Mietinpä tässä tällaista. Onko matematiikassa koskaan ristiriitaisuuksia? Sehän on niin jotenkin absoluuttinen ja varma tiede.
Netissä kulkiessani kuljin wikipedian sivulle Russellin paradoksi . Esimerkkinä siinä on mm. tällainen:
Kylässä on monia miehiä, joista osa leikkaa oman partansa. Kylän parturi leikkaa parran ainoastaan niiltä miehiltä, jotka eivät leikkaa omaa partaansa. Entä leikkaako parturi oman partansa?
Kun mietin tätä sain vsatauksen että parturi ei voi leikata koskaan omaa partaansa. Joten mitä paradoksia tässä on? Entä mikä on paradoksi. Onko se mahdottomuus/ ristiriita. Jos on ei tässä minun mielestäni ole ristiriitaa. Toki voin olla väärässä.
Sitten kysymys: Hän todisti epätäydellisyysteoreemansa todeksi ja todisti samalla, ettei matematiikka voi olla sisäisesti täysin konsistentti. Mitä tämä tarkoittaa, entä mikä on tämä konsestentti.
Tällaisia asioita phdittavaksi Vastatkaa ehdottomasti jos herätti ajatuksia. Mortrez
Voiko matematiikka olla ristiriitaista?
14
1254
Vastaukset
- epäloogikko
En ole lukenut paljoakaan logiikkaa, mutta vastaanpa silti.
"Onko matematiikassa koskaan ristiriitaisuuksia?"
On Gödelin lauseen perusteella.
"Kun mietin tätä sain vsatauksen että parturi ei voi leikata koskaan omaa partaansa. Joten mitä paradoksia tässä on?"
Wikipediassa on puute. Tehtävässä pitäisi sanoa, että parturi on mies ja että parturi myös asuu samassa kylässä jossa työskentelee. Jos parturi ei voi leikata omaa partaansa, kylän parturi leikkaa hänen partansa, eli hän itse. Tämä on juuri paradoksi. En tiedä paradoksin tarkkaa määritelmää, mutta paradoksi on mahdottomalta tuntuva asia, joka voi olla epätotta (esim. "Valehtelen aina.") tai totta (Galilein paradoksi: positiivisten kokonaislukujen joukko on yhtä mahtava kuin neliöiden joukko).
Konsistenttiuden määritelmä: Propositiolausejoukko S on ristiriitainen, jos on olemassa lause A, jolle S |- A ja S |- ei A. Konsistentti propositiolausejoukko S on sellainen lausejoukko, joka ei ole ristiriitainen. Godelin tulos tarkoittaa juuri sitä, että matematiikan sisällä on ristiriitoja.
Minua saa korjata, jos olen väärässä.- aivan pölijä
"Godelin tulos tarkoittaa juuri sitä, että matematiikan sisällä on ristiriitoja."
Ei se sitä tarkoita, vaan että on olemassa tosia lukuteorian lauseita joita ei voida todistaa. Gödel ennen todisti, että matematiikka ei ole kaikkivoipa kuin että se olisi ristiriitainen.
Logiikassa luodaan ns. päättelyjärjestelmiä jota noudatetaan "kirjaimellisesti". Päättelyjärjestelmiä on useita erilaisia, eräs niistä on perinteinen propositiologiikka, joka jo mainittiinkin.
Tällainen järjestelmä sisältää kaksi erillistä osaa. Toisaalta sovitaan miten voidaan yhdestä lauseesta muodostaa toinen sallituin keinoin ja toisaalta minkälaiset lauseet ovat tosia. Järjestelmä on konsistentti jos ristiriidattomasta lausejoukosta ei voida johta sekä totta, että epätotta lausetta. (lausejoukko on ristiriidaton jos sen lauseet eivät voi olla samaan aikaan tosiaja epätosia)
Otetaan päättelyjärjestelmäksi Peanon aksioomat P ja malliksi lukuteorian standardimalli N. Voidaan osoittaa, että Peanon aksioomat ovat tosia lukuteorian standardimallissa ja vain siinä. Gödel kuitenkin osoitti, että on olemassa lause phi jolle pätee N |= phi JA P |/- phi, eli lause on totta lukuteorian standardimallissa mutta sitä ei voida kuitenkaan todistaa lähtien Peanon aksioomista.
