Matematiikan tehtävä

Anonyymi

Kolikkoa heitetään kuusi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä saadaan

a) täsmälleen kolme kruunaa peräkkäin
b) vähintään kolme kruunaa peräkkäin?

15

136

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Eri yhdistelmiä on 2^6. Aika helppoa laskea noiden täsmälleen 3 peräkkäin ja vähintään kolme peräkkäin lukumäärät.

      • Anonyymi

        Miten se lasketaan🤔


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Miten se lasketaan🤔

        Merkataan K = kruuna, L = klaava, X = kruuna tai klaava.
        a) Kolmen perättäisen kruunan sarjat ovat seuraavat; on huomattava, että kruunukolmikon edessä tai jäljessä pitää olla L, silloin kun siellä on heitto.
        KKKLXX; LKKKLX; XLKKKL; XXLKKK
        Lukumääriä laskettaessa pitää ottaa huomioon, että X vastaa kasta heittoa; lukumäärä on siis: 4 2 2 4 = 12; ja tn on siis 12/64 = 3/16
        b) Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat seuraavat; on oltava tarkkana, ettei laske samaa sarjaa kahteen kertaan.
        KKKXXX; LKKKXX; XLKKKXX; XXLKKK
        Lukumäärä on siten 8 4 4 4 = 20 ja tn = 20/64 = 5/16


    • Anonyymi

      Tehtävä ratkeaa kokonaan tekemällä b-kohta hieman yleisemmin eli korvataan siinä kolmonen k:lla. Jos tiedät tämän k:n arvoille k=3 ja k=4, niin kuinka saat a-kohdan vastauksen?

      Kysymys siis kuuluu kuinka lasketaan sellaisten n:n pituisten (n=6) binäärijonojen lukumäärä, jossa on ainakin k:n ykkösen putki. Ehkä helpompi on miettiä vastatapahtumaa, että tällaista putkea ei ole. Mieti kuinka monta ykköstä jonon alussa voi olla ja mitä sen jälkeen täytyy tulla? Keksitkö rekursiota?

      • Anonyymi

        Siis "on korkeintaan k:n ykkösen putki" piti sanomani, kun nyt sitä vastatapahtumaa lasketaan.


    • Anonyymi

      a.4*(1/2)^6 = 4/64 = 1/16

      b 4* ( 1/2)^6 3*(1/2)^6 2*(1/2)^6 (1/2)^6 = 10/64 = 5/32

      • Anonyymi

        Voi myös ajatella näin: a. mahdollisia tapauksia kaikkiaan 2^6 = 64. Suotuisia on 4. p = 1/16.
        b. Suotuisia 4 3 2 1 = 10. p = 5/32.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Voi myös ajatella näin: a. mahdollisia tapauksia kaikkiaan 2^6 = 64. Suotuisia on 4. p = 1/16.
        b. Suotuisia 4 3 2 1 = 10. p = 5/32.

        Ei mene aivan noin. Vastaukset on 3/16 ja 5/16.

        B-kohdan suotuisat voi laskea vaikka näin (Sagea, mutta siinä on siis vain laskettu matriisin potenssi ja otettu siitä oikean ylänurkan alkio ):

        suotuisat = (matrix([[1,1,0,0], [1,0,1,0], [1,0,0,1], [0,0,0,2]])**6)[0][-1]

        Ehkä helpompi tapa ymmärtää, jos suunnatut graafit ja niiden kävelyiden laskut eivät ole tuttuja, on seuraava:

        Laita aluksi listaan kolme ensimmäistä kakkosen potenssia (lähtien nollasta): [1, 2, 4]
        Lähde sitten lisäämään listaan aina kolmen viimeisimmän summa. Eli seuraavaksi lisäisit 1 2 4 = 7. Lista on nyt [1,2,4,7]. Seuraava lisättävä on 2 4 7 jne. Kun saat seitsemännen (seitsemäs sen takia, että se on 6 1 ja laskenta lähtee nollasta) alkion, on se epäsuotuisten lukumäärä Y eli saat vastauksen laskemalla 1 - Y / 2^6.
        Python-koodina tämä on

        n = 6
        a = [1,2,4]
        for j in range(n-2): a.append(a[-1] a[-2] a[-3])
        print (1-a[n]/2**n)

        Minkä takia tämä sitten toimii? Vinkkiä löytyy 15.02.2021 21:11
        laitetusta viestistä. Kuinka muokkaat tätä, jotta saat vastauksen myös neloselle ja sitä kautta a-kohdankin ratkaistua? Tai vastaavasti kokeile ensin kakkoselle. Sieltä saattaa eräät tutut luvut tulla vastaan.

