Miten lasketaan divergenssi ja roottori?
Esimerkiksi
v(x,y,z) = (yz^2 yz z^2)i (xz^2 xz 1)j (2xyz xy 2xz)k nopeuskenttä.
(v,i,j,k vektoreita)
Tälle pitäisi määrätä divergenssi ja roottori.
Jotain kaavaa minä todennäköisesti kai tarvisin mutta kun en tiedä millaista.. :)
Ja mitä nämä oikeastaan edes tarkoittavat, jos vaikka roottori on 0 tai 10, mitä se tarkoittaa?
Esimerkiksi
v(x,y,z) = (yz^2 yz z^2)i (xz^2 xz 1)j (2xyz xy 2xz)k nopeuskenttä.
(v,i,j,k vektoreita)
Tälle pitäisi määrätä divergenssi ja roottori.
Jotain kaavaa minä todennäköisesti kai tarvisin mutta kun en tiedä millaista.. :)
Ja mitä nämä oikeastaan edes tarkoittavat, jos vaikka roottori on 0 tai 10, mitä se tarkoittaa?
Vastaukset 9
Vanhimmat
tällaset kaavat löysin, http://math.tkk.fi/opetus/k2/tiivis/diveroot.gif
mutta öö.. siis P= (yz^2 yz z^2) jne..niinkö?
mutta siltikään en osaa laskea. joku tässä nyt mättää!
Notaatio x i y j z k on kirjoitustapa vektorille (x,y,z).
i,j,k ovat vektorit (1,0,0), (0,1,0) ja (0,0,1), vastaavasti.
Osaatko laskea osittaisderivaattoja? Esim. osittaisderivaatta x:n suhteen on kuin tavallinen derivaatta, paitsi että muita muuttujia (eli y,z) kohdellaan kuin ne olisivat vakioita.
Siispä divergenssi on 2x(y 1). (Esim. antamasi P on oikein -- se ei sisältänyt x:ää, joten osittaisderivaatta on siinä 0.)
Divergenssi mittaa 'alttiutta paeta paikalta' kussakin vektorikentän pisteessä (x,y,z). Tämä voi viitata esim. nesteeseen tai kaasuun.
Roottorin tapauksessa yksinkertaisesti lasket annetun matriisin determinantin. Kai tiedät miten determinantti lasketaan?
Vastaus on siis (D_y(R) - D_z(Q)) i (D_z(P)-D_x(R)) j (D_x(Q) - D_y(P)) k
(Käytän notaatiota D_x(P) osittaisderivaatasta x:n suhteen.)
Pystyt varmasti itse laskemaan tuon.
Huomaa, että roottori on vektori, ei skalaari. Siispä et voi sanoa roottorin olevan 0 tai 10.
Roottori mittaa rotaatiota (roottori-vektori antaa pyörimisakselin suunnan, ja sen pituus antaa pyörimisvoimakkuuden) kussakin vektorikentän pisteessä (x,y,z).
Mitähän sinä sitten oikein osaat, kun yksikkövektoreiden kerroinfunktioiden osittaisderivointikaan ei näytä onnistuvan? Muustahan tässä kaavaan sijoituksessa ei todellakaan ole kysymys.
Öö...siis juuri niin!
Ja roottori ei kerta kaikkiaan voi saada arvoja 0 tai 10 millään x:n, y:n ja z:n yhdistelmällä, koska roottori on ristitulona vektorisuure. Divergessi taas on pistetulona skalaarisuure.
Paskattaa 💩💩💩
divergenssi on sisätulo (grad, V) missä grad = i d/dx j d/dy k d/dz ja
V = v(x) i V(y) j V(z) k ja lasku suoritetaan normaalin sisätulon (pistetulon) tapaan.
Roottori : grad x V missä tuo ristitulo lasketaan kuten tavallisesti vektorien ristitulo.
Ohman
Lasketaan nyt ihan eksplisiittisesti. Tuo grad ei ole "oikea" vektori vaan operaattori jonka komponentteina ovt osittaisderivaattaoperaattorit d/dx, d/dy ja d/dz.Jos
meillä on funktio f(x,y,z) niin grad(f) = df/dx i df/dy j df/dz k eli skalaarifunktiosta f tulee vektorikenttä grad(f). Tuossa d/dx,d/dy ja d/dz olivat siis vastaavien osittaisderivaattojen merkintöjä, en osaa sitä tavallista vänkyrää kirjoittaa koneella.
Olkoon vektorikenttä V(x,y,z) = v1(x,y,z) i v2(x,y,z) j v3 (x,y,z) k
div(V) = (grad, V) = d/dx(v1) d/dy(v2) d/dz(v3) eli formaalisti lasketaan tuo sisätulo (pistetulo) kuten grad olisi vektori. Mutta järjestys pitää säilyttää, (V,grad) ei ole mielekäs.
rot(V) = grad x V = (d/dy(v3) - d/dz(v2)) i (d/dz(v1) - d/dx(v3)) j (d/dx(v2) - d/dy (v1)) k. Tämäkin on sellainen "formaali" ristitulo.
Differentiaalimuotojen teoriassa grad, div ja rot (curl) voidaan kaikki ilmaista ulkoisen derivaatan d avulla. Mutta differentiaalimuodot eivät ehkä ole sinulle tuttuja joten en nyt ryhdy tätä asiaa enemmälti selittämään. Muistutuksena nyt vain niille jotka osaavat differentiaalimuotojen kanssa temmeltää.
Ohman
Tuossahan käytetään nablaa eli "kärkikolmion" näköistä derivaattaoperaattoria.
nabla = δ/δx i δ/δy j δ/δz k
Olkoon vektorifunktio f(x, y, z) = v_x i v_y j v_z k,
niin divergenssi on silloin nablan ja vektorifunktion pistetulo eli div f nabla . f, missä . on pistetulo.
Vastaavasti roottori on nabla x f, eli ristitulo
Siinä aloittajalle oikea, tarpeellinen lauseke ilman mitään paskan jauhantaa. Kopioi äkkiä talteen, kun ylläpito tämänkin pian kuitenkin poistaa kun tässä ei ole paskan jauhantaa. Täällä on tämä keskustelu näköjään mennyt taas paskan jauhannaksi kun ei hyväksytä oikeita vastauksia kysymyksiin vain jauhetaan vaan paskaa ja oikeat vastaukset poistetaan. Tässä olisi tällainen vastaus missä ei ole turhaa paskan jauhataa.
Itse sinä jauhat. Tuo nabla = grad. Selitin kommentissani koko tuon asian mitä nyt jauhat uudestaan.
Olikohan tekstini nyt tosiaan niin vaikea ymmärtää? Vai etkö edes lukenutkaan tai ainakaan ymmärtänyt lukemaasi?
Kummalline on tuo kommenttisi kielenkäyttöä myöten.
Ohman
P.S. Huomannet myös, että minulla oli kaksi kommenttia, joista ensimmäisessä selostin asian lyhyesti, toisessa vähän seikkaperäisemmin.Mitähän uutta tuo juttusi toi asiaan paitsi tuon nimityksen "nabla"? Differentiaaligeometriassa kuitenkin käytetään operaattorista nimitystä "grad". Sen symboli on tuo "kärkikolmio" eli se nabla.
Ohman