Tämä ei nyt implikoi mitään ristiriitaa matematiikassa, vaan todentaa sen, että valitaan ihan mikä tahansa päättelyjärjestelmä (lauseenmuodostussäännöt ja aksioomat), niin on olemassa ko. järjestelmässä tosia lauseita joita ei voida kuitenkaan johtaa siinä. Ei voida siis ikinä "kapseloita" kaikkia mahdollisia totuuksia johonkin päättelyjärjestelmään... tai ehkä selkeämmin, jokaisessa päättelyjärjestelmässä, joka on riittävän ilmaisuvoimainen ilmaisemaan lukuteorian lauseet, on olemassa tosia lauseita joita ei voida todistaa.
Sauna odottaa, mutta kai tuosta vähän valkeni mistä on kyse. - Täyskahjo
aivan pölijä kirjoitti:
"Godelin tulos tarkoittaa juuri sitä, että matematiikan sisällä on ristiriitoja."
Ei se sitä tarkoita, vaan että on olemassa tosia lukuteorian lauseita joita ei voida todistaa. Gödel ennen todisti, että matematiikka ei ole kaikkivoipa kuin että se olisi ristiriitainen.
Logiikassa luodaan ns. päättelyjärjestelmiä jota noudatetaan "kirjaimellisesti". Päättelyjärjestelmiä on useita erilaisia, eräs niistä on perinteinen propositiologiikka, joka jo mainittiinkin.
Tällainen järjestelmä sisältää kaksi erillistä osaa. Toisaalta sovitaan miten voidaan yhdestä lauseesta muodostaa toinen sallituin keinoin ja toisaalta minkälaiset lauseet ovat tosia. Järjestelmä on konsistentti jos ristiriidattomasta lausejoukosta ei voida johta sekä totta, että epätotta lausetta. (lausejoukko on ristiriidaton jos sen lauseet eivät voi olla samaan aikaan tosiaja epätosia)
Otetaan päättelyjärjestelmäksi Peanon aksioomat P ja malliksi lukuteorian standardimalli N. Voidaan osoittaa, että Peanon aksioomat ovat tosia lukuteorian standardimallissa ja vain siinä. Gödel kuitenkin osoitti, että on olemassa lause phi jolle pätee N |= phi JA P |/- phi, eli lause on totta lukuteorian standardimallissa mutta sitä ei voida kuitenkaan todistaa lähtien Peanon aksioomista.
Tämä ei nyt implikoi mitään ristiriitaa matematiikassa, vaan todentaa sen, että valitaan ihan mikä tahansa päättelyjärjestelmä (lauseenmuodostussäännöt ja aksioomat), niin on olemassa ko. järjestelmässä tosia lauseita joita ei voida kuitenkaan johtaa siinä. Ei voida siis ikinä "kapseloita" kaikkia mahdollisia totuuksia johonkin päättelyjärjestelmään... tai ehkä selkeämmin, jokaisessa päättelyjärjestelmässä, joka on riittävän ilmaisuvoimainen ilmaisemaan lukuteorian lauseet, on olemassa tosia lauseita joita ei voida todistaa.
Sauna odottaa, mutta kai tuosta vähän valkeni mistä on kyse.En nyt ole asiaa vuosikymmeniin harrastanut, mutta käsittääkseni Gödelin jutut pätevät myös laajemmin kuin lukuteoriassa. Tuon lukuteoria- ja Peano-homman kyllä osaan, mutta eikö lukuteoria ole vain yksi aksioommajärjestelmä, Gödelin kuin esimerkiksi ottama?
Valaisepa, kun olet tullut saunasta ;-)! - Täyskahjo
Täyskahjo kirjoitti:
En nyt ole asiaa vuosikymmeniin harrastanut, mutta käsittääkseni Gödelin jutut pätevät myös laajemmin kuin lukuteoriassa. Tuon lukuteoria- ja Peano-homman kyllä osaan, mutta eikö lukuteoria ole vain yksi aksioommajärjestelmä, Gödelin kuin esimerkiksi ottama?
