Sinin derivaatta

Varmuuden vuoksi ja tarkennukseksi:

cos (π/6) (rad) ≠ cos (π/6) ° ;edellinen ≈ 0.866, jälkimmäinen ≈ 0.99996
cos 30 (rad) ≠ cos 30° ;edellinen ≈ 0.154, jälkimmäinen ≈ 0.866

Vakion derivaatta on nolla.

Kyllä niillä sentään mitään tekemistä keskenään on sillä

1 rad = (180 / π )° ≈ 57.3°

Meni vähän sähläykseksi, heitin kysymyksen puolihuolimattomasti. Pahoittelen.

Meillä on funktio x -> sin(x). Nyt, onko tämän sinifunktion, jossa kulma on asteina, derivaatta sama kuin sen sinifunktion derivaatta, jossa kulma on radiaaneina?

Minua kiinnostaa kuulla miten ihmiset ajattelevat tämän.

Onko?

onneton äheltäjä kirjoitti:

Meni vähän sähläykseksi, heitin kysymyksen puolihuolimattomasti. Pahoittelen.

Meillä on funktio x -> sin(x). Nyt, onko tämän sinifunktion, jossa kulma on asteina, derivaatta sama kuin sen sinifunktion derivaatta, jossa kulma on radiaaneina?

Minua kiinnostaa kuulla miten ihmiset ajattelevat tämän.

Onko?

Lue lisää

Tarkkaan ottaen sinifunktion derivaatan raja-arvomääritelmä lim [sin(x h)-sin(x)]/h, kun h -> 0, edellyttää, että funktion argumentti on esitetty radiaaneina, koska lausekkeen laadut eivät muuten ole yhteensopivia.

Toisaalta lopputuloksen (cos(x)) kannalta on samantekevää, annetaanko argumentti asteina vai radiaaneina, tulos on samalle kulmalle sama kummassakin tapauksessa.

onneton äheltäjä kirjoitti:

Meni vähän sähläykseksi, heitin kysymyksen puolihuolimattomasti. Pahoittelen.

Meillä on funktio x -> sin(x). Nyt, onko tämän sinifunktion, jossa kulma on asteina, derivaatta sama kuin sen sinifunktion derivaatta, jossa kulma on radiaaneina?

Minua kiinnostaa kuulla miten ihmiset ajattelevat tämän.

Onko?

Lue lisää

se jo kerrottiin. Lue ja mieti.

luulen vain kirjoitti:

Tarkkaan ottaen sinifunktion derivaatan raja-arvomääritelmä lim [sin(x h)-sin(x)]/h, kun h -> 0, edellyttää, että funktion argumentti on esitetty radiaaneina, koska lausekkeen laadut eivät muuten ole yhteensopivia.

Toisaalta lopputuloksen (cos(x)) kannalta on samantekevää, annetaanko argumentti asteina vai radiaaneina, tulos on samalle kulmalle sama kummassakin tapauksessa.

Lue lisää

En kysynyt mielipidettä, halusin kuulla ajatuspolun tehtävää ratkaistaessa, koska minua kiinnostaa kuulla miten ihmiset tällaisen ongelman pureskelevat.

Muita ehdotuksia?

päivän selvä kirjoitti:

En kysynyt mielipidettä, halusin kuulla ajatuspolun tehtävää ratkaistaessa, koska minua kiinnostaa kuulla miten ihmiset tällaisen ongelman pureskelevat.

Muita ehdotuksia?

Lue lisää

vaan perusteltuja faktoja. Jos ne eivät kelpaa, haluaisin kuulla perustelut, miksi eivät.

luulen vain kirjoitti:

vaan perusteltuja faktoja. Jos ne eivät kelpaa, haluaisin kuulla perustelut, miksi eivät.

Selvä, sinun vastauksesi on väärin.

Haluaako joku muu yrittää?

päivän selväkö? kirjoitti:

Selvä, sinun vastauksesi on väärin.

Haluaako joku muu yrittää?

Jospa nyt kumminkin kertoisit yksilöidysti, mitä virheitä väittämissäni oli.

luulen vain kirjoitti:

Jospa nyt kumminkin kertoisit yksilöidysti, mitä virheitä väittämissäni oli.

Odotellaan muitakin vastauksia hetkonen.

luulen vain kirjoitti:

Tarkkaan ottaen sinifunktion derivaatan raja-arvomääritelmä lim [sin(x h)-sin(x)]/h, kun h -> 0, edellyttää, että funktion argumentti on esitetty radiaaneina, koska lausekkeen laadut eivät muuten ole yhteensopivia.

Toisaalta lopputuloksen (cos(x)) kannalta on samantekevää, annetaanko argumentti asteina vai radiaaneina, tulos on samalle kulmalle sama kummassakin tapauksessa.

Lue lisää

Kyse oli tässä funktion käsitteestä. Funktio x-> sin(x) on eri jos x on radiaaneja tai asteita. Kyseessä ovat eri funktiot ja myös niiden derivaatat ovat tässä tapauksessa selvästi eri funktiot, siis ne eivät ole samat.

Minua hämmästyttää kuinka huonosti funktion käsite osataan saati opetetaan. Tämä kysymys oli yhtenä erään kuuluisan yliopiston matikanopen haastattelussa. Vastauksissa oli kuulemma hajontaa aika paljon, joten ajattelinpa kysäistä sitä täälläkin.

Yleisemmin tämä nostaa kysymyksen, että kuinka mielekästä on opettaa derivointia symbolisesti. Silloin kun lakaistaan maton alle aika paljon asioita ja väärinkäsitykset syntyvät aika helposti. Matematiikassa pitää kuitenkin pyrkiä täsmällisyyteen peruskäsitteistä lähtien.

Tämä myös osoittaa hassusti miten helposti ihmiset pitävät toista tyhmänä, kun eivät itse osaa käsitellä kysymystä (tämä ei tietenkään koske kaikkia). Erityisesti anonyymikeskustelussa monesti koitetaan peitellä omaa inkompetenssia koppavuudella. Liekö tämäkin johtuu tavasta opettaa asiat taivaasta tipahtaneina faktoina.

päivän selväkö kirjoitti:

Kyse oli tässä funktion käsitteestä. Funktio x-> sin(x) on eri jos x on radiaaneja tai asteita. Kyseessä ovat eri funktiot ja myös niiden derivaatat ovat tässä tapauksessa selvästi eri funktiot, siis ne eivät ole samat.

Minua hämmästyttää kuinka huonosti funktion käsite osataan saati opetetaan. Tämä kysymys oli yhtenä erään kuuluisan yliopiston matikanopen haastattelussa. Vastauksissa oli kuulemma hajontaa aika paljon, joten ajattelinpa kysäistä sitä täälläkin.

Yleisemmin tämä nostaa kysymyksen, että kuinka mielekästä on opettaa derivointia symbolisesti. Silloin kun lakaistaan maton alle aika paljon asioita ja väärinkäsitykset syntyvät aika helposti. Matematiikassa pitää kuitenkin pyrkiä täsmällisyyteen peruskäsitteistä lähtien.

Tämä myös osoittaa hassusti miten helposti ihmiset pitävät toista tyhmänä, kun eivät itse osaa käsitellä kysymystä (tämä ei tietenkään koske kaikkia). Erityisesti anonyymikeskustelussa monesti koitetaan peitellä omaa inkompetenssia koppavuudella. Liekö tämäkin johtuu tavasta opettaa asiat taivaasta tipahtaneina faktoina.

Lue lisää

käsitys asiasta: toisaalla puhuttiin senteistä ja tuumista, niin ajatellaan vaikka vanhan ajan ompelijaa ja mittanauhaansa, toisella puolen sentit ja toisella tuumat. Ottaa asiakkaalta aina mitan ja merkkaa kankaaseen, hihan, lahkeen, hartian... ja olettaa sopii, että puvusta tulee ihan kelpo riippumatta miten päin mittanauha milloinkin käteen sattui (edellyttäen tosin, että tietää mitä tekee:) Eikä nyt puhuta Kerimäen puukirkosta, yhden legendan mukaan siitä tuli vahingossa mitoiltaan 2,5-kertainen....)

Eli mikä estää merkkaamasta mittanauhan tapaan sinikäppyrän x-akseliin kummatkin asteikot, ja vielä piirutkin päälle jos haluaa. Ja sama sinikäppyrä tuloksena seisoo.

Voihan tieten olla, että joku haluaa mitata esim.ulkoilman lämpötilaa Celsiuksen sijasta Fahrenheit-asteikolla ja piirtää siitä käyttöönsä kuvan, kuten Celsius-mieskin itselleen voisi tehdä. Ja kuvat olisivat ulkonaisesti eriävät. On siirrytty myös markoista euroihin, mutta ei nämä jutut teoreettiselta katsannolta erityisesti ole ongelmia olleet. Vain foliohattu voi näistä näppylöitä saada. Yllä nimim.freeinka:n tarkennus pyrki korostamaan, että käsittäisit homman oikein. Nythän kysymyksessä on kuin perinne-hölmöläissatujen ajoilta kompa-arvoitus: tien varrella kasvoi viisi koivua ja toisella puolella kuusi...suurin merkitys asialla on hupimerkitys..

Sen verran asiaakin, että voisit tarkentaa mitä tarkoittaa "..lakaistaan maton alle aika paljon asioita ja väärinkäsitykset syntyvät helposti"
eli mitä merkityksellistä matikan nykyopetuksessa (tarkoitat lukiotasoa kai lähinnä) on poskellaan ja missä se mielestäsi ilmiselvästi ilmenee? Minä en mee sanomaan etteikö jotain olisi, olisi vaan kiinnostava tietää

päivän selväkö kirjoitti:

Kyse oli tässä funktion käsitteestä. Funktio x-> sin(x) on eri jos x on radiaaneja tai asteita. Kyseessä ovat eri funktiot ja myös niiden derivaatat ovat tässä tapauksessa selvästi eri funktiot, siis ne eivät ole samat.

Minua hämmästyttää kuinka huonosti funktion käsite osataan saati opetetaan. Tämä kysymys oli yhtenä erään kuuluisan yliopiston matikanopen haastattelussa. Vastauksissa oli kuulemma hajontaa aika paljon, joten ajattelinpa kysäistä sitä täälläkin.

Yleisemmin tämä nostaa kysymyksen, että kuinka mielekästä on opettaa derivointia symbolisesti. Silloin kun lakaistaan maton alle aika paljon asioita ja väärinkäsitykset syntyvät aika helposti. Matematiikassa pitää kuitenkin pyrkiä täsmällisyyteen peruskäsitteistä lähtien.

Tämä myös osoittaa hassusti miten helposti ihmiset pitävät toista tyhmänä, kun eivät itse osaa käsitellä kysymystä (tämä ei tietenkään koske kaikkia). Erityisesti anonyymikeskustelussa monesti koitetaan peitellä omaa inkompetenssia koppavuudella. Liekö tämäkin johtuu tavasta opettaa asiat taivaasta tipahtaneina faktoina.

Lue lisää

vielä: onkos tuo missä määrin formaalin matematiikan juttu. Eikös (näennäis?)kysymys nouse sovelluspuolelta, kun eri tilanteissa matikkaa sovelletaan. Tätä voisivat teoreetikot mietiskellä.

maallikko. kirjoitti:

käsitys asiasta: toisaalla puhuttiin senteistä ja tuumista, niin ajatellaan vaikka vanhan ajan ompelijaa ja mittanauhaansa, toisella puolen sentit ja toisella tuumat. Ottaa asiakkaalta aina mitan ja merkkaa kankaaseen, hihan, lahkeen, hartian... ja olettaa sopii, että puvusta tulee ihan kelpo riippumatta miten päin mittanauha milloinkin käteen sattui (edellyttäen tosin, että tietää mitä tekee:) Eikä nyt puhuta Kerimäen puukirkosta, yhden legendan mukaan siitä tuli vahingossa mitoiltaan 2,5-kertainen....)

Eli mikä estää merkkaamasta mittanauhan tapaan sinikäppyrän x-akseliin kummatkin asteikot, ja vielä piirutkin päälle jos haluaa. Ja sama sinikäppyrä tuloksena seisoo.

Voihan tieten olla, että joku haluaa mitata esim.ulkoilman lämpötilaa Celsiuksen sijasta Fahrenheit-asteikolla ja piirtää siitä käyttöönsä kuvan, kuten Celsius-mieskin itselleen voisi tehdä. Ja kuvat olisivat ulkonaisesti eriävät. On siirrytty myös markoista euroihin, mutta ei nämä jutut teoreettiselta katsannolta erityisesti ole ongelmia olleet. Vain foliohattu voi näistä näppylöitä saada. Yllä nimim.freeinka:n tarkennus pyrki korostamaan, että käsittäisit homman oikein. Nythän kysymyksessä on kuin perinne-hölmöläissatujen ajoilta kompa-arvoitus: tien varrella kasvoi viisi koivua ja toisella puolella kuusi...suurin merkitys asialla on hupimerkitys..

Sen verran asiaakin, että voisit tarkentaa mitä tarkoittaa "..lakaistaan maton alle aika paljon asioita ja väärinkäsitykset syntyvät helposti"
eli mitä merkityksellistä matikan nykyopetuksessa (tarkoitat lukiotasoa kai lähinnä) on poskellaan ja missä se mielestäsi ilmiselvästi ilmenee? Minä en mee sanomaan etteikö jotain olisi, olisi vaan kiinnostava tietää

Lue lisää

Freeinka tosiaan vastasi "ok" kysymykseen eikä sortunut niin yleiseen mussutukseen asian vierestä.

