Kaikkihan tietää tavallisen "gambler's ruin":iningin (https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin#Unfair_coin_flipping) . Mutta entäs jos pelaaja saa joka kierroksella valita panoksen määrän? Miten se tulisi valita, jotta pelaaja maksimoisi johonkin tavoite summaan pääsemisen?
Selvennetään ongelmaa nyt vielä. Pelaajalla on aluksi jokin lähtö määrä kassaa, sanotaan vaikka s0. Joka kierros pelaaja saa valita panoksen b (väliltä [0, s], kun sen hetkinen kassa on s). Sitten heitetään kolikkoa: todennäköisyydellä p pelaaja voittaa panoksensa kaksinkertaisena (eli uusi kassa on s+b) ja todennäköisyydellä 1-p häviää panoksensa (eli uusi kassa s-b). Tavoite on päästä johonkin tiettyyn määrään M.
Lopultahan pelaaja aina päätyy joko nollaan tai M:ään (jos ei sitten aina valitse b=0, mutta se ei tietenkään ole optimaalista). Kysymys kuuluukin: millä todennäköisyydellä pelaaja pääsee pottiin M, kun hän pelaa optimaalisesti (ja millainen on optimaalipanostus kussakin kassatilanteessa s (kierroksella r, kts. eri versiot pelistä))?
Tästähän on monenlaista eri versiota
- Kolikon todennäköisyyden p eri arvot (yli / alle puoli)
- Onko pelaajan kassa ja panostukset diskreettejä (kokonaislukuja) vai jatkuvia
- Onko kierrosten määrä R rajoitettu
Näistä jokainen kombinaatio on melko mielenkiintoinen ja ovat hyvin erilaisia ovat keskenään. Osa helpompia, osa vaikeampia (yksi erityisen vaikea!) ja niissä ilmestyy odottamattomia rakenteita.
Tällainen mukava tehtävä nyt tänne pohdittavaksi :D
Noille versioillehan voisi keksiä jonkin merkinnän, niin tietää mistä puhutaan. Olisko hyvä
p<½, p≥½
D(iskreetti), J(atkuva)
R=joku luku, R = ∞
Kysytään nyt malliksi esim. versiota p=0,7; D; R = ∞; M=100; s0=5.
Selvennetään ongelmaa nyt vielä. Pelaajalla on aluksi jokin lähtö määrä kassaa, sanotaan vaikka s0. Joka kierros pelaaja saa valita panoksen b (väliltä [0, s], kun sen hetkinen kassa on s). Sitten heitetään kolikkoa: todennäköisyydellä p pelaaja voittaa panoksensa kaksinkertaisena (eli uusi kassa on s+b) ja todennäköisyydellä 1-p häviää panoksensa (eli uusi kassa s-b). Tavoite on päästä johonkin tiettyyn määrään M.
Lopultahan pelaaja aina päätyy joko nollaan tai M:ään (jos ei sitten aina valitse b=0, mutta se ei tietenkään ole optimaalista). Kysymys kuuluukin: millä todennäköisyydellä pelaaja pääsee pottiin M, kun hän pelaa optimaalisesti (ja millainen on optimaalipanostus kussakin kassatilanteessa s (kierroksella r, kts. eri versiot pelistä))?
Tästähän on monenlaista eri versiota
- Kolikon todennäköisyyden p eri arvot (yli / alle puoli)
- Onko pelaajan kassa ja panostukset diskreettejä (kokonaislukuja) vai jatkuvia
- Onko kierrosten määrä R rajoitettu
Näistä jokainen kombinaatio on melko mielenkiintoinen ja ovat hyvin erilaisia ovat keskenään. Osa helpompia, osa vaikeampia (yksi erityisen vaikea!) ja niissä ilmestyy odottamattomia rakenteita.
Tällainen mukava tehtävä nyt tänne pohdittavaksi :D
Noille versioillehan voisi keksiä jonkin merkinnän, niin tietää mistä puhutaan. Olisko hyvä
p<½, p≥½
D(iskreetti), J(atkuva)
R=joku luku, R = ∞
Kysytään nyt malliksi esim. versiota p=0,7; D; R = ∞; M=100; s0=5.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Tulisi valita olla pelaamatta. Uhkapeli on typerää.
Analyysin tai simulaatioiden tulos on aina sama: pelaaminen ei kannata. Tavoitesummaan optimoiminen tuskin onnistuu ellei tuo tavoitesumma ole pienempi kuin alkupääoma.
Kun ½ < p <= 1 niin pelaaminen kannattaa, joten yllä kommentoijat ovat väärässä. Panoskoon ollessa valittavissa kassa saadaan kasvamaan rajattomasti. Panoskoko Kellyn kaavalla.
Kun 0 < p < ½, rajalliseen tavoitteeseen pääsemiseen on nollaa suurempi todennäköisyys, vaikkakin pieni. Tällöin panoskoko on valittava siten, että pelien lukumäärä on mahdollisimman pieni, mutta voitto ei kuitenkaan ylitä tavoitesummaa.
Esimerkiksi, jos alkupääoma = 10; voittokerroin 2; p = 1/6 ja tavoite 30. Tällöin tulee aloittaa ponoksella 7,5. Kahdella pelillä päästään tavoitteeseen todennäköisyydellä 1/36. Jos ensimmäinen peli hävitään, on vielä 2,5 pelipanosta käytettävissä ja jatketaan panoksella 1,875, jolla viidellä perättäisellä voitolla pääsee tavoitteeseen todennäköisyydellä 0,00012. Häviön sattuessa lasketaan uusi suurin panoskoko johon kassa riittää.
Kellyn kaava ei aivan toimi tässä, koska halutaan maksimoida todennäköisyyttä päästä M:ään eikä voiton odotusarvoa.
Se on sama asia, paitsi sillä (mahdollisesti viimeisellä) kieroksella, jolla tavoite voidaan saavuttaa. SIllä kierroksella panostetaan vain tavoitteen saavuttamiseen tarvittava määrä siltä varalta, että voittoa ei tulekaan - tällöin jää suurin mahdollinen kassa jatkopelejä varten.
Esim versiossa p=4/5; J; R=3, M=1, kun panostus tehdään ensimmäisellä kierroksella tämän funktion mukaan:
https://www.desmos.com/calculator/tfssyqsyux
(Vaaka-akselilla kassa, pystyakselilla panostus. Myös seuraavien kierrosten funktiot f2 ja f1 tuolla pimennettynä, klikkaa näkyviin (indeksi tarkoittaa kuinka monta kierrosta jäljellä)),
niin, kun s0 = 2/5 voitto todennäköisyydeksi saadaan 96/125 = 0,768. Kun Kellyllä vain 64/125 = 0,512.