En ymmärrä Newtonin binomikaavaa. Asiat jakolaskuun n!/k!(n-k)! asti suunnilleen selvillä. Mutta siitä eteenpäin en ymmärrä. En ymmärrä mistä esim. tuo a^n-k*b^k tulee ja mitä se tarkoittaa?
Newtonin binomikaava
ylioppilas 02
28
4921
Vastaukset
- induktioajattelulla.
Jos kertolasku on vaihdannainen yms.:
(a b)^n = (a b)*(a b)*...*(a b) kaikkiaan n 1 kappaletta.
n=0
1
n=1
(a b)
n=2
(a b)^2 = (a b)*(a b) = a*a a*b b*a b*b = a^2 2ab b^2
n=3
(a b)^3 = (a b)^2*(a b) = (a^2 2ab b^2)*(a b) = a^3 3a^2*b 3a*b^2 b^3
jne
...
binomien kertoimet ovat (n alle k) ja asteluvut (n-k) ja(k) eli (n alle k) *a^(n-k)*b^k- siis piti olla
n kappaletta.
- ylioppilas 02
Siis joo alun ymmärsin jo,kun laitoin ekan viestin, ateeksi että laitoin epäselvästi. Siis ymmärrän joo,että on n kappaletta jne. ja (n k) = n!/k!(n-k) Ja on n! kappaletta kertomia ja k! kappaletta kertomia. Tuosta ei taas saa selvää kait,kun tosiaan en ole tottunut kaavoja kirjoittamaan koneella.
Mutta siis se mitäen ole ymmärtänyt,enkä ymmärrä oikein vieläkään on tuo a^n-k*b^k. Siis tuo binomien kertoimet ovat (n alle k) ja asteluvut (n-k) ja (k) eli (n alle k)*a^(n-k)*b^k.
Siis tarkoittaako tuo n alle k 0 pienempiä? - nkorppi
ylioppilas 02 kirjoitti:
Siis joo alun ymmärsin jo,kun laitoin ekan viestin, ateeksi että laitoin epäselvästi. Siis ymmärrän joo,että on n kappaletta jne. ja (n k) = n!/k!(n-k) Ja on n! kappaletta kertomia ja k! kappaletta kertomia. Tuosta ei taas saa selvää kait,kun tosiaan en ole tottunut kaavoja kirjoittamaan koneella.
Mutta siis se mitäen ole ymmärtänyt,enkä ymmärrä oikein vieläkään on tuo a^n-k*b^k. Siis tuo binomien kertoimet ovat (n alle k) ja asteluvut (n-k) ja (k) eli (n alle k)*a^(n-k)*b^k.
Siis tarkoittaako tuo n alle k 0 pienempiä?Mitä ihmettä tarkoitat kysymyksellä "Siis tarkoittaako tuo n alle k 0 pienempiä" ?
Luvun n kertoma on n! . Et voi sanoa, että sinulla on n! kappaletta kertomia. - nkorppi
ylioppilas 02 kirjoitti:
Siis joo alun ymmärsin jo,kun laitoin ekan viestin, ateeksi että laitoin epäselvästi. Siis ymmärrän joo,että on n kappaletta jne. ja (n k) = n!/k!(n-k) Ja on n! kappaletta kertomia ja k! kappaletta kertomia. Tuosta ei taas saa selvää kait,kun tosiaan en ole tottunut kaavoja kirjoittamaan koneella.
Mutta siis se mitäen ole ymmärtänyt,enkä ymmärrä oikein vieläkään on tuo a^n-k*b^k. Siis tuo binomien kertoimet ovat (n alle k) ja asteluvut (n-k) ja (k) eli (n alle k)*a^(n-k)*b^k.
Siis tarkoittaako tuo n alle k 0 pienempiä?... tyypin notaatioon (n alle k), se tarkoittaa tietysti täsmälleen samaa kuin (n k) tai nCk.
'Alle'-sana viittaa siihen, että n ja k kirjoitetaan yleensä allekkain.
- nkorppi
Ensinnäkin sinun on PAKKO käyttää sulkeita:
n!/k!(n-k)! EI OLE sama kuin n!/[k!(n-k)!]
a^n-k*b^k EI OLE sama kuin a^(n-k)*b^k
On helppo osoittaa, että nCk = n!/[k!(n-k)!] kertoo kuinka monella tavalla voit valita k-kokoisen osajoukon n-kokoisesta joukosta. (Jos et näe miksi, kysy...)
Katsotaan lausetta (a b)^n = (a b)...(a b)
Meillä on yhteensä n eri sulkua. Kun sulut kerrotaan auki, mitä saamme? Yksittäinen termi muodostuu niin, että valitsemme jokaisesta sulkeesta joko a:n tai b:n. Oletetaan, että a valitaan k kertaa (ja lopuista (n-k):sta sulkeesta otamme b:n). Joten termi a^k * b^(n-k) esiintyy yhteensä nCk kertaa.- ylioppilas 02
Siis tarkoitan ihan tuota perus Newtonin binomikaavaa,mikä löytyy Maolistakin. Niin se alun ymmärrän kuta kuinkin,mutta en sitä loppua sen viimeisen jakolaskun jälkeen. Minkä tuohon kirjoitin. Eihän tuossa kaavassa ole siinä sulkuja, jakolaskun jälkeen kai kertolasku a*b ja sitten potensseja. Eikä jakolaskussakaan ole kuin yhdet sulkeet. En oikein osaa noita kaavoja tällä koneella kirjoittaa. Ja en ole noita aikaisempia vastauksia vielä lukea täytyy nekin vielä lukea ja miettiä.
