Mulla olisi kaksi ongelmaa, eikä oppikirja näytä ainuttakaan esimerkkiä, josta voisi ottaa mallia, niin aattelin kysäistä täällä.
ongelma nro.1: "Määritä funktion nollakohdat. Missä kohdassa f saa arvon 1?"
Nollakohdat olen laskenut, ja ne ovat: x1=1 ja x2=-3.. mutta tästä en sitten mitenkään kykene omillani jatkamaan :D
Ongelma nro.2 "Jaa polynomit tekijöihin, teht.c"
3x^4-15x^3 6x^2-30x Olen päässyt 3x(x^3-5x^2 2x-10); pitäisikö tuosta sulkujen sisällä olevasta tavarasta ottaa nollakohdat? Jos täytyy, niin millä tyylillä ne saa? Kirja ei neuvo
Polynomifunktioista kysyttävää
lukiolainen...
12
568
Vastaukset
- avust
Ykköskohdat haetaan vastaavasti kuin nollakohdat.
Sulkutavarasta haetaan todellakin nollakohtia ja yksi saattaa olla joku tuon vakion -10 tekijöistä 1,2,5,-1,-2 tai -5.
Sitten jaetaan jakokulmassa tuo sulkutavara lausekkeella (x miinus tuo löydetty nollakohta). - nkorppi
Funktion f(x) ykköskohdat saa ottamalla funktion g(x)=f(x)-1 nollakohdat! :)
Joskus reaaliarvoisten nollakohtien löytäminen ei ole mahdollista, esim. x^2 1 ei voi jakaa enää pienempiin tekijöihin.
Mutta koska kompleksijuuret (eli ei-reaaliset nollakohdat) tulevat aina pareittain, voit jakaa kaiken 1. ja 2. asteen tekijöihin.
3. asteen polynomin ratkaisemiseksi riittää, että arvaat ensin yhden nollakohdan, esim. c, jolloin (x-c) on tekijä. Sen voi silloin jakaa pois 'pitkällä jakolaskulla'. Kannattaa arvata vuorotellen pieniä lukuja.
Mm. Descartesin merkkisääntö (hae googlella) antaa tietoa siitä, kuinka monta positiivista/negatiivista reaalijuurta polynomilla enintään on, mikä saattaa helpottaa tehtävää. - nkorppi
... vielä se, että jos (x-c) jakaa polynomin, silloin c:n on tietenkin jaettava polynomin vakiotermi. Tämä vähentää arvausten määrää entisestään.
- Doctöör
Peruslaskimella nollakohtien haarukointi on aikamoista näpyttelyä. Kannattaa imuroida ilmainen Octave -ohjelma netistä, jolla voi tehdä 'kaikkea kivaa'.
Perusohje haarukointiin: Pitää löytää kaksi pistettä x0,x1, x0- nkorppi
... mutta näissä koulutehtävissä nollakohta on melko varmasti kokonaisluku -- ja alkukantaisessakin tieteislaskimessa on yleensä toiminto, jolla voi nopeasti kokeilla eri arvoja ennalta näpyteltyyn kaavaan.
Numeeriset menetelmät Octave-ohjelmistoineen, eivät auta tyyppiä koetilanteessa. Tehtävän tarkoitushan ei ole saada ratkaisua, vaan saada harjoitusta! (Tietysti numeeristen menetelmien opettelu on ihan hyödyllistä erikseen.) - Doctöör
nkorppi kirjoitti:
... mutta näissä koulutehtävissä nollakohta on melko varmasti kokonaisluku -- ja alkukantaisessakin tieteislaskimessa on yleensä toiminto, jolla voi nopeasti kokeilla eri arvoja ennalta näpyteltyyn kaavaan.
Numeeriset menetelmät Octave-ohjelmistoineen, eivät auta tyyppiä koetilanteessa. Tehtävän tarkoitushan ei ole saada ratkaisua, vaan saada harjoitusta! (Tietysti numeeristen menetelmien opettelu on ihan hyödyllistä erikseen.)Jos tehtävän tarkoituksena on harjoitella 'jakokulman' käyttöä, ovat polynomit ja kokonaislukuratkaisut tyypillisiä. Oikeassa elämässä sen sijaan ratkaistaan harvemmin tällaisia yhtälöitä.
