Mitkä ovat säännöt peruslaskutoimituksissa reaaliluvuilla ja oo:lla? Esim. oo/oo määrittämätön?
Äärettömän (oo) laskusäännöt?
Unohtanut
144732
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Mieti tommosia idioottimaisia epätodellsiia juttuja ollenkaan!
Mieti vaikka sitä, että jos mulla on 100€ ja jaan sen kaikkien kavaereideni kesken, joita on vain puoli, niin miten se puoli kaveria voi saada 200€ mistä tulee satanen tyhjästä?
Eihän sinulla voi olla puolikasta kaveriakaan. Alku oletuksesi on siis väärin. Vaan tuota kyseistä rahanjako-ongelmaa voi tutkia vain positiivisten kokonaislukujen joukossa (kaverimäärä siis).
Ääretön ei ole luku - se ei kuulu kokonaislukujen, rationaalilukujen, reaalilukujen jne. joukkoon, eli sillä ei voi laskea kuten luvuilla, eivätkä noiden joukkojen laskusäännöt koske sitä.
Yksi tapa lähestyä asiaa on tutkia joukkojen kokoja, kardinaalisuuksia. Joukot voivat olla äärettömän suuria, ja erilaisten äärettömien joukkojen suuruus, mahtavuus, voi olla eri suuri. Itseasiassa äärettömiä kardinaalilukuja on äärettömän monta eri 'kokoista'. Tällaisia äärettömyyksiä voidaan laskea Georg Cantorin luomilla/todistamilla säännöillä. Tuolla hyvä selitys asiasta, tosin englanniksi:
http://mathforum.org/library/drmath/view/51472.html
... jos sovimme mitä 'oo' tarkoittaa. (Se ei tietenkään ole kompleksiluku.)
Esim. Möbius transformaatioiden kohdalla puhumme laajennetusta kompleksitasosta C (unioni) {oo} . Lisätietoa täältä: http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation
Laajennettu kompleksitaso on isomorfinen kolmiulotteisen pallopinnan kanssa.
Tässä tapauksessa oo -pisteen liittäminen kompleksitasoon on hyödyllistä, sillä voimme ajatella suoraa viivaa äärettömänä ympyränä.
Kompleksitason ympyröitä ja transformaatioita ajattelemalla voi vaikkapa todistaa Algebran Fundamentaalisen Teoreeman: eli, että jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on kompleksiratkaisu.
Laajennettu kompleksitaso on tietenkin bijektiivinen tavallisen kaksiulotteisen pallopinnan kanssa, ei suinkaan kolmiulotteisen --
Toki konseptin voi yleistää korkeammille ulottuvuuksille: esim. R^3 (unioni) {oo} on isomorfinen kolmiulotteisen pallopinnan kanssa -- eli siis neljässä ulottuvuudessa asuva kolmiulotteinen pinta. Se ei ole kuviteltavissa intuitiivisesti.
Möbius transformaatioille määrittelemme pisteen 'oo' siten, että mm. 1/oo = 0, 1/0 = oo, oo/oo = 1 jne.
Kardinaali- ja ordinaaliaritmetiikassa voi tietysti käsitellä eri asteisia äärettömyyksiä joukko-opilliselta kannalta:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number
... reaalianalyysi-pohjalta on, että esim. 1/oo on vain huolimaton notaatio raja-arvolle
lim_(n-->oo) 1/n = 0.
Tämä tarkoittaa sitä arvoa, jota 1/n lähestyy, kun n kasvaa mielivaltaisen suureksi.
Tarkemmin sanottuna, 1/n saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa valitsemalla riittävän iso n.
lim_(n-->oo) n/n = lim (1) = 1, joten huolimattomalla notaatiolla oo/oo = 1 jne.
Raja-arvot palvelevat nimenomaan siinä, että tutkimme, mitä tendenssejä on äärettömyydessä, ja samalla kierrämme ongelman, ettei oo ole luku.
... oli mielessä. Muinainen matematiikan cumu ei oikein riitä operoimaan kardinaaleilla, vielä vähemmän ordinaaleilla, vaikka "modernin" algebran kurssista tulikin erinomaiset tiedot. Cantor on kyllä jotenkin hallinnassa.
Tarkoitin nyt ihan perusoperaatioita, vaikka oo ei olekaan luku. Limes-tulkinta on kai sikäli hyödyllinen, että mahdollistaa numeeriset menetelmät sellaisiin aproksimointeihin, joissa oo kummittelee. Vaikkapa standardoitun normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen esimerkkinä.
oo 1 (tai mitä tahansa) = oo, sitä ei kai kukaan kiistä. (oo - 1) on helvetin paljon, mutta ei ihan oo, intuitiivisesti, eli yhteen- vähemmyslaskut eivät ole sama asia. Huolimattomalla notaatiolla"
oo/oo on todella 1, mutta silloinhan 1 symboloi jotain muuta kuin "lukua 1", koska oo ei ole luku!
Onko omena/omena = 1?
Ääretöntä on kuitenkin pakko käyttää joskus "luvunomaisesti". Olen joskus netissä nähnyt taulukon laskusäännöistä ja niissäkin oli vaihtoehtoisia tulkintamahdollisuuksia. Sellaista tässä haeskelin.
... ensimmäistä ääretöntä ordinaalia, (eli 1,2,3,..., oo -- itse asiassa ordinaaliluku on sama kuin joukko, joten oo = N ), silloin ordinaaliaritmetiikassa:
oo 1 > oo, 1 oo = oo, 2*oo = oo, oo*2 > oo.
Huomaa, että operaatiot ja * eivät ole kommutatiivisia.