        Katsokaahan millaisen hackin tein Desmokseen: https://www.desmos.com/calculator/rekajfaoxc
        Siinä on siis "täsmälleen k" suotuisten lukumäärän jakauma. Kaikkien jonojen lasku näin: h([0...2^n-1]) olisi ollut kätevä (ja siitä olisi sitten tehnyt histogrammin), mutta se sanoo, että cannot store of list of numbers in a list.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei mene aivan noin. Vastaukset on 3/16 ja 5/16.

        B-kohdan suotuisat voi laskea vaikka näin (Sagea, mutta siinä on siis vain laskettu matriisin potenssi ja otettu siitä oikean ylänurkan alkio ):

        suotuisat = (matrix([[1,1,0,0], [1,0,1,0], [1,0,0,1], [0,0,0,2]])**6)[0][-1]

        Ehkä helpompi tapa ymmärtää, jos suunnatut graafit ja niiden kävelyiden laskut eivät ole tuttuja, on seuraava:

        Laita aluksi listaan kolme ensimmäistä kakkosen potenssia (lähtien nollasta): [1, 2, 4]
        Lähde sitten lisäämään listaan aina kolmen viimeisimmän summa. Eli seuraavaksi lisäisit 1 2 4 = 7. Lista on nyt [1,2,4,7]. Seuraava lisättävä on 2 4 7 jne. Kun saat seitsemännen (seitsemäs sen takia, että se on 6 1 ja laskenta lähtee nollasta) alkion, on se epäsuotuisten lukumäärä Y eli saat vastauksen laskemalla 1 - Y / 2^6.
        Python-koodina tämä on

        n = 6
        a = [1,2,4]
        for j in range(n-2): a.append(a[-1] a[-2] a[-3])
        print (1-a[n]/2**n)

        Minkä takia tämä sitten toimii? Vinkkiä löytyy 15.02.2021 21:11
        laitetusta viestistä. Kuinka muokkaat tätä, jotta saat vastauksen myös neloselle ja sitä kautta a-kohdankin ratkaistua? Tai vastaavasti kokeile ensin kakkoselle. Sieltä saattaa eräät tutut luvut tulla vastaan.

        Katsokaahan millaisen hackin tein Desmokseen: https://www.desmos.com/calculator/rekajfaoxc
        Siinä on siis "täsmälleen k" suotuisten lukumäärän jakauma. Kaikkien jonojen lasku näin: h([0...2^n-1]) olisi ollut kätevä (ja siitä olisi sitten tehnyt histogrammin), mutta se sanoo, että cannot store of list of numbers in a list.

        Höpö,höpö.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Voi myös ajatella näin: a. mahdollisia tapauksia kaikkiaan 2^6 = 64. Suotuisia on 4. p = 1/16.
        b. Suotuisia 4 3 2 1 = 10. p = 5/32.

        Laskin näköjään todennäköisyyttä tapahtumalle jossa muut heitot, siis kolmen perättäisen kruunan lisäksi, antavat klaavan. Mutta nämä eivät ole kaikki suotuisat tapaukset. Sori.
        Siis uudestaan:

        a) suotuisia on 4 2 2 4 = 12 ja p = 12/64 = 3/16
        b) suotuisia on 12 5 2 1 = 20 ja p = 20/64 = 5/16


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Laskin näköjään todennäköisyyttä tapahtumalle jossa muut heitot, siis kolmen perättäisen kruunan lisäksi, antavat klaavan. Mutta nämä eivät ole kaikki suotuisat tapaukset. Sori.
        Siis uudestaan:

        a) suotuisia on 4 2 2 4 = 12 ja p = 12/64 = 3/16
        b) suotuisia on 12 5 2 1 = 20 ja p = 20/64 = 5/16

        Entäs jos heitetään seitsemän kertaa?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Entäs jos heitetään seitsemän kertaa?

        Seitsemän kertaa heitettäessä eri mahdollisuuksia on 2^7 = 128 kpl.
        Täsmälleen kolmen perättäisen kruunan eri kombinaatiot ovat:
        KKKLXXX; LKKKLXX; XLKKKLX; XXLKKKL; XXXLKKK, missä X on K tai L.
        Lukumääräksi saadaan: 8 4 4 4 8=28 ja tn = 28/128 = 7/32
        Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat;
        KKKXXXX; LKKKXXX; XLKKKXX; XXLKKKX; XXXLKKK
        Lukumäärä on siten 16 8 8 8 8 = 48 ja tn = 48/128 = 3/8


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Seitsemän kertaa heitettäessä eri mahdollisuuksia on 2^7 = 128 kpl.
        Täsmälleen kolmen perättäisen kruunan eri kombinaatiot ovat:
        KKKLXXX; LKKKLXX; XLKKKLX; XXLKKKL; XXXLKKK, missä X on K tai L.
        Lukumääräksi saadaan: 8 4 4 4 8=28 ja tn = 28/128 = 7/32
        Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat;
        KKKXXXX; LKKKXXX; XLKKKXX; XXLKKKX; XXXLKKK
        Lukumäärä on siten 16 8 8 8 8 = 48 ja tn = 48/128 = 3/8

        Tuossa tulee yksi jono laskettua kaksi kertaa, nimittäin KKKLKKK. Tarkasta vaikka täältä: https://oeis.org/A050231 , että seitsemäs termi on 47.

