Tässä palstan matematiikan taitajille haaste. Tämän pitäisi olla helppo, mutta minä en tajua että miten tämä lasketaan.
Joka aamu, henkilö ottaa pullon, johon hän ensin valuttaa vettä.
Sitten hän sekoittaa siihen kupillisen kolatiivistettä, ja toisen kupillisen jaffatiivistettä. Kolalla ja Jaffalla on omat pullonsa, joista saa otettua aina noin 50 kupillista (eli 50 päivittäistä annosta).
Jaffan ja kolan määrän kanssa on joka päivä heittoa satunnaisesti noin 10% "kupillisesta", eli henkilö kaataa joko 10% enemmän tai 10% vähemmän, mutta heitto ei koskaan ylitä noita rajoja. Optimi olisi tietenkin 0 prosenttia heittoa jolloin viimeinenkin kupillinen voidaan kaataa täytenä annoksena pulloon.
Nuo heitot eivät ole riippuvaisia toisistaan, eli voi olla niin että esimerkiksi kolaa ja jaffaa tulee kummastakin kupillisesta eräänä aamuna 10% vähemmän, tai vastaavasti 10% enemmän.
Tämän lisäksi. Jos kola tai jaffapullosta ei saa enää otettua puolta kupillista enempää (<50% annoksesta), täytyy ottaa tilalle uusi pullo.
Tapaus 1. Vanha pullo menee vaihtoon vaikka siellä olisi vähän juomaa jäljellä. Vanhan juoman jämiä ei lisätä uuden pullon ensimmäiseen annokseen!
Tapaus 2. Vanha pullo menee kierrätykseen, ja vanhan pullon jämät lisätään seuraavan pullon ensimmäiseen annokseen!
Eli missä vaiheessa käy niin että kun kupillisia on kaadettu päivittäin tuohon pulloon veden sekaan, että jompi kumpi, jaffa tai kolapullo, ei enää annakaan tarpeeksi, vaan henkilö joutuu avaamaan uuden pullon josta kaataa "kupillinen" joko kolaa tai jaffaa ja jota riittää taas sen noin 50 annoksen ajan?
En osaa tuota laskea ja tätä todistaa, mutta eikö teidänkin mielestä järki sano niin että nuo kaksi tapausta eivät käytännössä eroa toisistaan?
Juomia sekoittamassa
5
349
Vastaukset
- Anonyymi
Ei minunkaan mielestä eroa. Koska kysymys koskee sitä milloin ensimmäisen kerran pullo "loppuu" (eli siellä on alle puoli annosta), niin eihän sillä ole väliä mitä sen jälkeen tehdään.
Mitenkäs muuten jos pullossa on jäljellä annoksesta 50% - 90% (tai 110%, joka voi maksimissaan myös mennä), niin laitetaanko sitten vaan kaikki ja ensi kerralla otetaan uusi pullo?
Oletetaanko että tuolla "kupillisen kaadolla" on vaikkapa kolmio jakauma eli tällainen:
https://www.desmos.com/calculator/ewuam0ckrn
Ja sitten meillä on näitä i.i.d jonot X1,X2,... ja Y1,Y2,... ja määritellään
SX_n = X1+...+Xn
SY_n = Y1+...+Yn
ja
N = min(n : max( SX_n, SY_n )>49.5 ).
Sellainen tunnettu kysymyshän on olemassa että kuinka monta (0,1)-tasajakautunutta lukua pitää summata, jotta vastaus menee yli yhden. Ja se on odotusarvoisesti e. Mutta tässä mennään suurempaan lukuun asti ja on kaksi riippumatonta summaa ja riittää että toinen menee yli. Hmmm... - Anonyymi
Yhdelle pullolle tehtävä saadaan laskettua seuraavasti.
Oletetaan kupillisen otolle tasajakauma väliltä [0.9, 1.1].
