Kolikkoa heitetään kuusi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä saadaan
a) täsmälleen kolme kruunaa peräkkäin
b) vähintään kolme kruunaa peräkkäin?
a) täsmälleen kolme kruunaa peräkkäin
b) vähintään kolme kruunaa peräkkäin?
Matematiikan tehtävä
Anonyymi
15173
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Eri yhdistelmiä on 2^6. Aika helppoa laskea noiden täsmälleen 3 peräkkäin ja vähintään kolme peräkkäin lukumäärät.
Miten se lasketaan🤔
Merkataan K = kruuna, L = klaava, X = kruuna tai klaava.
a) Kolmen perättäisen kruunan sarjat ovat seuraavat; on huomattava, että kruunukolmikon edessä tai jäljessä pitää olla L, silloin kun siellä on heitto.
KKKLXX; LKKKLX; XLKKKL; XXLKKK
Lukumääriä laskettaessa pitää ottaa huomioon, että X vastaa kasta heittoa; lukumäärä on siis: 4 2 2 4 = 12; ja tn on siis 12/64 = 3/16
b) Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat seuraavat; on oltava tarkkana, ettei laske samaa sarjaa kahteen kertaan.
KKKXXX; LKKKXX; XLKKKXX; XXLKKK
Lukumäärä on siten 8 4 4 4 = 20 ja tn = 20/64 = 5/16
Tehtävä ratkeaa kokonaan tekemällä b-kohta hieman yleisemmin eli korvataan siinä kolmonen k:lla. Jos tiedät tämän k:n arvoille k=3 ja k=4, niin kuinka saat a-kohdan vastauksen?
Kysymys siis kuuluu kuinka lasketaan sellaisten n:n pituisten (n=6) binäärijonojen lukumäärä, jossa on ainakin k:n ykkösen putki. Ehkä helpompi on miettiä vastatapahtumaa, että tällaista putkea ei ole. Mieti kuinka monta ykköstä jonon alussa voi olla ja mitä sen jälkeen täytyy tulla? Keksitkö rekursiota?
Siis "on korkeintaan k:n ykkösen putki" piti sanomani, kun nyt sitä vastatapahtumaa lasketaan.
a.4*(1/2)^6 = 4/64 = 1/16
b 4* ( 1/2)^6 3*(1/2)^6 2*(1/2)^6 (1/2)^6 = 10/64 = 5/32
Voi myös ajatella näin: a. mahdollisia tapauksia kaikkiaan 2^6 = 64. Suotuisia on 4. p = 1/16.
b. Suotuisia 4 3 2 1 = 10. p = 5/32.
Ei mene aivan noin. Vastaukset on 3/16 ja 5/16.
B-kohdan suotuisat voi laskea vaikka näin (Sagea, mutta siinä on siis vain laskettu matriisin potenssi ja otettu siitä oikean ylänurkan alkio ):
suotuisat = (matrix([[1,1,0,0], [1,0,1,0], [1,0,0,1], [0,0,0,2]])**6)[0][-1]
Ehkä helpompi tapa ymmärtää, jos suunnatut graafit ja niiden kävelyiden laskut eivät ole tuttuja, on seuraava:
Laita aluksi listaan kolme ensimmäistä kakkosen potenssia (lähtien nollasta): [1, 2, 4]
Lähde sitten lisäämään listaan aina kolmen viimeisimmän summa. Eli seuraavaksi lisäisit 1 2 4 = 7. Lista on nyt [1,2,4,7]. Seuraava lisättävä on 2 4 7 jne. Kun saat seitsemännen (seitsemäs sen takia, että se on 6 1 ja laskenta lähtee nollasta) alkion, on se epäsuotuisten lukumäärä Y eli saat vastauksen laskemalla 1 - Y / 2^6.
Python-koodina tämä on
n = 6
a = [1,2,4]
for j in range(n-2): a.append(a[-1] a[-2] a[-3])
print (1-a[n]/2**n)
Minkä takia tämä sitten toimii? Vinkkiä löytyy 15.02.2021 21:11
laitetusta viestistä. Kuinka muokkaat tätä, jotta saat vastauksen myös neloselle ja sitä kautta a-kohdankin ratkaistua? Tai vastaavasti kokeile ensin kakkoselle. Sieltä saattaa eräät tutut luvut tulla vastaan.
Katsokaahan millaisen hackin tein Desmokseen: https://www.desmos.com/calculator/rekajfaoxc
Siinä on siis "täsmälleen k" suotuisten lukumäärän jakauma. Kaikkien jonojen lasku näin: h([0...2^n-1]) olisi ollut kätevä (ja siitä olisi sitten tehnyt histogrammin), mutta se sanoo, että cannot store of list of numbers in a list.
Höpö,höpö.
Laskin näköjään todennäköisyyttä tapahtumalle jossa muut heitot, siis kolmen perättäisen kruunan lisäksi, antavat klaavan. Mutta nämä eivät ole kaikki suotuisat tapaukset. Sori.
Siis uudestaan:
a) suotuisia on 4 2 2 4 = 12 ja p = 12/64 = 3/16
b) suotuisia on 12 5 2 1 = 20 ja p = 20/64 = 5/16
Entäs jos heitetään seitsemän kertaa?
Seitsemän kertaa heitettäessä eri mahdollisuuksia on 2^7 = 128 kpl.
Täsmälleen kolmen perättäisen kruunan eri kombinaatiot ovat:
KKKLXXX; LKKKLXX; XLKKKLX; XXLKKKL; XXXLKKK, missä X on K tai L.
Lukumääräksi saadaan: 8 4 4 4 8=28 ja tn = 28/128 = 7/32
Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat;
KKKXXXX; LKKKXXX; XLKKKXX; XXLKKKX; XXXLKKK
Lukumäärä on siten 16 8 8 8 8 = 48 ja tn = 48/128 = 3/8
Tuossa tulee yksi jono laskettua kaksi kertaa, nimittäin KKKLKKK. Tarkasta vaikka täältä: https://oeis.org/A050231 , että seitsemäs termi on 47.
Vielä pitemmille jonoille noita "päällekkäisyyksiä" tulee lisää ja tässä inkluusio-ekskluusiossa täytyy tutkia yhä useampia erilaisia leikkauksia. Sanoisin, että matriisimenetelmä on tähän ongelmaan ehdottomasti paras ratkaisu. Matriisin potenssiinkorotus voidaan tehdä logaritmisessa ajassa, joten lasku voidaan tehdä periaatteessa kuinka suurelle n tahansa (jos ei oteta huomioon, että ratkaisun koko kasvaa eksponentiaalisesti; lasketaan vaikka jossain modulossa).
Joo, niin onkin. Siis vastaukset ovat siis 27/128 ja 47/128. Esitin tuon menetelmän, koska kysyjä ei ehkä hallitse noita matriisimenetelmiä.
Oikea+vastaus+on+