Valaisepa, kun olet tullut saunasta ;-)!Luin viestisi viimeisen kappaleen huonosti. Vissiin ollaan suht. samaa mieltä.
- wikinää
"Wikipediassa on puute."
Gödelin lause on siinä mielessä matematiikassa kuin suhteellisuusteoria on fysiikassa - molemmat herättävät ihmisissä mielenkiintoa ja monet luulevat ymmärtävänsä ne kuitenkaan ymmärtämättä.
Näiden osalta wikistä ei kannata etsiä oikeaa tietoa. Ainakin suomenkielisessä wikissä on jokseenkin haiskahtavaa tekstiä. Yliopistojen sivuilla on usein prujuja, joita voi pitää suhteellisen luotettavina lähteinä. Esim. Gödelin lause esitellään HY:n matlog:n kurssiprujussa: http://mark.math.helsinki.fi/matlog/luentoteksti1.pdf
Yo. pruju ei varsinaisesti edes tarvitse esitietoja, mutta sen lukeminen voi viedä kyllä toisenkin hetken. Tämä on kuitenkin se työ mikä on tehtävä jos haluaa asian täysin ymmärtää.
- on tarkoitettu aaseille,
jotka sitten kilvan todistelevat toinen toistaan typerämämpiä asioita.
Tämän jälkeen kyseinen lauma tallustelee pottu päässä kirkkoon. Pottu täytyy olla päässä, ettei auringon valo liikaa kuumentaisi tarpeettoman todistelun surkastamia linnunaivoja. - Salopeura
Kyllä paradoksi on tosiaan ristiriita tai mahdottomuus. Tuo konkretisointi Russelin paradoksista ei ehkä ole paras mahdollinen,koska voimme tietysti kuvitella että parturi kulkee ihan tyytyväisenä ruokkoamattomine partoineen.
Russelin paradoksi on joukko-oppiin liittyvä asia.
Joukkoa joka ei ole itse itsensä alkio, sanotaan normaaliksi. Joukkoa joka sisältää itsensä alkionaan sanotaan epänormaaliksi.
Olkoon N kaikkien normaalien joukkojen muodostama joukko. Siis N:n alkioina ovat kaikki sellaiset joukot jotka eivät sisällä itseään alkionaan. Nyt kysytään että onko N normaali vai epänormaali?
Jos N on normaali, niin N ei kuulu joukkoon N, eli N ei ole normaali.
Jos taas N ei ole normaali, niin N on N:n alkio eli N kuuluu N:ään, eli N on normaali.
Siis joudutaan ristiriitaan, eli saatiin mahdoton, paradoksaalinen tilanne.- juttu.
"Joukkoa joka sisältää itsensä alkionaan sanotaan epänormaaliksi. "
Minä en kyllä tätä nielisi. Miten ylipäätään voi olla joukko, joka sisältää itsensä alkionaan? Mielestäni tässä oletuksessa "tehdään paradoksi", joka vain "kuljetetaan" pienellä sanaleikillä edemmäs.
Kyseessähän on tavallaan eräänlaisen määrittelykvanttorin yleistys ilman järkevää pohjaa. Mielestäni ongelma ei ole siinä, että tullaan tilanteeseen, jossa meillä on joukko, joka samaan aikaan ei voi olla itsensä osajoukko eikä olla olematta, vaan että yritetään luokitella asioita joukkoon tavallaan yksisuuntaisesti. Luokitteluhan poistaa ongelman ja mielestäni Russelin aikanaan esittämä paradoksi on tarkoitettu osoittamaan naiivin joukko-opin.. eh, naiivius. Siis ongelma ei ole varsinaisesti päättelyn tulos vaan premissi.
Huomattava on vielä, että tällä ei ole varsinaisesti mitään tekemistä sen kanssa onko "matematiikka sisäisesti ristiriitaista" tms., vaan tämä on esimerkki eräästä päättelyjärjestelmästä, jonka voidaan osoittaa johtavan ristiriitoihin.
"Tuo konkretisointi Russelin paradoksista ei ehkä ole paras mahdollinen,koska voimme tietysti kuvitella että parturi kulkee ihan tyytyväisenä ruokkoamattomine partoineen."
