Mulla olisi kaksi ongelmaa, eikä oppikirja näytä ainuttakaan esimerkkiä, josta voisi ottaa mallia, niin aattelin kysäistä täällä.
ongelma nro.1: "Määritä funktion nollakohdat. Missä kohdassa f saa arvon 1?"
Nollakohdat olen laskenut, ja ne ovat: x1=1 ja x2=-3.. mutta tästä en sitten mitenkään kykene omillani jatkamaan :D
Ongelma nro.2 "Jaa polynomit tekijöihin, teht.c"
3x^4-15x^3 6x^2-30x Olen päässyt 3x(x^3-5x^2 2x-10); pitäisikö tuosta sulkujen sisällä olevasta tavarasta ottaa nollakohdat? Jos täytyy, niin millä tyylillä ne saa? Kirja ei neuvo
ongelma nro.1: "Määritä funktion nollakohdat. Missä kohdassa f saa arvon 1?"
Nollakohdat olen laskenut, ja ne ovat: x1=1 ja x2=-3.. mutta tästä en sitten mitenkään kykene omillani jatkamaan :D
Ongelma nro.2 "Jaa polynomit tekijöihin, teht.c"
3x^4-15x^3 6x^2-30x Olen päässyt 3x(x^3-5x^2 2x-10); pitäisikö tuosta sulkujen sisällä olevasta tavarasta ottaa nollakohdat? Jos täytyy, niin millä tyylillä ne saa? Kirja ei neuvo
Vastaukset 12
Vanhimmat
Ykköskohdat haetaan vastaavasti kuin nollakohdat.
Sulkutavarasta haetaan todellakin nollakohtia ja yksi saattaa olla joku tuon vakion -10 tekijöistä 1,2,5,-1,-2 tai -5.
Sitten jaetaan jakokulmassa tuo sulkutavara lausekkeella (x miinus tuo löydetty nollakohta).
Funktion f(x) ykköskohdat saa ottamalla funktion g(x)=f(x)-1 nollakohdat! :)
Joskus reaaliarvoisten nollakohtien löytäminen ei ole mahdollista, esim. x^2 1 ei voi jakaa enää pienempiin tekijöihin.
Mutta koska kompleksijuuret (eli ei-reaaliset nollakohdat) tulevat aina pareittain, voit jakaa kaiken 1. ja 2. asteen tekijöihin.
3. asteen polynomin ratkaisemiseksi riittää, että arvaat ensin yhden nollakohdan, esim. c, jolloin (x-c) on tekijä. Sen voi silloin jakaa pois 'pitkällä jakolaskulla'. Kannattaa arvata vuorotellen pieniä lukuja.
Mm. Descartesin merkkisääntö (hae googlella) antaa tietoa siitä, kuinka monta positiivista/negatiivista reaalijuurta polynomilla enintään on, mikä saattaa helpottaa tehtävää.
... vielä se, että jos (x-c) jakaa polynomin, silloin c:n on tietenkin jaettava polynomin vakiotermi. Tämä vähentää arvausten määrää entisestään.
Peruslaskimella nollakohtien haarukointi on aikamoista näpyttelyä. Kannattaa imuroida ilmainen Octave -ohjelma netistä, jolla voi tehdä 'kaikkea kivaa'.
Perusohje haarukointiin: Pitää löytää kaksi pistettä x0,x1, x0
... mutta näissä koulutehtävissä nollakohta on melko varmasti kokonaisluku -- ja alkukantaisessakin tieteislaskimessa on yleensä toiminto, jolla voi nopeasti kokeilla eri arvoja ennalta näpyteltyyn kaavaan.
Numeeriset menetelmät Octave-ohjelmistoineen, eivät auta tyyppiä koetilanteessa. Tehtävän tarkoitushan ei ole saada ratkaisua, vaan saada harjoitusta! (Tietysti numeeristen menetelmien opettelu on ihan hyödyllistä erikseen.)
Jos tehtävän tarkoituksena on harjoitella 'jakokulman' käyttöä, ovat polynomit ja kokonaislukuratkaisut tyypillisiä. Oikeassa elämässä sen sijaan ratkaistaan harvemmin tällaisia yhtälöitä.
Olen melko varma, että lähitulevaisuudessa laskinten (tai vaikkapa kännyköiden) kehittyessä on luonnollista, että kokeisiin tulee myös approksimointitehtäviä, ts. esimerkiksi numeeristen menetelmien opettelua. Emmehän me enää 1800 luvulla eletä ;-)
Mielestäni on pelkästään ajanhukkaa näpytellä laskimella pitkiä numerosarjoja. Jos tehtävän laskuja ei pysty ratkaisemaan päässä, tulisi ratkaisijan omata kyky käskeä konetta ratkaisemaan ongelma - ei toimia itse koneena.