Operaatio 'a b' tarkoittaa ordinaaleille a,b sitä, että otamme joukon a ja jatkamme sitä b:llä (ikään kuin liitämme b:n a:n perään).
' ' ja '*' voidaan määrittää kahdella tavalla: 1)synteettisesti (eli tarkennamme mitä 'jatkaminen' ym. tarkoittaa joukoille)
2) induktiivisesti: a b = sup(a b' | b'
... Tuohon induktiiviseen määritelmään vielä sen verran, että nuo äsken mainitut pätevät vain silloin kun b on 'raja-arvo', kuten oo.
Jos ordinaalilla b on edeltäjä (eli sellainen b', että b' 1=b), silloin induktiivisesti:
a b= (a b') 1, ja a*b = (a*b') b'.
Esim. kaikilla kokonaisluvuilla on edeltäjä, mutta myös luvulla oo 1 on edeltäjä, eli oo.
>>Ääretöntä on kuitenkin pakko käyttää joskus "luvunomaisesti". Olen joskus netissä nähnyt taulukon laskusäännöistä ja niissäkin oli vaihtoehtoisia tulkintamahdollisuuksia. Sellaista tässä haeskelin.>>
Netistä nyt löytyy mm. tietokoneiden liukulukujen laskusäännöt. Niillä voit kokeilla laskemista esim. selaimesi JavaScript-konsolissa, jos parempaa ohjelmointikieltä ei ole käsillä.
Liukuluvut eivät ole reaalilukuja, vaan approksimoivat niitä jollakin tavalla käytännön laskennan kannalta. IEEE-standardin mukaisessa liukulukusysteemissä on kaksi ääretöntä, Infinity ja -Infinity, sekä arvo NaN - Not a Number. Esim. kaipaamasi Infinity/Infinity on NaN tässä laskusysteemissä.
Niille kaikille on laskusäännöt olemassa, mutta ne tuskin matemaatikkoa kiinnostavat. Kerronpa silti jotain.
Esim. tässä mainitussa JavaScriptissä on seuraava yhtälöpari, jolle on yksikäsitteinen ratkaisu:
1) a == b
2) 1/a != 1/b (merkintä != tarkoittaa on erisuuri kuin)
Tämän yhtälöparin toteuttavat arvot 0.0 ja -0.0. Yhtäsuuruustestissä ne tulkitaan samaksi arvoksi, vaikka niiden esitys tietokoneen muistissa on erilainen. Sen sijaan jakolaskuissa ne antavat tulokseksi Infinity ja -Infinity, jotka ovat erisuuria.
Kokeile selaimesi osoitekentässä:
javascript: 0.0 == -0.0
javascript: 1/ 0.0 == 1/-0.0
Ensimmäinen antaa tuloksen true, toinen false.
Asiaa mutkistaa se, että läheskään kaikki ohjelmointikielet eivät käsittele asioita samalla tavalla kuin JavaScript. Itse asiassa tieteelliseen laskentaan suunnitellut kielet yleensä toimivat hieman järkevämmin.
Tällaisia laskusääntöjä tulee osata, jos tekee käytännön työtä tietokonelaskennan parissa. Matemaattisesti korrektimpien reaalilukujen käsittely tietokoneella on myös mahdollista, mutta sillä on harvoin käytännön sovellutuksia. Äärettömän pitkistä desimaalikehitelmistä voidaan laskea (jos mahdollista!) tarpeen mukaan äärellinen osa, tai lukuja voi käsitellä symbolisesti.
Luin tänään kiinnostavat blogi-artikkelin väljästi asian tiimoilta.
http://sigfpe.blogspot.com/2007/07/data-and-codata.html
Se itse asiassa kertoo siitä, miten algoritmin käsite liittyy ohjelmistoihin, joiden suorituksen ei ole tarkoitus loppua rajatussa ajassa, kuten esim. käyttöjärjestelmien.
Se auttoi hieman ymmärtämään, mite erilaisia puhtaan matematiikan ja tietokonetekniikan maailmat ovat.
Itse asiassa ohjelmointia varten tietoa haenkin, ja tuon p-keleen oo käy hermolle. Käytössä on kyllä Java ja C , mutta en vielä systeeminhahmotusvaiheessa ole tutkinut, mitä pitävät sisällään tuon suhteen, kun ei ole tätä ongelmaa ennen tullut vastaan. Täytyy nyt katsoa!
Puhtaasta matematiikasta - sitä mitenkään aliarvostamatta - on kyllä harvinaisen vähän käytännön apua tällaisessa.
... syy on ohjelmointikielissä, ei puhtaassa matikassa. :)
Kannattaa myös ottaa huomioon se, että eri käyttöjärjestelmissä voivat lukujen esitykset poiketa toisistaan. Tämän ongelma voidaan pääsääntöisesti kiertää noudattamalla ANSI -standardin mukaista ohjelmointia.
Kyllä omasta mielestäni puhdas matematiikka on myös hyödyllistä ohjelmointityössä. Tästä tyypillinen esimerkki on mm. kellokäyrän interpolointi käyttäen polynomeja.
Lisäksi kovin usein käytetään huolimattomasti algoritmeja tarkistamatta mm. niiden suppenevuutta tarkasteluvälillä - esimerkkinä Newtonin menetelmä.
Kaiken kaikkiaan itse pidän hankalimpina ongelmina pyöristysvirheitä ja niiden kumuloitumista. Tällainen ongelma tulee helposti esille ratkaistaessa yhtälöryhmiä sekä erilaisissa iteratiivisissa menetelmissä (esim. tuo Newton). Puhtaasta matematiikasta on monesti hyötyä myös näihin ongelmiin.