Kaikkihan tietää tavallisen "gambler's ruin":iningin (https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin#Unfair_coin_flipping) . Mutta entäs jos pelaaja saa joka kierroksella valita panoksen määrän? Miten se tulisi valita, jotta pelaaja maksimoisi johonkin tavoite summaan pääsemisen?
Selvennetään ongelmaa nyt vielä. Pelaajalla on aluksi jokin lähtö määrä kassaa, sanotaan vaikka s0. Joka kierros pelaaja saa valita panoksen b (väliltä [0, s], kun sen hetkinen kassa on s). Sitten heitetään kolikkoa: todennäköisyydellä p pelaaja voittaa panoksensa kaksinkertaisena (eli uusi kassa on s+b) ja todennäköisyydellä 1-p häviää panoksensa (eli uusi kassa s-b). Tavoite on päästä johonkin tiettyyn määrään M.
Lopultahan pelaaja aina päätyy joko nollaan tai M:ään (jos ei sitten aina valitse b=0, mutta se ei tietenkään ole optimaalista). Kysymys kuuluukin: millä todennäköisyydellä pelaaja pääsee pottiin M, kun hän pelaa optimaalisesti (ja millainen on optimaalipanostus kussakin kassatilanteessa s (kierroksella r, kts. eri versiot pelistä))?
Tästähän on monenlaista eri versiota
- Kolikon todennäköisyyden p eri arvot (yli / alle puoli)
- Onko pelaajan kassa ja panostukset diskreettejä (kokonaislukuja) vai jatkuvia
- Onko kierrosten määrä R rajoitettu
Näistä jokainen kombinaatio on melko mielenkiintoinen ja ovat hyvin erilaisia ovat keskenään. Osa helpompia, osa vaikeampia (yksi erityisen vaikea!) ja niissä ilmestyy odottamattomia rakenteita.
Tällainen mukava tehtävä nyt tänne pohdittavaksi :D
Noille versioillehan voisi keksiä jonkin merkinnän, niin tietää mistä puhutaan. Olisko hyvä
p<½, p≥½
D(iskreetti), J(atkuva)
R=joku luku, R = ∞
Kysytään nyt malliksi esim. versiota p=0,7; D; R = ∞; M=100; s0=5.
Uhkapelaajan ongelma - parhaat panostukset
7
199
Vastaukset
- Anonyymi
Tulisi valita olla pelaamatta. Uhkapeli on typerää.
- Anonyymi
Analyysin tai simulaatioiden tulos on aina sama: pelaaminen ei kannata. Tavoitesummaan optimoiminen tuskin onnistuu ellei tuo tavoitesumma ole pienempi kuin alkupääoma.
- Anonyymi
Kun ½ < p <= 1 niin pelaaminen kannattaa, joten yllä kommentoijat ovat väärässä. Panoskoon ollessa valittavissa kassa saadaan kasvamaan rajattomasti. Panoskoko Kellyn kaavalla.
Kun 0 < p < ½, rajalliseen tavoitteeseen pääsemiseen on nollaa suurempi todennäköisyys, vaikkakin pieni. Tällöin panoskoko on valittava siten, että pelien lukumäärä on mahdollisimman pieni, mutta voitto ei kuitenkaan ylitä tavoitesummaa.
Esimerkiksi, jos alkupääoma = 10; voittokerroin 2; p = 1/6 ja tavoite 30. Tällöin tulee aloittaa ponoksella 7,5. Kahdella pelillä päästään tavoitteeseen todennäköisyydellä 1/36. Jos ensimmäinen peli hävitään, on vielä 2,5 pelipanosta käytettävissä ja jatketaan panoksella 1,875, jolla viidellä perättäisellä voitolla pääsee tavoitteeseen todennäköisyydellä 0,00012. Häviön sattuessa lasketaan uusi suurin panoskoko johon kassa riittää.- Anonyymi
Kellyn kaava ei aivan toimi tässä, koska halutaan maksimoida todennäköisyyttä päästä M:ään eikä voiton odotusarvoa.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kellyn kaava ei aivan toimi tässä, koska halutaan maksimoida todennäköisyyttä päästä M:ään eikä voiton odotusarvoa.
Se on sama asia, paitsi sillä (mahdollisesti viimeisellä) kieroksella, jolla tavoite voidaan saavuttaa. SIllä kierroksella panostetaan vain tavoitteen saavuttamiseen tarvittava määrä siltä varalta, että voittoa ei tulekaan - tällöin jää suurin mahdollinen kassa jatkopelejä varten.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Se on sama asia, paitsi sillä (mahdollisesti viimeisellä) kieroksella, jolla tavoite voidaan saavuttaa. SIllä kierroksella panostetaan vain tavoitteen saavuttamiseen tarvittava määrä siltä varalta, että voittoa ei tulekaan - tällöin jää suurin mahdollinen kassa jatkopelejä varten.
Esim versiossa p=4/5; J; R=3, M=1, kun panostus tehdään ensimmäisellä kierroksella tämän funktion mukaan:
https://www.desmos.com/calculator/tfssyqsyux
(Vaaka-akselilla kassa, pystyakselilla panostus. Myös seuraavien kierrosten funktiot f2 ja f1 tuolla pimennettynä, klikkaa näkyviin (indeksi tarkoittaa kuinka monta kierrosta jäljellä)),
niin, kun s0 = 2/5 voitto todennäköisyydeksi saadaan 96/125 = 0,768. Kun Kellyllä vain 64/125 = 0,512.
Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 972713
Jotain puuttuu
Kun en sinua näe. Et ehkä arvaisi, mutta olen arka kuin alaston koivu lehtiä vailla, talven jäljiltä, kun ajattelen sinu1042300- 912060
- 151797
Hei A, osaatko
sanoa, miksi olet ihan yhtäkkiä ilmestynyt kaveriehdotuksiini Facebookissa? Mitähän kaikkea Facebook tietää mitä minä en441711- 361686
- 781676
Persuilla ja Saksi-Riikalla meni sitten pornon levittämiseksi koko touhu.
Onko kenellekään yllätys?921612Synnittömänä syntyminen
Helluntailaisperäisillä lahkoilla on Raamatunvastainen harhausko että ihminen syntyy synnittömänä.1291467Mitä tämä tarkoittaa,
että näkyy vain viimevuotisia? Kirjoitin muutama tunti sitten viestin, onko se häipynyt avaruuteen?411284