        Vielä pitemmille jonoille noita "päällekkäisyyksiä" tulee lisää ja tässä inkluusio-ekskluusiossa täytyy tutkia yhä useampia erilaisia leikkauksia. Sanoisin, että matriisimenetelmä on tähän ongelmaan ehdottomasti paras ratkaisu. Matriisin potenssiinkorotus voidaan tehdä logaritmisessa ajassa, joten lasku voidaan tehdä periaatteessa kuinka suurelle n tahansa (jos ei oteta huomioon, että ratkaisun koko kasvaa eksponentiaalisesti; lasketaan vaikka jossain modulossa).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuossa tulee yksi jono laskettua kaksi kertaa, nimittäin KKKLKKK. Tarkasta vaikka täältä: https://oeis.org/A050231 , että seitsemäs termi on 47.

        Vielä pitemmille jonoille noita "päällekkäisyyksiä" tulee lisää ja tässä inkluusio-ekskluusiossa täytyy tutkia yhä useampia erilaisia leikkauksia. Sanoisin, että matriisimenetelmä on tähän ongelmaan ehdottomasti paras ratkaisu. Matriisin potenssiinkorotus voidaan tehdä logaritmisessa ajassa, joten lasku voidaan tehdä periaatteessa kuinka suurelle n tahansa (jos ei oteta huomioon, että ratkaisun koko kasvaa eksponentiaalisesti; lasketaan vaikka jossain modulossa).

        Joo, niin onkin. Siis vastaukset ovat siis 27/128 ja 47/128. Esitin tuon menetelmän, koska kysyjä ei ehkä hallitse noita matriisimenetelmiä.


    • Anonyymi

      Oikea vastaus on
      a) 6 %
      b) 28%

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. IL - Patteriauto syttyi parkkihallissa Tampereella - 50 autoa LUNASTUKSEEN!

      "Palon aikaan parkkihallissa oli 90 autoa, joista noin 50 tuhoutui palossa korjauskelvottomiksi. Lisäksi palo vaurioitti
      Maailman menoa
      256
      45623
    2. Kristillisistä Siionisteista asiallista tietoa Hesarissa.

      KD ja Persut ovat kaiken takana avoimesti!
      Maailman menoa
      44
      11359
    3. Persut JYTKYTTÄÄ ylös, ohi kepun! +2,1 %

      Persut palasi kolmen suurimman joukkoon ja on matkalla kohti kevään 2027 eduskuntavaalivoittoa. Sosialistit ovat syöksy
      Maailman menoa
      221
      10961
    4. Sanna Marin saa ylistystä Hillary Clintonilta

      Jos joku ei tiedä kuka tämä rouva Hillary Clinton on, niin kerrottakoon "fun fact", eli hän on se keneltä Donald Trump
      Maailman menoa
      38
      9775
    5. Ja jälleen uusi latauksessa olleen sähköauton palo! Nyt Keravan Prisman parkkihallissa.

      IS 3.10.2025 Latauksessa ollut sähköauto syttyi yöllä tuleen Keravan Prisman parkkihallissa, Keski-Uudenmaan pelastusla
      Maailman menoa
      90
      8618
    6. Gallup, PS:lle JÄRISYTTÄVÄ nousu, SDP suurin laskija

      https://yle.fi/a/74-20186114 PS kovaa vauhtia nousemassa ennen 2027 vaaleja suurimmaksi puolueeksi. Nyt mennään jo etua
      Maailman menoa
      277
      6664
    7. Kalja-Kristus Kutsuu Luokseen

      Nyt on Oikea Hetki Ottaa Ryppyys Vastaan! Lue Pelastusryyppy ja tee Promillista elämäsi Herra! Pelastusryyppy on teksti
      Maailman menoa
      2
      3325
    8. Perussuomalaisiin minä luotan

      Bensaa raaskii taas tankata ja ensi vuonna laskee ruoan verotus. Nämä muutokset parantavat pienituloisten asemaa.
      Maailman menoa
      13
      2594
    9. Persut on SYYLLISIÄ KAIKKEEN NEGATIIVISEEN SUOMESSA

      , ne haluaa neuvostoliiton putinin kanssa takaisin, shit voi valvoa kaikkea ja kaikkia, no tietty makeeta mannaa itselle
      Perussuomalaiset
      2
      2583
    10. Jos mä joisin

      Itteni känniin nyt, voi olla että mä tunnustaisin sulle kuinka ihastunut oon ollu suhun viimeiset 2 vuotta. Eikä mua pys
      Ikävä
      44
      2350
    Aihe