Täydelliseksi luvuksi kutsutaan sellaista positiivista kokonaislukua, joka on kaikkien tekijöidensä summa.
Esim. 6=1*2*3 ja myös 6=1 2 3
En kuitenkaan voi käsittää miten on mahdollista, että on olemassa muitakin täydellisiä lukuja.
Esimerkiksi miten 8126 voisi olla täydellinen luku? 8126=1*2*17*239, mutta 1 2 17 239=259, joka selkeästi eroaa 8126:sta.
Mitä olen käsittänyt väärin?
Esim. 6=1*2*3 ja myös 6=1 2 3
En kuitenkaan voi käsittää miten on mahdollista, että on olemassa muitakin täydellisiä lukuja.
Esimerkiksi miten 8126 voisi olla täydellinen luku? 8126=1*2*17*239, mutta 1 2 17 239=259, joka selkeästi eroaa 8126:sta.
Mitä olen käsittänyt väärin?
Vastaukset 10
Vanhimmat
Täydelliset luvut ovat lukuja, jotka ovat kaikkien tekijöidensä summa, ei kaikkien alkulukutekijöidensä summa. Esim. 8126 on jaollinen luvuilla 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032 ja 4064. Myöskin 1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064 = 8126.
Luku 8126 ei ole jaollinen luvuilla 4,8,16,32,64,127,254,508,1016,2032 ja luvulla 4064 niin kuin väitit!
Mitä kouluja sinä oikein olet käynyt?
Ite oot väärässä. Jokaisesta näennäisen täydellisestä luvusta pitää vähentää kaksi, jotta se olisi vähemmän täydellinen! Tämä taas johtuu ns. Brian'in laista (A. Brian s. 1745), jonka johdosta se, joka alennetaan, automaattisesti ylennetään (kapierst du!?)
Kaikki tunnetut täydelliset luvut ovat parillisia, mutta ei tiedetä onko olemassa myös parittomia täydellsiä lukuja.
Jos on niin ne ovat suuruudeltaan vähintään 10^300 eli luultavaa on että parittomia täydellisiä lukuja ei ole, mutta kukaan ei ole tätä kyennyt todistamaan.
Kiitos selventävistä vastauksista.
Mielenkiintoisia sovellutuksia on tiedossa jahka kvanttilaskennan osaaminen edistyy.
10 vuoden päästä probleemaasi on olemassa julkinen vastaus.
Miten kvanttilaskenta auttaa ongelmaan? Kvanttikonekin joutuisi käymään läpi äärettömän monta eri vaihtoehtoa ennen kuin tulos saataisiin. Vai oletatko, että kymmenessä vuodessa löydetään jokin yläraja, jonka jälkeen parittomia alkulukuja ei esiinny?
Täydelliset luvut liittyvät Mersennen alkulukuihin, joita silloin tällöin löydetään tietokoneilla. Ne kun ovat nykytiedon valossa helpoimmat isot luvut, joiden alkulukuominaisuus voidaan tutkia.
Kuitenkin, jokaista Mersennen lukua vastaa täydellinen luku, ja toisinpäin, kuten Euler ensimmäisenä todisti.
Lisää enkuksi:
http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html
Tuota voi joku selventää, koska se on aika lyhyesti sanottu. Minulla on noita juttuja jossain kaapin perällä paperilla tallella :-)
Kysele!
Eukleideshan huomasi että jokainen täydellinen luku on muotoa 2^(n-1)(2^n - 1) aina kun 2^n - 1 on Mersennen alkuluku.
Leonhard Eulerin todistus tuolle teoreemalle on suhteellisen hankala. Mutta pointti oli siinä että muitakin täydellisiä lukuja on olemassa. Tuo lauseke 2^n - 1 on yleensä Mersennen alkuluku - jopa suurimmat tunnetut alkuluvut ovat Mersennen alkulukuja. Tämä ei tietenkään vielä puhtaan matemaattisesti mitään todista.
"Eukleideshan huomasi että jokainen täydellinen luku on muotoa 2^(n-1)(2^n - 1) aina kun 2^n - 1 on Mersennen alkuluku."
Mitenkä niin jokainen täydellinen luku? Eikös se ole vieläkin ratkaisematta, että onko parittomia täydellisiä lukuja olemassa. Sen sijaan jokainen parillinen täydellinen luku on tuota muotoa.
Historiaa: Eukleides ei taatusti käyttänyt termiä Mersennen luku. Mersenne eli paljon myöhemmin kuin Eukleides.
Mihin mahtaa perustua Eulerin todistus, jos kerran lausetta ei ole vielä todistettu? Tarkoitatko kenties lausetta osoitteessa http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=82750 ?
2^n-1 ei ole yleensä Mersennen alkuluku. Sivun http://www.mersenne.org/status.htm mukaan välillä [1,2^79300000] tiedetään olevan ainakin 43 Mersennen alkulukua ja yli kolme miljoonaa Mersennen yhdistettyä lukua.