En muista miten asia edellä tarkalleen kirjoitettiin, mutta yleensä on vaatimus, että parturi ajaa niiden parran, jotka eivät sitä itse aja. Eli jos hän kulkee ruokkoamattomana, niin hän ei aja partaansa, joten hänen on se ajettava, ja saadaan ristiriita.
---
Mielipiteitä? - Salopeura
juttu. kirjoitti:
"Joukkoa joka sisältää itsensä alkionaan sanotaan epänormaaliksi. "
Minä en kyllä tätä nielisi. Miten ylipäätään voi olla joukko, joka sisältää itsensä alkionaan? Mielestäni tässä oletuksessa "tehdään paradoksi", joka vain "kuljetetaan" pienellä sanaleikillä edemmäs.
Kyseessähän on tavallaan eräänlaisen määrittelykvanttorin yleistys ilman järkevää pohjaa. Mielestäni ongelma ei ole siinä, että tullaan tilanteeseen, jossa meillä on joukko, joka samaan aikaan ei voi olla itsensä osajoukko eikä olla olematta, vaan että yritetään luokitella asioita joukkoon tavallaan yksisuuntaisesti. Luokitteluhan poistaa ongelman ja mielestäni Russelin aikanaan esittämä paradoksi on tarkoitettu osoittamaan naiivin joukko-opin.. eh, naiivius. Siis ongelma ei ole varsinaisesti päättelyn tulos vaan premissi.
Huomattava on vielä, että tällä ei ole varsinaisesti mitään tekemistä sen kanssa onko "matematiikka sisäisesti ristiriitaista" tms., vaan tämä on esimerkki eräästä päättelyjärjestelmästä, jonka voidaan osoittaa johtavan ristiriitoihin.
"Tuo konkretisointi Russelin paradoksista ei ehkä ole paras mahdollinen,koska voimme tietysti kuvitella että parturi kulkee ihan tyytyväisenä ruokkoamattomine partoineen."
En muista miten asia edellä tarkalleen kirjoitettiin, mutta yleensä on vaatimus, että parturi ajaa niiden parran, jotka eivät sitä itse aja. Eli jos hän kulkee ruokkoamattomana, niin hän ei aja partaansa, joten hänen on se ajettava, ja saadaan ristiriita.
---
Mielipiteitä?Kyllähän jokainen joukko on aina itsensä osajoukko ("meillä on joukko joka ei ole itsensä osajoukko"). Sen sijaan joukko ei tietenkään useimmiten sisällä itseään alkionaan.
Normaalitapauksessa esimerkiksi joku reaalilukujoukko sisältää vain lukuja, ei joukkoja. Siksi kai tuollaista erikoista joukkoa sanotaankin epänormaaliksi.
Kuitenkin jos määritellään vaikka joukko jonka alkiot ovat kaikki mahdolliset joukot. Silloin yksi siihen kuuluva joukko on myös tuo joukko itse.
Russellin paradoksilla ei kylläkään ole kovin paljon käytännön merkitystä. Yleensähän matematiikassa jo alussa määritellään missä joukossa kulloinkin työskennellään joten ristiriitaa ei tule.
En ole missään vaiheessa väittänytkään että tällä olisi tekemistä matematiikan sisäisen ristiriitaisuuden kanssa. Gödelin epätäydellisyystuloshan on aivan eri asia.
Parturijutun täsmällinen esitys löytynee wikipediasta, jonne näyttävät tämänkin keskustelun laineet jo vähän aikaa sitten lyöneen. - mahtimatemaatikko
Salopeura kirjoitti:
Kyllähän jokainen joukko on aina itsensä osajoukko ("meillä on joukko joka ei ole itsensä osajoukko"). Sen sijaan joukko ei tietenkään useimmiten sisällä itseään alkionaan.
Normaalitapauksessa esimerkiksi joku reaalilukujoukko sisältää vain lukuja, ei joukkoja. Siksi kai tuollaista erikoista joukkoa sanotaankin epänormaaliksi.
Kuitenkin jos määritellään vaikka joukko jonka alkiot ovat kaikki mahdolliset joukot. Silloin yksi siihen kuuluva joukko on myös tuo joukko itse.