- Zäki
"n!/k!(n-k)! EI OLE sama kuin n!/[k!(n-k)!] "
Joskus algebrassa on tapana tulkita, että jakoviivan oikealla puolella oleva tavara kuuluu nimittäjään. Tästä on kuitenkin hyvä mainita aina erikseen. - ylioppilas 02
Zäki kirjoitti:
"n!/k!(n-k)! EI OLE sama kuin n!/[k!(n-k)!] "
Joskus algebrassa on tapana tulkita, että jakoviivan oikealla puolella oleva tavara kuuluu nimittäjään. Tästä on kuitenkin hyvä mainita aina erikseen.Okei nyt ymmärsin. Siis se oli epäselvää,kun olin kirjoittanut tähän tietokoneelle ilman sulkeita,tähän kun ei saa jakoviivaa samalla tavalla kuin paperille. En ole kovin paljon tälle palstalle kirjoittanut, enkä siis paljon tietokoneella kirjoittanut näitä matematiikan kaavoja niin en tiedä miten te näitä merkitsette. Itse asiassa mun on hieman vaikea tulkita noita viestejä,kun en ole tottunut lukemaan matematiikan kaavoja tällaisessa muodossa. Kiitos Zäki!
- nkorppi
ylioppilas 02 kirjoitti:
Siis tarkoitan ihan tuota perus Newtonin binomikaavaa,mikä löytyy Maolistakin. Niin se alun ymmärrän kuta kuinkin,mutta en sitä loppua sen viimeisen jakolaskun jälkeen. Minkä tuohon kirjoitin. Eihän tuossa kaavassa ole siinä sulkuja, jakolaskun jälkeen kai kertolasku a*b ja sitten potensseja. Eikä jakolaskussakaan ole kuin yhdet sulkeet. En oikein osaa noita kaavoja tällä koneella kirjoittaa. Ja en ole noita aikaisempia vastauksia vielä lukea täytyy nekin vielä lukea ja miettiä.
Mun mielestä aikaisemmat vastaukset eivät olleet hyviä. Suosittelen sua lukemaan tämän mun viestin hitaasti ja huolella, koska se antaa parhaan tuntuman koko kaavan 'ideaan'. ;)
Yritän selittää vielä kerran, alusta alkaen... Asia ei ole niin vaikea kuin luulet, kunhan et takerru ajatukseen, että kyseessä on 'monimutkainen kaava'. Idealtaan se on nimittäin erittäin yksinkertainen, ja jos ymmärrät idean, kaava on helppo muistaa ulkoakin! :)
Olkoon nCk luku, joka kertoo kuinka monella tavalla k esinettä voidaan valita n:stä.
Esimerkki. Jos sinulla on henkilöt {A,B,C,D} , voit valita kaksi henkilöä kuudella eri tavalla: {AB}, {AC}, {AD}, {BC}, {BD} sekä {CD}.
Siispä 4C2 = 6.
**********************
Kai tiedät miten binomeja kerrotaan keskenään? (a b)(a b) = a*a a*b b*a b*b. Eli jokainen termi vasemmalla pitää kertoa jokaisen oikealla olevan kanssa.
a*a saadaan, kun valitset a:n molemmista suluista
a*b saadaan, kun valitset a:n ensimmäisestä ja b:n tokasta ja niin edelleen...
Kaikki neljä mahdollista valintaa pitää ottaa huomioon -- siksi oikealla puolella on neljä termiä: a*a, a*b, b*a sekä b*b.
****************************
Okei katsotaan kaavasi vasenta puolta, eli
(a b)^n
Mitä tuo potenssi tarkoittaa? Se tarkoittaa tuloa (a b)*(a b)*...*(a b), missä (a b) esiintyy yhteensä n kertaa.
Jos laskemme sulut auki, termit muodostuvat niin, että valitset jokaisesta (a b):stä joko a:n tai b:n ja kerrot nämän n lukua keskenään. Kun käymme kaikki mahdolliset valinnat läpi, olemme onnistuneet kertomaan sulut auki.
Huomaa, että tällaisia termejä on yhteensä 2^n kappaletta: meillä on kaksi vaihtoehtoa ekasta (a b):stä, kaksi vaihtoehtoa tokasta (a b):stä, jne.
Miltä yksittäiset termit näyttävät? Jokaisesta (a b):stä pitää ottaa joko a tai b. Jos valitset k kertaa a:n, saat a^k * b^(n-k). Eli a on valittu k kertaa, ja lopuista binomeista on valittu b. (Luvun b potenssi on oltava n-k, sillä binomeja on yhteensä n, eli k (n-k) = n. )
Yllä näit, että termi ab muodostui kahdella eri tavalla, kun kerroit (a b)^2 auki.
Miten voimme laskea kuinka monta kertaa a^k * b^(n-k) esiintyy, kun (a b)^n kerrotaan auki?
Tuon luvun on oltava nCk, sillä kyseessä on k:n sellaisen binomin valinta, mistä poimimme a:n!
***********************
Nyt jäljellä on enää kaavan löytäminen luvulle nCk.
Huomaa, että on oltava nCk = nC(n-k) . Miksi? Siksi, että tapoja valita k 'mukaan otettavaa' esinettä on täsmälleen sama kuin tapoja valita n-k 'pois jäävää' esinettä. Kunhan löydämme kaavan, on helppo tarkistaa, että tämä pitää paikkansa.
Luku n! = 1*2*3*...*n kertoo kuinka monella tavalla voimme järjestää n esinettä. Meillä on n vaihtoehtoa ekaksi esineeksi, n-1 tokaksi, n-2 kolmanneksi jne.
Olkoon nPk luku, joka kertoo kuinka monella tavalla voimme valita k esinettä n:stä, jos järjestys huomioidaan.
Väitämme, että n! = (n-k)! * nPk.
Kukin n esineen järjestyksistä voidaan muodostaa järjestämällä ensin vapaavalintaiset k esinettä JA SITTEN järjestämällä loput n-k esinettä. Joten väite seuraa suoraan tästä.
Väitämme, että nPk = k! * nCk .
