Summan summaamista

Laske ensin vastaus ja mieti sitten. Ohjelma voi olla täysin pielessä. Jos on virhe, korjaa!

s = 1.0
k = 1
m = -1.0
for i in range(2,20):
_s = s m*i**3/k
_print s,i,m,k
_k = k*i
_m = -1.0*m


s on -0.367879441171

Minä koittaisin sellaista, että nimittäjän k^3 kirjoitetaan

k^3 = (k-1 1)^3 = (k-1)^3 3(k-1)^2 3(k-1) 1

Tällöin yksi k-1 kumoutuu ja summa palautuu alempaan tapaukseen. Vastaavasti alemmat tapaukset voidaan palauttaa aina nollatapaukseen, joka onkin sitten tavallinen eksponenttifunktion sarja.

Sarjasi on Summa (n >= 1) ( (- 1)^(n 1) * n^4/n!)
Sarja konvergoi ja sen jäännöstermi n:n termin jälkeen on R(n 1) jolle pätee
l R(n 1) l < (n 1)^4 / (n 1)!
Jos siis haluat laskea summan niin että varmasti virhe < 10^( - (n 1)) niin valitse n siten, että
lR(n 1) l < 10^(- (n 1))

Kyseessä on sama lauseke, joka ilmenee Poisson jakauman neljännen momentin laskussa, mutta, jossa lambda = -1 (Poisson jakaumassahan pitää olla lambda > 0, mutta lasku toimii samoin).

Merkitään nyt vähän yleisemmin, että

S_m(x) = sum_{k=1}^\infty k^m / (k-1)! x^k

Haluttu summa on tällöin -S_3(-1). (Miinus-merkki tulee, koska siinähän pitääkin olla (-1)^(k 1) eli x^(k 1) eikä x^k, mutta myös yleiselle x tämä hoituu kun ottaa yhden ylimääräisen x:n eteen.)

Siinä käy, niin, että siitä tulee xe^x kertaa m-asteinen x:n polynomi, jonka kertoimet ovat Stirlingin (2-tyypin) lukuja {m 1, j-1}: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind#Moments_of_the_Poisson_distribution

Sama rekursio kuin Stirling-luvuilla nähdään viestissä 18.03.2021 18:32 mainitulla tavalla eli binomikaavalla.

Esim.

S3(x) = xe^x (x^3 6x^2 7x 1), joten
S3(-1) = e^(-1)