Koordinaatteja merkitään xi:llä missä yläindeksi i viittaa koordinaatin järjestysnumeroon. Mutta yläindeksillä merkitään myös kontravariantteja kantavektoreita Ei ja kontravariantteja vektorin komponentteja ai, joten tulee mieleen, tarkoittaako koordinaatin merkintä xi (missä i on yläindeksi) kontravarianttia koordinaattia? En tosin ole koskaan kuullut, että koordinaatit voisivat olla ko- tai kontravariantteja. Ja jos on pakko käyttää koordinaatin järjestysnumeroa, täytyy se merkitä johonkin, ylä- tai alaindeksiksi (olisi tosin muitakin mahdollisia merkintätapoja). Mutta miten on, onko olemassa ko- ja kontravariantteja koordinaatteja?
Kontravariantti koordinaatti?
Anonyymi-ap
4513
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Kontravariantti merkintä ilmaisee koordinaatin järjestysnumeron kantavektorin suhteen joko ylä- tai alaindeksin suhteen. Molemmat mahdollisia. Vektorin ko- ja kontravariantti komponentti ovat toistensa vastavektoreita, jolloin vektoria xi voidaan pitää merkityksemättömänä. Molempia koordinaatteja siis on olemassa. Kontravariantit koordinaatit ilmaisevat järjestysnumeron, ko-variantit kantavektorin ala- taikka yläindeksin. Vektorin yläindeksi voidaan myös muuntaa alaindekseksi käyttäen kontravarianttia järjestysnumeroa.
Tavallisessa vektorialgebrassa on vain yhdenlaisia koordinaatteja joilla on tietysti eri arvoja eri koordinaatistoissa. Sillä, missä kohtaa koordinaatin järjestysnumero sijaitsee, ei ole merkitystä. Koordinaatin indeksin arvo kertoo, mihin kantavektoriin tuo koordinaatti liittyy. Voi kirjottaa jopa näin:
X = ( x(1), x(2),...,x(n) ).
Jos mennään tensorilaskennan puolelle niin tensorien komponentit ovat tosiaan kovariantteja tai kontravariantteja. Tämä ilmaistaan alaindeksillä tai yläindeksillä. Indeksin arvo on edelleenkin komponentin järjestysnumero kertoen siis mihin kantavektoriin tuo komponentti liittyy. Vektorit ovat tensoreita joilla on vain yksi indeksimuuttuja, 1-tensoreita.
Vektorialgebran ja tensorilaskennan yhteys tulee ilmi juuri kontravarienttien komponenttien kautta. Kantavektori ilmaistaan tässä tapauksessa alaindeksiä käyttäen. Jos yläindeksiä käytetään, pitää koordinaatin järjestysnumero muuttaa kovariantiksi.
Tensorilaskennassa oleellista on juuri tensorin eri komponenttien sovittaminen tavalliseen vektorialgebraan. Merkinnällä X= (x1,x2,x3.....) voidaan tavallinen vektori muuttaa kontravariantti ilmaisulla tensoriksi, jolloin myös kovariantti ratkaisu tulee näkyviin. Tämä tapahtuu peilaamalla ylä- ja alaindeksit toistensa suhteen ns. käänteisoperaation avulla toistensa vastaluvuiksi. Komponentin jäejestysnumero tulee ilmi yläindeksin suhteessa alaindeksiin. Jos se on pariton, puhutaan kontravariantista aliavaruudesta. Parillisessa tapauksessa kyse on kovariantista aliavaruudesta. Jos jako ei ole kokonaisluku, niin silloin siirrytään tensorilaskentaan. Sopivalla tensorimuunnoksella mikä tahansa kontra- taikka kovariantti vektori voidaan muuntaa haluttuun muotoon. Tällöin on ihan sama, käytetäänkö ylä- vaiko alaindeksiä. Lopputulos on sama. Tästä johtuen tensorimerkintä on tehokas apukeino puhuttaessa useampiulottuvuuksien avaruuksien ja aliavaruuksien välisistä yhteyksistä ja merkintätavoista.
Johan tuli varsinaista "tensorisoopaa"!
Vain yhdenn esimerkin mainitakseni: "vastaluku" : a:n vastaluku on - a.