Russellin paradoksilla ei kylläkään ole kovin paljon käytännön merkitystä. Yleensähän matematiikassa jo alussa määritellään missä joukossa kulloinkin työskennellään joten ristiriitaa ei tule.
En ole missään vaiheessa väittänytkään että tällä olisi tekemistä matematiikan sisäisen ristiriitaisuuden kanssa. Gödelin epätäydellisyystuloshan on aivan eri asia.
Parturijutun täsmällinen esitys löytynee wikipediasta, jonne näyttävät tämänkin keskustelun laineet jo vähän aikaa sitten lyöneen."Sen sijaan joukko ei tietenkään useimmiten sisällä itseään alkionaan. "
Tarkemmin sanoen: ei koskaan.
"Kuitenkin jos määritellään vaikka joukko jonka alkiot ovat kaikki mahdolliset joukot. Silloin yksi siihen kuuluva joukko on myös tuo joukko itse. "
Kyseessä ei ole joukko, vaan luokka. - Salopeura
mahtimatemaatikko kirjoitti:
"Sen sijaan joukko ei tietenkään useimmiten sisällä itseään alkionaan. "
Tarkemmin sanoen: ei koskaan.
"Kuitenkin jos määritellään vaikka joukko jonka alkiot ovat kaikki mahdolliset joukot. Silloin yksi siihen kuuluva joukko on myös tuo joukko itse. "
Kyseessä ei ole joukko, vaan luokka.Olet tietysti oikeasssa nykymatematiikkaa ajatellen. Ymmärsin kuitenkin että puhuttiin Russellin paradoksista. Vasta tämän paradoksin havaitsemisen jälkeen keksittiin puhua näissä ongelmatapauksissa luokista. Tehtiin sellainen sopimus.
Sopimuksen jälkeen tilanne on tietysti erilainen. Matematiikkahan on täynnä mahdollisimman tarkoituksenmukaisia sopimuksi ja hyvä niin. Sopimus ei kuitenkaan ole mikään luonnonlaki.
Historiallinen Russellin paradoksi rakentuu kuitenkin osoittamalleni pohjalle. Sopimusta ei ollut silloin vielä keksitty tehdä, vaan sopimuksen syynä oli mm. juuri tämä paradoksi. - juttu.
Salopeura kirjoitti:
Kyllähän jokainen joukko on aina itsensä osajoukko ("meillä on joukko joka ei ole itsensä osajoukko"). Sen sijaan joukko ei tietenkään useimmiten sisällä itseään alkionaan.
Normaalitapauksessa esimerkiksi joku reaalilukujoukko sisältää vain lukuja, ei joukkoja. Siksi kai tuollaista erikoista joukkoa sanotaankin epänormaaliksi.
Kuitenkin jos määritellään vaikka joukko jonka alkiot ovat kaikki mahdolliset joukot. Silloin yksi siihen kuuluva joukko on myös tuo joukko itse.
Russellin paradoksilla ei kylläkään ole kovin paljon käytännön merkitystä. Yleensähän matematiikassa jo alussa määritellään missä joukossa kulloinkin työskennellään joten ristiriitaa ei tule.
En ole missään vaiheessa väittänytkään että tällä olisi tekemistä matematiikan sisäisen ristiriitaisuuden kanssa. Gödelin epätäydellisyystuloshan on aivan eri asia.
Parturijutun täsmällinen esitys löytynee wikipediasta, jonne näyttävät tämänkin keskustelun laineet jo vähän aikaa sitten lyöneen.En ole osajoukosta puhunutkaan, vaan alkiosta. Kyseessä on luonnollisesti kaksi täysin eri asiaa.
"Kuitenkin jos määritellään vaikka joukko jonka alkiot ovat kaikki mahdolliset joukot. Silloin yksi siihen kuuluva joukko on myös tuo joukko itse."
Toki, mutta tuosta määrittelystä sitten seuraakin mitä vain. Tästä emme liene erimielisiä.
"En ole missään vaiheessa väittänytkään että tällä olisi tekemistä matematiikan sisäisen ristiriitaisuuden kanssa."