Kukin k:n esineen järjestyksistä voidaan muodostaa ottamalla jotkin k esinettä, ja järjestämällä ne. Joten väite seuraa heti.
Siispä nCk = nPk / k! = n! /[k!(n-k)!]. - nkorppi
ylioppilas 02 kirjoitti:
Okei nyt ymmärsin. Siis se oli epäselvää,kun olin kirjoittanut tähän tietokoneelle ilman sulkeita,tähän kun ei saa jakoviivaa samalla tavalla kuin paperille. En ole kovin paljon tälle palstalle kirjoittanut, enkä siis paljon tietokoneella kirjoittanut näitä matematiikan kaavoja niin en tiedä miten te näitä merkitsette. Itse asiassa mun on hieman vaikea tulkita noita viestejä,kun en ole tottunut lukemaan matematiikan kaavoja tällaisessa muodossa. Kiitos Zäki!
Ymmärrän hyvin vaikeudet kirjoittaa/lukea tietokoneella, mutta siihen kyllä tottuu. Käytätkö tieteellistä laskinta? Siinä on myös osattava käyttää sulkeita, joten se käy harjoittelusta.
On kuitenkin tärkeää, että laitat sulut sellaisten kohtien ympärille, jotka eivät muutoin erotu.
Esim. paperille kirjoitettaessa 2^(3 4) = 128 on yksiselitteinen ilman sulkeita, sillä 3 4 kirjoitetaan pienellä ylös. Mutta jos kirjoitat koneella 2^3 4, luemme sen arvoksi 2^3 4 = 8 4 = 12. Laskin antaisi myös vastaukseksi 12, sillä se ei osaa lukea ajatuksiasi!
Tavallaan paperille kirjoitettaessa meillä on näkymättömät sulkeet, jotka jätämme pois näkyvistä, kun tulkinta on yksiselitteinen. Esim. horisontaalinen jakoviiva määrittelee pituudellaan 'sulkeet' nimittäjälle. - ylioppilas 02
nkorppi kirjoitti:
Ymmärrän hyvin vaikeudet kirjoittaa/lukea tietokoneella, mutta siihen kyllä tottuu. Käytätkö tieteellistä laskinta? Siinä on myös osattava käyttää sulkeita, joten se käy harjoittelusta.
On kuitenkin tärkeää, että laitat sulut sellaisten kohtien ympärille, jotka eivät muutoin erotu.
Esim. paperille kirjoitettaessa 2^(3 4) = 128 on yksiselitteinen ilman sulkeita, sillä 3 4 kirjoitetaan pienellä ylös. Mutta jos kirjoitat koneella 2^3 4, luemme sen arvoksi 2^3 4 = 8 4 = 12. Laskin antaisi myös vastaukseksi 12, sillä se ei osaa lukea ajatuksiasi!
Tavallaan paperille kirjoitettaessa meillä on näkymättömät sulkeet, jotka jätämme pois näkyvistä, kun tulkinta on yksiselitteinen. Esim. horisontaalinen jakoviiva määrittelee pituudellaan 'sulkeet' nimittäjälle.Mikä on tieteellinen laskin? Minulla on graafinen laskin. Laskimeen laitan tietysti sulut, mutta en ikinä laita laskimeen pitkiä litannioita vaan lasken päässä ja paperilla välissä. Tuo Newtonin binomikaava kaikkineen on sen verran vaikea,että siksi en osannut siihen sulkuja laittaa. Kopsasin vaan kirjasta sellaisena kuin se siellä oli. Tosin lukion oppimäärään ei taida kuuluakaan niin perusteellinen Newtonin binomikaavan hallinta, kunhan yksinkertaisimmat tehtävät osaa sen avulla ratkaista.
- nkorppi
ylioppilas 02 kirjoitti:
Mikä on tieteellinen laskin? Minulla on graafinen laskin. Laskimeen laitan tietysti sulut, mutta en ikinä laita laskimeen pitkiä litannioita vaan lasken päässä ja paperilla välissä. Tuo Newtonin binomikaava kaikkineen on sen verran vaikea,että siksi en osannut siihen sulkuja laittaa. Kopsasin vaan kirjasta sellaisena kuin se siellä oli. Tosin lukion oppimäärään ei taida kuuluakaan niin perusteellinen Newtonin binomikaavan hallinta, kunhan yksinkertaisimmat tehtävät osaa sen avulla ratkaista.
Sori, mutta tämä ON yksinkertaisin mahdollinen tehtävä YO-kirjoituksissa: Todista binomikaava.
Kertolaskunkaan opettelussa emme tyydy yhdellä kertomiseen, vaan opettelemme kertolaskun idean. Joku helposti luovuttava ihminen saattaisi päätellä, että yhdellä kertominen riittää hänelle. Yhdellä kertomisella ei tee mitään, kuten ei myöskään binomikaavan 'osittaisella ymmärtämisellä'.
Kyse on täysin alkeellisesta kaavasta, joka vain näyttää vaikealta, jos sitä ei tajua. Ongelma on juuri siinä, että kiinnität liian paljon huomiota 'kirjasta kopsaamiseen' ja 'kaavan ihmeelliseen ulkomuotoon' ja 'Newtonin hienon kuuloiseen nimeen'. Keskityt kaikkeen epäolennaiseen. En ole koskaan elämässäni kuullut noin fiiniä nimeä tälle itsestäänselvälle identiteetille.
Binomikaavan hallinta tulee olla täysin perusteellista. Sen joko ymmärtää tai ei. Jos sitä ymmärtää lainkaan, sen ymmärtää täysin! Ei ole mitään 'binomikaavan osittaista hallintaa'. Jos et ymmärrä sitä, sinulla ei ole mitään mahdollisuutta opiskella todennäköisyyslaskentaa. YO-kirjoitusten lyhyimmät ja helpoimmat tehtävät menevät sinulta ohi, ja saat huonon arvosanan.
Binomilause on ratkaisevan tärkeä lukiomatikassa, niin opetuksellisesti kuin aiheittainkin.
YO-kokeessa on tyypillisesti seuraavanlaisia kysymyksiä:
1) Mikä on x^3*y^4-termin kerroin kun (2x-y)^12 * (x 2y)^7 kirjoitetaan sarjana? Jos et ymmärrä binomilausetta, joudut laskemaan sen käsin -- onnea vaan siihen! ;)
2) Tasapuolista kolikkoa heitetään 100 kertaa. Millä todennäköisyydellä saat kymmenellä jaollisen määrän klaavoja?
Älä ole laiska! Lue aiemmin antamani selitys riittävän hitaasti, rivi kerrallaan, niin ymmärrät sen varmasti. Jos et, kysy tarkennuksia.
Jos et viitsi opetella kaavan ideaa, on parempi ettet käytä sitä! Itse asiassa silloin on parempi, että et edes käy lukiota. Kaavoja ei pidä soveltaa, jos niitä ei ymmärrä.
Tarkoitin ihan mitä tahansa laskinta, johon voi kirjoittaa pidempiä lausekkeita. Niitä kannatta myös kirjoitella, sillä välivaiheiden tekeminen käsin muuttuu todella hitaaksi ja hankalaksi monimutkaisemmissa tehtävissä. On paljon helpompaa opetella sulkujen käyttö. - nkorppi
ylioppilas 02 kirjoitti:
Mikä on tieteellinen laskin? Minulla on graafinen laskin. Laskimeen laitan tietysti sulut, mutta en ikinä laita laskimeen pitkiä litannioita vaan lasken päässä ja paperilla välissä. Tuo Newtonin binomikaava kaikkineen on sen verran vaikea,että siksi en osannut siihen sulkuja laittaa. Kopsasin vaan kirjasta sellaisena kuin se siellä oli. Tosin lukion oppimäärään ei taida kuuluakaan niin perusteellinen Newtonin binomikaavan hallinta, kunhan yksinkertaisimmat tehtävät osaa sen avulla ratkaista.
... vielä lisätä se, että juuri ne yksinkertaisimmat tehtävät muuttuvat vaikeiksi jos et osaa binomikaavaa. Vaatii pienen satsauksen, että pääsee sen kynnyksen yli, että alkaa tajuta asiaa -- mutta kun sen tajuaa, moni muukin asia helpottuu todella paljon.
- ylioppilas 02
nkorppi kirjoitti:
... vielä lisätä se, että juuri ne yksinkertaisimmat tehtävät muuttuvat vaikeiksi jos et osaa binomikaavaa. Vaatii pienen satsauksen, että pääsee sen kynnyksen yli, että alkaa tajuta asiaa -- mutta kun sen tajuaa, moni muukin asia helpottuu todella paljon.
En ymmärrä tuota viestin loppua.
" Katsotaan lausetta (a b)^n=(a b)...(a b)Meillä on yhteensä n eri sulkua. Kun sulut kerrotaan auki,mitä saamme? Yksittäinen termi muodostuu niin,että valitsemme jokaisesta sulkeesta joko a:n tai b:n. Oletetaan,että a valitaan k kertaa (ja lopuista (n-k):sta sulkeesta otamme b:n) Joten termi a^k*^b^n-k esiintyy yhteensä nCk kertaa."
Mitä jos täytyy ottaa molemmat (a ja b) eikä vaan toista. Kuten (a b)^2. Ja mitään muutakaan en tuosta lopusta ymmärtänyt. - jukepuke
ylioppilas 02 kirjoitti:
En ymmärrä tuota viestin loppua.
" Katsotaan lausetta (a b)^n=(a b)...(a b)Meillä on yhteensä n eri sulkua. Kun sulut kerrotaan auki,mitä saamme? Yksittäinen termi muodostuu niin,että valitsemme jokaisesta sulkeesta joko a:n tai b:n. Oletetaan,että a valitaan k kertaa (ja lopuista (n-k):sta sulkeesta otamme b:n) Joten termi a^k*^b^n-k esiintyy yhteensä nCk kertaa."
Mitä jos täytyy ottaa molemmat (a ja b) eikä vaan toista. Kuten (a b)^2. Ja mitään muutakaan en tuosta lopusta ymmärtänyt.Newtonin binomikaava ei ole kovin oleellinen ainakaan Suomessa pitkässä matematiikassa. Itse en edes opetellut koko kaavaa lukioaikana ja kirjoituksista L:n nappasin. En toki tarkoita, että se ei olisi tärkeä kaava.
Sitten tuosta binomikaavan todistamisesta. Kaikki todistaminen on lukiolaisille yleensä vaikeaa, enkä kyllä näe binomikaavan todistamista perustehtävänä. Se on lukiolaiselle aika vaikea. Ehkä juuri sen vuoksi, että pääpaino matematiikan opetuksessa lukiossa on laskemisessa. Oivaltamista vaaditaan yleensä siinä, että osaa valita oikean kaavan tai suht valmiin ratkaisumallin. Lukion matematiikka ei ole sitä oikeaa matematiikkaa. Esim. yliopistossa keskitytään siihen, miten binomikaava toimii ja kaikki mitä kursseilla käytetään, myös lähes 100% todistetaan (viimeistään harjoitustehtävänä). Sen vuoksi binomikaavan todistaminen yliopiston ensimmäisillä kursseilla (päinvastoin kuin lukiossa) on helppo tehtävä. - Doctöör
nkorppi kirjoitti:
Sori, mutta tämä ON yksinkertaisin mahdollinen tehtävä YO-kirjoituksissa: Todista binomikaava.
Kertolaskunkaan opettelussa emme tyydy yhdellä kertomiseen, vaan opettelemme kertolaskun idean. Joku helposti luovuttava ihminen saattaisi päätellä, että yhdellä kertominen riittää hänelle. Yhdellä kertomisella ei tee mitään, kuten ei myöskään binomikaavan 'osittaisella ymmärtämisellä'.
