Moi, olen niin tyhmä että en osaa niitä. Voisiko joku kertoa mulle? :)
Jaollisuus, tekijöihin jako, alkuluvut ja alkutekijöihin jako
asdfghjklöäzxcv
13
5018
Vastaukset
- ffffs
(tässä luvulla viitataaan kokonaislukuihin)
Luku A on jaollinen luvulla B, jos löytyy sellainen luku C, että A=BC eli A/B=C
Luvun A tekijöitä ovat kaikki luvut joilla A on jaollinen. Esim. 18 (positiivisia)tekijöitä ovat 1,2,3,6,9,18
Huom! 1 ja luku itsessään ovat aina tekijöinä.
Luku on alkuluku, jos ainoat tekijät ovat 1 ja luku itsessään. Esim. 5 ainoat tekijät ovat 1 ja 5.
Luku A jaetaan tekijöihin keksimällä kaksi lukua B ja C joille A=BC.
Alkutekijöihin jako tarkoittaa sitä, että tätä jatketaan luvuille B ja C kunnes tulon tekijät ovat
alkulukuja
Kertomerkkinä toimii *
Esim. 48=24*2=12*2*2=6*2*2*2=3*2*2*2*2
Esim. 100=10*10=2*5*2*5- Tarkentaja
"Luku on alkuluku, jos ainoat tekijät ovat 1 ja luku itsessään. Esim. 5 ainoat tekijät ovat 1 ja 5."
Tuohon lisäoletus, että luku on vähintään kaksi. Ykkönen ei ole alkuluku.
- ecdsa
Pienimpiä alkulukuja ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Alkulukuja on ääretön määrä, ne eivät lopu koskaan.
Esimerkiksi 4 ei ole alkuluku koska se on 2*2,
6 ei ole alkuluku koska se on 2*3,
9 ei ole alkuluku koska se on 3*3,
16 ei ole alkuluku koska se on 2*2*2*2,
25 ei ole alkuluku koska se on 5*5
Yksinkertainen testi sille onko luku alkuluku on koettaa jakaa se luvuilla 2 ... luvun neliöjuuri
ja katsoa meneekö jako tasan vai jääkö jakojäännös.
Oikeastaan tarvitsee kokeilla vain alkuluvuilla.
Esimerkiksi jos halutaan selvittää onko luku 51 alkuluku, niin voidaan koettaa jakaa se luvuilla 2, 3, 5 ja 7.
Tätä suuremmilla luvuilla ei tarvitse kokeilla koska 7*7 = 49 ja seuraava alkuluku on 11 jonka neliö on suurempi kuin 51.
51 / 2 ; jakojäännös 1
51 / 3 ; jakojäännös 0 ; jaaha jako menikin jo tässä tasan, eli 51 ei ole alkuluku- ecdsa
Jatketaanpa esimerkkiä, onko 41 alkuluku?
Tätä tarvitsee testata vain alkuluvuilla 2, 3 ja 5, sillä 7 ei voi olla luvun 41 _pienin_ tekijä (kun neliö on 49 eli suurempi kuin 41).
41 / 2 ; jakojäännös 1
41 / 3 ; jakojäännös 2
41 / 5 ; jakojäännös 1
Mikään jakolasku luvun neliöjuurta pienemmillä alkuluvuilla ei siis mennyt tasan, joten 41 on alkuluku. - ecdsa
ecdsa kirjoitti:
Jatketaanpa esimerkkiä, onko 41 alkuluku?
Tätä tarvitsee testata vain alkuluvuilla 2, 3 ja 5, sillä 7 ei voi olla luvun 41 _pienin_ tekijä (kun neliö on 49 eli suurempi kuin 41).
41 / 2 ; jakojäännös 1
41 / 3 ; jakojäännös 2
41 / 5 ; jakojäännös 1
Mikään jakolasku luvun neliöjuurta pienemmillä alkuluvuilla ei siis mennyt tasan, joten 41 on alkuluku.Windowsin tieteislaskimella saat muuten jakojäännökset kätevästi näppäimellä Mod
51 Mod 3 = 0
41 Mod 3 = 2 - ecdsa
Jos haluaa enempi konkretiaa alkutekijöihin jakoon niin tämä voi auttaa:
( Tämä algoritmi ei ole kuiteskaan kovin tehokas, joten ei kannata yrittää todella isoille luvuille! )
Kokonaisluvun voi jakaa alkutekijöihin yrittämällä toistuvasti jakaa alkuluvuilla jotka ovat pienempiä (tai yhtäsuuri?) kuin luvun neliöjuuri
Palautetaan mieleen että alkulukuja ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Esimerkiksi jaetaan alkutekijöihin luku 286 joka on pienempi kuin 17*17 (joten isompia jakajia ei tarvitse kokeilla)
Ensin etsitään ekaa pientä tekijää
286 mod 2 = 0
Pieni tekijä löytyikin heti ; koska luku on parillinen niin tietenkin 2 on sen eräs tekijä
Merkitään muistiin että 2 on luvun alkutekijä
Lasketaan luku jolla alkutekijöihin jakoa jatketaan:
286 / 2 = 143
Etsitään seuraavaa alkutekijää luvusta 143 (korkeintaan jakajaan 13 asti koska 13*13 > 143)
143 mod 2 = 1
143 mod 3 = 2
143 mod 5 = 3
143 mod 7 = 3
143 mod 11 = 0 ; Haa!, luku 11 on siis luvun 143 eräs alkutekijä
Merkitään muistiin että 11 on luvun alkutekijä
Lasketaanpa sitten osamäärä:
143 / 11 = 13
Luku 13 on myös alkuluku kuten listasta näkee joten se on luvun 143 alkutekijä ... jonka vaihtoehtoisesti voi todeta myös näin:
13 mod 2 = 1
13 mod 3 = 1
Ja tämän pitemmälle alkulukuja ei tarvitse kokeillakaan koska 5*5 > 13
Luvun 286 alkutekijät ovat siis 2, 11 ja 13
- ecdsa
Ihan ekaksi kannattaa havaita se
että luku A on jaollinen luvulla B
vain jos A mod B = 0
eli jos kokonaisjako menee tasan
eli kokonaisjaon jakojäännös on nolla. Tämä Basic-ohjelma jakaa kokonaisluvun alkutekijöihin:
€€€ koodi alkaa €€€€€€€€€
Rem jakaa kokonaisluvun tekijöihin
rem x11 - basic.
RemJos luku on jaoton, ei tulosta
rem mitään
for g=1 to 12
input "anna luku"; x
p=2
y%=int(x/2) 1
while p < y%
if (x mod p )=0
print p;" ";
x=x/p
else
inc p
endif
wend
print
next
end- Setienmuinaisetkonstit
Jaollisuustestin pilkkomisesta osiin
Muut mainitsivat edellä, että jakojäännös liittyy asiaan. Luku x on jaollinen c:llä, jos ei jää jakojäännöstä laskusta x/c. Mutta myös voidaan ajatella pilkkoa tekijöiden etsiminen osiin. Esim. kysymys, onko 407 jaollinen 7:llä. Nopea ajattelija ymmärtää heti, ettei 400 ole jaollinen seitsemällä, ja siitä syystä 407 myöskään ei ole jaollinen seitsemällä. Periaatteessa voitaisiin yrittää kehitellä tätä ajatusta eteenpäin. Jos x on iso luku, jota halutaan purkaa tekijöihin päin, ja testataan, ovatko jotkut osat luvusta jaollisia c:llä, sitten koko x on jaollinen c:llä, jos osakokonaisuuksien jakojäännösten summa on jaollinen c:llä, tai nolla. Mitäkö voisi mainita esimerkiksi? Esimerkiksi kysymys, onko 392 jaollinen 7:llä. Tiedetään, että ainakin 350 on jaollinen seitsemällä, ja siitä 392 - 350 edelleen saadaan 42, ja helpompaa näistä osakokonaisuuksista huomata: kyllä 392 on jaollinen 7:llä, koska 350 ja 42 ovat jaollisia 7:llä. Periaatteessa näinhän jakokulmakin toimii perinteisessä laskennassa, mutta siellä louhitaan luvusta osakokonaisuuksia eri järjestyksessä. Ehkä hitaampaa mutta varmempaa. Päässälaskuun tämä selittämäni vippaskonsti on sopinut melko hyvin kuitenkin.- Kanootti3
Seiskalla jaollisuuteen on myös seuraavanlainen konsti:
Ota luvun viimeinen numero pois, ja vähennä se kaksi kertaa näin syntyvästä luvusta. Näin saatu luku on jaollinen seiskalla jos ja vain jos alkuperäinen oli jaollinen seiskalla. Tätä voidaan jatkaa edelleen saadulle luvulle kunnes se saadaan tarpeeksi pieneksi ja seiskalla jaollisuus/jaottomuus nähdään.
Esim. luvulle 224
Otetaan 4 lopusta pois.
Jäävästä luvusta 22 vähennetään 2*4, saadaan 14. Tämä on seiskalla jaollinen
Siis luku 224 on seiskalla jaollinen. Itse asiassa 224 = 7*32.
Toinen esim. 521321
52132 - 2*1 = 52130
5213 - 2*0 = 5213
521 - 2*3 = 515
52 - 2*1 = 50
5 - 2*0 = 5 (ei jaollinen 7;lla)
Vielä yksi esim. jossa on seiskalla jaollinen: 7*1234 = 8638
863 - 2*8 = 847
84 - 2*7 = 70 (jaollinen 7:lla) - Kanootti3
Todistus tälle konstille eli väitteelle
7|x joss 7|((x-x)/10 - x ),
missä % tarkoittaa jakojäännöstä.
