k>1 ja f(x)=k×k^x sekä g(x)=k×(1/2)^x
Funktion kuvaajien leikkauspisteeseen piirretyt tangentit rajaavat yhdessä x-akselin kanssa kolmion. Mitkä ovat kolmion pinta-alan ääriarvot? Miten ne lasketaan?
Pinta-alan ääriarvot
Anonyymi
13
89
Vastaukset
- Anonyymi
Eikös se k*k^x ole k^(x 1)? Oletko taas yksi niistä joka ei edes tehtävää osaa kirjoittaa oikein? Vai miksi tuo merkillinen kirjoitustapa?
- Anonyymi
Tämä onkin hiukan hankalahko tehtävä, ja laitan siitä vaan tämän suttupaperin, johon sitä äsken laskin: https://aijaa.com/ygzOpZ
Ihan ekana siinä pitää laskea tai älytä käyrien leikkauspisteeksi (0,k)..
Se, että tuo löydetty ääriarvokohta on juuri alan minimi ja, se että alan maksimi on ääretön vaatii liikaa arpeetia, en siihen ryhdy....Ainakin siinä pitää laskea alan limes kun k lähenee 1 ylhäältä..- Anonyymi
Funktio on
A(k) = 1/2k*|1/ln(k) 1/ln(2) |, joten melko selvää, että kun k-->1, niin A--> infty, sillä nimittäjässä oleva ln(k) --> 0 ja kerroin 1/2k --> 1/2.
Mimimikohdan arvon voi vielä sieventää aika mukavaan muotoon. Niin sanottuun "neljän neliöjuuren" muotoon:
1/sqrt(2) * sqrt(e) ^ (sqrt{ln2}*sqrt{ln2 4})
Muuten, jos annetaan k:n mennä myös <1, niin sieltä löytyy kaksi alan nollakohtaa (k=0 ja k=1/2) sekä yksi lokaali maksimi kohdassa k=0,287.
https://www.desmos.com/calculator/cd3yjmvfur
(Kuvassa pistettä A vetämällä saa k:n arvoa muutettua, koska leikkauspiste A on (0, k)) - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Funktio on
A(k) = 1/2k*|1/ln(k) 1/ln(2) |, joten melko selvää, että kun k-->1, niin A--> infty, sillä nimittäjässä oleva ln(k) --> 0 ja kerroin 1/2k --> 1/2.
Mimimikohdan arvon voi vielä sieventää aika mukavaan muotoon. Niin sanottuun "neljän neliöjuuren" muotoon:
1/sqrt(2) * sqrt(e) ^ (sqrt{ln2}*sqrt{ln2 4})
Muuten, jos annetaan k:n mennä myös <1, niin sieltä löytyy kaksi alan nollakohtaa (k=0 ja k=1/2) sekä yksi lokaali maksimi kohdassa k=0,287.
https://www.desmos.com/calculator/cd3yjmvfur
(Kuvassa pistettä A vetämällä saa k:n arvoa muutettua, koska leikkauspiste A on (0, k))Mitähän ihmettä sinä oikein kirjoittelet? Etkö tajunnut tuota kommenttia/09:02? Vai onko sinulla salattua tietoa siitä, että funktiot eivät olekaan aloittajan antamat?
- Anonyymi
k^(x 1) = k/2^x
k^x= 1/2^x
k= 1/2
Mitähän ääriarvoja tästä saat aikaan? k = 1/2 < 1. - Anonyymi
Tuossa minun suttupaperissani on leikkauspisteen määritys aika lailla päin parametriä p. Otetaan se uusiksi:
Tässähän on kaksi eri funktiota : f(x) =k*(k)^x , ja g(x)=k*(½)^x, joissa k on parametri ja k>1.
Se , että k >1 estää sen, että kyseessä olisi identtisesti sama funktio , joka toteutuisi kun k=½.
Ensimmäisenä haetaan käyrien leikkauspiste (xₒ, yₒ), eli f(xₒ)=g(xₒ).
(Ei siis niin, että f(x)=g(x), jolloin saadaan k:n arvo, k=½, jolla funktiot olisivat identtisesti samoja)
f(xₒ)=k*(k)^(xₒ)
g(xₒ)=k*(½)^(xₒ)
k*(k)^(xₒ)=k*(½)^(xₒ), voidaan jakaa puolittain k:lla, koska k >1, ja samasta syystä voidaan ottaa puolittain luonnollinen logaritmi, koska varmasti molemmmat puolet ovat >0.