Kyse on täysin alkeellisesta kaavasta, joka vain näyttää vaikealta, jos sitä ei tajua. Ongelma on juuri siinä, että kiinnität liian paljon huomiota 'kirjasta kopsaamiseen' ja 'kaavan ihmeelliseen ulkomuotoon' ja 'Newtonin hienon kuuloiseen nimeen'. Keskityt kaikkeen epäolennaiseen. En ole koskaan elämässäni kuullut noin fiiniä nimeä tälle itsestäänselvälle identiteetille.
Binomikaavan hallinta tulee olla täysin perusteellista. Sen joko ymmärtää tai ei. Jos sitä ymmärtää lainkaan, sen ymmärtää täysin! Ei ole mitään 'binomikaavan osittaista hallintaa'. Jos et ymmärrä sitä, sinulla ei ole mitään mahdollisuutta opiskella todennäköisyyslaskentaa. YO-kirjoitusten lyhyimmät ja helpoimmat tehtävät menevät sinulta ohi, ja saat huonon arvosanan.
Binomilause on ratkaisevan tärkeä lukiomatikassa, niin opetuksellisesti kuin aiheittainkin.
YO-kokeessa on tyypillisesti seuraavanlaisia kysymyksiä:
1) Mikä on x^3*y^4-termin kerroin kun (2x-y)^12 * (x 2y)^7 kirjoitetaan sarjana? Jos et ymmärrä binomilausetta, joudut laskemaan sen käsin -- onnea vaan siihen! ;)
2) Tasapuolista kolikkoa heitetään 100 kertaa. Millä todennäköisyydellä saat kymmenellä jaollisen määrän klaavoja?
Älä ole laiska! Lue aiemmin antamani selitys riittävän hitaasti, rivi kerrallaan, niin ymmärrät sen varmasti. Jos et, kysy tarkennuksia.
Jos et viitsi opetella kaavan ideaa, on parempi ettet käytä sitä! Itse asiassa silloin on parempi, että et edes käy lukiota. Kaavoja ei pidä soveltaa, jos niitä ei ymmärrä.
Tarkoitin ihan mitä tahansa laskinta, johon voi kirjoittaa pidempiä lausekkeita. Niitä kannatta myös kirjoitella, sillä välivaiheiden tekeminen käsin muuttuu todella hitaaksi ja hankalaksi monimutkaisemmissa tehtävissä. On paljon helpompaa opetella sulkujen käyttö.Binomikaava ei ole millään tavoin ratkaiseva tekijä lukiomatematiikassa. Eikä se ole myöskään millään tavoin 'suuri' kaava yliopistomatematiikassakaan.
Mistä ihmeestä tällaisia väittämiä keksit? Olisiko sinulla jotain referenssiä väitteellesi; kirjallisuutta, webbiosoitteita tms?
Täysin käsittämättömänä pidän väitettäsi (binomikaavasta): "Jos et ymmärrä sitä, sinulla ei ole mitään mahdollisuutta opiskella todennäköisyyslaskentaa." Todennäköisyyslaskennan 'ydin' on binomikaava? - nkorppi
jukepuke kirjoitti:
Newtonin binomikaava ei ole kovin oleellinen ainakaan Suomessa pitkässä matematiikassa. Itse en edes opetellut koko kaavaa lukioaikana ja kirjoituksista L:n nappasin. En toki tarkoita, että se ei olisi tärkeä kaava.
Sitten tuosta binomikaavan todistamisesta. Kaikki todistaminen on lukiolaisille yleensä vaikeaa, enkä kyllä näe binomikaavan todistamista perustehtävänä. Se on lukiolaiselle aika vaikea. Ehkä juuri sen vuoksi, että pääpaino matematiikan opetuksessa lukiossa on laskemisessa. Oivaltamista vaaditaan yleensä siinä, että osaa valita oikean kaavan tai suht valmiin ratkaisumallin. Lukion matematiikka ei ole sitä oikeaa matematiikkaa. Esim. yliopistossa keskitytään siihen, miten binomikaava toimii ja kaikki mitä kursseilla käytetään, myös lähes 100% todistetaan (viimeistään harjoitustehtävänä). Sen vuoksi binomikaavan todistaminen yliopiston ensimmäisillä kursseilla (päinvastoin kuin lukiossa) on helppo tehtävä.Suomalainen lukio on aika paljon jäljessä IB-lukiosta. Joka tapauksessa muistan kyllä miettineeni mistä binomikaava tulee, viimeistään niissä binomijakautuneissa todennäköisyystehtävissä. En oikein käsitä, miten ne voisi tehdä ilman sen tasoista ymmärrystä...
- nkorppi
ylioppilas 02 kirjoitti:
En ymmärrä tuota viestin loppua.
" Katsotaan lausetta (a b)^n=(a b)...(a b)Meillä on yhteensä n eri sulkua. Kun sulut kerrotaan auki,mitä saamme? Yksittäinen termi muodostuu niin,että valitsemme jokaisesta sulkeesta joko a:n tai b:n. Oletetaan,että a valitaan k kertaa (ja lopuista (n-k):sta sulkeesta otamme b:n) Joten termi a^k*^b^n-k esiintyy yhteensä nCk kertaa."
Mitä jos täytyy ottaa molemmat (a ja b) eikä vaan toista. Kuten (a b)^2. Ja mitään muutakaan en tuosta lopusta ymmärtänyt.'En ymmärrä mitään' on yleensä merkki siitä, ettei edes yritä ymmärtää. En voi selittää kaikkea uudestaan, vain siksi että et osaa tarkentaa mitä et ymmärrä... Ajattelu vaatii hieman sinun omien aivojesi käyttöä. Uskotko? Kukaan ei viime kädessä voi mennä pääsi sisälle.
