Tässä palstan matematiikan taitajille haaste. Tämän pitäisi olla helppo, mutta minä en tajua että miten tämä lasketaan.
Joka aamu, henkilö ottaa pullon, johon hän ensin valuttaa vettä.
Sitten hän sekoittaa siihen kupillisen kolatiivistettä, ja toisen kupillisen jaffatiivistettä. Kolalla ja Jaffalla on omat pullonsa, joista saa otettua aina noin 50 kupillista (eli 50 päivittäistä annosta).
Jaffan ja kolan määrän kanssa on joka päivä heittoa satunnaisesti noin 10% "kupillisesta", eli henkilö kaataa joko 10% enemmän tai 10% vähemmän, mutta heitto ei koskaan ylitä noita rajoja. Optimi olisi tietenkin 0 prosenttia heittoa jolloin viimeinenkin kupillinen voidaan kaataa täytenä annoksena pulloon.
Nuo heitot eivät ole riippuvaisia toisistaan, eli voi olla niin että esimerkiksi kolaa ja jaffaa tulee kummastakin kupillisesta eräänä aamuna 10% vähemmän, tai vastaavasti 10% enemmän.
Tämän lisäksi. Jos kola tai jaffapullosta ei saa enää otettua puolta kupillista enempää (<50% annoksesta), täytyy ottaa tilalle uusi pullo.
Tapaus 1. Vanha pullo menee vaihtoon vaikka siellä olisi vähän juomaa jäljellä. Vanhan juoman jämiä ei lisätä uuden pullon ensimmäiseen annokseen!
Tapaus 2. Vanha pullo menee kierrätykseen, ja vanhan pullon jämät lisätään seuraavan pullon ensimmäiseen annokseen!
Eli missä vaiheessa käy niin että kun kupillisia on kaadettu päivittäin tuohon pulloon veden sekaan, että jompi kumpi, jaffa tai kolapullo, ei enää annakaan tarpeeksi, vaan henkilö joutuu avaamaan uuden pullon josta kaataa "kupillinen" joko kolaa tai jaffaa ja jota riittää taas sen noin 50 annoksen ajan?
En osaa tuota laskea ja tätä todistaa, mutta eikö teidänkin mielestä järki sano niin että nuo kaksi tapausta eivät käytännössä eroa toisistaan?
Juomia sekoittamassa
4
102
Vastaukset
- Anonyymi
Ei minunkaan mielestä eroa. Koska kysymys koskee sitä milloin ensimmäisen kerran pullo "loppuu" (eli siellä on alle puoli annosta), niin eihän sillä ole väliä mitä sen jälkeen tehdään.
Mitenkäs muuten jos pullossa on jäljellä annoksesta 50% - 90% (tai 110%, joka voi maksimissaan myös mennä), niin laitetaanko sitten vaan kaikki ja ensi kerralla otetaan uusi pullo?
Oletetaanko että tuolla "kupillisen kaadolla" on vaikkapa kolmio jakauma eli tällainen:
https://www.desmos.com/calculator/ewuam0ckrn
Ja sitten meillä on näitä i.i.d jonot X1,X2,... ja Y1,Y2,... ja määritellään
SX_n = X1+...+Xn
SY_n = Y1+...+Yn
ja
N = min(n : max( SX_n, SY_n )>49.5 ).
Sellainen tunnettu kysymyshän on olemassa että kuinka monta (0,1)-tasajakautunutta lukua pitää summata, jotta vastaus menee yli yhden. Ja se on odotusarvoisesti e. Mutta tässä mennään suurempaan lukuun asti ja on kaksi riippumatonta summaa ja riittää että toinen menee yli. Hmmm... - Anonyymi
Yhdelle pullolle tehtävä saadaan laskettua seuraavasti.
Oletetaan kupillisen otolle tasajakauma väliltä [0.9, 1.1].