Ja ei seiso sama "sinikäppyrä". Sinä et ajattele nyt asiaa, sinulle aaltomuotoinen funktio on "sin" eikä toisin päin.

Jos todella tietää mikä sin-funktio on, niin silloin on kartalla sen suhteen mitä eroa on asteilla ja radiaaneilla. Tämä on aivan perusasia, mutta kuitenkin sen kanssa sekoillaan. Sama koskee funktion käsitettä. Voisi olettaa, että opiskelija tietää mikä on funktio ennen sin-funktion opettelua, ja vasta näiden käsitteiden ymmärtämisen jälkeen lähdetään miettimään mikä se (sinin) derivaatta onkaan. (Lukioissa tämän sivuutus on ok, koska vain pieni osa jatkaa sieltä vahvasti matemaattiseen suuntaan.)

Ja tämähän on matematiikkapalsta. Minua kiinnosti kuulla miten matemaattisesti orientoituneet asian näkevät, heillähän pitäisi juurikin olla tuntuma näihin asioihin. Maallikoilla on sitten maallikoiden näkemykset.

"...merkityksellistä matikan nykyopetuksessa (tarkoitat lukiotasoa kai lähinnä) on poskellaan ja missä se mielestäsi ilmiselvästi ilmenee?"

Tarkoitan yliopistotasoa. Omaa väitöstyötä aloitellessani huomasin jatkuvasti omaavani heikon yleissivistyksen omalta alaltani. Tämän takia lähdin tutkimaan, että mitä/miten asioita muualla opetetaan ja minulle oli järkytys miten summittaista ja "annettuun faktaan" perustuvaa opetus tässä maassa on. Esimerkiksi ihan tuossa rajan takana Venäjällä opiskelijat tekevät motivoituneina pitkää päivää ja opettelevat asiat kunnolla. Heillä on myös loistavia oppikirjoja käytössään -- positiivinen nälkä luo tuloksia.

Minä en kuitenkaan usko, että tämä on opettajien syytä. Minusta tuntuu, että nykyinen poliitikkojen "korkeakoulutus 75%:lle kansasta"-mentaliteetti on se, joka pakottaa puskemaan porukkaa kursseista läpi puoliväkisin ja siten laskemaan rimaa vuodesta toiseen. Olen kuitenkin aika varma, että nykymeno hapattaa hiljalleen yliopistokulttuurin ja taso romahtaa täysin jossain vaiheessa. Siinä ei paljoa innovaatioinstanssit enää auta, kun pohja on kuralla.

Itse asiassa minusta tuntuu, että koko yhteiskuntaa vaivaa tällä hetkellä "ei tehdä mitään kunnolla"-asenne.

päivän selväkö kirjoitti:

Freeinka tosiaan vastasi "ok" kysymykseen eikä sortunut niin yleiseen mussutukseen asian vierestä.

Ja ei seiso sama "sinikäppyrä". Sinä et ajattele nyt asiaa, sinulle aaltomuotoinen funktio on "sin" eikä toisin päin.

Jos todella tietää mikä sin-funktio on, niin silloin on kartalla sen suhteen mitä eroa on asteilla ja radiaaneilla. Tämä on aivan perusasia, mutta kuitenkin sen kanssa sekoillaan. Sama koskee funktion käsitettä. Voisi olettaa, että opiskelija tietää mikä on funktio ennen sin-funktion opettelua, ja vasta näiden käsitteiden ymmärtämisen jälkeen lähdetään miettimään mikä se (sinin) derivaatta onkaan. (Lukioissa tämän sivuutus on ok, koska vain pieni osa jatkaa sieltä vahvasti matemaattiseen suuntaan.)

Ja tämähän on matematiikkapalsta. Minua kiinnosti kuulla miten matemaattisesti orientoituneet asian näkevät, heillähän pitäisi juurikin olla tuntuma näihin asioihin. Maallikoilla on sitten maallikoiden näkemykset.

"...merkityksellistä matikan nykyopetuksessa (tarkoitat lukiotasoa kai lähinnä) on poskellaan ja missä se mielestäsi ilmiselvästi ilmenee?"

Tarkoitan yliopistotasoa. Omaa väitöstyötä aloitellessani huomasin jatkuvasti omaavani heikon yleissivistyksen omalta alaltani. Tämän takia lähdin tutkimaan, että mitä/miten asioita muualla opetetaan ja minulle oli järkytys miten summittaista ja "annettuun faktaan" perustuvaa opetus tässä maassa on. Esimerkiksi ihan tuossa rajan takana Venäjällä opiskelijat tekevät motivoituneina pitkää päivää ja opettelevat asiat kunnolla. Heillä on myös loistavia oppikirjoja käytössään -- positiivinen nälkä luo tuloksia.

Minä en kuitenkaan usko, että tämä on opettajien syytä. Minusta tuntuu, että nykyinen poliitikkojen "korkeakoulutus 75%:lle kansasta"-mentaliteetti on se, joka pakottaa puskemaan porukkaa kursseista läpi puoliväkisin ja siten laskemaan rimaa vuodesta toiseen. Olen kuitenkin aika varma, että nykymeno hapattaa hiljalleen yliopistokulttuurin ja taso romahtaa täysin jossain vaiheessa. Siinä ei paljoa innovaatioinstanssit enää auta, kun pohja on kuralla.

Itse asiassa minusta tuntuu, että koko yhteiskuntaa vaivaa tällä hetkellä "ei tehdä mitään kunnolla"-asenne.

Lue lisää

on kyllä matikkapalsta, ja kaiketi täällä enimmältään koululaskuja tehdään, ja mikäpä siinä.
Myöhemmässä koulutuksessa on ainakin kaksi 'kohdeyleisöä', ne jollle matikka toimii välineenä jossain toimessa ja sitten se pieni joukko, jota varten yliopistokoulutus alunperin on olemassa (tutkijakoulu). Edellisten joukossa on varmaan parannukselle sijaa, jälkimmäisten voidaan olettaa olevan sen verran omavoimaisia ja luovia, että mainitsemasi "annetut faktat" (mitä ne lienevätkään) eivät juuri tahtia heilauta. Päinvastoin tyytymättömyys voi lisätä innostusta. Extreme-tapauksessa voimme ehkä saada lisäluvun funktiokäsitteen historiaan. Tietty, se tason lasku johtuu, kun kaikkien on nykyisin opeteltava jotakin, sellaistakin ehkä mihin ei oikein ole lahjojakaan.

Miksi kulminoit kohdallasi tyytymättömyytesi niinkin pikkudetaljiin kuin jonkun trig.funktion x-akseliin, ja mitä numeroita siihen laitetaan. Täytyyhän silloin olla mielessä jotain periaatteellisempaa, jos enemmässäkin määrin "...lakaistaan maton alle aika paljon asioita " ja "..väärinkäsityksiä syntyy aika helposti". Lisäksi "..Lukioissa..." jonkin jutun "..sivuutus on ok." Siis funktiokäsitteenkö? Minusta tuntuu, että jopa päinvastoin: eikös sitä aikanaan tuotu joukko-opin muodossa ihan peruskoulun ala-asteelle saakka. Ja sen verran huonoin tuloksin, että kouluviranomaisten oli pakko perääntyä, kun käytännön laskutaito alkoi lähentyä asymptoottisesti kohden y on yhtä kuin nollaa, olipa x mitä hyvänsä. Puhdasoppisuuden aika tuli tiensä päähän :)

maallikko. kirjoitti:

on kyllä matikkapalsta, ja kaiketi täällä enimmältään koululaskuja tehdään, ja mikäpä siinä.
Myöhemmässä koulutuksessa on ainakin kaksi 'kohdeyleisöä', ne jollle matikka toimii välineenä jossain toimessa ja sitten se pieni joukko, jota varten yliopistokoulutus alunperin on olemassa (tutkijakoulu). Edellisten joukossa on varmaan parannukselle sijaa, jälkimmäisten voidaan olettaa olevan sen verran omavoimaisia ja luovia, että mainitsemasi "annetut faktat" (mitä ne lienevätkään) eivät juuri tahtia heilauta. Päinvastoin tyytymättömyys voi lisätä innostusta. Extreme-tapauksessa voimme ehkä saada lisäluvun funktiokäsitteen historiaan. Tietty, se tason lasku johtuu, kun kaikkien on nykyisin opeteltava jotakin, sellaistakin ehkä mihin ei oikein ole lahjojakaan.

Miksi kulminoit kohdallasi tyytymättömyytesi niinkin pikkudetaljiin kuin jonkun trig.funktion x-akseliin, ja mitä numeroita siihen laitetaan. Täytyyhän silloin olla mielessä jotain periaatteellisempaa, jos enemmässäkin määrin "...lakaistaan maton alle aika paljon asioita " ja "..väärinkäsityksiä syntyy aika helposti". Lisäksi "..Lukioissa..." jonkin jutun "..sivuutus on ok." Siis funktiokäsitteenkö? Minusta tuntuu, että jopa päinvastoin: eikös sitä aikanaan tuotu joukko-opin muodossa ihan peruskoulun ala-asteelle saakka. Ja sen verran huonoin tuloksin, että kouluviranomaisten oli pakko perääntyä, kun käytännön laskutaito alkoi lähentyä asymptoottisesti kohden y on yhtä kuin nollaa, olipa x mitä hyvänsä. Puhdasoppisuuden aika tuli tiensä päähän :)

Lue lisää

Minä erityisesti mainitsin yliopistot ja sinä argumentoit 70-luvun peruskouluopetuksella ja pohjattomilla oletuksilla.

Tässä keskustelussa funktio oli esimerkin roolissa. Toin sen esiin, koska käsite on matematiikassa hyvin keskeinen ja mielestäni tuo esitetty kysymys oli varsin osuva.

päivän selväkö kirjoitti:

Freeinka tosiaan vastasi "ok" kysymykseen eikä sortunut niin yleiseen mussutukseen asian vierestä.

Ja ei seiso sama "sinikäppyrä". Sinä et ajattele nyt asiaa, sinulle aaltomuotoinen funktio on "sin" eikä toisin päin.

Jos todella tietää mikä sin-funktio on, niin silloin on kartalla sen suhteen mitä eroa on asteilla ja radiaaneilla. Tämä on aivan perusasia, mutta kuitenkin sen kanssa sekoillaan. Sama koskee funktion käsitettä. Voisi olettaa, että opiskelija tietää mikä on funktio ennen sin-funktion opettelua, ja vasta näiden käsitteiden ymmärtämisen jälkeen lähdetään miettimään mikä se (sinin) derivaatta onkaan. (Lukioissa tämän sivuutus on ok, koska vain pieni osa jatkaa sieltä vahvasti matemaattiseen suuntaan.)

Ja tämähän on matematiikkapalsta. Minua kiinnosti kuulla miten matemaattisesti orientoituneet asian näkevät, heillähän pitäisi juurikin olla tuntuma näihin asioihin. Maallikoilla on sitten maallikoiden näkemykset.

"...merkityksellistä matikan nykyopetuksessa (tarkoitat lukiotasoa kai lähinnä) on poskellaan ja missä se mielestäsi ilmiselvästi ilmenee?"

Tarkoitan yliopistotasoa. Omaa väitöstyötä aloitellessani huomasin jatkuvasti omaavani heikon yleissivistyksen omalta alaltani. Tämän takia lähdin tutkimaan, että mitä/miten asioita muualla opetetaan ja minulle oli järkytys miten summittaista ja "annettuun faktaan" perustuvaa opetus tässä maassa on. Esimerkiksi ihan tuossa rajan takana Venäjällä opiskelijat tekevät motivoituneina pitkää päivää ja opettelevat asiat kunnolla. Heillä on myös loistavia oppikirjoja käytössään -- positiivinen nälkä luo tuloksia.

Minä en kuitenkaan usko, että tämä on opettajien syytä. Minusta tuntuu, että nykyinen poliitikkojen "korkeakoulutus 75%:lle kansasta"-mentaliteetti on se, joka pakottaa puskemaan porukkaa kursseista läpi puoliväkisin ja siten laskemaan rimaa vuodesta toiseen. Olen kuitenkin aika varma, että nykymeno hapattaa hiljalleen yliopistokulttuurin ja taso romahtaa täysin jossain vaiheessa. Siinä ei paljoa innovaatioinstanssit enää auta, kun pohja on kuralla.

Itse asiassa minusta tuntuu, että koko yhteiskuntaa vaivaa tällä hetkellä "ei tehdä mitään kunnolla"-asenne.

Lue lisää

Tarkoitatko että ei opeteta perusteita kunnolla ? tai ei ymmärä opetuksesta mitään vaikka on oppillaalla motivaatiota opiskella ja paljon riippu opettajan tapa opettaa vaikka yksi asia päivässä paljon vuodessa näinhän sen pitäisi mennä mutta joku tökkii etenemisen ?

Vähän vaikuttaa, että sinäkään et osaa vastata kysymykseen.

Vai osaatko?

