Pitäisi laskea seuraavanlainen summa:
1 - 2^3/1! 3^3/2! - 4^3/3! 5^3/4!...
Mitenköhän tässä pääsisi alkuun?
1 - 2^3/1! 3^3/2! - 4^3/3! 5^3/4!...
Mitenköhän tässä pääsisi alkuun?
Summan summaamista
Anonyymi
11142
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Laske ensin vastaus ja mieti sitten. Ohjelma voi olla täysin pielessä. Jos on virhe, korjaa!
s = 1.0
k = 1
m = -1.0
for i in range(2,20):
_s = s m*i**3/k
_print s,i,m,k
_k = k*i
_m = -1.0*m
s on -0.367879441171
Kyllä vain, sain saman tuloksen oheisella R-koodilla:
sum(sapply(seq_len(100000), function(x) {(-1)^(x 1) * x^3 / (factorial(x - 1))})). Vastaus näyttäisi olevan siis -1/e. Täytyypä vielä pähkäillä, miten tulokseen päädytään.
Voi myös laskea pelkillä kokonaisluvuilla (ilman jakolaskua) ja muodostaa murtoluku.
s = 1
k = 1
m = -1
for i in range(2,22):
__s = s*(i-1) m*i**3
__print(i-1,s,k)
__k = k*i
__m = -1*m
Tuosta saa e:lle likiarvon murtolukuna, jossa osoittaja on aina kertoma. Esim.
e = 10!/1334819
e = 20!/895014631192901639
Minä koittaisin sellaista, että nimittäjän k^3 kirjoitetaan
k^3 = (k-1 1)^3 = (k-1)^3 3(k-1)^2 3(k-1) 1
Tällöin yksi k-1 kumoutuu ja summa palautuu alempaan tapaukseen. Vastaavasti alemmat tapaukset voidaan palauttaa aina nollatapaukseen, joka onkin sitten tavallinen eksponenttifunktion sarja.
Tämä lähestymistapa näyttäisi toimivan!
Onko nimittäjässä k^3 ?
Osoittajassa piti sanomani.
Sarjasi on Summa (n >= 1) ( (- 1)^(n 1) * n^4/n!)
Sarja konvergoi ja sen jäännöstermi n:n termin jälkeen on R(n 1) jolle pätee
l R(n 1) l < (n 1)^4 / (n 1)!
Jos siis haluat laskea summan niin että varmasti virhe < 10^( - (n 1)) niin valitse n siten, että
lR(n 1) l < 10^(- (n 1))
Totean lisäksi että tuo sarjasi on myös itseisesti suppeneva ja silloin sen summan arvo on 15 e.
Mutta tuon vuorottelevan sarjan summan lauseketta en ainakaan nyt tiedä. Likiarvon saat laskettua kuten jo esitin.
Kyseessä on sama lauseke, joka ilmenee Poisson jakauman neljännen momentin laskussa, mutta, jossa lambda = -1 (Poisson jakaumassahan pitää olla lambda > 0, mutta lasku toimii samoin).
Merkitään nyt vähän yleisemmin, että
S_m(x) = sum_{k=1}^\infty k^m / (k-1)! x^k
Haluttu summa on tällöin -S_3(-1). (Miinus-merkki tulee, koska siinähän pitääkin olla (-1)^(k 1) eli x^(k 1) eikä x^k, mutta myös yleiselle x tämä hoituu kun ottaa yhden ylimääräisen x:n eteen.)
Siinä käy, niin, että siitä tulee xe^x kertaa m-asteinen x:n polynomi, jonka kertoimet ovat Stirlingin (2-tyypin) lukuja {m 1, j-1}: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind#Moments_of_the_Poisson_distribution
Sama rekursio kuin Stirling-luvuilla nähdään viestissä 18.03.2021 18:32 mainitulla tavalla eli binomikaavalla.
Esim.
S3(x) = xe^x (x^3 6x^2 7x 1), joten
S3(-1) = e^(-1)
Näyttäähän noille polynomeille olevan nimikin: Touchardin polynomit: https://en.wikipedia.org/wiki/Touchard_polynomials
Siellä on myös suoraan näkyvillä se yhteys kysyttyyn summaan (paitsi siellä on k^n/k! eli "sitä yhtä k:ta" ei ole vielä supistettu).