Pakassa on 60 korttia, joista 2 on olennaisia. Jos nostetaan 7 korttia, mikä on todennäköisyys, että jompi kumpi olennaisista korteista nousee? Ja kuinka se lasketaan? Entä miten lasketaan todennäköisyys sille, että molemmat olennaisista korteista nousevat?
Vaikea todennäköisyyslasku
pulmistaja
10957
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
todennäköisyys, että jompikumpi nousee on 1 - ei kumpikaan nouse. Eli 1 - ( 58/60 * 57/59 * 56/58 * 55/57 * 54/56 * 53/55 * 52/54) = 1 - 0,779 = 0,221 = 22,1%.
Todennäköisyys, että molemmat nousevat:
kaikki mahdolliset tapaukset (nostetut 7 korttia) = 60*59*58*57*56*55*54 / (7*6*5*4*3*2*1) = 386 206 920
tapaukset, jossa molemmat olennaiset kortit seitsemän joukossa: 7*6 / (2*1) = 21
todennäköisyys = 21 / 386 206 920 = 1 / 18 390 806 = 0,0000054 % (pienempi kuin loton 7 oikein todennäköisyys)
tais mennä jotain pieleen edellisessä, ei se voi olla noin pieni. On pari kymmentä vuotta siitä, kun olen näitä laskenut...
tapaukset, jossa molemmat olennaiset kortit seitsemän joukossa: 7*6 / (2*1) = 21
tästä unohtu se, että nuo viisi muuta korttia voidaan valita 58 kortin joukosta, ne kaksi korttia pitää joka tapauksessa olla valittujen joukossa, eli muut kortit näiden kahden lisäksi voidaan valita 58*57*56*55*54 / (5*4*3*2*1) = 4 582 116 tavalla. Eli todennäköisyys, että molemmat olenaiset kortit ovat valittuina = 4 582 116 / 386 206 920 = 1/84,3 = 1,19 %
(Nyt vaikuttaisi vähän järkevämmältä tulokselta)
Korjatkaa, jos meni vieläkin väärin...
Voi laskea suoraan kombinaatioilla. Menee samalla tavalla kuin klassiset lotto-tehtävät.
Eli:
* 7 korttia voidaan valita 60 kortista nCr(60,7) eri tavalla
* 1 kortti olennaisista nCr(2,1)=2 eri tavalla
* loput 6 korttia voidaan valita nCr(58,6) eri tavalla
tn = nCr(2,1)*nCr(58,6)/nCr(60,7) = 371/1770 approx 0.21
Vastaavasti molemmat olennaiset:
* 7 korttia voidaan valita 60 kortista nCr(60,7) eri tavalla
* 2 kortti olennaisista nCr(2,2)=1 eri tavalla
* loput 4 korttia voidaan valita nCr(58,5) eri tavalla
tn = nCr(2,2)*nCr(58,5)/nCr(60,7) = 7 / 590 approx 0.012
Takk soo mykke... Näinhän se laskettiin...
On siis 60 kortin pakka, josta valitaan seitsemän korttia, joten
valitsematta jää 53 korttia.
Kaksi "olennaista korttia" voi olla 60:n kortin pakassa yhteensä
(60*59)/(2*1) = 1770 tavalla.
(Jos "olennaisten korttien" järjestyksellä ei ole merkitystä.)
Kaksi "olennaista korttia" voi osua seitsemään (7*6)/(2*1)=21 tavalla.
Yksi "olennainen kortti" voi osua seitsemään 7:llä tavalla, ja toinen
"olennainen kortti" voi osua valitsemattomiin 53 numeroon 53:lla tavalla.
Siis yksi osuma tulee 7*53 = 371 tapauksessa.
Kaksi "olennaista korttia" voi osua valitsemattomiin 53:een korttiin
(53*52)/(2*1)=1378:lla tavalla.
Eli koko "voittotakuu" tässä kenolotossa:
2 oikein 21/1770, 1,19%
1 oikein 371/1770, 20,96%
0 oikein 1378/1770, 77,85%
tuli miljoonan kierroksen jälkeen:
molemmat 11774 kertaa
ja ainoastaan toinen 209624 kertaa
eli heikkioskarin laskutapa näyttää olevan oikea laskutapa
???
C(n,m) = n!/(m! (n-m)!). Kertoo kuinka monella eri tavalla voidaan n:n alkion joukosta valita m alkiota.
1. P( jompi kumpi olennainen mutta eivät molemmat ovat valittujen joukossa) =
2*C(58,6) / C(60,7) = 14*53/(59*60) = 0,2096
2. P(molemmat olennaiset ovat nostettujen joukossa) = C(58,5)/C(60,7) = 6*7/(59*60) = 0,0119
3. P(1 tai 2 nostetuista on olennaisia) = 1 -P(nostetuissa ei olennaisia) =
1 - C(58,7)/C(60,7) = 7*112/(59*60) = 0,2215
Tämä on sama kuin kohtien 1 ja 2 todennäköisyyksien summa kuten pitääkin:
(14*53 6*7)/(59*60) = (7*112)/(59*60)