Mika se tuommoinen imaginaariyksikko on kompelekseja ratkotaan amk.ssa mutta ei se ttiia opekaan.
Mika on imaginaariyksikko
outo juttu
131231
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Imaginääriyksikkö i on kuvitteellinen (imaginäärinen) luku
jolle pätee i^2=-1. Tästä on kompleksiluvut
saaneet alkunsa eli kompleksiluvut muodostuvat imaginääriosasta ja reaaliosasta.
Kompleksiluvuille a bi on määritelty moduli
(jonkinlainen pituus tai itseisarvon laajennus)
a^2 b^2. Nyt kompleksiluvun i moduli on 1 (eli "pituus" on 1) joten tästä syystä lienee
tullut kutsumanimi "yksikkö" ja koska i on kompleksiluku jolla vain imaginääriosa niin
"imaginääriyksikkö".
Kompleksiluvut ovat reaalilukujen luonnollinen laajennus, jotka saivat alkunsa kun matemaatikot yrittivät ratkoa yhtälöä x^2 1 = 0, jolla ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa.
Imaginaariyksikkö on algebrallinen luku: edellisestä viestistä kävikin jo ilmi imaginaariyksikön perusominaisuus eli i^2 = -1 eli i^2 1 = 0, jolloin yhtälön x^2 1 = 0 ratkaisuksi käy x = i tai x = -1.
Peruslaskutoimitukset kompleksiluvuilla käyvät aivan kuten "normaaleillakin" reaaliluvuilla, kunhan muistaa ominaisuuden i^2 = -1.
Samoin kannattaa huomata että z = x yi voidaan ilmaista napakoordinaateissa: kirjoitetaan x = r cos fii ja y = r sin fii, missä fii = kiertokulma (tai napakulma) ja r = säde. Tällöin:
z = x yi = r cos fii i r sin fii
= r(cos fii i sin fii) = r exp(i * fii)
Napakoordinaatisto tulee kyseeseen mm. binomiyhtälöitä ratkottaessa.
Eiköhän tuossa ollut se perustietämys.
Mitä hyötyä näistä on?
...niistä tuskin on mitään hyötyä.
Mutta esimerkiksi aaltoyhtälöitä tarvitseville se on oleellinen elämää helpottava tekijä.
Jos pitää kysyä, tuskin sinulle on kompleksiluvuista koskaan mitään hyötyä. Tyytyväisenä voit käyttää kaikkia modernin maailman mukavuuksia ja viis välittää siitä, miten ne on suunniteltu ja rakennettu. Kannattaa yleensäkin jättää vaikeat asiat muille, jos ei itse jaksa miettiä miten hommat toimivat. Jää enemmän aikaa katsoa telkkua.
Jos on varaa telkkuun.
Näin esimerkiksi harmonisen aallon intensiteetti on verrattuna modulin neliöön. Lisäksi trigonometristen funktioiden summakaavoille ja muille perusyhtälöille on johdettavissa esitykset erittäin helposti kompleksilukujen kautta. (...kulmien summahan voidaan aina esittää yksikköympyrässä kompleksilukujen avulla...)
Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä pätee seuraava yhteys:
cosh(i*fii) = cos(fii)
sinh(i*fii) = i sin(fii)
tanh(i*fii) = i tan(fii)
Tämä voi helpottaa laskemista hyvinkin paljon.
"Lisäksi trigonometristen funktioiden summakaavoille ja muille perusyhtälöille on johdettavissa esitykset erittäin helposti kompleksilukujen kautta. (...kulmien summahan voidaan aina esittää yksikköympyrässä kompleksilukujen avulla...)"
Tämän pitkän lainauksen tarkempaan merkitykseen haluaisin tutustua mielelläni.
Ehkä olisi pitänyt muotoilla kysymys paremmin.
Sovelluskohteet lähinnä kiinnostaa
> Lisäksi trigonometristen funktioiden summakaavoille ja muille perusyhtälöille on johdettavissa esitykset erittäin helposti kompleksilukujen kautta.
Ehkäpä, mutta eikös kuitenkin tavallisesti summakaavat oleteta tunnetuksi ennen kuin Eulerin/Moivren kaavaa käytetään? Moivren kaavaan todistuksessahan käytetään sinin- ja kosinin summakaavoja. Vai käytätkö jotain muuta erittäin yksinkertaista kompleksilukujen ominaisuutta summakaavojen todistukseen? Minä todistin aikoinani Eulerin ja Moivren kaavat olettaen tunnetuksi trigonometrian summakaavat. Ne taas todistin Ptolemaioksen lauseen avulla.
Sen sijaan sinien ja kosinien potensseja koskevia identiteettejä saadaan kompleksiluvuilla todistettua mukavasti.
> Ehkäpä, mutta eikös kuitenkin tavallisesti summakaavat oleteta tunnetuksi ennen kuin Eulerin/Moivren kaavaa käytetään?
Eikö kehäpäätelmiltä vältytä, jos määritellään e^z sarjakehitelmän avulla? Sitten voidaankin määritellä trigonometriset eksponenttifunktion avulla ja unohtaa geometria kokonaan...
Ptolemaioshan tuossa aika hyvin toimii. Tarkoitin tuossa sinien ja kosinien potensseja lähinnä. Tarkistin nuo summakaavat uudelleen ja huomasin että eivätpä toimikaan kovin hyvin. :) Eli pieni kofeiininpuutteesta johtuva källi taisi minulle käydä tässä taas vaihteeksi. Jatkossa juon enemmän kahvia ennen kuin alan kirjoittelemaan tänne ;)