Olkoon x:n desimaaliesitys x_n*10^n .... x_0.
Jos 7|x, niin x_n*10^n .... x_0 = 7b.
Tällöin
10(x_n*10^(n-1) ... x_1) = 7b-x_0
Jotta haluttu luku (viimeinen numero pois ja vähennettynä kaksi kertaa) saataisiin näkyviin muokataan muotoon:
10 (x_n*10^(n-1) ... x_1 - 2*x_0) = 7b - 21x_0 = 7(b-3*x_0)
Koska edessä oleva tekijä 10 on suhteellinen alkuluku 7:n kanssa on tekijän x_n*10^(n-1) ... x_1 - 2*x_0 oltava jaollinen seitsemällä.
Vastaavasti jos x ei ole jaollinen seitsemällä, on jollekin r € {1 ,2,3,4,5,6}
10(x_n*10^(n-1) ... x_1) = 7b-x_0 r.
Tehdään samat muokkaukset kuin edellä ja päädytään yhtälöön
10 (x_n*10^(n-1) ... x_1 - 2*x_0) = 7b - 21x_0 r = 7(b-3*x_0) r
Taas koska syt(10, 7) = 1, niin 10 voidaan "jakaa pois" (itse asiassa modulaariaritmetiikassa tämä on ihan oikea jakolasku) ja saadaan että tekijä x_n*10^(n-1) ... x_1 - 2*x_0 ei ole 0 modulo 7.
Tämän voi perustella myös niin, että
"10*y ei ole jaollinen 7:lla" => "y ei ole jaollinen 7:lla". - Kanootti3
Oho mitenkäs nuo "prosentti 10" merkit muuttuivat tuollaisiksi. No väite oli kai selvä...?
Vielä tuo viimeinen päättely: sehän tulee kontrapositiivista:
7 | y => 7 | (10*y),
joka on ilmeinen.
- Setienmuinaisetkonstit
Muita vippaskonsteja
Luku kolmella jaollinen, jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella. Esim. luku 2922. Summa 2 9 2 2 = 15. Joten jaollinen kolmella. Tosin jos luvussa on kolme kappaletta samaa numeroa, ne voidaan "kuvitella" pois silloin, kun testataan jaollisuutta kolmella: esim. 2922, josta kakkosten poistolla saadaan 900, jaollinen kolmella. Vastaavasti, jos luku 567, voidaan ajatella numeroiden keskiarvoksi 6, joten kolmella jaollinen.
Luku jaollinen yhdeksällä, jos luvun numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä. Esim. 747. Summa 7 4 7 = 18, jaollinen yhdeksällä.
Numero tai numerosarja voidaan "kuvitella" pois, kun toista lukua sillä testataan, onko jaollinen. Esim. 747 onko jaollinen seitsemällä? Ei ole, koska 40 ei ole jaollinen seitsemällä.
Luvun lopussa olevat nollat voidaan jättää huomioimatta, jos ei testata jaollisuutta kahdella eikä viidellä, vaan muulla luvulla. Esim. 400 ei ole jaollinen seitsemällä, koska 4 ei ole. 4900 on jaollinen seitsemällä, koska 49 on.
Tällaiset pois kuvittelut ja huomioimatta jättämiset ovat kuin lukuja käsiteltäisiin visuaalisesti, tai mielikuvituksessa. Näitä ajatellessa mieleen muistui rotaatio, binääriluvut ynnä muut sellaiset asiat. Periaatteessa luvun tekijöiden haeskelu voitaisiin suorittaa vaihtamalla kantalukua. Esim. jos kahdella jaollisuutta on, binääriluvun lopulta löytyisi nollia vastaava määrä, eikö totta?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ensi kesänä
Näin kesän viimeisenä minuutteina ajattelen sinua. Olisiko seuraava kesä "meidän" kesä? Tänä vuonna ei onnistuttu, mutta663402Tukalaa kuumuutta
Tietäisitpä vaan kuinka kuumana olen käynyt viime päivät. Eikä johdu helteestä, vaan sinusta. Mitäköhän taikoja olet teh463222Anne Kukkohovin karmeat velat ovat Suomessa.
Lähtikö se siksi pois Suomesta ? Et on noin kar? mean suuret velat naisella olemassa1272850- 462579
- 311973
Okei, myönnetään,
Oisit sä saanut ottaa ne housutkin pois, mutta ehkä joskus jossain toisaalla. 😘271860- 481646
Mihin hävisi
Mihin hävisi asiallinen keskustelu tositapahtumista, vai pitikö jonkin Hannulle kateellisen näyttää typeryytensä871525- 391340
Et siis vieläkään
Et ilmeisesti ole vieläkään päässyt loppuun asti mun kirjoituksissa täällä. Kerro ihmeessä sit, kun valmista 😁 tuskin k391321