... mennä liian paljon numeeriseen suuntaan! Se on vähän niin kuin opeteltaisiin viipaloimaan kurkku laittamalla se viipalointilaitteeseen. :) Tavallaan siinä ei ole enää mitään mielekkyyttä. Yleensäkin numeeriset menetelmät ovat tylsiä käyttää, vaikkakin voi olla hyvin kiinnostavaa osoittaa että ne toimivat (myöhemmässä vaiheessa lukiota).
Polynomi on kaunis matemaattinen objekti, jota oppilas tutkii ymmärtääkseen sen luonteen paremmin. Tarkoituksena ei ole numeerisen vastauksen löytäminen, vaan nimenomaan polynomin tutuksi tuleminen matemaattisena objektina. Kokeessa toivon mukaan lukisi: ratkaise ei-numeerisesti.
Jos oppilaan tehtävä on opetella käyttämään laskimen tai tietokoneen toimintoja, sitä voi opetella ihan omalla ajalla. Matematiikkaa se ei ole.
Esim. Cambridgen kokeissa ei saa käyttää missään tilanteessa laskinta, enkä rehellisesti sanottuna usko asian muuttuvan koskaan (ainakaan ennen kuin keksitään ihmisen luovuuteen kykenevä robotti).
... idea ei selvästikään ole jakokulman opettelu, ja siksipä esimerkki on riittävän yksinkertainen, jotta laskukoneena toimiminen minimoitaisiin.
Kysyjä ei selvästikään ymmärtänyt polynomin jaollisuuden ja sen nollakohtien suhdetta. Olisi suoranainen vääryys, jos hän voisi hankkia ratkaisun suoraan koneella, oppimatta tuota yhteyttä. Siinä jäisi moni synapsi kytkeytymättä hänen aivoistaan.
Mieluummin vaikka niin, että oppilas kuvailee, miten hän ratkaisisi yhtälön, antamatta itse ratkaisua, kuin että hän hankkisi sen koneella.
... ovat myös siitä ongelmallisia, että niitä voi harvoin käyttää rakennuspalikoina kohti vaikeampien konseptien ymmärrystä.
Kuvittele, että olisimme ikämme laskeneet yhteenlaskut laskimella, ymmärtämättä mikä yhteenlasku edes on. Kuvittele myös, että kertolasku olisi liian hankala laskimille. Jos emme ymmärrä mikä yhteenlasku on (ilman laskinta!) meillä ei liene mitään mahdollisuutta ymmärtää kertolaskua! Se olisi valtava menetys. Siispä, vaikka olisikin käytännössä kätevintä laskea yhteenlaskut laskimella, on myös ymmärrettävä niiden teoriaa muista syistä.
Yhtä lailla, jos ihminen ei tutustu polynomeihin lähemmin, vaan käyttää konetta joka välissä, hän ei voi oppia mitään.
Olen myös itse sitä mieltä, että nykyisin esimerkiksi matematiikan ylioppilaskokeista tulisi selvitä ilman 'tieteislaskinta'; aivan yksinkertainen laskin sallittaisiin.
Toisaalta olen sitä mieltä, että kokeissa tulisi tulevaisuudessa(kin) olla numeerisia tehtäviä kuitenkin niin, ettei opiskelijan tarvitse näpytellä yhdentekeviä numerosarjoja päästäkseen 'haluttuun tarkkuuteen' tms. Tätä varten oppilaalle annettaisiin mahdollisuus käyttää Matlab/Octave/Mathematica/Mathcad yms. ohjelmistoja ensinnäkin ongelman visualisoimiseen sekä myös ratkaisun approksimointiin käyttäen 'standardimenetelmiä'.
Minusta esimerkiksi se, että pystyy osoittamaan funktiolla f olevan yksikäsitteisen maksimin joukossa A on tietysti tärkein pointti, mutta mielestäni on myös kiinnostavaa se, missä pisteessä se saavutetaan ja mikä tämä arvo on.
Hassu sattuma. Oletko ehkä lukenut sci-fi- kirjailija Isaac Asimovin novellia samasta aiheesta? Tarinassa ihmiskunta on unohtanut
kertolaskun ja muut matemaattiset hienoudet.
Taskutietokone hoitaa asiat. Sitten eräs mies keksii uudelleen kertolaskun salaisuuden ja tarina jatkuu...
Hessu
NOjoo...
ongelma 1. Täytyyhän sen verran tietää, että voi lähtee mihinkään, että funktio saa arvon 1, sillon kun funktio on 1.
ongelma 2. Mä luulen, että tuota ei välttämättä tarvii jakaa. Riippuu vähän kurssista. Jos kyseessä on kurssi 2. Nin tuskin siellä on vielä opetettu kolmannen asteen tekijöiden jakoa. päättelen vaan tuosta ongelmasta numero 1, että käyt sitä kurssia.