Päiviä voi mennä väliltä 45 - 55
Käyttämällä Gil-Pelaez kaavaa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)#Inversion_formula
saadaan n:n kupillisen summan kertymäfunktion arvo pisteessä S laskettua Sage-koodilla:
0.5+1/3.141592653589793*numerical_integral(lambda t: (exp(-i*t*49.5)*((exp(i*t*1.1)-exp(i*t*0.9))/(i*0.2*t))^n).imag()/t, 0, Infinity)[0]
arvoille <48 ja >52 todennäköisyys on niin pientä, että numeerinen tarkkuus ei riitä, mutta todennäköisyydet että päiviä menee n, kun n=48,..,52 ovat
48: 0.00007359
49: 0.10828406
50: 0.78095746
51: 0.11056664
52: 0.00011825
Kahdelle pullolle pitäisi sitten laskea (SX_n, SY_n):n kaksiulotteisesta jakaumasta F_n = P(min(SX_n,SY_n) < 49.5). Ja F_{n-1}-F_n on sitten P(N=n). Simulointi antaa seuraavanlaisia arvoja:
{48: 0.000144, 49: 0.20372, 50: 0.783864, 51: 0.012272}.
PS. Jos halutaan käyttää muuta jakaumaa kuin tasajakaumaa, niin vaihdetaan sen karakteristinen funktio koodiin `(exp(i*t*1.1)-exp(i*t*0.9))/(i*0.2*t)`:n tilalle. - Anonyymi
Kahden pullon versionhan saa laskettua yhden pullon todennäköisyyksien avulla
P(max(X,Y)<S) = P(X<S ja Y<S) = P(X<S)*P(Y<S),
koska X ja Y ovat riippumattomat.
Lisäksi voidaan tehdä näin: S_n = 0.9n + 0.2(U1+...+Un), missä Uj ~U(0,1). Nyt U1+...+Un noudattaa Irwin-Hall jakaumaa ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin–Hall_distribution ) ja tämä Sage-koodi laskee tarkat arvot:
https://pastebin.com/Kdib10Ds
Muuten, normaaliapproksimaationhan voi tehdä, koska tutkittavat n:n arvot ovat jo suurehkoja: https://www.desmos.com/calculator/tmbemssyjj
Siinähän käytettävällä "kupillisen" distribuutiolla ei ole väliä, pelkästään sen varianssilla. Tasajakaumalle se on 1/12*0.2^2 = 1/300 ja se on itseasiassa maksimaalinen mahdollinen, kun jakauman kantaja on [0.9, 1.1]. - Anonyymi
Höpöhöpö.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Poliisi: Kymmenhenkinen pohjalaisperhe ollut vuoden kateissa kansainvälinen etsintäkuulutus Poliis
Poliisi: Kymmenhenkinen pohjalaisperhe ollut vuoden kateissa – kansainvälinen etsintäkuulutus Poliisi pyytää yleisön apu4674034Tässä totuus jälleensyntymisestä - voit yllättyä
Jumalasta syntyminen Raamatussa ei tässä Joh. 3:3. ole alkukielen mukaan ollenkaan sanaa uudestisyntyminen, vaan pelkä3181692- 1161526
En kadu sitä, että kohtasin hänet
mutta kadun sitä, että aloin kirjoittamaan tänne palstalle. Jollain tasolla se saa vain asiat enemmän solmuun ja tekee n891474Noniin rakas
Annetaanko pikkuhiljaa jo olla, niin ehkä säilyy vienot hymyt kohdatessa. En edelleenkään halua sulle tai kenellekään mi991408Oisko mitenkään mahdollisesti ihan pikkuisen ikävä..
...edes ihan pikkuisen pikkuisen ikävä sulla mua??.. Että miettisit vaikka vähän missähän se nyt on ja oiskohan hauska n601375- 521316
Helena Koivu : Ja kohta mennään taas
Kohta kohtalon päivä lähestyy kuinka käy Helena Koivulle ? Kenen puolella olet? Jos vastauksesi on Helenan niin voisi981229- 441079
Au pair -työ Thaimaassa herättää kiivasta keskustelua somessa: "4cm torakoita, huumeita, tauteja..."
Au pairit -sarjan uusi kausi herättää keskustelua Suomi24 Keskustelupalvelussa. Mielipiteitä ladataan puolesta ja vastaa341078