Jep, halusin vain korostaa asiaa. Jostain syystä monella lukijalla on tässä kohdalla taito sekoittaa asiat. - Salopeura
Salopeura kirjoitti:
Olet tietysti oikeasssa nykymatematiikkaa ajatellen. Ymmärsin kuitenkin että puhuttiin Russellin paradoksista. Vasta tämän paradoksin havaitsemisen jälkeen keksittiin puhua näissä ongelmatapauksissa luokista. Tehtiin sellainen sopimus.
Sopimuksen jälkeen tilanne on tietysti erilainen. Matematiikkahan on täynnä mahdollisimman tarkoituksenmukaisia sopimuksi ja hyvä niin. Sopimus ei kuitenkaan ole mikään luonnonlaki.
Historiallinen Russellin paradoksi rakentuu kuitenkin osoittamalleni pohjalle. Sopimusta ei ollut silloin vielä keksitty tehdä, vaan sopimuksen syynä oli mm. juuri tämä paradoksi.Sotkeuduinpa omaan näppäryyteeni!
Ei tilanne tietenkään ole mitenkään erilainen. Russellin paradoksi on edelleen voimassa. Eihän terminologian vaihtaminen itse asiaa muuta. Paradoksi on voimassa, vain uusilla termeillä.
Tässä joukko on se jota Russell sanoi normaaliksi joukoksi ja luokka on sitten Russellin epänormaali joukko. (Täsmentäkää käsitteitä jos olen väärässä!)
Ei tämä terminologian muutos varmaankaan mitenkään paradoksiin liity. Sitä vain on kai pidetty selkeämpänä.
- Saviola
Russellin paradoksi koskee luokan käsitettä joukko-opissa. Bertrand Russell itse loi käsittääkseni luokka-opin muutamien matemaatikkojen apua käyttäen.
Russellin toive oli, että hän saisi luotua luokan käsitteestä matematiikalle perustan. Kuitenkin hän tormäsi tuohon ongelmaan, joka oikeastaan koskee lopulta äärettömyyden käsitettä.
Eli joukko ei voi olla itsensä alkio, tai jos se on itsensä alkio, se ei ole itsensä alkio ja kun se ei ole itseensä alkio, se on itsensä alkio.
Russell menetti uskonsa Jumalaan ja jätti Jumalan todistavat luokat.
Hän kirjoitti täysin järjettömän teoksen, joka tunnetaan Principia Mathematicana. Teos oli ristiriitainen ja huono.
Kurt Gödel julkaisi vuonna 1931 epätäydellisyyslauseensa, joka todisti, että mikään ei voi viitata itseensä. Näin voitiin lopulta hylätä Russellin työt. ??
Ei kuitenkaan, sillä Gödel ilmoitti epätäydellisyyslauseen todistavan kuitenkin luokan käsitteen oikeaksi ja arvosteli Russellia, joka tuhlasi loppuelämänsä osoittaakseen itse keksimänsä luokan käsitteen vääräksi.
Russell hautautui totuuksien ja epätotuuksien sekaan lukiessaan kielenfilosofiaa ja kadotti lopulta uskonsa mihinkään korkeampaan.
Joka ei voi olla sisäisesti täysin konsistentti, ei voi syntyä itseestään ----> tuloksena voidaan todeta, että maailmassa mikään ei ole syntynyt itsestään, eikä edes maailma ole syntynyt itsestään, vaan maailman ulkopuolisesta ----> energia on lähtöisin maailmankaikkeuden ulkopuolelta ... ikuisesta ... Jumalasta?
Todistaa myös sen, kuinka nerokas ilmaisukeino aksioomat ovat.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1482513
- 1801758
- 921598
- 691593
Kesä, kesä!
Veikkaan, ettet juuri nyt ikävöi minua, ehket enää koskaan? Näkemättömyys on laimentanut tunteet, ja katselet iloisena k61015- 80968
- 71905
- 61866
Miksi sanotaan että Suomella on suuri armeija, tykistö jne.
Asioita tarkemmin seuranneet tietävät että tuolla Ukrainassa palaa kuukaudessa sen verran mitä Suomella on kokonaisuudes188854- 65837