Olen melko varma, että lähitulevaisuudessa laskinten (tai vaikkapa kännyköiden) kehittyessä on luonnollista, että kokeisiin tulee myös approksimointitehtäviä, ts. esimerkiksi numeeristen menetelmien opettelua. Emmehän me enää 1800 luvulla eletä ;-)
Mielestäni on pelkästään ajanhukkaa näpytellä laskimella pitkiä numerosarjoja. Jos tehtävän laskuja ei pysty ratkaisemaan päässä, tulisi ratkaisijan omata kyky käskeä konetta ratkaisemaan ongelma - ei toimia itse koneena. - nkorppi
Doctöör kirjoitti:
Jos tehtävän tarkoituksena on harjoitella 'jakokulman' käyttöä, ovat polynomit ja kokonaislukuratkaisut tyypillisiä. Oikeassa elämässä sen sijaan ratkaistaan harvemmin tällaisia yhtälöitä.
Olen melko varma, että lähitulevaisuudessa laskinten (tai vaikkapa kännyköiden) kehittyessä on luonnollista, että kokeisiin tulee myös approksimointitehtäviä, ts. esimerkiksi numeeristen menetelmien opettelua. Emmehän me enää 1800 luvulla eletä ;-)
Mielestäni on pelkästään ajanhukkaa näpytellä laskimella pitkiä numerosarjoja. Jos tehtävän laskuja ei pysty ratkaisemaan päässä, tulisi ratkaisijan omata kyky käskeä konetta ratkaisemaan ongelma - ei toimia itse koneena.... mennä liian paljon numeeriseen suuntaan! Se on vähän niin kuin opeteltaisiin viipaloimaan kurkku laittamalla se viipalointilaitteeseen. :) Tavallaan siinä ei ole enää mitään mielekkyyttä. Yleensäkin numeeriset menetelmät ovat tylsiä käyttää, vaikkakin voi olla hyvin kiinnostavaa osoittaa että ne toimivat (myöhemmässä vaiheessa lukiota).
Polynomi on kaunis matemaattinen objekti, jota oppilas tutkii ymmärtääkseen sen luonteen paremmin. Tarkoituksena ei ole numeerisen vastauksen löytäminen, vaan nimenomaan polynomin tutuksi tuleminen matemaattisena objektina. Kokeessa toivon mukaan lukisi: ratkaise ei-numeerisesti.
Jos oppilaan tehtävä on opetella käyttämään laskimen tai tietokoneen toimintoja, sitä voi opetella ihan omalla ajalla. Matematiikkaa se ei ole.
Esim. Cambridgen kokeissa ei saa käyttää missään tilanteessa laskinta, enkä rehellisesti sanottuna usko asian muuttuvan koskaan (ainakaan ennen kuin keksitään ihmisen luovuuteen kykenevä robotti). - nkorppi
Doctöör kirjoitti:
Jos tehtävän tarkoituksena on harjoitella 'jakokulman' käyttöä, ovat polynomit ja kokonaislukuratkaisut tyypillisiä. Oikeassa elämässä sen sijaan ratkaistaan harvemmin tällaisia yhtälöitä.
Olen melko varma, että lähitulevaisuudessa laskinten (tai vaikkapa kännyköiden) kehittyessä on luonnollista, että kokeisiin tulee myös approksimointitehtäviä, ts. esimerkiksi numeeristen menetelmien opettelua. Emmehän me enää 1800 luvulla eletä ;-)
Mielestäni on pelkästään ajanhukkaa näpytellä laskimella pitkiä numerosarjoja. Jos tehtävän laskuja ei pysty ratkaisemaan päässä, tulisi ratkaisijan omata kyky käskeä konetta ratkaisemaan ongelma - ei toimia itse koneena.... idea ei selvästikään ole jakokulman opettelu, ja siksipä esimerkki on riittävän yksinkertainen, jotta laskukoneena toimiminen minimoitaisiin.
Kysyjä ei selvästikään ymmärtänyt polynomin jaollisuuden ja sen nollakohtien suhdetta. Olisi suoranainen vääryys, jos hän voisi hankkia ratkaisun suoraan koneella, oppimatta tuota yhteyttä. Siinä jäisi moni synapsi kytkeytymättä hänen aivoistaan.
Mieluummin vaikka niin, että oppilas kuvailee, miten hän ratkaisisi yhtälön, antamatta itse ratkaisua, kuin että hän hankkisi sen koneella. - nkorppi
Doctöör kirjoitti:
Jos tehtävän tarkoituksena on harjoitella 'jakokulman' käyttöä, ovat polynomit ja kokonaislukuratkaisut tyypillisiä. Oikeassa elämässä sen sijaan ratkaistaan harvemmin tällaisia yhtälöitä.
Olen melko varma, että lähitulevaisuudessa laskinten (tai vaikkapa kännyköiden) kehittyessä on luonnollista, että kokeisiin tulee myös approksimointitehtäviä, ts. esimerkiksi numeeristen menetelmien opettelua. Emmehän me enää 1800 luvulla eletä ;-)
Mielestäni on pelkästään ajanhukkaa näpytellä laskimella pitkiä numerosarjoja. Jos tehtävän laskuja ei pysty ratkaisemaan päässä, tulisi ratkaisijan omata kyky käskeä konetta ratkaisemaan ongelma - ei toimia itse koneena.... ovat myös siitä ongelmallisia, että niitä voi harvoin käyttää rakennuspalikoina kohti vaikeampien konseptien ymmärrystä.
Kuvittele, että olisimme ikämme laskeneet yhteenlaskut laskimella, ymmärtämättä mikä yhteenlasku edes on. Kuvittele myös, että kertolasku olisi liian hankala laskimille. Jos emme ymmärrä mikä yhteenlasku on (ilman laskinta!) meillä ei liene mitään mahdollisuutta ymmärtää kertolaskua! Se olisi valtava menetys. Siispä, vaikka olisikin käytännössä kätevintä laskea yhteenlaskut laskimella, on myös ymmärrettävä niiden teoriaa muista syistä.
Yhtä lailla, jos ihminen ei tutustu polynomeihin lähemmin, vaan käyttää konetta joka välissä, hän ei voi oppia mitään. - Doctöör
nkorppi kirjoitti:
... mennä liian paljon numeeriseen suuntaan! Se on vähän niin kuin opeteltaisiin viipaloimaan kurkku laittamalla se viipalointilaitteeseen. :) Tavallaan siinä ei ole enää mitään mielekkyyttä. Yleensäkin numeeriset menetelmät ovat tylsiä käyttää, vaikkakin voi olla hyvin kiinnostavaa osoittaa että ne toimivat (myöhemmässä vaiheessa lukiota).
Polynomi on kaunis matemaattinen objekti, jota oppilas tutkii ymmärtääkseen sen luonteen paremmin. Tarkoituksena ei ole numeerisen vastauksen löytäminen, vaan nimenomaan polynomin tutuksi tuleminen matemaattisena objektina. Kokeessa toivon mukaan lukisi: ratkaise ei-numeerisesti.
Jos oppilaan tehtävä on opetella käyttämään laskimen tai tietokoneen toimintoja, sitä voi opetella ihan omalla ajalla. Matematiikkaa se ei ole.
Esim. Cambridgen kokeissa ei saa käyttää missään tilanteessa laskinta, enkä rehellisesti sanottuna usko asian muuttuvan koskaan (ainakaan ennen kuin keksitään ihmisen luovuuteen kykenevä robotti).Olen myös itse sitä mieltä, että nykyisin esimerkiksi matematiikan ylioppilaskokeista tulisi selvitä ilman 'tieteislaskinta'; aivan yksinkertainen laskin sallittaisiin.
