Miinaharava-pelissä on 256 ruutua. Miinoja on 40. Jos ruutuja klikkaillaan sattumanvaraisesti, kerta (peli) toisensa jälkeen, millä keskiarvolla osut ruutuun, jossa on miina?
Tarkotat varmaankin kysyä millä todennäköisyydellä osut ruutuun missä on miina. Todennäköisyys on tietenkin 40/256 eli 16% sillon kun halutaan tietää vain yhden klikkauksen todennäkösyys. Jos sitten haluaisit tietää saman pelin aikana useamman onnistuneen klikkauksen todennäkösyyden niin että et osu miinaan, niin sen laskeminen on aika mahdotonta, koska siihen vaikuttaa se paljonko tyhjiä ruutuja paljastuu klikkaamasi ruudun ympäriltä. Mutta, jos pelin alussa klikkaat yhden kerran pelilautaa niin todennäkösyys olla osumatta miinaan on siis 84%
0Äänestä
Anonyymi00002
Jos muutetaan asetelmaa niin, että miinaharavan sijaan on ruudukko, jossa on 256 ruutua joista 40 ruudussa on "miina". Jokaisessa yrityksessä laitan valitsemiini ruutuihin juoksevan numeron 1, 2, 3... , esim. 50 asti, jonka jälkeen tarkastetaan mikä on pienin numero joka osui "miinaan". Tämä numero tallennetaan ja sama toistetaan vaikkapa 50 kertaa (joka kerralla miinat asettuu uuteen, satunnaiseen järjestykseen). Voidaanko ennalta laskea tilastollinen tulosten keskiarvo ja mikä se on?
0Äänestä
Anonyymi00003
Anonyymi00002 kirjoitti:
Jos muutetaan asetelmaa niin, että miinaharavan sijaan on ruudukko, jossa on 256 ruutua joista 40 ruudussa on "miina". Jokaisessa yrityksessä laitan valitsemiini ruutuihin juoksevan numeron 1, 2, 3... , esim. 50 asti, jonka jälkeen tarkastetaan mikä on pienin numero joka osui "miinaan". Tämä numero tallennetaan ja sama toistetaan vaikkapa 50 kertaa (joka kerralla miinat asettuu uuteen, satunnaiseen järjestykseen). Voidaanko ennalta laskea tilastollinen tulosten keskiarvo ja mikä se on?
Voidaan.
Olkoon U satunnainen {1,2,...,n}:n osajoukko, jonka koko on m. Olkoon sitten X = min(U).
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tarkotat varmaankin kysyä millä todennäköisyydellä osut ruutuun missä on miina. Todennäköisyys on tietenkin 40/256 eli 16% sillon kun halutaan tietää vain yhden klikkauksen todennäkösyys. Jos sitten haluaisit tietää saman pelin aikana useamman onnistuneen klikkauksen todennäkösyyden niin että et osu miinaan, niin sen laskeminen on aika mahdotonta, koska siihen vaikuttaa se paljonko tyhjiä ruutuja paljastuu klikkaamasi ruudun ympäriltä. Mutta, jos pelin alussa klikkaat yhden kerran pelilautaa niin todennäkösyys olla osumatta miinaan on siis 84%
Jos muutetaan asetelmaa niin, että miinaharavan sijaan on ruudukko, jossa on 256 ruutua joista 40 ruudussa on "miina". Jokaisessa yrityksessä laitan valitsemiini ruutuihin juoksevan numeron 1, 2, 3... , esim. 50 asti, jonka jälkeen tarkastetaan mikä on pienin numero joka osui "miinaan". Tämä numero tallennetaan ja sama toistetaan vaikkapa 50 kertaa (joka kerralla miinat asettuu uuteen, satunnaiseen järjestykseen). Voidaanko ennalta laskea tilastollinen tulosten keskiarvo ja mikä se on?
Voidaan.
Olkoon U satunnainen {1,2,...,n}:n osajoukko, jonka koko on m. Olkoon sitten X = min(U).
X:n odotusarvo voidaan laskea
E[X] = sum_{k=0}^∞ P(X>k)
= sum_{k=0}^{n-m} binomial(n-k, m) / binomial(n,m)
= (n+1)/(m+1)
missä viimeisen yhtäsuuruuden voi todistaa vaikka Egorychevin menetelmällä.
Asetetaan n=256 ja m = 40, niin saadaan arvo 257/41 = 6,26829...
Tai voihan sen binomisumman sievennyksen perustella Pascalin säännöllä ja teleskooppauksellakin ja itse asiassa se on hockey stick yhtälö: https://en.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity