divergenssi ja roottori

Tintura

Miten lasketaan divergenssi ja roottori?

Esimerkiksi
v(x,y,z) = (yz^2 yz z^2)i (xz^2 xz 1)j (2xyz xy 2xz)k nopeuskenttä.
(v,i,j,k vektoreita)

Tälle pitäisi määrätä divergenssi ja roottori.
Jotain kaavaa minä todennäköisesti kai tarvisin mutta kun en tiedä millaista.. :)

Ja mitä nämä oikeastaan edes tarkoittavat, jos vaikka roottori on 0 tai 10, mitä se tarkoittaa?

9

687

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Tintura
      • nkorppi

        Notaatio x i y j z k on kirjoitustapa vektorille (x,y,z).

        i,j,k ovat vektorit (1,0,0), (0,1,0) ja (0,0,1), vastaavasti.

        Osaatko laskea osittaisderivaattoja? Esim. osittaisderivaatta x:n suhteen on kuin tavallinen derivaatta, paitsi että muita muuttujia (eli y,z) kohdellaan kuin ne olisivat vakioita.

        Siispä divergenssi on 2x(y 1). (Esim. antamasi P on oikein -- se ei sisältänyt x:ää, joten osittaisderivaatta on siinä 0.)

        Divergenssi mittaa 'alttiutta paeta paikalta' kussakin vektorikentän pisteessä (x,y,z). Tämä voi viitata esim. nesteeseen tai kaasuun.

        Roottorin tapauksessa yksinkertaisesti lasket annetun matriisin determinantin. Kai tiedät miten determinantti lasketaan?

        Vastaus on siis (D_y(R) - D_z(Q)) i (D_z(P)-D_x(R)) j (D_x(Q) - D_y(P)) k

        (Käytän notaatiota D_x(P) osittaisderivaatasta x:n suhteen.)

        Pystyt varmasti itse laskemaan tuon.

        Huomaa, että roottori on vektori, ei skalaari. Siispä et voi sanoa roottorin olevan 0 tai 10.

        Roottori mittaa rotaatiota (roottori-vektori antaa pyörimisakselin suunnan, ja sen pituus antaa pyörimisvoimakkuuden) kussakin vektorikentän pisteessä (x,y,z).


      • todella ihmeissään

        Mitähän sinä sitten oikein osaat, kun yksikkövektoreiden kerroinfunktioiden osittaisderivointikaan ei näytä onnistuvan? Muustahan tässä kaavaan sijoituksessa ei todellakaan ole kysymys.

        Öö...siis juuri niin!

        Ja roottori ei kerta kaikkiaan voi saada arvoja 0 tai 10 millään x:n, y:n ja z:n yhdistelmällä, koska roottori on ristitulona vektorisuure. Divergessi taas on pistetulona skalaarisuure.


    • Jammytatti

      Paskattaa 💩💩💩

    • Ohman

      divergenssi on sisätulo (grad, V) missä grad = i d/dx + j d/dy + k d/dz ja
      V = v(x) i + V(y) j + V(z) k ja lasku suoritetaan normaalin sisätulon (pistetulon) tapaan.

      Roottori : grad x V missä tuo ristitulo lasketaan kuten tavallisesti vektorien ristitulo.

      Ohman

      • Ohman

        Lasketaan nyt ihan eksplisiittisesti. Tuo grad ei ole "oikea" vektori vaan operaattori jonka komponentteina ovt osittaisderivaattaoperaattorit d/dx, d/dy ja d/dz.Jos
        meillä on funktio f(x,y,z) niin grad(f) = df/dx i + df/dy j + df/dz k eli skalaarifunktiosta f tulee vektorikenttä grad(f). Tuossa d/dx,d/dy ja d/dz olivat siis vastaavien osittaisderivaattojen merkintöjä, en osaa sitä tavallista vänkyrää kirjoittaa koneella.

        Olkoon vektorikenttä V(x,y,z) = v1(x,y,z) i + v2(x,y,z) j + v3 (x,y,z) k

        div(V) = (grad, V) = d/dx(v1) + d/dy(v2) + d/dz(v3) eli formaalisti lasketaan tuo sisätulo (pistetulo) kuten grad olisi vektori. Mutta järjestys pitää säilyttää, (V,grad) ei ole mielekäs.

        rot(V) = grad x V = (d/dy(v3) - d/dz(v2)) i + (d/dz(v1) - d/dx(v3)) j + (d/dx(v2) - d/dy (v1)) k. Tämäkin on sellainen "formaali" ristitulo.

        Differentiaalimuotojen teoriassa grad, div ja rot (curl) voidaan kaikki ilmaista ulkoisen derivaatan d avulla. Mutta differentiaalimuodot eivät ehkä ole sinulle tuttuja joten en nyt ryhdy tätä asiaa enemmälti selittämään. Muistutuksena nyt vain niille jotka osaavat differentiaalimuotojen kanssa temmeltää.

        Ohman


      • VittuMatematiikkaVittu

        Tuossahan käytetään nablaa eli "kärkikolmion" näköistä derivaattaoperaattoria.

        nabla = δ/δx i + δ/δy j + δ/δz k

        Olkoon vektorifunktio f(x, y, z) = v_x i + v_y j + v_z k,
        niin divergenssi on silloin nablan ja vektorifunktion pistetulo eli div f nabla . f, missä . on pistetulo.

        Vastaavasti roottori on nabla x f, eli ristitulo

        Siinä aloittajalle oikea, tarpeellinen lauseke ilman mitään paskan jauhantaa. Kopioi äkkiä talteen, kun ylläpito tämänkin pian kuitenkin poistaa kun tässä ei ole paskan jauhantaa. Täällä on tämä keskustelu näköjään mennyt taas paskan jauhannaksi kun ei hyväksytä oikeita vastauksia kysymyksiin vain jauhetaan vaan paskaa ja oikeat vastaukset poistetaan. Tässä olisi tällainen vastaus missä ei ole turhaa paskan jauhataa.


      • Ohman

        Itse sinä jauhat. Tuo nabla = grad. Selitin kommentissani koko tuon asian mitä nyt jauhat uudestaan.

        Olikohan tekstini nyt tosiaan niin vaikea ymmärtää? Vai etkö edes lukenutkaan tai ainakaan ymmärtänyt lukemaasi?

        Kummalline on tuo kommenttisi kielenkäyttöä myöten.

        Ohman


      • Ohman
        Ohman kirjoitti:

        Itse sinä jauhat. Tuo nabla = grad. Selitin kommentissani koko tuon asian mitä nyt jauhat uudestaan.

        Olikohan tekstini nyt tosiaan niin vaikea ymmärtää? Vai etkö edes lukenutkaan tai ainakaan ymmärtänyt lukemaasi?

        Kummalline on tuo kommenttisi kielenkäyttöä myöten.

        Ohman

        P.S. Huomannet myös, että minulla oli kaksi kommenttia, joista ensimmäisessä selostin asian lyhyesti, toisessa vähän seikkaperäisemmin.Mitähän uutta tuo juttusi toi asiaan paitsi tuon nimityksen "nabla"? Differentiaaligeometriassa kuitenkin käytetään operaattorista nimitystä "grad". Sen symboli on tuo "kärkikolmio" eli se nabla.

        Ohman


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ukrainan ulkoministeri: Moskova aistii tappion Ukrainassa

      Dmytro Kuleban mukaan Venäjä yrittää puheillaan pelotella länsimaita. Ukrainan ulkoministerin Dmytro Kuleban mukaan Venäjän esittämät varoitukset kol
      NATO
      262
      4320
    2. Stefu haikailee

      Julkaisi stooreissa kuvan vickestä. Sitten Martinasta treenaamassa Hangossa ulkona. Hmm.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      265
      3524
    3. Harmi mies ettet arvostanut

      Minua tarpeeksi. Myöhemmin kaikki olisi palkittu ja olisin antanut sinulle aitoa rakkautta. Tämä sattuu mutta yritän ajatella, että ehkä se rakkaus ku
      Ikävä
      157
      1841
    4. Oi! Legandaarinen Vesa-Matti "Vesku" Loiri, 77, poseeraa kahdessa eri kuvassa - Some riemastui!

      Vesa-Matti "Vesku" Loiri on kyllä legenda jo eläessään. Hienoa nähdä, että virtaa piisaa. Voimia, iloa ja eloa, Vesku! https://www.suomi24.fi/viihde
      Suomalaiset julkkikset
      25
      1726
    5. Lavrov väläyttelee WW3:sta

      Venäjän ulkoministeri Sergei Lavrov varoittaa, että kolmannen maailmansodan uhka on todellinen. Lavrov sanoi venäläiselle uutistoimisto Interfaxille,
      Maailman menoa
      299
      1452
    6. Ketä Sofia fanit veikkaatte seuraavaksi lompakoksi?

      Kenestä Sofia höynäyttää itselleen seuraavan lompakon?
      Kotimaiset julkkisjuorut
      133
      974
    7. Suomi24 kysely: ihmisten kuplautumista ei pääosin koeta vakavaksi ongelmaksi

      “Kuplautumista on mahdotonta estää. Ihmiset ovat aina viihtyneet samankaltaiset arvot ja maailmankatsomuksen jakavassa seurassa ja muodostaneet sen pe
      Suomi24 Blogi ★
      18
      879
    8. Voiko hyvää omatuntoa ostaa?

      Olen tässä nyt muutaman päivän paininut erään rahaan liittyvän pulman kanssa. Kerron ensin vähän taustaa ... Eli erosin 15 vuoden parisuhteesta 9 vuo
      Sinkut
      235
      866
    9. en vaan saa häntä pois

      Mielestäni pyörimästä. Onko kellekään toiselle käynyt näin? Ihastuin pakkomielteisesti noin vuosi sitten erääseen naiseen. Ei vaan katoa mielestä va
      Ikävä
      115
      858
    Aihe