Päiviä voi mennä väliltä 45 - 55
Käyttämällä Gil-Pelaez kaavaa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)#Inversion_formula
saadaan n:n kupillisen summan kertymäfunktion arvo pisteessä S laskettua Sage-koodilla:
0.5+1/3.141592653589793*numerical_integral(lambda t: (exp(-i*t*49.5)*((exp(i*t*1.1)-exp(i*t*0.9))/(i*0.2*t))^n).imag()/t, 0, Infinity)[0]
arvoille <48 ja >52 todennäköisyys on niin pientä, että numeerinen tarkkuus ei riitä, mutta todennäköisyydet että päiviä menee n, kun n=48,..,52 ovat
48: 0.00007359
49: 0.10828406
50: 0.78095746
51: 0.11056664
52: 0.00011825
Kahdelle pullolle pitäisi sitten laskea (SX_n, SY_n):n kaksiulotteisesta jakaumasta F_n = P(min(SX_n,SY_n) < 49.5). Ja F_{n-1}-F_n on sitten P(N=n). Simulointi antaa seuraavanlaisia arvoja:
{48: 0.000144, 49: 0.20372, 50: 0.783864, 51: 0.012272}.
PS. Jos halutaan käyttää muuta jakaumaa kuin tasajakaumaa, niin vaihdetaan sen karakteristinen funktio koodiin `(exp(i*t*1.1)-exp(i*t*0.9))/(i*0.2*t)`:n tilalle. - Anonyymi
Kahden pullon versionhan saa laskettua yhden pullon todennäköisyyksien avulla
P(max(X,Y)<S) = P(X<S ja Y<S) = P(X<S)*P(Y<S),
koska X ja Y ovat riippumattomat.
Lisäksi voidaan tehdä näin: S_n = 0.9n + 0.2(U1+...+Un), missä Uj ~U(0,1). Nyt U1+...+Un noudattaa Irwin-Hall jakaumaa ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin–Hall_distribution ) ja tämä Sage-koodi laskee tarkat arvot:
https://pastebin.com/Kdib10Ds
Muuten, normaaliapproksimaationhan voi tehdä, koska tutkittavat n:n arvot ovat jo suurehkoja: https://www.desmos.com/calculator/tmbemssyjj
Siinähän käytettävällä "kupillisen" distribuutiolla ei ole väliä, pelkästään sen varianssilla. Tasajakaumalle se on 1/12*0.2^2 = 1/300 ja se on itseasiassa maksimaalinen mahdollinen, kun jakauman kantaja on [0.9, 1.1]. - Anonyymi
Höpöhöpö.
- Anonyymi
Anna sinä vaan pennulle jaffaa....
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mikä se Mira Luodin ohjelma oli?
Ja onnistuiko hiljaiseksi maksaminen sittenkään, jos myöhemmin sanoo, että tuollaista tapahtunut? Ihmiset alkaa pohtiin2578960IL - Kansanedustaja tehnyt ITSEMURHAN eduskuntatalossa!!
"IL:n tiedot: Kansanedustaja tehnyt itsemurhan Eduskuntatalossa Iltalehden tietojen mukaan kansanedustaja on tehnyt its3116227Verinen koira
Mikä juttu on tämä Karhumäellä pyörinyt verinen koira? Oliko hyökännyt jonkun kimppuun?661340Mira Luoti, Vain Elämää
kausi 8. mukana aluksi mm. Terhi Kokkonen ja Mira Luoti. taustalla myös Danny ja Kashmir. paljonko 1+1 olikaan?61291- 1091101
Eemeli Peltonen teki itsemurhan eduskuntatalossa
Kevyet mullat sitten vaan. Ei mulla muuta.78949Mira Luoti koki seksivvaltaa sarjan kuvauksissa. Otti hyssyttelyrahat mutta nyt julkistaa asian?
Kun hyvin tietää että helppo päätellä mikä ohjelma kyseessä. Ja jos koki oikein "väkivaltaa" eli raisk, niin edesvastuut60857Mopokeulija
Poliisit saisivat käydä noukkimassa sinipuseroisen keulijan tuota pikaa. Koulureppu selässä yhdellä pyörälla S-Marketin43768MUISTATTEKO SEN?
Karhean tummansövyisen raastavsn huudon : RYKIKÄÄ! NIITÄ RAATOJA@ RÄKIKÄÄ NIITÄ EAATOJA!btämän paeoni aina toivotti rakk310680Sonnisen turha valitus selvästä asiasta !
Nyt tuli sellainen valitus jossa ei järjen häivää, Sonninen ja koko hallinto munaa itsensä. Hänestä on tulossa pilkunnus23676