Tämä oli pelkästään matemaatikkojen brijeerausta asialla, jonka jokainen matematiikkaa soveltava tietää ja osaa. Jo alakoulussa opetetaan, että laskuissa käytettävien yksiköiden pitää olla yhteensopivia eikä appelsiineista voi vähentää omenoita. Näin ei derivoimallakaan saada appelsiineista omenoita.

Aloittajalla taisi olla jotenkin... ilkikurinen mieli päällä, kun ei yhtä lausetta pitemmästi saattanut sanoa, mitä halusi, olisi jekku sulanut käsiin :)
Funktiossa argumentin ja arvon yhteenkuuluvuutta voi merkitä useallakin tavalla, yksi tapa on vaikkapa jo alakoulussa käytetty, eli vedellään määrittely- ja arvojoukon välille viivoja tai nuolia. Käytännössä yleisin tapa on käyttää jotakin laskukaavaa, esim. x->x 1 tai aikaa myöten on syntynyt funktiokohtaisia nimiä, esim sin, cos,.. Arjen käytännössä on muotoutunut tapa kutsua funktioksi pelkästään tuota laskulauseketta, esim. "funktio x 1", koska se ei yleensä sekaannuksia aiheuta. Tässä oli kai tarkoituksena ns.oikoa tätä.

Siis asiasta kukkaruukkuun: jos vaikka piirretään kaksi sinikäppyrää, olkoon molempien määrittelyjoukkona sama R, toinen piirretään vaikka ns.suomi-piiruilla(6000/ympyrä), toinen natopiiruilla(6400/y), niin ovatko nuo kaksi aloittajan tarkoittamassa mielessä eri funktioita? Joutolaskettelija tunnustaa tyhmyyden tilansa eikä mene sanomaan.....

totta mitä sanot. Mutta aloittajalla tämä derivaattajuttu toimi vain hämäyspeittona ajattelemalleen asialle, näin luulen. Kyse on siitä, milloin funktiot ajatellaan samoiksi, milloin eriksi. Joutolaskettelija yrittää ymmärryksensä rajoissa johdatella asiaa.
Ajatellaan "funktio x^2", määrittelyjoukko ja maalijoukko R, tuttu käyrä siis.
Toinen: "funktio x^2", määrittelyjoukko R, maalijoukko R (ei-neg.luvut), sama kuvaaja kuin edellä.
Matematiikan teoriassa näitä kuitenkin pidetään eri funktioina, koska maalijoukon määritykset eroavat.
Samoin voidaan määritellä funtiot f:R ->R ja f:R ->R (kaava edelleen x^2), jälleen kuvaajan ulkonäkö sama, mutta teorian puitteissa pidetään eri funktioina.
(Näihin joukkomäärityksiin liittyy läheisesti myös injektio, surjektio ja bijektio-käsitteet, jotta saataisiin mm.käänteisfunktio täsmällisesti määriteltyä.)

Eli tässä katsannossa, miten lienee tuo piiruesimerkki, jos määrittely- ja maalijoukotkin samat.

Ps. En tiedä,voiko verrata, mutta tulee mieleen myös alkeisfunktio-käsite. Minkälaisia funktioita sanotaan alkeisfunktioiksi. Karkea sääntö on, että ylipäätään kaikki matemaattisilla lausekkeilla ilmaistavat ovat. Mutta esim.jonkun polynomifuntion käänteisfunktio, mille ei voida johdatella mitään lauseke-esitystä, ei ole. Tai vapaalla kädellä piirretty viiva xy-koordinaatistoon ei lähtökohtaisesti ole! Mutta ns.harmaa vyöhyke mahtunee väliin 8/ Mitähän näistä sanottaneen mm. aloittajan mainitsemissa venäläisissä oppikirjoissa, lieneekö jotenkin määritelty... :)

"Kun x:lle annetaan jokin arvo, esim. 30°, siitä tulee vakio. Sinifunktion derivaatan arvo tällä vakio-arvolla
voidaan laskea ja se on derivaattafunktion arvo samalla vakio-arvolla, siis

D sin(30°) = cos(30°) ≈ 0.866"

Siis vakion derivaatta on edelleenkin nolla. Jos halutaan laskea sinin derivaatta arvolla 30 astetta, niin se merkitään

D sin x = cos x, josta saadaan cos 30 astetta sijoittamalla x=30 astetta.

Mitä sitten D sin(30 astetta) tarkoittaa. Se on raja-arvo lausekkeesta (sin(30 astetta)-sin(30 astetta))/h kun h->0. Tämä raja-arvo on nolla.

>Onko sinin derivaatta sama, onpa se määritelty asteina tai radiaaneina?

Vastaus on: ei ole.
Tämä on ylla jo käynyt selvästi esille. Todistetaan asia vaikkapa seuraavasti.
Molemmant ovat jatkuvia ja kaikkialla derivoituvia funktiota.
Koska SIN (0 astetta) = SIN( 0 rad), mutta SIN ( 1 aste) ei ole SIN( 1 rad), derivaattojen on jollakin argumentin välillä, joka on osana väliä (0,1), poikettava toisistaan.

Tarkoitatko, että Dsin (30 astetta)=Pi/180 cos (30 astetta) = Pi/360. Älä naurata!

Amazing kirjoitti:

Tarkoitatko, että Dsin (30 astetta)=Pi/180 cos (30 astetta) = Pi/360. Älä naurata!

no ensinnäkin cos(30 astetta) ei ole 1/2 vaan sqrt(3)/2 ...
toisekseen Pi eli pii on radiaaneissa 180 astetta joten Pi/180 toimii tässä vain yksikkömuunnoksena. Se pitäisi lukea Pi rad / 180 astetta, ja tuosta kun asteet muuttaa vaikka radiaaneiksi niin termin arvoksi tulee lopulta 1 ...

Tuo derivointikaava tulee siis siitä että radiaanimuuttuja x korvataan muuttujalla
x kertaa Pi/180 [ sin(x)=sin(Pi/180 x) ] ja tästä sitten derivoinnin ketjusäännöllä seuraa ylläoleva.

Aste on oikea yksikkö kuten metri tai kilogramma.
Nyrkkisääntönä sanoisin että radiaanit voi jättää mainitsematta mutta aste on aina merkittävä näkyviin.

yksikkömuunnokset ovat ongelma kuten huomattiin silloin kun jenkit laskivat omilla tuumillaan ja jaloillaan ja samaan projektiin osallistuneet eurooppalaiset metrimitalla - tuloksena Mars-luotaimen tuho. :D

Ja eikös tämä osasto ole nimeltään Matematiikka, ei esim Käytännön Matematiikka ...

pohtija. kirjoitti:

yksikkömuunnokset ovat ongelma kuten huomattiin silloin kun jenkit laskivat omilla tuumillaan ja jaloillaan ja samaan projektiin osallistuneet eurooppalaiset metrimitalla - tuloksena Mars-luotaimen tuho. :D

Ja eikös tämä osasto ole nimeltään Matematiikka, ei esim Käytännön Matematiikka ...

Lue lisää

heh.... tuossa ylempänä oli muuten mainittu jossain tarinassa toinenkin esimerkki käytännön matematiikan mokista (näinkö tämä sana taipuu) eli Suomen suurin puukirkko. Tosin siinä lie unohtunut yksikkömuunnos kokonaan: tuli tehtyä tuumilla vaikka piti senteillä.. (legendaa mutta miksi ei voisi olla tottakin)

Ja taitaa olla niin päin, että yksikkömuunnokset matemaattisen teorian muodostuksessa eivät ole ongelma, kyllä ne on sovellusmokia kaikki.

Minua kiinnosti lähinnä kuulla, miten tähän kysymykseen suhtaudutaan. Tuo kysymys on tosiaan ollut yliopistossa yhtenä haastattelukysymyksenä ja on kuuleman mukaan toiminut vedenjakajana. Ihan huvikseni heitin sen tänne odottamatta sen kummempia. Palstan taso kun on mitä on.

Se oli selvä virhe, että en muotoillut sitä aluksi kunnolla. Epätäsmällisyyteen syyllistyin siis itsekin.

päivän selväkö? kirjoitti:

Minua kiinnosti lähinnä kuulla, miten tähän kysymykseen suhtaudutaan. Tuo kysymys on tosiaan ollut yliopistossa yhtenä haastattelukysymyksenä ja on kuuleman mukaan toiminut vedenjakajana. Ihan huvikseni heitin sen tänne odottamatta sen kummempia. Palstan taso kun on mitä on.

Se oli selvä virhe, että en muotoillut sitä aluksi kunnolla. Epätäsmällisyyteen syyllistyin siis itsekin.

Lue lisää

Minulle jäi edelleenkin epäselväksi se, onko radiaanisinin derivaatta radiaanikosini? Onko yliopistolla käytössä radiaanit vai piirut?

Toinen nimimerkki kirjoitti:

Minulle jäi edelleenkin epäselväksi se, onko radiaanisinin derivaatta radiaanikosini? Onko yliopistolla käytössä radiaanit vai piirut?

Tieteellisessä matematiikassa käytetään radiaaneja.

Jotenkin jäi vaikutelma että yrität hakea jotain riitaisuutta tai ongelmaa, jota ei edes ole.

Edellinen vastaaja (pohjan kuru) yritti jo selittää asian perusteita.

Trigonometriset funktiot ovat suhdelukuja, siis laaduttomia, joiden suuruus määräytyy myös suhdekuvusta (kaaren suhde säteeseen).
On aivan yhdentekevää millä nimellä kutsut kaaren ja säteen suhdetta tai mitä yksikköä haluat käyttää, funktioon se ei vaikuta, eikä sen edelleenkäsittelyynkään.

Yksinkertaisesti f=sin(x) on laaduton suhdeluku jossa myös muuttuja x = laaduton suhdeluku.
Kaikki keskustelu x.n laadusta on siis turhaa saivartelua, kuten sekin millä nimellä sitä kutsutaan.
Ainoa tapaus, jossa x.n "nimellä" on merkitystä on valmiiksi lasketut taulukot, joissa suhde (x) on annettu jollain tunnetulla tai yleisesti käytetyllä nimellä, itse matemaattiseen käsittelyyn sillä ei ole osaa.

e.d.k kirjoitti:

Jotenkin jäi vaikutelma että yrität hakea jotain riitaisuutta tai ongelmaa, jota ei edes ole.

Edellinen vastaaja (pohjan kuru) yritti jo selittää asian perusteita.

Trigonometriset funktiot ovat suhdelukuja, siis laaduttomia, joiden suuruus määräytyy myös suhdekuvusta (kaaren suhde säteeseen).
On aivan yhdentekevää millä nimellä kutsut kaaren ja säteen suhdetta tai mitä yksikköä haluat käyttää, funktioon se ei vaikuta, eikä sen edelleenkäsittelyynkään.

Yksinkertaisesti f=sin(x) on laaduton suhdeluku jossa myös muuttuja x = laaduton suhdeluku.
Kaikki keskustelu x.n laadusta on siis turhaa saivartelua, kuten sekin millä nimellä sitä kutsutaan.
Ainoa tapaus, jossa x.n "nimellä" on merkitystä on valmiiksi lasketut taulukot, joissa suhde (x) on annettu jollain tunnetulla tai yleisesti käytetyllä nimellä, itse matemaattiseen käsittelyyn sillä ei ole osaa.

Lue lisää

Funktiona sin on määritelty radiaaneissa. Jos halutaan käyttää asteita, pitää skaalata sopivasti. Tämä skaalaus periytyy funktion derivaattaan, joten, vastauksena alkuperäiseen kysymykseen, derivaatat ovat erit.

Piirrä funktiot sin(x), kun x on radiaaneina, sekä kun x on asteina. Tutki niiden kasvuvauhtia. Näyttääkö, että esim. derivaatan nollakohdat ovat aina samoilla x:n arvoilla? Ei taida näyttää?

Tässä ei ole mitään epäselvää. Tai jos on, niin on jäänyt derivaatan, funktion ja sinin käsite epäselväksi alunperinkin.

1 2 kirjoitti:

Funktiona sin on määritelty radiaaneissa. Jos halutaan käyttää asteita, pitää skaalata sopivasti. Tämä skaalaus periytyy funktion derivaattaan, joten, vastauksena alkuperäiseen kysymykseen, derivaatat ovat erit.

Piirrä funktiot sin(x), kun x on radiaaneina, sekä kun x on asteina. Tutki niiden kasvuvauhtia. Näyttääkö, että esim. derivaatan nollakohdat ovat aina samoilla x:n arvoilla? Ei taida näyttää?

Tässä ei ole mitään epäselvää. Tai jos on, niin on jäänyt derivaatan, funktion ja sinin käsite epäselväksi alunperinkin.

Lue lisää

Radiaani ei ole mikään perussuurre matematiikassa (vrt .herzi), vaan käytännöllisyyden vuoksi käytetty nimitys kahden pituuden suhteesta (kaari/säde), joka on perusteena sini-funktion määritykseen.
Fysiikassa käytettyjen nimitysten sotkeminen matematiikan perusteisiin osoittaa vain että käsitteet on sekaisin.

Ei luulisi olevan ylivoimainen ymmärrettävä, että kahden pituuden suhde ei muutu, kutsuttiin sitä millä nimellä tahansa.

