Matematiikan tehtävä

Miten se lasketaan🤔

Anonyymi kirjoitti:

Miten se lasketaan🤔

Merkataan K = kruuna, L = klaava, X = kruuna tai klaava.
a) Kolmen perättäisen kruunan sarjat ovat seuraavat; on huomattava, että kruunukolmikon edessä tai jäljessä pitää olla L, silloin kun siellä on heitto.
KKKLXX; LKKKLX; XLKKKL; XXLKKK
Lukumääriä laskettaessa pitää ottaa huomioon, että X vastaa kasta heittoa; lukumäärä on siis: 4 2 2 4 = 12; ja tn on siis 12/64 = 3/16
b) Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat seuraavat; on oltava tarkkana, ettei laske samaa sarjaa kahteen kertaan.
KKKXXX; LKKKXX; XLKKKXX; XXLKKK
Lukumäärä on siten 8 4 4 4 = 20 ja tn = 20/64 = 5/16

Siis "on korkeintaan k:n ykkösen putki" piti sanomani, kun nyt sitä vastatapahtumaa lasketaan.

Voi myös ajatella näin: a. mahdollisia tapauksia kaikkiaan 2^6 = 64. Suotuisia on 4. p = 1/16.
b. Suotuisia 4 3 2 1 = 10. p = 5/32.

Anonyymi kirjoitti:

Voi myös ajatella näin: a. mahdollisia tapauksia kaikkiaan 2^6 = 64. Suotuisia on 4. p = 1/16.
b. Suotuisia 4 3 2 1 = 10. p = 5/32.

Ei mene aivan noin. Vastaukset on 3/16 ja 5/16.

B-kohdan suotuisat voi laskea vaikka näin (Sagea, mutta siinä on siis vain laskettu matriisin potenssi ja otettu siitä oikean ylänurkan alkio ):

suotuisat = (matrix([[1,1,0,0], [1,0,1,0], [1,0,0,1], [0,0,0,2]])**6)[0][-1]

Ehkä helpompi tapa ymmärtää, jos suunnatut graafit ja niiden kävelyiden laskut eivät ole tuttuja, on seuraava:

Laita aluksi listaan kolme ensimmäistä kakkosen potenssia (lähtien nollasta): [1, 2, 4]
Lähde sitten lisäämään listaan aina kolmen viimeisimmän summa. Eli seuraavaksi lisäisit 1 2 4 = 7. Lista on nyt [1,2,4,7]. Seuraava lisättävä on 2 4 7 jne. Kun saat seitsemännen (seitsemäs sen takia, että se on 6 1 ja laskenta lähtee nollasta) alkion, on se epäsuotuisten lukumäärä Y eli saat vastauksen laskemalla 1 - Y / 2^6.
Python-koodina tämä on

n = 6
a = [1,2,4]
for j in range(n-2): a.append(a[-1] a[-2] a[-3])
print (1-a[n]/2**n)

Minkä takia tämä sitten toimii? Vinkkiä löytyy 15.02.2021 21:11
laitetusta viestistä. Kuinka muokkaat tätä, jotta saat vastauksen myös neloselle ja sitä kautta a-kohdankin ratkaistua? Tai vastaavasti kokeile ensin kakkoselle. Sieltä saattaa eräät tutut luvut tulla vastaan.

Katsokaahan millaisen hackin tein Desmokseen: https://www.desmos.com/calculator/rekajfaoxc
Siinä on siis "täsmälleen k" suotuisten lukumäärän jakauma. Kaikkien jonojen lasku näin: h([0...2^n-1]) olisi ollut kätevä (ja siitä olisi sitten tehnyt histogrammin), mutta se sanoo, että cannot store of list of numbers in a list.

Anonyymi kirjoitti:

Ei mene aivan noin. Vastaukset on 3/16 ja 5/16.

B-kohdan suotuisat voi laskea vaikka näin (Sagea, mutta siinä on siis vain laskettu matriisin potenssi ja otettu siitä oikean ylänurkan alkio ):

suotuisat = (matrix([[1,1,0,0], [1,0,1,0], [1,0,0,1], [0,0,0,2]])**6)[0][-1]

Ehkä helpompi tapa ymmärtää, jos suunnatut graafit ja niiden kävelyiden laskut eivät ole tuttuja, on seuraava:

Laita aluksi listaan kolme ensimmäistä kakkosen potenssia (lähtien nollasta): [1, 2, 4]
Lähde sitten lisäämään listaan aina kolmen viimeisimmän summa. Eli seuraavaksi lisäisit 1 2 4 = 7. Lista on nyt [1,2,4,7]. Seuraava lisättävä on 2 4 7 jne. Kun saat seitsemännen (seitsemäs sen takia, että se on 6 1 ja laskenta lähtee nollasta) alkion, on se epäsuotuisten lukumäärä Y eli saat vastauksen laskemalla 1 - Y / 2^6.
Python-koodina tämä on

n = 6
a = [1,2,4]
for j in range(n-2): a.append(a[-1] a[-2] a[-3])
print (1-a[n]/2**n)

Minkä takia tämä sitten toimii? Vinkkiä löytyy 15.02.2021 21:11
laitetusta viestistä. Kuinka muokkaat tätä, jotta saat vastauksen myös neloselle ja sitä kautta a-kohdankin ratkaistua? Tai vastaavasti kokeile ensin kakkoselle. Sieltä saattaa eräät tutut luvut tulla vastaan.

Katsokaahan millaisen hackin tein Desmokseen: https://www.desmos.com/calculator/rekajfaoxc
Siinä on siis "täsmälleen k" suotuisten lukumäärän jakauma. Kaikkien jonojen lasku näin: h([0...2^n-1]) olisi ollut kätevä (ja siitä olisi sitten tehnyt histogrammin), mutta se sanoo, että cannot store of list of numbers in a list.

Lue lisää

Höpö,höpö.

Anonyymi kirjoitti:

Voi myös ajatella näin: a. mahdollisia tapauksia kaikkiaan 2^6 = 64. Suotuisia on 4. p = 1/16.
b. Suotuisia 4 3 2 1 = 10. p = 5/32.

Laskin näköjään todennäköisyyttä tapahtumalle jossa muut heitot, siis kolmen perättäisen kruunan lisäksi, antavat klaavan. Mutta nämä eivät ole kaikki suotuisat tapaukset. Sori.
Siis uudestaan:

a) suotuisia on 4 2 2 4 = 12 ja p = 12/64 = 3/16
b) suotuisia on 12 5 2 1 = 20 ja p = 20/64 = 5/16

Anonyymi kirjoitti:

Laskin näköjään todennäköisyyttä tapahtumalle jossa muut heitot, siis kolmen perättäisen kruunan lisäksi, antavat klaavan. Mutta nämä eivät ole kaikki suotuisat tapaukset. Sori.
Siis uudestaan:

a) suotuisia on 4 2 2 4 = 12 ja p = 12/64 = 3/16
b) suotuisia on 12 5 2 1 = 20 ja p = 20/64 = 5/16

Lue lisää

Entäs jos heitetään seitsemän kertaa?

Anonyymi kirjoitti:

Entäs jos heitetään seitsemän kertaa?

Seitsemän kertaa heitettäessä eri mahdollisuuksia on 2^7 = 128 kpl.
Täsmälleen kolmen perättäisen kruunan eri kombinaatiot ovat:
KKKLXXX; LKKKLXX; XLKKKLX; XXLKKKL; XXXLKKK, missä X on K tai L.
Lukumääräksi saadaan: 8 4 4 4 8=28 ja tn = 28/128 = 7/32
Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat;
KKKXXXX; LKKKXXX; XLKKKXX; XXLKKKX; XXXLKKK
Lukumäärä on siten 16 8 8 8 8 = 48 ja tn = 48/128 = 3/8

Anonyymi kirjoitti:

Seitsemän kertaa heitettäessä eri mahdollisuuksia on 2^7 = 128 kpl.
Täsmälleen kolmen perättäisen kruunan eri kombinaatiot ovat:
KKKLXXX; LKKKLXX; XLKKKLX; XXLKKKL; XXXLKKK, missä X on K tai L.
Lukumääräksi saadaan: 8 4 4 4 8=28 ja tn = 28/128 = 7/32
Vähintään kolmen peräkkäisen kruunun sarjat ovat;
KKKXXXX; LKKKXXX; XLKKKXX; XXLKKKX; XXXLKKK
Lukumäärä on siten 16 8 8 8 8 = 48 ja tn = 48/128 = 3/8

Lue lisää

Tuossa tulee yksi jono laskettua kaksi kertaa, nimittäin KKKLKKK. Tarkasta vaikka täältä: https://oeis.org/A050231 , että seitsemäs termi on 47.

Vielä pitemmille jonoille noita "päällekkäisyyksiä" tulee lisää ja tässä inkluusio-ekskluusiossa täytyy tutkia yhä useampia erilaisia leikkauksia. Sanoisin, että matriisimenetelmä on tähän ongelmaan ehdottomasti paras ratkaisu. Matriisin potenssiinkorotus voidaan tehdä logaritmisessa ajassa, joten lasku voidaan tehdä periaatteessa kuinka suurelle n tahansa (jos ei oteta huomioon, että ratkaisun koko kasvaa eksponentiaalisesti; lasketaan vaikka jossain modulossa).

Anonyymi kirjoitti:

Tuossa tulee yksi jono laskettua kaksi kertaa, nimittäin KKKLKKK. Tarkasta vaikka täältä: https://oeis.org/A050231 , että seitsemäs termi on 47.

Vielä pitemmille jonoille noita "päällekkäisyyksiä" tulee lisää ja tässä inkluusio-ekskluusiossa täytyy tutkia yhä useampia erilaisia leikkauksia. Sanoisin, että matriisimenetelmä on tähän ongelmaan ehdottomasti paras ratkaisu. Matriisin potenssiinkorotus voidaan tehdä logaritmisessa ajassa, joten lasku voidaan tehdä periaatteessa kuinka suurelle n tahansa (jos ei oteta huomioon, että ratkaisun koko kasvaa eksponentiaalisesti; lasketaan vaikka jossain modulossa).

Lue lisää

Joo, niin onkin. Siis vastaukset ovat siis 27/128 ja 47/128. Esitin tuon menetelmän, koska kysyjä ei ehkä hallitse noita matriisimenetelmiä.