Ja miten olet saanut viestini lainaukseen jotain tämännäköistä: a^k*^b^n-k ?? En ole kirjoittanut mitään sellaista! Kirjoitin a^k * b^(n-k).
Kysyin pitkässä selitysviestissäni, että osaatko kertoa sulut auki? No osaatko?
Esim. (2 3 4)(2 1) = 2*2 2*1 3*2 3*1 4*2 4*1
Valitsemme kutakin oikealla puolella näkyvää termiä kohden TASAN YHDEN jokaisesta sulkeesta. Siksi oikeanpuoleisia termejä on tuossa 6, sillä meillä on 3 vaihtoehtoa vasemmasta sulkeesta, ja 2 oikeasta sulkeesta.
Sinun ei koskaan 'täydy' ottaa a ja b samoista sulkeista, sillä kertolasku ei toimi niin. (a b)^2 lauseessa ei oteta molempia a ja b samoista sulkeista, vaan ERI SULKEISTA. Voit ottaa a:n ekasta ja b:n tokasta TAI b:n ekasta ja a:n tokasta.
Yritetään vielä kerran. :) Luultavasti ymmärrät asian, mutta vain leikit tyhmää trollimielessä. Silläkin uhalla teen tämän niin selväksi, ettet voi erehtyä.
(a b)^n on sama kuin
(a b) * (a b) * ... * (a b)
NUMEROI nämä eri sulkeet, vaikka tarralapuilla. Ensimmäinen (a b) saa tarran 1, toka tarran 2 jne.
Spesifioidaan, että mistä sulkeista otamme a:n (lopuista otetaan b). Otetaan a vaikkapa sulkeista joissa on tarra 1,4,6. Tällöin saamme yhden termin, joka on a^3 * b^(n-3). Mutta {1,4,6} on vain yksi nC3:sta eri tavasta valita 3 a:ta... Yhtä lailla kaikki tavat valita 0,1,2,3,4, ..., n a:ta antavat meille eri termejä. - jukepuke
nkorppi kirjoitti:
Suomalainen lukio on aika paljon jäljessä IB-lukiosta. Joka tapauksessa muistan kyllä miettineeni mistä binomikaava tulee, viimeistään niissä binomijakautuneissa todennäköisyystehtävissä. En oikein käsitä, miten ne voisi tehdä ilman sen tasoista ymmärrystä...
No siihen en ota kantaa, kumpi systeemi on jäljessä, mutta tuskinpa sitä mitataan sillä, että opetetaanko binomikaavaa vai ei. :)
Binomitodennäköisyyden pystyy oppimaan ja ymmärtämään kyllä tietämättä mitään Newtonin binomikaavasta. Parempi oppia ymmärtämällä, kuin opetella jokin kaava, jolla asia sitten perustellaan. - nkorppi
jukepuke kirjoitti:
No siihen en ota kantaa, kumpi systeemi on jäljessä, mutta tuskinpa sitä mitataan sillä, että opetetaanko binomikaavaa vai ei. :)
Binomitodennäköisyyden pystyy oppimaan ja ymmärtämään kyllä tietämättä mitään Newtonin binomikaavasta. Parempi oppia ymmärtämällä, kuin opetella jokin kaava, jolla asia sitten perustellaan.... binomitodennäköisyyden, jos ei ymmärrä binomeja?? Onhan koko ajatus absurdi. Ketään ei kiinnosta miksi sitä kutsutaan binomitodennäköisyydeksi? Olisiko siksi, että koko binomitodennäköisyys on SAMA ASIA kuin binomikaava.
Kuten sanottua, ymmärrys on tärkeää, eivät kaavat sinänsä. Mutta ei se saa mennä siihen, että kaavaa ei tarvitse ymmärtää vain siksi, että se on 'kaava'. Haloo!
Tämä on nyt sillä leikkikoulutasolla, että ei tarvitse ymmärtää, että 1 2=3, koska se on 'kaava'. :D
Lukiojärjestelmä on totisesti epäonnistunut jos sait L:n tietämättä miten binomit liittyvät binomitodennäköisyyteen. Jos sitä ei ymmärrä, en tiedä missä se peräänkuuluttamasi ymmärrys sitten piilee? Tämä on vähän kuin kävisi äidinkielen läpi tietämättä miten aakkoset liittyvät sanoihin.
Miten tulkitset esim. jos luku 1 kirjoitetaan muodossa (2/3 1/3)^100 ? Ainakin minulle tulee välittömästi todennäköisyysesimerkki mieleen! Ja olisi muuten tullut jo lukion ekalla.
Binomitodennäköisyyttä ei voi ymmärtää lainkaan, jos ei ymmärrä binomeja. Asia on päivänselvä. On tietysti eri asia, jos opettelee jonkun muistisäännön ulkoa ja luulee ymmärtävänsä asiat. Suomalainen lukio on pitkälti sellaista. - nkorppi
jukepuke kirjoitti:
No siihen en ota kantaa, kumpi systeemi on jäljessä, mutta tuskinpa sitä mitataan sillä, että opetetaanko binomikaavaa vai ei. :)
Binomitodennäköisyyden pystyy oppimaan ja ymmärtämään kyllä tietämättä mitään Newtonin binomikaavasta. Parempi oppia ymmärtämällä, kuin opetella jokin kaava, jolla asia sitten perustellaan.Binomikaavan ymmärtäminen on vähintään yhtä tärkeää lukiomatikalle kuin Newtonin liikelait ovat lukiofysiikassa.
Olen järkyttynyt, että joku voi edes väittää muuta -- varsinkaan joku L:n saanut. Tosin katsoin pitkän matikan YO-kokeita pari vuotta sitten, ja ne näyttivät helpommilta kuin lyhyen kokeet. Ulkoaopettelu ja idiotisointi kukoistavat. - nkorppi
Doctöör kirjoitti:
Binomikaava ei ole millään tavoin ratkaiseva tekijä lukiomatematiikassa. Eikä se ole myöskään millään tavoin 'suuri' kaava yliopistomatematiikassakaan.
Mistä ihmeestä tällaisia väittämiä keksit? Olisiko sinulla jotain referenssiä väitteellesi; kirjallisuutta, webbiosoitteita tms?
Täysin käsittämättömänä pidän väitettäsi (binomikaavasta): "Jos et ymmärrä sitä, sinulla ei ole mitään mahdollisuutta opiskella todennäköisyyslaskentaa." Todennäköisyyslaskennan 'ydin' on binomikaava?Lukiomatikan todennäköisyysoppi vaikeutuu huomattavasti, jos ei ole käsitystä binomiluvuista: niiden muodostamisesta, niiden käytöstä, niiden liittymisestä binomeihin. On ydinkysymys, että nämä asiat ovat tuttuja ja luonnollisia. Sanoisin, että on tärkein yksittäinen opittava asia lukiomatikassa, että ymmärtää Pascalin kolmion logiikan.
Ainakin IB-lukiossa binomeille ja kombinaatioille uhrattiin useampi oppitunti, ja hyvä niin. En olisi missä nyt olen, jos olisin ollut suomalaisessa junttijärjestelmässä.
Kuten aina, olet jotenkin pinttynyt siihen, onko itsestäänselvyyksille kirjallisuutta. Ei minun tarvitse lukea kirjaa tietääkseni jotain, minkä tiedän kokemuksesta.
Riippumatta siitä onko se keskeistä opetussuunnitelmassa, binomit ovat keskeisiä lukiomatikalle. Jos niiden opetus uupuu, joku on yksinkertaisesti tyrinyt opetusta suunniteltaessa. - nkorppi
Doctöör kirjoitti:
Binomikaava ei ole millään tavoin ratkaiseva tekijä lukiomatematiikassa. Eikä se ole myöskään millään tavoin 'suuri' kaava yliopistomatematiikassakaan.
Mistä ihmeestä tällaisia väittämiä keksit? Olisiko sinulla jotain referenssiä väitteellesi; kirjallisuutta, webbiosoitteita tms?
Täysin käsittämättömänä pidän väitettäsi (binomikaavasta): "Jos et ymmärrä sitä, sinulla ei ole mitään mahdollisuutta opiskella todennäköisyyslaskentaa." Todennäköisyyslaskennan 'ydin' on binomikaava?... että binomikaava ei ole 'suuri' kaava on se, että kaava on täysin triviaali. Samasta syystä se on tärkeä lukiossa. Jos lukiolainen ei ymmärrä trivialiteettejakaan, niin mitä sitten?!
- jukepuke
nkorppi kirjoitti:
... binomitodennäköisyyden, jos ei ymmärrä binomeja?? Onhan koko ajatus absurdi. Ketään ei kiinnosta miksi sitä kutsutaan binomitodennäköisyydeksi? Olisiko siksi, että koko binomitodennäköisyys on SAMA ASIA kuin binomikaava.
Kuten sanottua, ymmärrys on tärkeää, eivät kaavat sinänsä. Mutta ei se saa mennä siihen, että kaavaa ei tarvitse ymmärtää vain siksi, että se on 'kaava'. Haloo!
Tämä on nyt sillä leikkikoulutasolla, että ei tarvitse ymmärtää, että 1 2=3, koska se on 'kaava'. :D
Lukiojärjestelmä on totisesti epäonnistunut jos sait L:n tietämättä miten binomit liittyvät binomitodennäköisyyteen. Jos sitä ei ymmärrä, en tiedä missä se peräänkuuluttamasi ymmärrys sitten piilee? Tämä on vähän kuin kävisi äidinkielen läpi tietämättä miten aakkoset liittyvät sanoihin.
Miten tulkitset esim. jos luku 1 kirjoitetaan muodossa (2/3 1/3)^100 ? Ainakin minulle tulee välittömästi todennäköisyysesimerkki mieleen! Ja olisi muuten tullut jo lukion ekalla.
Binomitodennäköisyyttä ei voi ymmärtää lainkaan, jos ei ymmärrä binomeja. Asia on päivänselvä. On tietysti eri asia, jos opettelee jonkun muistisäännön ulkoa ja luulee ymmärtävänsä asiat. Suomalainen lukio on pitkälti sellaista.Newtonin binomikaavan (a b)^n = ∑... oikea puolihan binomitodennäköisyydessä esiintyy. Ei vasenta puolta tarvitse välttämättä mihinkään => kaava on "turha".
Yksinkertainen noppaesimerkki:
Noppaa heitetään viidesti. Millä
todennäköisyydellä tulee kaksi kutosta?
Hahmotelma:
P(kutonen)=1/6
P(ei kutonen)=5/6
Täsmälleen kaksi kutosta voi esiintyä viiden heiton jonoissa 5 yli 2 eri tavalla, joten suotuisia tapauksia on 5 yli 2 erilaista, joiden jokaisen tn. on (1/6)^2 * (5^6)^3. Siispä kokonaistodennäköisyydeksi tulee
P= 5yli2 * (1/6)^2 * (5^6)^3,
joka on binomitodennäköisyyden kaavan mukainen.
Tällaisen esimerkin kautta lukiolaiselle pystyy perustelemaan binomitodennäköisyyden kaavan. Periaatteessahan tuloksen voi helposti johtaa jokaisessa tehtävä uudelleen, mutta kun kaava kerta on olemassa, niin putkitetaan aivot. :D - jukepuke
nkorppi kirjoitti:
Lukiomatikan todennäköisyysoppi vaikeutuu huomattavasti, jos ei ole käsitystä binomiluvuista: niiden muodostamisesta, niiden käytöstä, niiden liittymisestä binomeihin. On ydinkysymys, että nämä asiat ovat tuttuja ja luonnollisia. Sanoisin, että on tärkein yksittäinen opittava asia lukiomatikassa, että ymmärtää Pascalin kolmion logiikan.