Ja vieläkin.. kirjoitti:

Radiaani ei ole mikään perussuurre matematiikassa (vrt .herzi), vaan käytännöllisyyden vuoksi käytetty nimitys kahden pituuden suhteesta (kaari/säde), joka on perusteena sini-funktion määritykseen.
Fysiikassa käytettyjen nimitysten sotkeminen matematiikan perusteisiin osoittaa vain että käsitteet on sekaisin.

Ei luulisi olevan ylivoimainen ymmärrettävä, että kahden pituuden suhde ei muutu, kutsuttiin sitä millä nimellä tahansa.

Lue lisää

Radiaani on sikäli perustavanlaatuinen, että se on perusteena mm. sinifunktion ja sen derivaatan määrittelyyn, kuten itsekin toteat. Sitä siniä, kosinia ym. käytetään mm. sähkö- ja värähtelyteknisissä laskelmissa. Käytännön sysistä niissä saatetaan käyttää myös "tutumpaa" asteskaalaa ikäänkuin radiaaniasteikon päälle liimattuna. Kun sanotaan, että vaihe on 120 astetta jäljessä toisesta, tarkoitetaan itse asiassa että se on 2pii/3 jäljessä. Samoin siellä sinin derivaatan arvo 60 asteen kohdalla (siis itse asiassa pii/3 kohdalla) on 0,5. Ei ehkä matemaattisesti puhdasoppista mutta toimii.

Ja vieläkin.. kirjoitti:

Radiaani ei ole mikään perussuurre matematiikassa (vrt .herzi), vaan käytännöllisyyden vuoksi käytetty nimitys kahden pituuden suhteesta (kaari/säde), joka on perusteena sini-funktion määritykseen.
Fysiikassa käytettyjen nimitysten sotkeminen matematiikan perusteisiin osoittaa vain että käsitteet on sekaisin.

Ei luulisi olevan ylivoimainen ymmärrettävä, että kahden pituuden suhde ei muutu, kutsuttiin sitä millä nimellä tahansa.

Lue lisää

Piirrä ne funktiot ja koita päätellä, ovatko derivaatan nollakohdat samoissa kohdissa.

Minua ällistyttää, kuinka vaikeaa näin helppo asia voi olla... Ja suureeksi radiaania ei kukaan ole väittänytkään.

Minä en keksi, miten näin helppoa asiaa voisi selkeämmin vääntää rautalangasta. Toivottavasti ette käytä matematiikka päivittäin, tai ainakaan opeta sitä missään.

Amazing kirjoitti:

Radiaani on sikäli perustavanlaatuinen, että se on perusteena mm. sinifunktion ja sen derivaatan määrittelyyn, kuten itsekin toteat. Sitä siniä, kosinia ym. käytetään mm. sähkö- ja värähtelyteknisissä laskelmissa. Käytännön sysistä niissä saatetaan käyttää myös "tutumpaa" asteskaalaa ikäänkuin radiaaniasteikon päälle liimattuna. Kun sanotaan, että vaihe on 120 astetta jäljessä toisesta, tarkoitetaan itse asiassa että se on 2pii/3 jäljessä. Samoin siellä sinin derivaatan arvo 60 asteen kohdalla (siis itse asiassa pii/3 kohdalla) on 0,5. Ei ehkä matemaattisesti puhdasoppista mutta toimii.

Lue lisää

Matematiikkaan ei kuulu mitkään suureet, vain funktioilla voi olla sovittuja nimiä.

Pitäkää ne fysiikan eri alueilla käytettävät suureet erillään matematiikasta.

Nyt menee jo täydelliseksi saivarteluksi, kun sinin derivaatasta kiistellään analyyttisen koordinaatiston mittaskaalalla.
Mitä tekemistä tällä typeryydellä on matematiikkapalstalla.

Voihan **** sentään kirjoitti:

Nyt menee jo täydelliseksi saivarteluksi, kun sinin derivaatasta kiistellään analyyttisen koordinaatiston mittaskaalalla.
Mitä tekemistä tällä typeryydellä on matematiikkapalstalla.

Lue lisää

Radiaanisini on edelleenkin eri asia kuin piirutangentti.

d/dt(sin(x) ...
Tällä on vähemmän merkitystä kuin sillä, että kun a = pi / 180,

d f / dx = ( df / dt ) *( dt / dx ) = df / a * dt

Kun f(x) = sin (x),

cos(x) =

d sin (x) / dx = d sin (a * t) / a dt

= a cos (t) / a
= cos (t)

Anonyymi kirjoitti:

d/dt(sin(x) ...
Tällä on vähemmän merkitystä kuin sillä, että kun a = pi / 180,

d f / dx = ( df / dt ) *( dt / dx ) = df / a * dt

Kun f(x) = sin (x),

cos(x) =

d sin (x) / dx = d sin (a * t) / a dt

= a cos (t) / a
= cos (t)

Lue lisää

Pitäisi olla a cos (a *t ) / a tai merkintä cos (a t) = cos_D (t) sille funktiolle, joka käyttää asteita.

Anonyymi kirjoitti:

Pitäisi olla a cos (a *t ) / a tai merkintä cos (a t) = cos_D (t) sille funktiolle, joka käyttää asteita.

Et näytä ymmärtävän mikä on on yhdistetty funktio ja miten sen derivaatta lasketaan (ketjusääntö). Kun sinulle "funktio käyttää asteita" niin taitaatapa olla turha yrittää selittää sinulle mitään.
Annoin oikean ja riittävän selostuksen viestissäni 2023-03-10 09:08:17

Anonyymi kirjoitti:

Et näytä ymmärtävän mikä on on yhdistetty funktio ja miten sen derivaatta lasketaan (ketjusääntö). Kun sinulle "funktio käyttää asteita" niin taitaatapa olla turha yrittää selittää sinulle mitään.
Annoin oikean ja riittävän selostuksen viestissäni 2023-03-10 09:08:17

Lue lisää

"Kun sinulle "funktio käyttää asteita" niin taitaatapa olla turha yrittää selittää sinulle mitään."

Sanoit itse:
"Olkoon argumentti x nyt radiaaneissa niinkuin se matematiikassa sinifunktiosta puhuttaessa yleensä on.."

Luulisi, että silloin 'argumentti' voi 'olla' jossain muussa, eikä aina ole radianeissa. Vai eikö saa sanoa 'funktio käyttää'? Millä sen voi kieltää?

Ohjelmoinnissa (ja ohjemissa, jotka ovat matematiikkaa varten) jokaisen trigonometrisen funktion yhteydessä lukee manuaalissa: "function uses radians". Tarkoitatko, että vaikka muita yksiköitä on keksitty, niistä ei saa kirjoittaa lauseita. Radiaanien pitäisi olla lausessa 'funktio käyttää...' jotenkin uniikki ja pervalentti sana, koska radiaanit ovat niin erikoisia? Voiko joku selittää mikä tekee radiaaneista erikoisia?
(Problemaattinen esimerkki, missä lukee funktiosta muutakin):
https://learn.microsoft.com/fi-fi/office/client-developer/visio/tanh-function

Voin perustella kielenkäytön muullakin tavalla:

Jos määritellään q on reaaliluku ja kaikki sin_q funktiot siten, että funktio sin_q on sama kuin radiaanien funktio sin (x) mutta argumentti kerrotaan q:llä:

sin_q (x) = sin (q * x)

-> sin (x) = sin_1 (x)

silloin tässä voidaan puhua funktioista, jotka käyttävät lukua q samalla tavalla kuin puhutaan logaritmifunktioista log_q. Ja tämä on yleistä kielenkäyttöä.

ks.
https://math.libretexts.org/Courses/Mount_Royal_University/MATH_1200:_Calculus_for_Scientists_I/1:_Limit__and_Continuity_of_Functions/1.9:_Limit_of_Exponential_Functions_and_Logarithmic_Functions

ln... "function uses natural e as its base"

Kirjoitanpa uudestaan. Meillä on funktio t(x) = 180/pii * x.Ja x(t) = pii/180 * t sen käänteisfunktio.
d/dx (sin(t(x)) = cos(t(x)) * 180/pii
d/dt (sin(x(t)) = cos(x(t)) * pii/180

Anonyymi kirjoitti:

Kirjoitanpa uudestaan. Meillä on funktio t(x) = 180/pii * x.Ja x(t) = pii/180 * t sen käänteisfunktio.
d/dx (sin(t(x)) = cos(t(x)) * 180/pii
d/dt (sin(x(t)) = cos(x(t)) * pii/180

Lue lisää

Tässä ei ole ongelmaa laskun kanssa. Mutta näissä kahdessa lausessa ei ole kyseessä muuttujanvaihto ja muuttujista toisiin siirtymisen seuraukset.

Muuttujanvaihto tehdään lauseeseen, joka on olemassa ennen muita muuttujia. Voi olla mm.
d/dx (sin (x))

Muuttujanvaihdon jälkeen ei ole vanhoja muuttujia. Ja tulos on mahdollisesti jotain, missä on uudelle funktiolle f
d/dt (f (t))
Tätä ei tarvitse tai edes voi tietää etukäteen. Siksi muuttujanvaihto tehdään siihen, mistä voi aloittaa, ja välivaiheiden kautta todistetaan, mitä siitä tulee.

...

Esim. sinun derivaattasi d/dx (sin(t(x)) ei ole sama kuin d/dx (sin (x)), paitsi jos t(x) = x.

...

Kun kirjoitat d/dt (sin(x(t)), se mitä teet, on että muutat alkuperäistä laskutehtävää tai sitä käyrää, jota lasketaan. Tehtävähän on oikesti täysin muuttujan merkinnästä riippumaton. Eli alussa oli minkä tahansa sin (u):n derivointi, mutta esitit sen paikalla sin (b*u):n derivoinnin. Tässä tulee käyttöön sisäfunktion derivointi, koska sisäfunktio on esitelty. Teit tämän vielä toiseen kertaan sin (u/b):lle.

Sanotaan, että äskeinen u-muuttuja ilmeistyi väitetystä muuttujan vaihdosta. Kun nämä tapaukset ovat antaneet jotain, on jäljellä jokin lauseke, joka sisältää 0-derivaattoja eli pelkkiä funktioita, kuten b * cos (b*u). Jos et pääse näistä lausekkeista takaisin x-lausekkeisiin, kåyttämällä sitä, mitä kutsutaan muuttujanvaihdoksi 'x->u:n jälkeen u->x', menetelmäsi ei ole ollut oikean muuttujanvaihdon kanssa identtinen. Tapauksessasi ei ole etukäteen tiedossa, mihin x-lauseeseen pitää mennä.


Tehtävissä, joissa ratkaistaan tehtävä tekemällä muuttujanvaihto, ei saa muuttaa tehtävää. Jotkut tässä ketjussa sanovat kovaan ääneen, että kun muutetaan radiaanit asteiksi, kaikki muuttuu samalla. Spesifisti: heillä voisi ilmeisesti olla olemassa käyrä y=f(x), mutta he eivät yritä esittää käyrää y=f(x) uudella t-muuttujalla: y=g(t), x=h(t), g(t) = f(h(t)). Tai y=f((x(t))), mikä ei ole hyvä merkintä.

Ovatko siis mielestäsi esim. sin(x) ja sin(3 cx) sama funktio? Molemmissahan on tuo "sin".
Yhdistetyn funktion käsite ei taida sinulle olla selvä?

Anonyymi kirjoitti:

Ovatko siis mielestäsi esim. sin(x) ja sin(3 cx) sama funktio? Molemmissahan on tuo "sin".
Yhdistetyn funktion käsite ei taida sinulle olla selvä?

Sinin derivaatta on edelleenkin cosini aivan riippumatta siitä, onko joku yhdistettyjä funktioita vai ei.

Anonyymi kirjoitti:

Ovatko siis mielestäsi esim. sin(x) ja sin(3 cx) sama funktio? Molemmissahan on tuo "sin".
Yhdistetyn funktion käsite ei taida sinulle olla selvä?

Sinulleko sini tietystä kulmasta antaa eri tuloksen ja eri derivaatan riippuen ilmaisetko kulman asteina vai radiaaneina.

"Ei, sinin derivaatta muuttuu, kun sen argumenttia muutetaan asteista radiaaneiksi tai päinvastoin."

Voit varmaan myös kirjoittaa sinin derivaatan. Ja kirjoittaa, miten se muuttuu?

"Esimerkiksi sinin derivaatta radiaaneina on kosini, kun taas asteina laskettuna derivaatta on erilainen kerroin. "

Voitko ottaa nämä lauseet:

sin (radiaanit)
cos (radiaanit)

ja muuttaa ne asteiksi? Kun olet muuttanut ne asteiksi, tiedetään, että alempi on sinin derivaatta asteissa?

Muutat asteita radiaaneiksi vaikka pyydettiin toisin. Tämä aiheuttaa hankaluuksia, kun meidän on oltava ensin yhtä mieltä yhdestä derivoinnista, ja olet kirjoittanut tämän derivaatan täyteen vakioita. Jos tuosta otetaan ('Oletuksemme'):
sin(x asteina) = sin(x radiaaneina * (180/π))

Jos derivoidaan oikea puoli x radiaanian:n suhteen .
D (sin(x radiaaneina * (180/π))) = ?

tästä tulee('Päävaiheemme-O')
(180/π) * cos (x radiaaneina * (180/π)))

Toista kautta olet valinnut jo etenemistavan, missä derivoidaan sin (x asteina), kuten sinä esität. Otan vain tuloksen:

d/dx sin(x asteina)
= cos(x radiaaneina * (180/π)) * (π/180)

(Lue 'kommentti' tähän)

Tämä on derivoitu vasenpuoli kohdasta nimeltä ('Oletuksemme'). Eli olkoon se nimeltään 'Päävaiheemme-V'

Nyt pitäisi olla 'Päävaiheemme-V' yhtäsuuri kuin 'Päävaiheemme-O:

(180/π) * cos (x radiaaneina * (180/π)))
=
cos(x radiaaneina * (180/π)) * (π/180)

mutta nämä heittävät (π/180) ^2 :n verran

Mutta silti väität, että olet derivoinut jotain ja muuttanut derivaatan radiaaneista asteiksi. Et selvästikään tunne yksiselitteistä tapaa muuttaa asioita radiaaneista asteiksi. Etkä osaa etenkään operoida yhtälöön 'Oletuksemme' molemmille puolille hyvin määritellyllä derivaatta-operaattorilla. Siinä mitä harrastat, ei ehkä pitäisi kirjoittaa tätä yhtälöä, kuin se olisi yhtälö asteiden ja radiaanilausekkeiden välillä. Tässä on kuitenkin ongelma, että oikeassa elämässä olevat tilanteet, joissa yhdet käyttävät asteita ja toiset radiaaneja, ovat oikeita tilanteita, ja niissä ikäänkuin tämän yhtäsuuruuden olemassaolo on toivottua.

Kommentti:
Tekstissäsi ei ollut derivaattaa, jonka lopputulos on asteina, vaikka asteita alettiin derivoida. Luulisi, että asteidenkin derivointi olisi tässä maailmassa näkyvä asteiden lauseke eli jotain f (x asteita). Mahdollisesti tuo derivointi oli sitä, mitä olet sanonut, ja olisin muuttanut asteista radiaaneiksi samalla tavalla itse ylimääräisessä vaiheessa.

Anonyymi kirjoitti:

Muutat asteita radiaaneiksi vaikka pyydettiin toisin. Tämä aiheuttaa hankaluuksia, kun meidän on oltava ensin yhtä mieltä yhdestä derivoinnista, ja olet kirjoittanut tämän derivaatan täyteen vakioita. Jos tuosta otetaan ('Oletuksemme'):
sin(x asteina) = sin(x radiaaneina * (180/π))

Jos derivoidaan oikea puoli x radiaanian:n suhteen .
D (sin(x radiaaneina * (180/π))) = ?

tästä tulee('Päävaiheemme-O')
(180/π) * cos (x radiaaneina * (180/π)))

Toista kautta olet valinnut jo etenemistavan, missä derivoidaan sin (x asteina), kuten sinä esität. Otan vain tuloksen:

d/dx sin(x asteina)
= cos(x radiaaneina * (180/π)) * (π/180)

(Lue 'kommentti' tähän)

Tämä on derivoitu vasenpuoli kohdasta nimeltä ('Oletuksemme'). Eli olkoon se nimeltään 'Päävaiheemme-V'

Nyt pitäisi olla 'Päävaiheemme-V' yhtäsuuri kuin 'Päävaiheemme-O:

(180/π) * cos (x radiaaneina * (180/π)))
=
cos(x radiaaneina * (180/π)) * (π/180)

mutta nämä heittävät (π/180) ^2 :n verran

Mutta silti väität, että olet derivoinut jotain ja muuttanut derivaatan radiaaneista asteiksi. Et selvästikään tunne yksiselitteistä tapaa muuttaa asioita radiaaneista asteiksi. Etkä osaa etenkään operoida yhtälöön 'Oletuksemme' molemmille puolille hyvin määritellyllä derivaatta-operaattorilla. Siinä mitä harrastat, ei ehkä pitäisi kirjoittaa tätä yhtälöä, kuin se olisi yhtälö asteiden ja radiaanilausekkeiden välillä. Tässä on kuitenkin ongelma, että oikeassa elämässä olevat tilanteet, joissa yhdet käyttävät asteita ja toiset radiaaneja, ovat oikeita tilanteita, ja niissä ikäänkuin tämän yhtäsuuruuden olemassaolo on toivottua.

Kommentti:
Tekstissäsi ei ollut derivaattaa, jonka lopputulos on asteina, vaikka asteita alettiin derivoida. Luulisi, että asteidenkin derivointi olisi tässä maailmassa näkyvä asteiden lauseke eli jotain f (x asteita). Mahdollisesti tuo derivointi oli sitä, mitä olet sanonut, ja olisin muuttanut asteista radiaaneiksi samalla tavalla itse ylimääräisessä vaiheessa.

Lue lisää

Tämä oli turhaa kirjoitusta, koska olit vain derivoinut väärin viimeisessä osassasi, etkä koskaan todella derivoinut vasenta puolta vaan siirryit oikealle. Joka on minullakin, mutta oikein laskettuna. Sanoin siis vain OP=OP, ja muu jäi tuntemattomaksi.

Anonyymi kirjoitti:

Muutat asteita radiaaneiksi vaikka pyydettiin toisin. Tämä aiheuttaa hankaluuksia, kun meidän on oltava ensin yhtä mieltä yhdestä derivoinnista, ja olet kirjoittanut tämän derivaatan täyteen vakioita. Jos tuosta otetaan ('Oletuksemme'):
sin(x asteina) = sin(x radiaaneina * (180/π))

Jos derivoidaan oikea puoli x radiaanian:n suhteen .
D (sin(x radiaaneina * (180/π))) = ?

tästä tulee('Päävaiheemme-O')
(180/π) * cos (x radiaaneina * (180/π)))

Toista kautta olet valinnut jo etenemistavan, missä derivoidaan sin (x asteina), kuten sinä esität. Otan vain tuloksen:

d/dx sin(x asteina)
= cos(x radiaaneina * (180/π)) * (π/180)

(Lue 'kommentti' tähän)

Tämä on derivoitu vasenpuoli kohdasta nimeltä ('Oletuksemme'). Eli olkoon se nimeltään 'Päävaiheemme-V'

Nyt pitäisi olla 'Päävaiheemme-V' yhtäsuuri kuin 'Päävaiheemme-O:

(180/π) * cos (x radiaaneina * (180/π)))
=
cos(x radiaaneina * (180/π)) * (π/180)

mutta nämä heittävät (π/180) ^2 :n verran

Mutta silti väität, että olet derivoinut jotain ja muuttanut derivaatan radiaaneista asteiksi. Et selvästikään tunne yksiselitteistä tapaa muuttaa asioita radiaaneista asteiksi. Etkä osaa etenkään operoida yhtälöön 'Oletuksemme' molemmille puolille hyvin määritellyllä derivaatta-operaattorilla. Siinä mitä harrastat, ei ehkä pitäisi kirjoittaa tätä yhtälöä, kuin se olisi yhtälö asteiden ja radiaanilausekkeiden välillä. Tässä on kuitenkin ongelma, että oikeassa elämässä olevat tilanteet, joissa yhdet käyttävät asteita ja toiset radiaaneja, ovat oikeita tilanteita, ja niissä ikäänkuin tämän yhtäsuuruuden olemassaolo on toivottua.

Kommentti:
Tekstissäsi ei ollut derivaattaa, jonka lopputulos on asteina, vaikka asteita alettiin derivoida. Luulisi, että asteidenkin derivointi olisi tässä maailmassa näkyvä asteiden lauseke eli jotain f (x asteita). Mahdollisesti tuo derivointi oli sitä, mitä olet sanonut, ja olisin muuttanut asteista radiaaneiksi samalla tavalla itse ylimääräisessä vaiheessa.

Lue lisää

Jos kaksi reaalilukua kerrotaan keskenään niin ei tuosta mitään yhdistettyä funktiota tule eikä se vaikuta derivaattaan millään lailla.

Anonyymi kirjoitti:

Tämä oli turhaa kirjoitusta, koska olit vain derivoinut väärin viimeisessä osassasi, etkä koskaan todella derivoinut vasenta puolta vaan siirryit oikealle. Joka on minullakin, mutta oikein laskettuna. Sanoin siis vain OP=OP, ja muu jäi tuntemattomaksi.

Lue lisää

Vaikka emme osanneet derivoida vasenta puolta, meillä on periaatteessa sen vastaus. Pelkän vastauksen olemassaolo riittää vähäisempiin johtopäätöksiin. Käytän samoja lauseita kuin sinä, mutta eri merkinnöillä. Siksi, ennen kuin tehdään mitään, katsotaan vielä tätä kohtaa, jota tulemme tarvitsemaan lopussa.

x on kulma radiaaneissa
b on reaaliluku

d/dx sin (b*x) = b cos (b*x)

Lausu tätä ääneen:
b-kertaisen sinin derivaatan amplitudi on b
b-kertaisen sinin derivaatan amplitudi on b
b-kertaisen sinin derivaatan amplitudi on b

Otetaan nyt lausekkeet joissa oli oletus ja tapa alkaa derivoimaan sitä vain oikeaa puolta käyttäen

sin(x asteina) = sin(x radiaaneina * (180/π))
d/dx sin(x asteina) = d/dx sin(x radiaaneina * (180/π))

Eli uskotaan tämän jälkimmäisen yhtälön vain olevan totta, kun siinä tehdään derivaatan sisälle sijoitus v.p. = o.p. ensimmäisestä yhtälöstä.

Kirjoitan kuitenkin asteet symboolilla t muotoon t = b*x. Derivoidaan d/dx ja käytetään oletuksen identiteettiä

sin (t) = sin (b*x)
d/dx sin (t) = d/dx sin (b*x)

Suoritetaan loppuun

d/dx sin (b*x) = b cos (b*x)

Kerätään tämä tieto nyt yhteen. Meillä on kaksi derivointia

d/dx sin (b*x) = b cos (b*x)
d/dx sin (t) = b cos (b*x)

Molempien derivaattojen amplitudi on b.

Silloin lauseet

'Ei, sinin derivaatta muuttuu, kun sen argumenttia muutetaan asteista radiaaneiksi tai päinvastoin.'

'Esimerkiksi sinin derivaatta radiaaneina on kosini, kun taas asteina laskettuna derivaatta on erilainen kerroin. Siksi on tärkeää käyttää oikeaa kulmayksikköä laskettaessa trigonometristen funktioiden derivaattoja.'

ovat kaikki väärin.

Anonyymi kirjoitti:

Vaikka emme osanneet derivoida vasenta puolta, meillä on periaatteessa sen vastaus. Pelkän vastauksen olemassaolo riittää vähäisempiin johtopäätöksiin. Käytän samoja lauseita kuin sinä, mutta eri merkinnöillä. Siksi, ennen kuin tehdään mitään, katsotaan vielä tätä kohtaa, jota tulemme tarvitsemaan lopussa.

x on kulma radiaaneissa
b on reaaliluku

d/dx sin (b*x) = b cos (b*x)

Lausu tätä ääneen:
b-kertaisen sinin derivaatan amplitudi on b
b-kertaisen sinin derivaatan amplitudi on b
b-kertaisen sinin derivaatan amplitudi on b

Otetaan nyt lausekkeet joissa oli oletus ja tapa alkaa derivoimaan sitä vain oikeaa puolta käyttäen

sin(x asteina) = sin(x radiaaneina * (180/π))
d/dx sin(x asteina) = d/dx sin(x radiaaneina * (180/π))

Eli uskotaan tämän jälkimmäisen yhtälön vain olevan totta, kun siinä tehdään derivaatan sisälle sijoitus v.p. = o.p. ensimmäisestä yhtälöstä.

Kirjoitan kuitenkin asteet symboolilla t muotoon t = b*x. Derivoidaan d/dx ja käytetään oletuksen identiteettiä

sin (t) = sin (b*x)
d/dx sin (t) = d/dx sin (b*x)

Suoritetaan loppuun

d/dx sin (b*x) = b cos (b*x)

Kerätään tämä tieto nyt yhteen. Meillä on kaksi derivointia

d/dx sin (b*x) = b cos (b*x)
d/dx sin (t) = b cos (b*x)

Molempien derivaattojen amplitudi on b.

Silloin lauseet

'Ei, sinin derivaatta muuttuu, kun sen argumenttia muutetaan asteista radiaaneiksi tai päinvastoin.'

'Esimerkiksi sinin derivaatta radiaaneina on kosini, kun taas asteina laskettuna derivaatta on erilainen kerroin. Siksi on tärkeää käyttää oikeaa kulmayksikköä laskettaessa trigonometristen funktioiden derivaattoja.'

ovat kaikki väärin.

Lue lisää

(sivuraiteilla edellisestä)

Ollaan keskusteltu muutujanvaihdosta ja derivoinnista. Alkuperäinen idea todistaa, mitä yllä oikeasti tapahtuu, tapahtuisi tekemällä näitä asioita eri järjestyksessä. Jokaisen vaiheen tekeminen ja sen todistus on oma aiheensa, mutta tähän asioiden tekemiseen kahdessa eri järjestyksessä liittyy toinenkin asia. Voisi ajatella, että muuttujanvaihto on kuin operaattori M, joka operoi lausekkeeseen f(x) tehden siitä toisen lausekkeen (g(t)). Se tehdään ennen tai jälkeen derivointia D. Meillä olisi

(M) f(x) = ?
(D) f(x) = d/dx f(x)

Tällöin se, että tähän astiset väitteeni eivät aina tuottaisi sitä tulosta, joka on kuten amplitudi on aina sama b, on mahdollista myös silloin, kun operaattorit eivät tuota samaa lauseketta eri järjestyksessä. Tämä on usein nimeltään operaattorien kommutattori, missä
MD - DM = 0, tai (MD) f(x) = (DM) f(x).
jos järjestyksellä ei ole väliä.

Tämä näyttää vaikealta ja abstraktilta voidakseen antaa mitään tulosta tämän ketjun aiheeseen puoleen tai toiseen. Pystyn kuitenkin laskemaan kyseisen kommutattorin tässä olevalle tapaukselle hyvin helposti.

Kun funktiomme on f(x) = x, muuttujanvaihtomme tulee tosiasiassa näkyviin
(M) x = a*t
Tästä seuraavat kaikki muut f:t, kuten
(M) sin (x) = sin (a*t)

Jos olemme ratkaisemassa ongelmia, joissa vaaditaan, että radiaanit x ja asteet t kertovat jotain samasta kulmasta, meillä on olemassa erikseen vaatimus (merkitään numerolla (1))
sin (x) = sin (a*t)_____(1)

Tätä yhtälöä (1) käyttämällä nähdään, että M on tosiasiassa indentiteetti-operaattori, joka pitää lauseet f, muuttumattomina:

(alku) ... (M) sin (x) = sin (a*t)

(1) => ... = sin (x)

eli

(M) sin (x) = sin (x)

Tämän operaattorin merkintä on yleensä I niinkuin identiteetti. Kaikille operaattoreille A on voimassa AI - IA = 0.

Tämän johdosta ei olisi mahdollista odottaa, että asteiden käyttö ennen derivoinnin tekemistä eroaa sitä, mitä tapahtuu jos derivoi ensin.

Tärkeää huomata: Yleinen operaattori, mutta joka tekee mitä M tekee, voi olla sekalaista symboolien vaihtoa. Kun M määritellään muuttujanvaihdoksi tai sellaisen yhteydessä, samassa tilanteessa on aina mukanaan ehto, kuten (1).

Koska M on vain identiteetti, ei kannata huom. koskaan tuoda missään muualla esille sitä, että ajattelisi muuttujanvaihdon lauseeseen tai käyrään f(x) olevan jokin operaatio f(x):ään.

Tässä on nyt ollut paljon kirjoittajia mutta minä olen se joka kirjoitti 2023-03-11 09:45:29.
Et vieläkään ymmärrä että kyseessä on yhdistetty funktio. Tai sitten vaan huviksesi intät.

Otetaan esimerkiksi sinifunktion Taylor-sarja origon suhteen kehitettynä.
sin(x) = x + (2) missä tuo (2) tarkoittaa 1, astetta korkeampia termejä.Olkoon x = pii/6 eli 30 astetta. Tuossa on x:n kertoimena d/dx (sin(x)) pisteessä x = 0 kuten tiennet. Tämä on cos(0) = 1.
Näin ollen tässä aproksimaatiossa sin(pii/6) = pii/6 = 0,524. Tarkempi arvo on 0,5

Otetaan nyt asteissa Sinun tavallasi saadaan . sin(30) = 30 sillä cos(0) = 1.
Oikein laskettaessa sin(30) = pii/180*30 = pii/6 = 0,524 kuten nedelläkin.

Muistutan nyt vielä, että f:n Taylor sarja on: f(x) = f(0) + f'(0) x + (2).

Mahdatko nyt ymmärtää että suureella d/dx (sin(x)) = cos(x) on nuo eri arvot riippuen nsiitä lasketaanko radiaaneissa (matematiikassa yleinen tapa) vai asteissa?

Jos et, lienet vainn trollaava inttäkjä.

Anonyymi kirjoitti:

Tässä on nyt ollut paljon kirjoittajia mutta minä olen se joka kirjoitti 2023-03-11 09:45:29.
Et vieläkään ymmärrä että kyseessä on yhdistetty funktio. Tai sitten vaan huviksesi intät.

Otetaan esimerkiksi sinifunktion Taylor-sarja origon suhteen kehitettynä.
sin(x) = x (2) missä tuo (2) tarkoittaa 1, astetta korkeampia termejä.Olkoon x = pii/6 eli 30 astetta. Tuossa on x:n kertoimena d/dx (sin(x)) pisteessä x = 0 kuten tiennet. Tämä on cos(0) = 1.
Näin ollen tässä aproksimaatiossa sin(pii/6) = pii/6 = 0,524. Tarkempi arvo on 0,5

Otetaan nyt asteissa Sinun tavallasi saadaan . sin(30) = 30 sillä cos(0) = 1.
Oikein laskettaessa sin(30) = pii/180*30 = pii/6 = 0,524 kuten nedelläkin.

Muistutan nyt vielä, että f:n Taylor sarja on: f(x) = f(0) f'(0) x (2).

Mahdatko nyt ymmärtää että suureella d/dx (sin(x)) = cos(x) on nuo eri arvot riippuen nsiitä lasketaanko radiaaneissa (matematiikassa yleinen tapa) vai asteissa?

Jos et, lienet vainn trollaava inttäkjä.

Lue lisää

Tuli taas tuo saamarin plussa-ongelma. Taylor-sarja on : f(x) = f(0) plus f'(0) x plus (2).
Samoin tuolla aiemmin: sin(x) = x plus (2)..
On se kumma että eivät korjaa tuota plus-ongelmaa.

Anonyymi kirjoitti:

Tässä on nyt ollut paljon kirjoittajia mutta minä olen se joka kirjoitti 2023-03-11 09:45:29.
Et vieläkään ymmärrä että kyseessä on yhdistetty funktio. Tai sitten vaan huviksesi intät.

Otetaan esimerkiksi sinifunktion Taylor-sarja origon suhteen kehitettynä.
sin(x) = x (2) missä tuo (2) tarkoittaa 1, astetta korkeampia termejä.Olkoon x = pii/6 eli 30 astetta. Tuossa on x:n kertoimena d/dx (sin(x)) pisteessä x = 0 kuten tiennet. Tämä on cos(0) = 1.
Näin ollen tässä aproksimaatiossa sin(pii/6) = pii/6 = 0,524. Tarkempi arvo on 0,5

Otetaan nyt asteissa Sinun tavallasi saadaan . sin(30) = 30 sillä cos(0) = 1.
Oikein laskettaessa sin(30) = pii/180*30 = pii/6 = 0,524 kuten nedelläkin.

Muistutan nyt vielä, että f:n Taylor sarja on: f(x) = f(0) f'(0) x (2).

Mahdatko nyt ymmärtää että suureella d/dx (sin(x)) = cos(x) on nuo eri arvot riippuen nsiitä lasketaanko radiaaneissa (matematiikassa yleinen tapa) vai asteissa?

Jos et, lienet vainn trollaava inttäkjä.

Lue lisää

Huuhaajutut on hauskoja. Keksi lisää.

Anonyymi kirjoitti:

Tässä on nyt ollut paljon kirjoittajia mutta minä olen se joka kirjoitti 2023-03-11 09:45:29.
Et vieläkään ymmärrä että kyseessä on yhdistetty funktio. Tai sitten vaan huviksesi intät.

Otetaan esimerkiksi sinifunktion Taylor-sarja origon suhteen kehitettynä.
sin(x) = x (2) missä tuo (2) tarkoittaa 1, astetta korkeampia termejä.Olkoon x = pii/6 eli 30 astetta. Tuossa on x:n kertoimena d/dx (sin(x)) pisteessä x = 0 kuten tiennet. Tämä on cos(0) = 1.
Näin ollen tässä aproksimaatiossa sin(pii/6) = pii/6 = 0,524. Tarkempi arvo on 0,5

Otetaan nyt asteissa Sinun tavallasi saadaan . sin(30) = 30 sillä cos(0) = 1.
Oikein laskettaessa sin(30) = pii/180*30 = pii/6 = 0,524 kuten nedelläkin.

Muistutan nyt vielä, että f:n Taylor sarja on: f(x) = f(0) f'(0) x (2).

Mahdatko nyt ymmärtää että suureella d/dx (sin(x)) = cos(x) on nuo eri arvot riippuen nsiitä lasketaanko radiaaneissa (matematiikassa yleinen tapa) vai asteissa?

Jos et, lienet vainn trollaava inttäkjä.

Lue lisää

"Mahdatko nyt ymmärtää että suureella d/dx (sin(x)) = cos(x) on nuo eri arvot riippuen nsiitä lasketaanko radiaaneissa (matematiikassa yleinen tapa) vai asteissa?"

(Saivartelen tässä lähinnä siitä, miten tämä viimeisin viestisi onnistuu tekemään väitteitä)
Tässä derivaatassa ei ole yhdistettyä funktiota kyseessä (epätriviaalisti), vaikka jostain syystä väität sellaisen olevan.

Sait tulokseksi nimenomaan samat arvot ja _riippumatta mistään_.! Jos voit saada derivaatan arvoksi 1 (pisteessä joka on extremaali), on kaksi mahdollisuutta. Et ole tehnyt joko yhtään yhdistetystä funktiosta johtuvaa derivaattaa, jotka muuttavat yleensä amplitudia, tai olet kumonnut sellaisen vastaluvullaan.

Se mitä teit oli lähinnä syöttää cosiin aina aina sama kulma kuin mitä syötit siniin. Tämä ei opeta ketään derivoimaan cosia sinistä (niin vaikeasti kuin tämä ketju yrittää sen saavuttaa), mutta näemme aina tuloksen (ajattelin jo käyttää samaa lähestymistapaa toisen henkilön kanssa, joten vertaa tätä siihen).

Myöskään lauseessa d/dx (sin(x)) = cos(x) ei ole kyseessä yhden asian laskeminen sekä radiaaneissa että asteissa (*). Jos haluaa laskea kummassakin täytyy kirjoittaa myös sin (x) = sin (a * t) käyttäen t:tä merkitsemään asteita 0-360. Kuten tähän mennessä on monta kertaa osattu muiden kirjoittajien kanssa tehdä. Ja tavan pitäisi olla hyväksi todettu. Sinulta tämä kohta vielä jotenkin uupuu.

Myöskään ei ole mitään tosiasiallista tapaa 'laskea eri tavalla' tällaista lausetta. Kirjoitan tästä tänään tarkemmin ylläolevalle henkilölle, kun vertaan operaattoreita eli lausekeeseen operoimista ja muuttujanvaihtoa.

(*) Tämä tekstilause tarkoittaa muuten vain sitä, että yhtälössä, jossa on vain x, on nimenomaan näennäisesti vain yhdessä sen hetkisessä x:n yksikössä laskemista. Tämä näennäisyys on merkittävä asia tässä keskustelussa. Minun kantani on, että näennäinen ero ei aiheuta oikeita muutoksia, ja sinä vain ehkä esitit oman asiasi huonommin kuin aiemmin.

Anonyymi kirjoitti:

"Mahdatko nyt ymmärtää että suureella d/dx (sin(x)) = cos(x) on nuo eri arvot riippuen nsiitä lasketaanko radiaaneissa (matematiikassa yleinen tapa) vai asteissa?"

(Saivartelen tässä lähinnä siitä, miten tämä viimeisin viestisi onnistuu tekemään väitteitä)
Tässä derivaatassa ei ole yhdistettyä funktiota kyseessä (epätriviaalisti), vaikka jostain syystä väität sellaisen olevan.

Sait tulokseksi nimenomaan samat arvot ja _riippumatta mistään_.! Jos voit saada derivaatan arvoksi 1 (pisteessä joka on extremaali), on kaksi mahdollisuutta. Et ole tehnyt joko yhtään yhdistetystä funktiosta johtuvaa derivaattaa, jotka muuttavat yleensä amplitudia, tai olet kumonnut sellaisen vastaluvullaan.

Se mitä teit oli lähinnä syöttää cosiin aina aina sama kulma kuin mitä syötit siniin. Tämä ei opeta ketään derivoimaan cosia sinistä (niin vaikeasti kuin tämä ketju yrittää sen saavuttaa), mutta näemme aina tuloksen (ajattelin jo käyttää samaa lähestymistapaa toisen henkilön kanssa, joten vertaa tätä siihen).

Myöskään lauseessa d/dx (sin(x)) = cos(x) ei ole kyseessä yhden asian laskeminen sekä radiaaneissa että asteissa (*). Jos haluaa laskea kummassakin täytyy kirjoittaa myös sin (x) = sin (a * t) käyttäen t:tä merkitsemään asteita 0-360. Kuten tähän mennessä on monta kertaa osattu muiden kirjoittajien kanssa tehdä. Ja tavan pitäisi olla hyväksi todettu. Sinulta tämä kohta vielä jotenkin uupuu.

Myöskään ei ole mitään tosiasiallista tapaa 'laskea eri tavalla' tällaista lausetta. Kirjoitan tästä tänään tarkemmin ylläolevalle henkilölle, kun vertaan operaattoreita eli lausekeeseen operoimista ja muuttujanvaihtoa.