(xₒ)*ln(k)=(xₒ)*ln(½), otetaan (xₒ) yhteiseksi tekijäksi:
(xₒ)*(ln(k)-ln(½))=0, tulon nollasäännöllä saadaan xₒ=0, joten f(xₒ)=g(xₒ)=k
(Tuosta tulon nollasäännöstä tulisi myös se identtisten funktioiden tapaus , kun k=½, mutta ei ole silloin k>1)- Anonyymi
Vielä kerran: eikös k*k^x = k^(x 1) ?Leikkaus tapahtuu kun f(x) = g(x).
k^(x 1) = k/2^x
k^x =( 1/2)^x
=> k= 1/2. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Vielä kerran: eikös k*k^x = k^(x 1) ?Leikkaus tapahtuu kun f(x) = g(x).
k^(x 1) = k/2^x
k^x =( 1/2)^x
=> k= 1/2.Ota huomioon, jos x=0, niin silloin molemmat puolet ovat 1 (riippumatta k:sta).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ota huomioon, jos x=0, niin silloin molemmat puolet ovat 1 (riippumatta k:sta).
Niinpä. Olkoon siis k > 1.
f(x) = k*k^x = g(x) = k/2^x
(2k)^x = 1 => x=0
f(0) = k ja g(0) = k
f'(x) = k ln(k) k^x ja f'(0) = k ln(k)
g'(x) = - k ln(2) 2^( - x) ja g'(0) = - k ln(2)
Tangenttisuorat ovat
Tf: y = k ln(k) x k
Tg: y = - k ln(2) x k
Tf leikkaa x-akselin kun k ln(k) x k = 0 eli x = - 1/ ln(k)
Tg leikkaa x-akselin kun -k ln(2) x k = 0 eli x= 1/ln(2)
Kolmion korkeus on k. Kannan pituus on 1/ln(2) 1/ln(k)
Kolmion ala on A(k) =1/2 k (1/ln(2) 1/ln(k)) = k/(2 ln(2)) k/(2 ln(2))
Jatkan myöhemmin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Niinpä. Olkoon siis k > 1.
f(x) = k*k^x = g(x) = k/2^x
(2k)^x = 1 => x=0
f(0) = k ja g(0) = k
f'(x) = k ln(k) k^x ja f'(0) = k ln(k)
g'(x) = - k ln(2) 2^( - x) ja g'(0) = - k ln(2)
Tangenttisuorat ovat
Tf: y = k ln(k) x k
Tg: y = - k ln(2) x k
Tf leikkaa x-akselin kun k ln(k) x k = 0 eli x = - 1/ ln(k)
Tg leikkaa x-akselin kun -k ln(2) x k = 0 eli x= 1/ln(2)
Kolmion korkeus on k. Kannan pituus on 1/ln(2) 1/ln(k)
Kolmion ala on A(k) =1/2 k (1/ln(2) 1/ln(k)) = k/(2 ln(2)) k/(2 ln(2))
Jatkan myöhemmin.Siis A(k) = k/(2 ln(2)) k/(2 ln(k)) (tuli äsken kirjoitusvirhe).
A'(k) = 1/(2 ln(2)) 1/2 ((ln(k) -1)/(ln(k))^2) = 0
ln(2) (ln(k))^2 ln(k) - 1 = 0
ln(k) = (- 1 /- sqrt(1 4 ln(2)))/ (2 ln(2))
Nyt pitäisi vielä setviä, mikä k antaa alalle minimin. Mutta riittää nyt ainakin tältä aamulta tuo logaritmipuuhailu. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Siis A(k) = k/(2 ln(2)) k/(2 ln(k)) (tuli äsken kirjoitusvirhe).
A'(k) = 1/(2 ln(2)) 1/2 ((ln(k) -1)/(ln(k))^2) = 0
ln(2) (ln(k))^2 ln(k) - 1 = 0
ln(k) = (- 1 /- sqrt(1 4 ln(2)))/ (2 ln(2))
Nyt pitäisi vielä setviä, mikä k antaa alalle minimin. Mutta riittää nyt ainakin tältä aamulta tuo logaritmipuuhailu.Vielä: ääriarvojahan tässä kysyttiinkin. Pitäisi siis vielä setviä antavatko nuo ratkaisuna saatavat k:n arvot A:lle ääriarvon ja mitkä ne ääriarvot ovat.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Siis A(k) = k/(2 ln(2)) k/(2 ln(k)) (tuli äsken kirjoitusvirhe).
