Homeomorfismi

GNP

Millainen on avaruus, jossa ei voi määritellä homeomorfismia?

6

403

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • kysymys?

      Kahden topologisen avaruuden välinen bijektio on homeomorfismi, mikäli funktio ja sen käänteisfunktio ovat jatkuvia. Kaikille topologisille avaruuksille voidaan määritellä aina ainakin yksi homeomorfismi: identiteettikuvaus avaruudelta itselleen. Tässä valossa kysymyksesi on vähintäänkin outo. Vai mitä tarkoitat homeomorfismilla?

      • mat.opiskelija

        "Kaikille topologisille avaruuksille voidaan määritellä aina ainakin yksi homeomorfismi: identiteettikuvaus avaruudelta itselleen."

        Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole.

        Oletetaan, että on olemassa homeo f:[0,1] --> ]0,1[. Se on jva, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa maksimi- ja minimiarvonsa, jotka olkoon M ja m. Nämä kuuluvät joukkoon ]0,1[ ja f([0,1]) on joukon [m,M] osajoukko. Siten f ei ole surjektio.

      • GNP
        mat.opiskelija kirjoitti:

        "Kaikille topologisille avaruuksille voidaan määritellä aina ainakin yksi homeomorfismi: identiteettikuvaus avaruudelta itselleen."

        Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole.

        Oletetaan, että on olemassa homeo f:[0,1] --> ]0,1[. Se on jva, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa maksimi- ja minimiarvonsa, jotka olkoon M ja m. Nämä kuuluvät joukkoon ]0,1[ ja f([0,1]) on joukon [m,M] osajoukko. Siten f ei ole surjektio.

        Käsitteet ja määritelmät voivat olla vähän hämärän peitossa, kun noita nopeasti lukaisin, mutta kiitoksia esimerkistä.

      • oudompaa
        mat.opiskelija kirjoitti:

        "Kaikille topologisille avaruuksille voidaan määritellä aina ainakin yksi homeomorfismi: identiteettikuvaus avaruudelta itselleen."

        Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole.

        Oletetaan, että on olemassa homeo f:[0,1] --> ]0,1[. Se on jva, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa maksimi- ja minimiarvonsa, jotka olkoon M ja m. Nämä kuuluvät joukkoon ]0,1[ ja f([0,1]) on joukon [m,M] osajoukko. Siten f ei ole surjektio.

        "Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole."

        Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus. Jos me puhutaan kahdesta eri avaruudesta, niin ei ole mitään syytä olettaa, että ne olisivat homeomorfisia. Mutta avaruus itsessään on aina homeomorfinen itsensä kanssa.

      • mat.opiskelija
        oudompaa kirjoitti:

        "Jos kuvauksen lähtö ja maali on erit, niin identtistä kuvausta avaruudelta itselleen ei ole."

        Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus. Jos me puhutaan kahdesta eri avaruudesta, niin ei ole mitään syytä olettaa, että ne olisivat homeomorfisia. Mutta avaruus itsessään on aina homeomorfinen itsensä kanssa.

        "Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus."
        Niin. Jokaisessa avaruudessa X on olemassa identtinen kuvaus f:X->X, f(x)=x kaikilla x in x. Jos sen sijaan puhutaan kuvauksesta X:ltä Y:lle, niin identtistä kuvausta ei ole, tai ainakin minä olen omaksunut identtiselle kuvaukselle määritelmän, missä kuvaus on joukolta itselleen (Väisälä: Topologia 1, 1999 painos).

      • homo mathus
        mat.opiskelija kirjoitti:

        "Onpas, aina on olemassa identiteettikuvaus."
        Niin. Jokaisessa avaruudessa X on olemassa identtinen kuvaus f:X->X, f(x)=x kaikilla x in x. Jos sen sijaan puhutaan kuvauksesta X:ltä Y:lle, niin identtistä kuvausta ei ole, tai ainakin minä olen omaksunut identtiselle kuvaukselle määritelmän, missä kuvaus on joukolta itselleen (Väisälä: Topologia 1, 1999 painos).

        Katsokaa Victor Vasarelyn taideteosta.
        Siinä esiintyy homeomorfismi.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ensi kesänä

      Näin kesän viimeisenä minuutteina ajattelen sinua. Olisiko seuraava kesä "meidän" kesä? Tänä vuonna ei onnistuttu, mutta
      Ikävä
      67
      3464

    2. Anne Kukkohovin karmeat velat ovat Suomessa.

      Lähtikö se siksi pois Suomesta ? Et on noin kar? mean suuret velat naisella olemassa
      Kotimaiset julkkisjuorut
      147
      3305

    3. Tukalaa kuumuutta

      Tietäisitpä vaan kuinka kuumana olen käynyt viime päivät. Eikä johdu helteestä, vaan sinusta. Mitäköhän taikoja olet teh
      Ikävä
      46
      3292

    4. Sinä, ihastukseni

      Mitä haluaisit tehdä kanssani ensimmäisenä?
      Ihastuminen
      53
      2739

    5. Tiedät ettei tule toimimaan.

      Mielenterveys ei kummallakaan kestä.
      Ikävä
      31
      2003

    6. Okei, myönnetään,

      Oisit sä saanut ottaa ne housutkin pois, mutta ehkä joskus jossain toisaalla. 😘
      Ikävä
      27
      1900

    7. Onko kaivatullasi

      himmeä kuuppa?
      Ikävä
      48
      1666

    8. Et siis vieläkään

      Et ilmeisesti ole vieläkään päässyt loppuun asti mun kirjoituksissa täällä. Kerro ihmeessä sit, kun valmista 😁 tuskin k
      Ikävä
      40
      1605

    9. Mihin hävisi

      Mihin hävisi asiallinen keskustelu tositapahtumista, vai pitikö jonkin Hannulle kateellisen näyttää typeryytensä
      Iisalmi
      88
      1589

    10. On jo heinäkuun viimeinen päivä.

      En taida nähdä sinua koskaan.
      Rakkaus ja rakastaminen
      39
      1370
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt