Kaikkihan tietää tavallisen "gambler's ruin":iningin (https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin#Unfair_coin_flipping) . Mutta entäs jos pelaaja saa joka kierroksella valita panoksen määrän? Miten se tulisi valita, jotta pelaaja maksimoisi johonkin tavoite summaan pääsemisen?
Selvennetään ongelmaa nyt vielä. Pelaajalla on aluksi jokin lähtö määrä kassaa, sanotaan vaikka s0. Joka kierros pelaaja saa valita panoksen b (väliltä [0, s], kun sen hetkinen kassa on s). Sitten heitetään kolikkoa: todennäköisyydellä p pelaaja voittaa panoksensa kaksinkertaisena (eli uusi kassa on s+b) ja todennäköisyydellä 1-p häviää panoksensa (eli uusi kassa s-b). Tavoite on päästä johonkin tiettyyn määrään M.
Lopultahan pelaaja aina päätyy joko nollaan tai M:ään (jos ei sitten aina valitse b=0, mutta se ei tietenkään ole optimaalista). Kysymys kuuluukin: millä todennäköisyydellä pelaaja pääsee pottiin M, kun hän pelaa optimaalisesti (ja millainen on optimaalipanostus kussakin kassatilanteessa s (kierroksella r, kts. eri versiot pelistä))?
Tästähän on monenlaista eri versiota
- Kolikon todennäköisyyden p eri arvot (yli / alle puoli)
- Onko pelaajan kassa ja panostukset diskreettejä (kokonaislukuja) vai jatkuvia
- Onko kierrosten määrä R rajoitettu
Näistä jokainen kombinaatio on melko mielenkiintoinen ja ovat hyvin erilaisia ovat keskenään. Osa helpompia, osa vaikeampia (yksi erityisen vaikea!) ja niissä ilmestyy odottamattomia rakenteita.
Tällainen mukava tehtävä nyt tänne pohdittavaksi :D
Noille versioillehan voisi keksiä jonkin merkinnän, niin tietää mistä puhutaan. Olisko hyvä
p<½, p≥½
D(iskreetti), J(atkuva)
R=joku luku, R = ∞
Kysytään nyt malliksi esim. versiota p=0,7; D; R = ∞; M=100; s0=5.
Uhkapelaajan ongelma - parhaat panostukset
7
206
Vastaukset
- Anonyymi
Tulisi valita olla pelaamatta. Uhkapeli on typerää.
- Anonyymi
Analyysin tai simulaatioiden tulos on aina sama: pelaaminen ei kannata. Tavoitesummaan optimoiminen tuskin onnistuu ellei tuo tavoitesumma ole pienempi kuin alkupääoma.
- Anonyymi
Kun ½ < p <= 1 niin pelaaminen kannattaa, joten yllä kommentoijat ovat väärässä. Panoskoon ollessa valittavissa kassa saadaan kasvamaan rajattomasti. Panoskoko Kellyn kaavalla.
Kun 0 < p < ½, rajalliseen tavoitteeseen pääsemiseen on nollaa suurempi todennäköisyys, vaikkakin pieni. Tällöin panoskoko on valittava siten, että pelien lukumäärä on mahdollisimman pieni, mutta voitto ei kuitenkaan ylitä tavoitesummaa.
Esimerkiksi, jos alkupääoma = 10; voittokerroin 2; p = 1/6 ja tavoite 30. Tällöin tulee aloittaa ponoksella 7,5. Kahdella pelillä päästään tavoitteeseen todennäköisyydellä 1/36. Jos ensimmäinen peli hävitään, on vielä 2,5 pelipanosta käytettävissä ja jatketaan panoksella 1,875, jolla viidellä perättäisellä voitolla pääsee tavoitteeseen todennäköisyydellä 0,00012. Häviön sattuessa lasketaan uusi suurin panoskoko johon kassa riittää.- Anonyymi
Kellyn kaava ei aivan toimi tässä, koska halutaan maksimoida todennäköisyyttä päästä M:ään eikä voiton odotusarvoa.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kellyn kaava ei aivan toimi tässä, koska halutaan maksimoida todennäköisyyttä päästä M:ään eikä voiton odotusarvoa.
Se on sama asia, paitsi sillä (mahdollisesti viimeisellä) kieroksella, jolla tavoite voidaan saavuttaa. SIllä kierroksella panostetaan vain tavoitteen saavuttamiseen tarvittava määrä siltä varalta, että voittoa ei tulekaan - tällöin jää suurin mahdollinen kassa jatkopelejä varten.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Se on sama asia, paitsi sillä (mahdollisesti viimeisellä) kieroksella, jolla tavoite voidaan saavuttaa. SIllä kierroksella panostetaan vain tavoitteen saavuttamiseen tarvittava määrä siltä varalta, että voittoa ei tulekaan - tällöin jää suurin mahdollinen kassa jatkopelejä varten.
Esim versiossa p=4/5; J; R=3, M=1, kun panostus tehdään ensimmäisellä kierroksella tämän funktion mukaan:
https://www.desmos.com/calculator/tfssyqsyux
(Vaaka-akselilla kassa, pystyakselilla panostus. Myös seuraavien kierrosten funktiot f2 ja f1 tuolla pimennettynä, klikkaa näkyviin (indeksi tarkoittaa kuinka monta kierrosta jäljellä)),
niin, kun s0 = 2/5 voitto todennäköisyydeksi saadaan 96/125 = 0,768. Kun Kellyllä vain 64/125 = 0,512.
Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Tykkään sinusta tosi tosi paljon
Siksi en pysty sisäistämään sitä, että se ei ole molemminpuolista. Sattuu liikaa. En osaa käsitellä sitä tunnetta, koska513527- 1572143
Kaupan kassalla kannataa olla kylmä käytös
https://www.is.fi/taloussanomat/art-2000010488540.html "19-vuotias Minja ja 59-vuotias Anne työskentelevät sillä todelli2061845Mitä tehdä asialle?
Jos laitan deitti-ilmon "40-vuotias nainen etsii seuraa" niin ketään ei kiinnosta (korkeintaan paria runkkaripenaa joill1341756- 801175
Mitä helvettiä pakolaisille pitäisi tehdä RAJALLA?
Jos Venäjä työntää rajalle pakolaisia ja tekee Suomelle selväksi että heidän puolelleen ei ole pakolaisilla asiaa - mitä3201136- 2341104
- 1321031
Olen pahoillani mies
Olen surullinen puolestasi, ettet saanut kaipaamaasi naista. Yrititkö lopulta edes? Teistä olisi tullut hyvä pari52949- 73919