A'(k) = 1/(2 ln(2)) 1/2 ((ln(k) -1)/(ln(k))^2) = 0
ln(2) (ln(k))^2 ln(k) - 1 = 0
ln(k) = (- 1 /- sqrt(1 4 ln(2)))/ (2 ln(2))
Nyt pitäisi vielä setviä, mikä k antaa alalle minimin. Mutta riittää nyt ainakin tältä aamulta tuo logaritmipuuhailu.Jatkoa: Oikea yhtälö:
ln(k)^2/ln(2) ln(k) - 1 = 0
ln(k) = ( -1 /- sqrt(1 4/ln(2)))/(2/sqrt(2) )
ln(k) = 0.55523594 ja k = 1,742352
ln(k) = - 1.24838312 ja k = 0,286968 eli k < 1.
Derivaatta vaihtaa merkkiä miinuksesta plussaksi kun tuo 0-piste ohitetaan joten kyseessä on minimi. Pinta-alan voi laskea kuten edellä esitin.
Kun k kasvaa niin A(k) kasvaa joten maksimia ei ole.
En viitsinyt enää tarkastaa menivätkö laskut oikein joten "näillä mennään". - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jatkoa: Oikea yhtälö:
ln(k)^2/ln(2) ln(k) - 1 = 0
ln(k) = ( -1 /- sqrt(1 4/ln(2)))/(2/sqrt(2) )
ln(k) = 0.55523594 ja k = 1,742352
ln(k) = - 1.24838312 ja k = 0,286968 eli k < 1.
Derivaatta vaihtaa merkkiä miinuksesta plussaksi kun tuo 0-piste ohitetaan joten kyseessä on minimi. Pinta-alan voi laskea kuten edellä esitin.
Kun k kasvaa niin A(k) kasvaa joten maksimia ei ole.
En viitsinyt enää tarkastaa menivätkö laskut oikein joten "näillä mennään".Minimipinta-ala on siis A(1,742352) = 1,742352/(2 ln(2)) 1,742352/(2*0.55523594)=
2,82585
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
SDP palauttaa Suomen kansalle kulta-ajat
Hyvinvointivalto on pääosin SDP:n ja osin myös Maalaisliiton rakentama. Hyvinvointivaltion ylläpito edellyttää oikeude20915074Aamun Riikka: työttömyydessä lähestytään viime laman synkintä vaihetta
Nopeasti mentiiin upean Marinin hallituksen ennätystyöllisyydestä toiseen ääripäähän, kohti Suomen historian kurjimpia t12710520Persut JYTKYTTÄÄ ylös, ohi kepun! +2,1 %
Persut palasi kolmen suurimman joukkoon ja on matkalla kohti kevään 2027 eduskuntavaalivoittoa. Sosialistit ovat syöksy11910087Älkää vassarit kuvitelko, että Marinin kulta-ajat palaavat
Vaikka demarit voittaisivat seuraavat vaalit, se ei palauta Marinin taskut-täyteen-kelasta-aikaa takaisin, ei voi eikä h1089341Suomen velka kasvoi ennätysvauhtia - Mäkynen repostelee
– Velka kasvoi eniten tilaston historiassa, Mäkynen kirjoittaa. – Vuoden 2025 toisella neljänneksellä selvästi eniten k529162Sanna Marin saa ylistystä Hillary Clintonilta
Jos joku ei tiedä kuka tämä rouva Hillary Clinton on, niin kerrottakoon "fun fact", eli hän on se keneltä Donald Trump237059Giorgia Meloni vs Riikka Purra
Kyllä Italian pääministeri on kauniimpi ja seksikkäämpi, kuin Suomen valtiovarainministeri Riikka Purra. Mitä jotkut näk566935Johtuuko vasemmistolaisten inho kristinuskoa kohtaan heidän islamin uskostaan?
Tätä jäin pohdiskelemaan.1826507Gallup, PS:lle JÄRISYTTÄVÄ nousu, SDP suurin laskija
https://yle.fi/a/74-20186114 PS kovaa vauhtia nousemassa ennen 2027 vaaleja suurimmaksi puolueeksi. Nyt mennään jo etua1696176Ohhoh. Kokoomusvirkamiehen mukaan Suomessa ei ole työttömyyskriisiä
Kun kokoomuksen johtama hallitus epäonnistuu täydellisesti talouspolitiikassaan, niin aikaisemmin erittäin pahaksi määri335598