Ainakin IB-lukiossa binomeille ja kombinaatioille uhrattiin useampi oppitunti, ja hyvä niin. En olisi missä nyt olen, jos olisin ollut suomalaisessa junttijärjestelmässä.
Kuten aina, olet jotenkin pinttynyt siihen, onko itsestäänselvyyksille kirjallisuutta. Ei minun tarvitse lukea kirjaa tietääkseni jotain, minkä tiedän kokemuksesta.
Riippumatta siitä onko se keskeistä opetussuunnitelmassa, binomit ovat keskeisiä lukiomatikalle. Jos niiden opetus uupuu, joku on yksinkertaisesti tyrinyt opetusta suunniteltaessa."Sanoisin, että on tärkein yksittäinen opittava asia lukiomatikassa, että ymmärtää Pascalin kolmion logiikan."
Tämä on tietysti mielipide ja painotuskysymys. Suomessa painotetaan diskreetin matematiikan sijasta enemmän analyysiä. Differentiaali- ja integraalilaskennalla on suurin paino tässä järjestelmässä. Todennäköisyyslaskenta on myös tärkeää, mutta sen osuus on pien(emp)i. - jukepuke
nkorppi kirjoitti:
Binomikaavan ymmärtäminen on vähintään yhtä tärkeää lukiomatikalle kuin Newtonin liikelait ovat lukiofysiikassa.
Olen järkyttynyt, että joku voi edes väittää muuta -- varsinkaan joku L:n saanut. Tosin katsoin pitkän matikan YO-kokeita pari vuotta sitten, ja ne näyttivät helpommilta kuin lyhyen kokeet. Ulkoaopettelu ja idiotisointi kukoistavat."Binomikaavan ymmärtäminen on vähintään yhtä tärkeää lukiomatikalle kuin Newtonin liikelait ovat lukiofysiikassa."
Binomikaavaa ei tarvitse missään lukiomatematiikassa, joten miten se voi olla niin hirveän tärkeä? Vastaus: Ei mitenkään! - ylioppilas 02
nkorppi kirjoitti:
'En ymmärrä mitään' on yleensä merkki siitä, ettei edes yritä ymmärtää. En voi selittää kaikkea uudestaan, vain siksi että et osaa tarkentaa mitä et ymmärrä... Ajattelu vaatii hieman sinun omien aivojesi käyttöä. Uskotko? Kukaan ei viime kädessä voi mennä pääsi sisälle.
Ja miten olet saanut viestini lainaukseen jotain tämännäköistä: a^k*^b^n-k ?? En ole kirjoittanut mitään sellaista! Kirjoitin a^k * b^(n-k).
Kysyin pitkässä selitysviestissäni, että osaatko kertoa sulut auki? No osaatko?
Esim. (2 3 4)(2 1) = 2*2 2*1 3*2 3*1 4*2 4*1
Valitsemme kutakin oikealla puolella näkyvää termiä kohden TASAN YHDEN jokaisesta sulkeesta. Siksi oikeanpuoleisia termejä on tuossa 6, sillä meillä on 3 vaihtoehtoa vasemmasta sulkeesta, ja 2 oikeasta sulkeesta.
Sinun ei koskaan 'täydy' ottaa a ja b samoista sulkeista, sillä kertolasku ei toimi niin. (a b)^2 lauseessa ei oteta molempia a ja b samoista sulkeista, vaan ERI SULKEISTA. Voit ottaa a:n ekasta ja b:n tokasta TAI b:n ekasta ja a:n tokasta.
Yritetään vielä kerran. :) Luultavasti ymmärrät asian, mutta vain leikit tyhmää trollimielessä. Silläkin uhalla teen tämän niin selväksi, ettet voi erehtyä.
(a b)^n on sama kuin
(a b) * (a b) * ... * (a b)
NUMEROI nämä eri sulkeet, vaikka tarralapuilla. Ensimmäinen (a b) saa tarran 1, toka tarran 2 jne.
Spesifioidaan, että mistä sulkeista otamme a:n (lopuista otetaan b). Otetaan a vaikkapa sulkeista joissa on tarra 1,4,6. Tällöin saamme yhden termin, joka on a^3 * b^(n-3). Mutta {1,4,6} on vain yksi nC3:sta eri tavasta valita 3 a:ta... Yhtä lailla kaikki tavat valita 0,1,2,3,4, ..., n a:ta antavat meille eri termejä.En ole trolli yritän parhaillaan miettiä kaavaa noilla tarralapuilla.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ajattelen sinua nyt
Ajattelen sinua hyvin todennäköisesti myös huomenna. Sitten voi mennä viikko, että ajattelen sinua vain iltaisin ja aamu645592Vaistoan ettei sulla kaikki hyvin
Odotatko että se loppuu kokonaan ja avaat vasta linjan. Niin monen asian pitäisi muuttua että menisi loppu elämä kivasti204207Yritys Kannus
Mää vaan ihmettelen, julkijuopottelua. Eikö tosiaan oo parempaa hommaa, koittas saada oikeasti jotain aikaiseksi. Hävett172906- 1522170
- 171906
Työkyvyttömienkin on jatkossa haettava työtä
Riikalla ja Petterillä on hyviä uutisia Suomen työttömille: ”Toimeentulotuen uudistus velvoittaa työttömäksi ilmoittaut1241728- 951377
- 681154
Harmi, se on
Mutta mä tulkitsen asian sitten niin. Olen yrittänyt, oman osani tehnyt, ja saa olla mun puolesta nyt loppuun käsitelty171126Maailma pysähtyy aina kun sut nään
Voi mies kuinka söpö sä oot❤️ Olisin halunnut jutella syvällisempää kuin vaan niitä näitä. Se pieni heti sut tavatessa o77978