9:llä jaollisuus

Jakamalla saau luku tekijöihin.

Vinkki: 10 ≡ 1 (mod 9)

Kaikkihan tietävät ysin jaollisuussäännön: jos numeroiden summa on jaollinen ysillä, niin myös luku on. Mennäänpä sisään sen todistukseen ja tarkastellaan mitä siinä tapahtuu. Siinähän osoitetaan jopa, että luvun ja sen numeroiden summa ovat yhtä suuret modulo 9. (Ysillä jaollisuus on tämän erikoitapaus, jossa molemmat ovat 0 mod 9.) Itse todistus on lyhykäisyydessään se, että kympin potenssit, jotka ovat luvun numeroiden kertoimina voidaan unohtaa, koska 10^n on konguentti 1 mod 9.
No, nyt kun luvun numeroita sekoitetaan, niin niiden summa ei tietenkään muutu. Näin ei muutu myöskään luvun jäännösluokka mod 9, sillä edellisen huomion mukaan se on sama kuin luvun numeroiden summa. Siis kun vähennämme nämä kaksi sama jäännösluokkaista toisistaan, päädymme jäännösluokkaan 0 eli ysillä jaolliseen lukuun.

Aloituksessa puhutaan eräästä luvusta, joten yleispätevää todistusta ei tässä tarvita, vaikka sekin käy.

A = B (C) kun C l A - B (luku C jakaa luvun A - B)

Olkoon meillä kokonaisluku A = a(n)*10^n a(n-1)*10^(n-1) ... a(1) * 10 a(0).
a(n)* 10^n = a(n) (9) (luku a(n) * 10^n on kongruentti luvun a(n) kanssa modulo 9).
a(n-1) * 10^(n-1) = a(n-1) (9)
.
.
.a(1)*10^1 = a(1) (9)
a(0) = a(0) (9)
Kongruenssit saa laskea yhteen jolloin saadaan
A = (a(n) a(n-1) ... a(0)) (9).
Olkoon a = a(n) a(n-1) ... a(1) a(0)
Jos meillä nyt on toinen luku B = b(k) 10^k ... b(1) * 10 b(0)
jonka numeroiden summa b = b(k) ... b(0) = a(n) ... a(0) = a
niin B = a (9)
Kongruenssit voi myös vähentää toisistaan joten siis
A-B = 0 (9) eli 9 l A-B
Aloittajan esimerkissä permutoitiin luvun numeroita jolloin numeroiden summa säilyi. Mutta tulos on siis yleisempi, riittää kun annettujen lukujen numeroiden summat ovat samat. Esim. 17 = 8 (9).