(*) Tämä tekstilause tarkoittaa muuten vain sitä, että yhtälössä, jossa on vain x, on nimenomaan näennäisesti vain yhdessä sen hetkisessä x:n yksikössä laskemista. Tämä näennäisyys on merkittävä asia tässä keskustelussa. Minun kantani on, että näennäinen ero ei aiheuta oikeita muutoksia, ja sinä vain ehkä esitit oman asiasi huonommin kuin aiemmin.

Lue lisää

Et näköjään ymmärrä matematiikasta mitään

. Viimeistän tuo Taylor-sarja-esimerkkini olisi pitänyt selittää asia sinulle. Onhan siinä x-termin kertoimena f'(0) eli tässä tapauksessa cos(0) = 1. Joten jos derivaatat olisivat samat riippumatta siitä, onko x lausuttu asteissa vai radiaaneissa, olisi sin(30) = cos(0)*30 plus (2 ) = 30 plus (2).Mutta se on cos(0) * pii/180 * 30 plus (2)= 0,524 plus (2).

Kun x on radiaaneissa, sin(pii/6) = cos(0) * pii/6 plus (2) = 0,524 plus + (2).

Et sinä taida trolli olla vaan yksinkertaisesti ääliö. Kummassakaan tapauksessa ei sinulle kannattane enrmpää vastailla. Saat kernaasti pitää virheelliset käsityksesi. Tuskin se muita lukijoita pahemmin turmelee.

Anonyymi kirjoitti:

Et näköjään ymmärrä matematiikasta mitään

. Viimeistän tuo Taylor-sarja-esimerkkini olisi pitänyt selittää asia sinulle. Onhan siinä x-termin kertoimena f'(0) eli tässä tapauksessa cos(0) = 1. Joten jos derivaatat olisivat samat riippumatta siitä, onko x lausuttu asteissa vai radiaaneissa, olisi sin(30) = cos(0)*30 plus (2 ) = 30 plus (2).Mutta se on cos(0) * pii/180 * 30 plus (2)= 0,524 plus (2).

Kun x on radiaaneissa, sin(pii/6) = cos(0) * pii/6 plus (2) = 0,524 plus (2).

Et sinä taida trolli olla vaan yksinkertaisesti ääliö. Kummassakaan tapauksessa ei sinulle kannattane enrmpää vastailla. Saat kernaasti pitää virheelliset käsityksesi. Tuskin se muita lukijoita pahemmin turmelee.

Lue lisää

Otan tosiaan takaisin sanani siitä, että olisit saanut viestissäsi jonkun uuden tuloksen kysymykselle, mikä derivaatta on siitä ja siitä. Kyseessä oli kuitenkin vain pelkkä funktion tulos, eikä minun olisi pitänyt mainita tässä ketjussa, mitä pelkistä funktioista tulee tulokseksi.

Oikesti viestisi oli siis vain siitä huono, että oletat tietäväsi, mitä f'(0) tarkoitta (minusta ja sinusta ja 'eri tapauksista'). Sinulle f'(0) oli sama kuin yllä oleva alempi yhtälösi
d/dt (sin(x(t)) = cos(x(t)) * pii/180
Seuraavaksi alat käyttää sitä käytännössä, ja kuvittelet sitten, että se todistaa jotain. Sanoin jo kerran, että siinä esiintyy oikea lasku. Voin sanoa myös, että se on lisäksi oikea lasku _käyttää_, kun yrittää ottaa funktion kuten sin (a*t) ja kirjoittaa sen sarjaksi. Sarja on kuitenkin vain toinen funktio f(t). Tämä ei ole prosessi, missä tarvitsee tehdä mitään t:n ja x:n välillä. Tai mitään, mistä on ollut puhetta.

Me muut yritämme keskustella, mistä muistakin asiosita f'(0):ssa oli kyse.

Anonyymi kirjoitti:

Otan tosiaan takaisin sanani siitä, että olisit saanut viestissäsi jonkun uuden tuloksen kysymykselle, mikä derivaatta on siitä ja siitä. Kyseessä oli kuitenkin vain pelkkä funktion tulos, eikä minun olisi pitänyt mainita tässä ketjussa, mitä pelkistä funktioista tulee tulokseksi.

Oikesti viestisi oli siis vain siitä huono, että oletat tietäväsi, mitä f'(0) tarkoitta (minusta ja sinusta ja 'eri tapauksista'). Sinulle f'(0) oli sama kuin yllä oleva alempi yhtälösi
d/dt (sin(x(t)) = cos(x(t)) * pii/180
Seuraavaksi alat käyttää sitä käytännössä, ja kuvittelet sitten, että se todistaa jotain. Sanoin jo kerran, että siinä esiintyy oikea lasku. Voin sanoa myös, että se on lisäksi oikea lasku _käyttää_, kun yrittää ottaa funktion kuten sin (a*t) ja kirjoittaa sen sarjaksi. Sarja on kuitenkin vain toinen funktio f(t). Tämä ei ole prosessi, missä tarvitsee tehdä mitään t:n ja x:n välillä. Tai mitään, mistä on ollut puhetta.

Me muut yritämme keskustella, mistä muistakin asiosita f'(0):ssa oli kyse.

Lue lisää

En ole sanonut noin
Vaan näin: . f'(0) = cos(x(0))*pii/180) = cos(0) * pii/180 = pii/180.

Ei siniin eikä cosiniin tarvitse laittaa mitään asteita eikä radiaaneja. Pelkkä x riittää.
Kas näin:
d/dx (sin(x)) = cos (x).

Anonyymi kirjoitti:

Ei siniin eikä cosiniin tarvitse laittaa mitään asteita eikä radiaaneja. Pelkkä x riittää.
Kas näin:
d/dx (sin(x)) = cos (x).

Jos haluaa tietää sinin derivaatan arvon jollain muuttujan arvolla, niin sitten esimerkiksi sinin derivaatta x:n arvolla 0 on cos(0) = 1. Vastaavasti sinin derivaatta arvolla 90° on cos(90°) = 0.
Helppoa kun pitää korvansa auki matikantunnilla.

Anonyymi kirjoitti:

Jos haluaa tietää sinin derivaatan arvon jollain muuttujan arvolla, niin sitten esimerkiksi sinin derivaatta x:n arvolla 0 on cos(0) = 1. Vastaavasti sinin derivaatta arvolla 90° on cos(90°) = 0.
Helppoa kun pitää korvansa auki matikantunnilla.

Lue lisää

Jos radiaanit kiinnostavat niin samaan lopputulokseen pääsee kun sinin derivaatalle laskee arvon kohdassa π/2:
cos (π/2) = 0.

"aksona 2 pii ja sin(t) on jaksollinen nfunktio, jaksona 360.
Näillä funktioilla on siis eri määritysalue joten ne ovat eri funktioita.Niiden derivaatatkaan eivät ole samat."

Huuhaata puskee jälleen palstalle.
Sinifuntion jakso ei ole 360 vaan 360° joka on määritelmän mukaan 2π .

Anonyymi kirjoitti:

"aksona 2 pii ja sin(t) on jaksollinen nfunktio, jaksona 360.
Näillä funktioilla on siis eri määritysalue joten ne ovat eri funktioita.Niiden derivaatatkaan eivät ole samat."

Huuhaata puskee jälleen palstalle.
Sinifuntion jakso ei ole 360 vaan 360° joka on määritelmän mukaan 2π .

Lue lisää

Voi kun pääsit muna kovana taas pätemään.

Anonyymi kirjoitti:

Voi kun pääsit muna kovana taas pätemään.

Ja huuhaapelle itkee.

Anonyymi kirjoitti:

Ja huuhaapelle itkee.

Ei kun minua naurattaa niin hemmetisti, miten joku tulee ja alkaa ihan pätemisen ilosta korjaamaan, että itsheashiasha she on 360 ASHTETTA eikä 360.

Anonyymi kirjoitti:

Ei kun minua naurattaa niin hemmetisti, miten joku tulee ja alkaa ihan pätemisen ilosta korjaamaan, että itsheashiasha she on 360 ASHTETTA eikä 360.

Ja huuhaapelle se itkee aina vaan kun sen idioottimaisille jutuille nauretaan.

Anonyymi kirjoitti:

Ja huuhaapelle se itkee aina vaan kun sen idioottimaisille jutuille nauretaan.

Kerro lisää missä voit alkaa keulimaan :) Oliko jossain pilkkuvirhe? Kerro vaikka miten surkeaa kenenkään elämä voi olla, että päätyy suomi24lle korjaamaan tuollaisia virheitä.

Anonyymi kirjoitti:

Kerro lisää missä voit alkaa keulimaan :) Oliko jossain pilkkuvirhe? Kerro vaikka miten surkeaa kenenkään elämä voi olla, että päätyy suomi24lle korjaamaan tuollaisia virheitä.

Lue lisää

Jos kerran mielestäsi 360° on yhtä kuin 360 niin silloin 360 on yhtä kuin 2π.
Tosiasiassa noilla on melkoinen ero. Varmaan jollain lailla keulimalla olet säätänyt nuo yhtäsuuriksi ja koko jankutuksesi kaatuu tuohon.

Anonyymi kirjoitti:

Jos kerran mielestäsi 360° on yhtä kuin 360 niin silloin 360 on yhtä kuin 2π.
Tosiasiassa noilla on melkoinen ero. Varmaan jollain lailla keulimalla olet säätänyt nuo yhtäsuuriksi ja koko jankutuksesi kaatuu tuohon.

Lue lisää

Suomi24 on ihan kuin Nasan laskelmat. Minulle teettää vaikeuksia keksiä typerämpää pikku virhettä, jota väittää erittäin merkittäväksi. Ymmärrän, että sinulla on aika korkea autismin kirjo, mutta vinkkinä: älä lähetä luotaimia avaruuteen suomi24:n pohjalta eikä universumissa ole pienempää epätarkkuutta kuin keskustelupalstalla astemerkin puute.

Sinifunktion määrittelyalue on reaaliluvut, ja maalialue -1 ... 1.
sin: R -> [-1,1]

Tämä sin tarkoittaa lähes aina niin kutsuttua radiaani-funktiota. Sinien erot tulevat siitä, mitä reaalilukuja kuvataan miksikin luvuksi. Sinin tapauksesa kaiken tiedon saa myös tuntemalla ns. jakson päätepisteen, kuten 2pi. Funktio on pelkkä kuvaus ja kartta, joka ei perustu siihen, mitä muuttujia on määritelty ongelmassa. Eikä itse siniin vaikuta esim. se, onko sen sisällä oleva lauseke funktio, joka on näistä muuttujista.

Jos sanotaan olevan olemassa kaksi sinifunktiota tai uusia funktioita per muuttuja, tämä on yleensä turhaa. Tässä viime päivien keskustelussa sille ei esim. ole tarvetta. Eikä kukaan ole ollut kovin hyvä pitämään kirjaa siitä, että funktioita nimeltä sin on useita, ja niilä on jotain eroa.

"Niitä sitoo yhteen muunnosfunktio t (x) = 180/pii * x ja sen käänteisfunktio x(t) = pii/180 * t."

Tämä on huonosti esitetty, koska funktiota varten ei tarvitse esittää muuttujia eikä silloin myöskään relaatioita muuttujien välillä. Jos halutaan tehdä useita sini-funktiota, se tapahtuu mielummin määrittelemällä yleinen sinifunktio, jossa on parametri. Yleinen asia on silloin jotain, mikä on monelle funktiolle yhteistä ja sitovaa. Parametri voi olla jaksonpituus tai vakio, jolla kerrotaan radiaanifunktion sisällä. Tässä jälkimmäisessä tapauksessa olet ikäänkuin kirjoittanut tälle parametrille uuden lisämerkityksen muuttujien välisessä suhteessa. Ensimmäinen merkitys parametrille on tietysti se kummasta alat ensin puhumaan: eri sini-funktioista vai muuttujien vaihdosta (muuttujienvaihdossa taas ei ole kyseessä mikään asetettu funktiopaletti, vaan vaihto vaikuttaa kaikkeen ja se kaikki on vielä tuntematonta).

On olemassa äskeistäkin parempi yleistystapa. Tapa tehdä jokin funktio,mitä ei vielä ole, olisi tehdä se sinin määritelmän eli geometrian perustella. Näin ajateltuna useilla sineillä ei ole mitään yhteistä geometrian lisäksi. Emmekä varsinkaan odota, että on olemassa funktio, joka antaa, ja jonka pitää antaa muut funktiot. Tällä on kiinnostavinta merkitystä sitten, kun unohdamme muut funktiot emmekä enää tiedä, miten derivaattoja pitää määritellä (tarkoitan d/dt sin_aste (t) -tapauksesta lähtien) tai joudumme todistamaan ne samalla tavalla kuin radiaani-funktiolle todistettiin aikanaan. Sitä ennen huomioidaan, että jakson päätepiste voi ilmaantua myös ilman tietoa muista funktioista. Voimme siis tällöinkin arvata, että sen voi merkitä näkyviin, kun kerromme funktiostamme muille. Kun funktio määritellään suoraan geometriasta, silloin jakson päätepiste on se, mitä vaikkapa tulee kuudesta 60-asteen kulmasta kolmion (90-30-60) sivujen suhteen eli sinien avulla. Tässä oletetaan, että yleensä kulmat annetaan lukuina, jotka yksinkertaisesti muodostavat uuden kulman nykyisten kulmien summista.