Toisaalta olen sitä mieltä, että kokeissa tulisi tulevaisuudessa(kin) olla numeerisia tehtäviä kuitenkin niin, ettei opiskelijan tarvitse näpytellä yhdentekeviä numerosarjoja päästäkseen 'haluttuun tarkkuuteen' tms. Tätä varten oppilaalle annettaisiin mahdollisuus käyttää Matlab/Octave/Mathematica/Mathcad yms. ohjelmistoja ensinnäkin ongelman visualisoimiseen sekä myös ratkaisun approksimointiin käyttäen 'standardimenetelmiä'.
Minusta esimerkiksi se, että pystyy osoittamaan funktiolla f olevan yksikäsitteisen maksimin joukossa A on tietysti tärkein pointti, mutta mielestäni on myös kiinnostavaa se, missä pisteessä se saavutetaan ja mikä tämä arvo on. - Goofy2
nkorppi kirjoitti:
... ovat myös siitä ongelmallisia, että niitä voi harvoin käyttää rakennuspalikoina kohti vaikeampien konseptien ymmärrystä.
Kuvittele, että olisimme ikämme laskeneet yhteenlaskut laskimella, ymmärtämättä mikä yhteenlasku edes on. Kuvittele myös, että kertolasku olisi liian hankala laskimille. Jos emme ymmärrä mikä yhteenlasku on (ilman laskinta!) meillä ei liene mitään mahdollisuutta ymmärtää kertolaskua! Se olisi valtava menetys. Siispä, vaikka olisikin käytännössä kätevintä laskea yhteenlaskut laskimella, on myös ymmärrettävä niiden teoriaa muista syistä.
Yhtä lailla, jos ihminen ei tutustu polynomeihin lähemmin, vaan käyttää konetta joka välissä, hän ei voi oppia mitään.Hassu sattuma. Oletko ehkä lukenut sci-fi- kirjailija Isaac Asimovin novellia samasta aiheesta? Tarinassa ihmiskunta on unohtanut
kertolaskun ja muut matemaattiset hienoudet.
Taskutietokone hoitaa asiat. Sitten eräs mies keksii uudelleen kertolaskun salaisuuden ja tarina jatkuu...
Hessu
- laskija
NOjoo...
ongelma 1. Täytyyhän sen verran tietää, että voi lähtee mihinkään, että funktio saa arvon 1, sillon kun funktio on 1.
ongelma 2. Mä luulen, että tuota ei välttämättä tarvii jakaa. Riippuu vähän kurssista. Jos kyseessä on kurssi 2. Nin tuskin siellä on vielä opetettu kolmannen asteen tekijöiden jakoa. päättelen vaan tuosta ongelmasta numero 1, että käyt sitä kurssia.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Kansalla on oikeus tietää miksi persut pettävät
Koko kulunut hallituskausi on kysytty persuilta, minkä vuoksi he ovat pettäneet käytännössä jokaisen vaalilupauksen, ain617520Venäjän armeijan evp-upseeri: Armeija surkeassa tilassa, jonka läpäisee kaiken kattava
valehtelu. Venäläiset alkaneet pohtia julkisesti maan todellisia tappioita. Z-bloggari ja 3. luokan kapteeni (evp.) Mak1232946- 1421776
Kansalla on oikeus tietää mikä on SDP:n talousohjelma jolla maan talous
saadaan nousuun? Miksi puolue piilottelee sitä, vai eikö sitä ole? Tähän asti olemme vaan saaneet kuulla hallituksen ha651659Ammattiliitto 900 euroa/vuosi - Työttömyyskassa 72 euroa/vuosi
Ammattiliitosta eroamalla voi säästää jopa 800 euroa vuodessa. Mitä enemmän tienaat, sitä enemmän maksat liitolle. Esim1151458Miten voit olla niin tyhmä
että et tajunnut että sua vedätettiin? Tietäisitpä miten hyvät naurut on saatu. Naiselle1671404- 1311163
- 77853
Kyriake=Kirkko
Kirkko, Kyriake Kirkko-sana tulee kreikankielen sanasta Kyriake=Herran omat, Kristuksen omaksi kastettujen suuri joukko47812- 52745