elikkäs osaan laskee kahden pisteen etäisyyden tasossa. ja nyt ois semmonen tehtävä että on jana AB
A(-1,1) ja B=(3,5)
ja piste C jakaa tuon janan suhteessa 2:3. eli kysymys kuuluukin että voiko tuon laskea sillä janan keskipiste tasossa kaavalla kun sitä vähän muuttaisi.
eli tavallinenhan kaava olisi (x1-x2)/2, (y1-y2)/2
mutta jos laskisin tavallisesti x ja y koordinaattien etäisyyden ja sitte en jakaisikaan sitä kahdella vaan kertoisin sen 2/5.
koska janan pituushan jakautuu 5 osaan.
oisko tuosa ideasa mitään järkee??
A(-1,1) ja B=(3,5)
ja piste C jakaa tuon janan suhteessa 2:3. eli kysymys kuuluukin että voiko tuon laskea sillä janan keskipiste tasossa kaavalla kun sitä vähän muuttaisi.
eli tavallinenhan kaava olisi (x1-x2)/2, (y1-y2)/2
mutta jos laskisin tavallisesti x ja y koordinaattien etäisyyden ja sitte en jakaisikaan sitä kahdella vaan kertoisin sen 2/5.
koska janan pituushan jakautuu 5 osaan.
oisko tuosa ideasa mitään järkee??
Vastaukset 17
Vanhimmat
on siis laskea pisteen C koordinaatit!
Kokeilepa C = (3A 2B)/5. Teorian tähän saat keksiä aivan itse, mutta vihjeeksi mainittakoon, että kyse on lineaarisesta interpolaatiosta.
jostaki lineaarisesta intepolaatiost
a :D ku en oo ikinä siitä kuullukaan.
Tavallisesti se ei todellakaan ole (x1-x2)/2, (y1-y2)/2 !
Älä yritä ajatella 'kaavoja', jos et tajua yhtään miksi kaava olisi tosi.
virhe,
tarkoitin siis (x1 x2)/2 ja (y1 y2)/2
Itse laskisin ensin vektorin AB ja sitten AC:n täytyy olla sopivalla kertoimella kerrottu AB, eli AC=t*AC, missä t on se kerroin.(antamillasi tiedoilla helppo päätellä.
Nyt pisteen C koordinaatit saa, kun A:n paikkavektoriin lisätään vektori AC.
oon vasta lukion pitkän matikan 4. kurssilla (analyyttinen geometria) ja vektorilaskentaa ei oo vielä ollu
mäpä sanon uudestaan tuon tehtävän niinku se oli kirjasa.
AB Janan päätepisteet ovat A(-1,1) ja B(3,5). Piste C jakaa AB:n suhteessa 2:3. Laske C:n koordinaatit.
ja täällä kirjasa on seuraavanlainen kaava:
Jana keskipiste tasossa.
pisteitä(x1 ja y1) ja (x2 ja y2 yhdistävän janan keskipiste on:
X.koordinaatti: (x1 x2)/2
Y.koordinaatti: (y1 y2)/2
ku tuosahan on jaettu kahdella jotta saadaan keskipiste. nii ajattelin vaan et jos ois kertonu 2/3 nii oisko sillon saanu sen pisteen, joka jakaa janan suhteessa 2:3.
ja jos tuosa ei oo teijän mielestä mitään järkee nii sitte se on ihan ok ku tuo oliki vaan mun oma ajatus
mut voitteko sitte neuvoo miten tää lasketaan.
mun omalla 2/5 kertomistyylillä nii vastaukseks saisin
(4/5, 12/5)
ja ku oon piirtäny tuon homman paperille nii nuo mun mielestä pitää aika hyvin paikkansa.
Tuo pisteiden välinen keskipiste on tosiaan helpointa laskea ottamalla koordinaattien keskiarvo, mutta mitä mielestäsi kuvaa koordinaattien summa kerrottuna 2/5?
Itse lähtisin ajattelemaan asiaa siten, että pisteestä A pisteeseen B kulkiessa koordinaatit muuttuvat koordinaattien erotuksen verran. (piirrä paperille) Eli kun tiedät koordinaattien erotukset, niin kertomalla ne 2/5:llä ja lisäämällä ne ensimmäisen pisteen koordinaattiin, pääset haluamaasi pisteeseen C, joka on siis pisteiden välisellä janalla ja jakaa janan suhteessa 2:3.
Toivottavasti ei ollut liian epäselvä selitys.
... raivota, mutta summittain arvaaminen ei ole oikein älykäs tapa tehdä matikkaa. Et olisi edes tällä palstalla, jos oikeasti uskoisit olevasi oikeassa. Arvailu on aika hölmöä, ellei se perustu ymmärrykseen.
Ajattelusi on sillä tasolla, että "3,5,7 ovat alkulukuja, joten kaikki parittomat luvut ovat alkulukuja".
Mieti vektoreita visuaalisesti. Kun katsot sitä puolivälin kaavaa, idea piilee sanassa 'keskiarvo': otamme kummankin koordinaatin 'keskiarvot'.
Ymmärrätkö keskiarvon logiikan? Jos otamme 10 vektorin keskiarvon, silloin osoittajassa on summattu 10 vektoria ja nimittäjä on 10.
Logiikka ei tietenkään ole, että 'kerrotaan koordinaattien summa luvulla 1/2 koska halutaan puoliväli' !!!
Tämän ajatuksen typeryys on älyttömän helppo nähdä: Kuvittele, että jakosuhde on 1: 999999. Tällöin ottaisit koordinaattisumman miljoonasosan? Selvästikin saisit täten pisteen erittäin lähellä origoa, etkä suinkaan haluamallasi janalla. Tämän verran päättelykykyä pitäisi olla lukiolaisella!
Vektorin kertominen luvulla? Mitä se on visuaalisesti? Piste X voidaan nähdä vektorina, jonka toinen pää on origossa, ja toinen pisteessä X. Sen kertominen luvulla supistaa/laajentaa vektoria siinä suunnasssa minne se osoittaa. Jos supistat AB:n puoliväliä X, saat pisteen AB:n ulkopuolella, ellei AB satu olemaan saman suuntainen kuin X !!
On kaksi tapaa ajatella tehtävää:
1) Aloitetaan pisteestä A ja siirrytään 2/5 janan AB matkasta kohti B:tä.
Vektorina AB = B - A = (4,4)
Siispä A 2/5 * AB = (3/5 , 13/5)
Tiedäthän mitä vektorisumma merkitsee visuaalisesti? Laitat vektorit peräkkäin ja vedät uuden vektorin alkupisteestä päätepisteeseen.
2) Alkuperäinen kaava koskee keskiarvoa. Jos haluat 'kaavan' tälle tehtävälle, se on oltava 'painotettu keskiarvo'.
Tässä tapauksessa saamme edellisestä ratkaisusta:
A 2/5 * AB = A 2/5 * (B-A) = (3A 2B)/5.
Mikä on intuitio tässä? Haluamme pisteen, joka on lähempänä A:ta kuin B:tä -- siksi painotamme A:ta kertoimella 3/5 ja B:tä kertoimella 2/5.
Kyseessä on keskiarvo, sillä 3/5 2/5 = 1.
**********
Oli täysin sattumanvaraista, että arvauksesi oli lähellä oikeaa näillä arvoilla. Silmämääräisesti voidaan ainoastaan kumota arvauksia, ei vahvistaa.
... ajattelusi kumpusi siitä, että et miettinyt MITÄ vektoria olit kertomassa luvulla 2/5.
Huomaa, että jos kerrot puolivälin (piste X) luvulla 2/5, et suinkaan ole kertomassa AB:tä luvulla 2/5, niin kuin pitäisi.
Sen sijaan olet kertomassa vektoria X = OX luvulla 2/5, missä O on origo.
Vastaus ei voi myöskään olla 2/5 * AB, sillä tämä vektori ei sisältäisi mitään tietoa A ja B sijainnista.
Sen sijaan
A 2/5 * AB = B - 3/5 * AB
on selvästikin oikein. Tämä luetaan:
'siirrytään A:sta 2/5 janasta kohti B:tä' tai 'siirrytään B:stä 3/5 kohti A:ta'
mutta ei kannata mulle puhua mistään vektoreista koska en oo ikinä laskenu mitään vektoreihin liittyvää. Koska mulla ei ole vielä ollut lukiossa vektorit kurssia!!
mulla on nyt 4. kurssi joka on analyyttinen geometria ja vasta sen jälkeen tulee 5. kurssi joka on vektorit
... sillä tehtävä on oikeastaan mahdoton ilman vektoreita.
Valitit jollekin 'lineaarisesta interpolaatiosta', koska sana kuulosti liian 'hienolta'.
Samoin pelkäät sanaa 'vektori', vaikka se on helpoimpia asioita maailmassa. Ei kannata jähmettyä sanan 'hienonkuuloisuuteen'.
Voin opettaa sinulla vektorien perusteet saman tien:
Vektori on yksinkertaisesti suunnattu jana, eli asia, jolla on sekä suunta että pituus. Yleensä se piirretään nuolena tasoon.
Mikä tahansa nuoli voidaan määritellä ottamalla joku piste X tasossa. Idea on, että tämä piste vastaa nuolta, joka saadaan menemällä origosta O pisteeseen X. (Joskus kirjoitamme X = OX, korostaaksemme tätä.)
Vektoreita voidaan laskea yhteen laskemalla koordinaatit yhteen.
Visuaalisesti yhteenlasku on sama kuin laittaisit vektorit peräkkäin ja vetäisit uuden vektorin (eli summan) alkupisteestä loppupisteeseen.
-X on yksinkertaisesti sama kuin X, paitsi vastakkaiseen suuntaan. Tämä määrittelee vähennyslaskun.
Pisteiden A ja B välinen jana on suunnaltaan ja pituudeltaan B-A. Saadaan nuoli joka osoittaa A:sta B:hen. Huomaa, että se ei sisällä tietoa A:n tai B:n sijainnista.
Vektorin voi kertoa luvulla. Se supistaa tai laajentaa vektoria. Esim. -2X on kaksi kertaa niin pitkä kuin X ja vastakkaiseen suuntaan.
Nyt tiedät kaiken mitä tehtävään vaaditaan.
... mutta vektori on SAMA asia kuin piste tasossa. Ainoastaan näkökulma on hieman eri.
Kun puhun vektoreista, en puhu mistään hienosta, vaan pisteistä tasossa. Jos lasket tämän tehtävän, olet laskenut jotain vektoreihin liittyvää.
Ruma analyyttinen ratkaisu:
1) A ja B määrittelevät suoran tasossa. Kirjoita suoran yhtälö.
2) Hakemasi pisteen etäisyys A:sta antaa toisen yhtälön.
3) Yhtälöparilla on kaksi ratkaisua, joista valitsen sen, joka on lähempänä B:tä.
pitäis laskee eka sen janan AB pituus?
aikasemmin sain tämmösen yhtälöparin, oisko tää hyvä:
AB=nj(32)
ja yhtälöpari:
AC=nj(32) *2/5
CB=nj(32) *3/5
... mutta tarvitset myös suoran yhtälön.
Etsit pistettä (x,y), joka toteuttaa seuraavat kaksi yhtälöä:
1) y = ax b (Suoran yhtälö, missä a ja b on valittu niin, että suora menee pisteiden A:n ja B:n läpi).
2) (x 1)^2 (y-1)^2 = 32 * (2/5)^2 (Ympyrän yhtälö, jonka keskipisteenä on A ja säteen pituutena 2/5 janan AB pituudesta.)
Ympyrä tietysti kohtaa suoran kahdessa pisteessä, joista toinen on janalla AB.