"sin(t) on yhdistetty funktio sin(t(x)) ) = sin(180/pii * x) ja sen derivaatta on"

Minkään funktion ei ole pakko olla yhdistetty funktio. Tai kun on olemassa funktio, se että se on yhdistetty funktio, on triviaali identiteetti. Tämän takia olisi järkevintä esittää tuloksina vain:
d/dt sin_aste (t) = cos_aste (t) / a

Jos ollaan sitä mieltä, että kaikiken sinien äiti on radiaanisini, niin tähän saa edetä välivaiheiden kautta. On kuitenkin olemassa olentoja, jotka osaavat funktion nähdessään derivoida sen vain koska se on funktio.

Tähän voi tutustua ensin radiaanien-derivoinnin todistuksella
https://www.cuemath.com/calculus/derivative-of-sin-x/
(Method 1)

Kohta, missä tulee tapahtumaan eroavaisuus, on raja-arvossa
lim x->0 (sin (t) / t)
Kaikki funktiot ja muuttujat näyttävät aivan samalta molemmille sineille. Emme siis esim. aloita näkemällä sisäfunktioita emmekä myöskään lopeta niihin. Vaikka merkintä on sama voit esim. piirtää funktiot ja nähdä raja-arvon olevan jo eri kuin radiaaneille. Jos näitä radiaaneja olisi olemassa, voisit myös laskea tarkan raja-arvon niillä.

Miten tällainen raja-arvo on alunperin löydetty on kuitenkin menetelmä, joka on tässä esityksessä sivulla 15:
http://www.csun.edu/~ama5348/calculus/presentations/math150a_2_7video.pdf

Kyseiset sektorin pinta-alat voidaan ilmaista asteissa, koska ne ovat ympyrän pinta-ala suhteessa siihen paljonko on annettu kulmaa verrattuna ympyrään. Sektori-OAB olisi
pi cos(t) ^2 * t / 360

Näistä merkinnöistä seuraa lopulta raja-arvo, joka kertoo cosiini-termin
lim x->0 (sin_aste (t) / t) = pi / 180

Laita tuohon kaavaasi θ = 0° niin saat että cos (θ) = 1 ja sinin derivaatta on 0,0175.
Ei tainnut mennä ihan oikein.

Anonyymi kirjoitti:

Laita tuohon kaavaasi θ = 0° niin saat että cos (θ) = 1 ja sinin derivaatta on 0,0175.
Ei tainnut mennä ihan oikein.

ei niin, sinin derivaattahan on aina kosini!

Anonyymi kirjoitti:

Laita tuohon kaavaasi θ = 0° niin saat että cos (θ) = 1 ja sinin derivaatta on 0,0175.
Ei tainnut mennä ihan oikein.

Et näy ymmärtävän että sin(x) ja sin(t) ovat eri funktioita kun x on nradiaaneissa tai kun t on asteissa.
sin(x) kuvaa kaistan (0 <= x <= 2 pii) suljetulle eaalivälille (0,1).
sin(t) kuvaa välin (0 <= t <= 360) tuolle samalle välille.
Eiväthän ne ole sama funktio eikä niillä siis voi olla sama derivaatta.

Anonyymi kirjoitti:

Et näy ymmärtävän että sin(x) ja sin(t) ovat eri funktioita kun x on nradiaaneissa tai kun t on asteissa.
sin(x) kuvaa kaistan (0 <= x <= 2 pii) suljetulle eaalivälille (0,1).
sin(t) kuvaa välin (0 <= t <= 360) tuolle samalle välille.
Eiväthän ne ole sama funktio eikä niillä siis voi olla sama derivaatta.

Lue lisää

cos (x) ja sin (x) kuvaa ihan mitä tahansa välille [-1, 1] oli x ihan mitä tahansa. x voi olla binääriläku tai desimaaliluku tai irrationaaliluku.
Jos vielä määritellään että 360° = 2π niinkuin alkeistrigonometriassa tehdään , niin jokainen peruskolun menestyksellä käynyt tajuaa sen, mistä on kysymys.
Ei tuohon tarvitse säveltää mitään ihkaomaa ja uutta korkeampaa matematiikkaa.

Anonyymi kirjoitti:

Et näy ymmärtävän että sin(x) ja sin(t) ovat eri funktioita kun x on nradiaaneissa tai kun t on asteissa.
sin(x) kuvaa kaistan (0 <= x <= 2 pii) suljetulle eaalivälille (0,1).
sin(t) kuvaa välin (0 <= t <= 360) tuolle samalle välille.
Eiväthän ne ole sama funktio eikä niillä siis voi olla sama derivaatta.

Lue lisää

Sori. Piti kirjoittamani: .. välille ( -1, 1)

Anonyymi kirjoitti:

cos (x) ja sin (x) kuvaa ihan mitä tahansa välille [-1, 1] oli x ihan mitä tahansa. x voi olla binääriläku tai desimaaliluku tai irrationaaliluku.
Jos vielä määritellään että 360° = 2π niinkuin alkeistrigonometriassa tehdään , niin jokainen peruskolun menestyksellä käynyt tajuaa sen, mistä on kysymys.
Ei tuohon tarvitse säveltää mitään ihkaomaa ja uutta korkeampaa matematiikkaa.

Lue lisää

Ei tarvitakaan. Riittää kun ymmärtää, että funktion määritelmän olennainen osa on myös funktion lähtöalue ja että on olemassa käsite "yhdistetty funktio".

Esitin jo aiemmin esimerkin joka näköjään täytyy toistaa. Sinifunktion Taylor sarja on
sin(x) = x plus (2). Jos t on asteissa, sin(t) = t plus (2) jos kerran derivaatat olisivat samat.
Siis sin(30) = 30 plus (2). Onko?
Mutta sin(pii/6) = pii/6 plus (2)
Ja sin(30) = pii/180 * 30 plus (2) = pii/6 plus (2).

Tuo (2) siis tarkoitti sarjan 1. astetta korkeampien termien summaa.
Ja funktion f Tasylor-sarjassa (origon suhteen) f(x) = f(0) plus f'(0) * x plus (2) eli
f'(0) on tuon x:n kerroin.

Anonyymi kirjoitti:

Ei tarvitakaan. Riittää kun ymmärtää, että funktion määritelmän olennainen osa on myös funktion lähtöalue ja että on olemassa käsite "yhdistetty funktio".

Esitin jo aiemmin esimerkin joka näköjään täytyy toistaa. Sinifunktion Taylor sarja on
sin(x) = x plus (2). Jos t on asteissa, sin(t) = t plus (2) jos kerran derivaatat olisivat samat.
Siis sin(30) = 30 plus (2). Onko?
Mutta sin(pii/6) = pii/6 plus (2)
Ja sin(30) = pii/180 * 30 plus (2) = pii/6 plus (2).

Tuo (2) siis tarkoitti sarjan 1. astetta korkeampien termien summaa.
Ja funktion f Tasylor-sarjassa (origon suhteen) f(x) = f(0) plus f'(0) * x plus (2) eli
f'(0) on tuon x:n kerroin.

Lue lisää

Parasta on kun lopetat huuhaajuttujen ja Taylorin sarjoista kirjoittelemisen. Niitä ei tässä keskustelussa eikä asiassa tarvita.
Sinin tai kosinin laskemisessa ei mitään yhdistettyjä tai yhdistämättömiä funktioita tarvita. Riittää kun ymmärtää että määritelmän mukaan 2π = 360°.
Tässä esimerkkejä kun kerran niistä tykkäät:
sin (0) = sin (0°) = 0.
sin (π/2) = sin (90°) = 1.
sin (π) = sin (180°) = 0.
sin (3π/2) = sin (270°) = -1.
sin (2π) = sin (360°) = 0.

Anonyymi kirjoitti:

Parasta on kun lopetat huuhaajuttujen ja Taylorin sarjoista kirjoittelemisen. Niitä ei tässä keskustelussa eikä asiassa tarvita.
Sinin tai kosinin laskemisessa ei mitään yhdistettyjä tai yhdistämättömiä funktioita tarvita. Riittää kun ymmärtää että määritelmän mukaan 2π = 360°.
Tässä esimerkkejä kun kerran niistä tykkäät:
sin (0) = sin (0°) = 0.
sin (π/2) = sin (90°) = 1.
sin (π) = sin (180°) = 0.
sin (3π/2) = sin (270°) = -1.
sin (2π) = sin (360°) = 0.

Lue lisää

Sille, joka edes tuntee derivaatan määritelmän:
Olkoon x radiaaneissa ja t asteissa.
(1) d/dx sin(x) = lim (dx -> 0) (sin(x plus dx) - sin(x)) / dx
(2) d/dt sin(t) = lim(dt -> 0) (sin(t+dt) - sin(t))/dt
Kun t ja x merkitsevät samaa kulmaa eli kun t = 180/pii * x on lausekkeiden (1) ja (2) osoittajilla sama arvo. Sen sijaan nimittäjän dt = 180/pii*dx.
Lausekkeen (2) raja-arvo on siis pii/180 * lausekkeen (1) raja-arvo.

Anonyymi kirjoitti:

Sille, joka edes tuntee derivaatan määritelmän:
Olkoon x radiaaneissa ja t asteissa.
(1) d/dx sin(x) = lim (dx -> 0) (sin(x plus dx) - sin(x)) / dx
(2) d/dt sin(t) = lim(dt -> 0) (sin(t dt) - sin(t))/dt
Kun t ja x merkitsevät samaa kulmaa eli kun t = 180/pii * x on lausekkeiden (1) ja (2) osoittajilla sama arvo. Sen sijaan nimittäjän dt = 180/pii*dx.
Lausekkeen (2) raja-arvo on siis pii/180 * lausekkeen (1) raja-arvo.

Lue lisää

Sävellä lisää korkeampaa matematiikkaasi niin sitten nauretaan.

Anonyymi kirjoitti:

Sävellä lisää korkeampaa matematiikkaasi niin sitten nauretaan.

Mies tulee räkänokastakin vaan ei tyhjän naurajasta!

Anonyymi kirjoitti:

Sävellä lisää korkeampaa matematiikkaasi niin sitten nauretaan.

Et edes vastannut kysymykseeni 2023-03-14 10:18:57.
Funktion määritelmän mukaan meillä on kaksi eri funktiota. Miten niillä voi olla sama derivaatta kutren tunnut luulevan?

Anonyymi kirjoitti:

Et edes vastannut kysymykseeni 2023-03-14 10:18:57.
Funktion määritelmän mukaan meillä on kaksi eri funktiota. Miten niillä voi olla sama derivaatta kutren tunnut luulevan?

Lue lisää

Sinulla voi olla ziljoona funktiota.
Sinin derivaatan selvittämiseen minulle riittää tasan yksi funktio.

Anonyymi kirjoitti:

Mies tulee räkänokastakin vaan ei tyhjän naurajasta!

Entäs jos päästää räkänaurun uusien sinifunktioiden keksijöiden jutuille. Todistaisiko se jotain?

Anonyymi kirjoitti:

cos (x) ja sin (x) kuvaa ihan mitä tahansa välille [-1, 1] oli x ihan mitä tahansa. x voi olla binääriläku tai desimaaliluku tai irrationaaliluku.
Jos vielä määritellään että 360° = 2π niinkuin alkeistrigonometriassa tehdään , niin jokainen peruskolun menestyksellä käynyt tajuaa sen, mistä on kysymys.
Ei tuohon tarvitse säveltää mitään ihkaomaa ja uutta korkeampaa matematiikkaa.

Lue lisää

Ei ihan kaikkea, nimittäin kompleksilukuja!
Esim.
sin(π/2 + i) = (1+e^2)/(2e) = 1,543...

Anonyymi kirjoitti:

Ei ihan kaikkea, nimittäin kompleksilukuja!
Esim.
sin(π/2 i) = (1 e^2)/(2e) = 1,543...

Onneksi sentään kurkun käyryyden pystyy laskemaan. Vai pystyykö?

Anonyymi kirjoitti:

Ei ihan kaikkea, nimittäin kompleksilukuja!
Esim.
sin(π/2 i) = (1 e^2)/(2e) = 1,543...

Ai niin, plussa-ongelma!
sin(π/2➕i) = (1➕e²)/(2e)

Anonyymi kirjoitti:

Ai niin, plussa-ongelma!
sin(π/2➕i) = (1➕e²)/(2e)

Nyt meni kurkun käyryydenkin laskeminen ihan turhan kompleksiseksi.

Anonyymi kirjoitti:

Nyt meni kurkun käyryydenkin laskeminen ihan turhan kompleksiseksi.

sin(pii/2 plus i) = sin(pii/2) * cos(i) plus cos(pii/2) *sin(i) = cos(i) = cosh(1) = (e plus 1/e) /2 =
(e^2 + 1) /(2 e)

Anonyymi kirjoitti:

sin(pii/2 plus i) = sin(pii/2) * cos(i) plus cos(pii/2) *sin(i) = cos(i) = cosh(1) = (e plus 1/e) /2 =
(e^2 1) /(2 e)

No jopas jäi taas yksi plussa pois. P.O. : (e^2 plus 1) /(2 e)

Anonyymi kirjoitti:

No jopas jäi taas yksi plussa pois. P.O. : (e^2 plus 1) /(2 e)

Voisiko tuolla menetelmällä myös selvittää Serena Williamsin hyödykkeiden keskimääräisen halkaisijan vai meneekö ihan imaginaariajatteluksi?