = - k ln(2)
Tangenttisuorat ovat
Tf: y = k ln(k) x k
Tg: y = - k ln(2) x k
Tf leikkaa x-akselin kun k ln(k) x k = 0 eli x = - 1/ ln(k)
Tg leikkaa x-akselin kun -k ln(2) x k = 0 eli x= 1/ln(2)
Kolmion korkeus on k. Kannan pituus on 1/ln(2) 1/ln(k)
Kolmion ala on A(k) =1/2 k (1/ln(2) 1/ln(k)) = k/(2 ln(2)) k/(2 ln(2))
Jatkan myöhemmin.
Siis A(k) = k/(2 ln(2)) k/(2 ln(k)) (tuli äsken kirjoitusvirhe).
A'(k) = 1/(2 ln(2)) 1/2 ((ln(k) -1)/(ln(k))^2) = 0
ln(2) (ln(k))^2 ln(k) - 1 = 0
ln(k) = (- 1 /- sqrt(1 4 ln(2)))/ (2 ln(2))
Nyt pitäisi vielä setviä, mikä k antaa alalle minimin. Mutta riittää nyt ainakin tältä aamulta tuo logaritmipuuhailu.
Vielä: ääriarvojahan tässä kysyttiinkin. Pitäisi siis vielä setviä antavatko nuo ratkaisuna saatavat k:n arvot A:lle ääriarvon ja mitkä ne ääriarvot ovat.
Jatkoa: Oikea yhtälö:
ln(k)^2/ln(2) ln(k) - 1 = 0
ln(k) = ( -1 /- sqrt(1 4/ln(2)))/(2/sqrt(2) )
ln(k) = 0.55523594 ja k = 1,742352
ln(k) = - 1.24838312 ja k = 0,286968 eli k < 1.
Derivaatta vaihtaa merkkiä miinuksesta plussaksi kun tuo 0-piste ohitetaan joten kyseessä on minimi. Pinta-alan voi laskea kuten edellä esitin.
Kun k kasvaa niin A(k) kasvaa joten maksimia ei ole.
En viitsinyt enää tarkastaa menivätkö laskut oikein joten "näillä mennään".
Minimipinta-ala on siis A(1,742352) = 1,742352/(2 ln(2)) 1,742352/(2*0.55523594)=
2,82585