Homeomorfismi

"Kaikille topologisille avaruuksille voidaan määritellä aina ainakin yksi homeomorfismi: identiteettikuvaus avaruudelta itselleen."

Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole.

Oletetaan, että on olemassa homeo f:[0,1] --> ]0,1[. Se on jva, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa maksimi- ja minimiarvonsa, jotka olkoon M ja m. Nämä kuuluvät joukkoon ]0,1[ ja f([0,1]) on joukon [m,M] osajoukko. Siten f ei ole surjektio.

mat.opiskelija kirjoitti:

"Kaikille topologisille avaruuksille voidaan määritellä aina ainakin yksi homeomorfismi: identiteettikuvaus avaruudelta itselleen."

Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole.

Oletetaan, että on olemassa homeo f:[0,1] --> ]0,1[. Se on jva, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa maksimi- ja minimiarvonsa, jotka olkoon M ja m. Nämä kuuluvät joukkoon ]0,1[ ja f([0,1]) on joukon [m,M] osajoukko. Siten f ei ole surjektio.

Käsitteet ja määritelmät voivat olla vähän hämärän peitossa, kun noita nopeasti lukaisin, mutta kiitoksia esimerkistä.

mat.opiskelija kirjoitti:

"Kaikille topologisille avaruuksille voidaan määritellä aina ainakin yksi homeomorfismi: identiteettikuvaus avaruudelta itselleen."

Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole.

Oletetaan, että on olemassa homeo f:[0,1] --> ]0,1[. Se on jva, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa maksimi- ja minimiarvonsa, jotka olkoon M ja m. Nämä kuuluvät joukkoon ]0,1[ ja f([0,1]) on joukon [m,M] osajoukko. Siten f ei ole surjektio.

"Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole."

Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus. Jos me puhutaan kahdesta eri avaruudesta, niin ei ole mitään syytä olettaa, että ne olisivat homeomorfisia. Mutta avaruus itsessään on aina homeomorfinen itsensä kanssa.

oudompaa kirjoitti:

"Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole."

Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus. Jos me puhutaan kahdesta eri avaruudesta, niin ei ole mitään syytä olettaa, että ne olisivat homeomorfisia. Mutta avaruus itsessään on aina homeomorfinen itsensä kanssa.

"Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus."
Niin. Jokaisessa avaruudessa X on olemassa identtinen kuvaus f:X->X, f(x)=x kaikilla x in x. Jos sen sijaan puhutaan kuvauksesta X:ltä Y:lle, niin identtistä kuvausta ei ole, tai ainakin minä olen omaksunut identtiselle kuvaukselle määritelmän, missä kuvaus on joukolta itselleen (Väisälä: Topologia 1, 1999 painos).

mat.opiskelija kirjoitti:

"Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus."
Niin. Jokaisessa avaruudessa X on olemassa identtinen kuvaus f:X->X, f(x)=x kaikilla x in x. Jos sen sijaan puhutaan kuvauksesta X:ltä Y:lle, niin identtistä kuvausta ei ole, tai ainakin minä olen omaksunut identtiselle kuvaukselle määritelmän, missä kuvaus on joukolta itselleen (Väisälä: Topologia 1, 1999 painos).

Katsokaa Victor Vasarelyn taideteosta.
Siinä esiintyy homeomorfismi.