Miinaharava

Jos muutetaan asetelmaa niin, että miinaharavan sijaan on ruudukko, jossa on 256 ruutua joista 40 ruudussa on "miina". Jokaisessa yrityksessä laitan valitsemiini ruutuihin juoksevan numeron 1, 2, 3... , esim. 50 asti, jonka jälkeen tarkastetaan mikä on pienin numero joka osui "miinaan". Tämä numero tallennetaan ja sama toistetaan vaikkapa 50 kertaa (joka kerralla miinat asettuu uuteen, satunnaiseen järjestykseen). Voidaanko ennalta laskea tilastollinen tulosten keskiarvo ja mikä se on?

Anonyymi00002 kirjoitti:

Jos muutetaan asetelmaa niin, että miinaharavan sijaan on ruudukko, jossa on 256 ruutua joista 40 ruudussa on "miina". Jokaisessa yrityksessä laitan valitsemiini ruutuihin juoksevan numeron 1, 2, 3... , esim. 50 asti, jonka jälkeen tarkastetaan mikä on pienin numero joka osui "miinaan". Tämä numero tallennetaan ja sama toistetaan vaikkapa 50 kertaa (joka kerralla miinat asettuu uuteen, satunnaiseen järjestykseen). Voidaanko ennalta laskea tilastollinen tulosten keskiarvo ja mikä se on?

Lue lisää

Voidaan.

Olkoon U satunnainen {1,2,...,n}:n osajoukko, jonka koko on m. Olkoon sitten X = min(U).

X:n odotusarvo voidaan laskea

E[X] = sum_{k=0}^∞ P(X>k)
= sum_{k=0}^{n-m} binomial(n-k, m) / binomial(n,m)
= (n+1)/(m+1)

missä viimeisen yhtäsuuruuden voi todistaa vaikka Egorychevin menetelmällä.

Asetetaan n=256 ja m = 40, niin saadaan arvo 257/41 = 6,26829...

Anonyymi00003 kirjoitti:

Voidaan.

Olkoon U satunnainen {1,2,...,n}:n osajoukko, jonka koko on m. Olkoon sitten X = min(U).

X:n odotusarvo voidaan laskea

E[X] = sum_{k=0}^∞ P(X>k)
= sum_{k=0}^{n-m} binomial(n-k, m) / binomial(n,m)
= (n 1)/(m 1)

missä viimeisen yhtäsuuruuden voi todistaa vaikka Egorychevin menetelmällä.

Asetetaan n=256 ja m = 40, niin saadaan arvo 257/41 = 6,26829...

Lue lisää

Tai voihan sen binomisumman sievennyksen perustella Pascalin säännöllä ja teleskooppauksellakin ja itse asiassa se on hockey stick yhtälö: https://en.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity