Ketkä tarvivat työssään osata todistaa matemaattisesti joku lause? onko nämä todistukset nyt aivan matemaatikkojen heiniä vai tarviiko ne oikeasti osata? Itse lasken perus derivaattoja ja en osaa todistaa derivaattaa.
Antakaa joku tosi helppo esimerkki ja selittäkää tuo derivaatan todistaminen, jossain lauseessa.
Kiitos etukäteen.
matemaattinen todistaminen
jafsjfjasfjasfj
32
6060
Vastaukset
- kopvkkskn
Tekstisi kirjoitusvirheet rasittavat suunnattomasti aivojani ja silmiäni. Neuvoisin sinua kirjoittamaan selkeämpää ja korrektimpaa kieltä.
- yksi vain
Tuo todistamisen tarve riippuu vähän siitä mitä todistamisella tarkoitat. IT-hommissa tulee usein eteen tilanteita, missä joutuu ainakin itselleen todistamaan, että joku algoritmi todella aina toimii. Mutta mitään muodollisesti kirjoitettuja matemaattisia todistuksia nämä eivät ole, eivät ainakaan siinä mielessä, että niillä pitäisi jollekin muulle kuin itselle jotain todistaa.
Mutta periaate on sama kuin matemaattisissa todistuksissa: osoitetaan, että jos algoritmi toimii yhdessä tapauksessa (ja tarkistetaan, että se myös toimii), toimii se kaikissa (induktio) tai osoitetaan, että virheellinen toiminta on mahdottomuus (epäsuora todistus).
Mitä tarkoitat derivaatan todistamisella? Derivaattahan on määritelmän mukaan erotusosamäärän raja-arvo, joka siis joko on olemassa tai ei ole. Ei määriteltyjä asioita tarvitse todistaa. Jos esimerkiksi määrittelen, että jakolasku on kertolaskun käänteisfunktio, ei minun tarvitse erikseen todistaa, että a/b = c jos bc = a, koska tämä seuraa suoraan jakolaskun määritelmästä.
Vai tarkoitatko derivaatan todistamisella sitä, että pitäisi todistaa, että jonkin tietyn funktion f derivaattafunktio on f', vaikkapa että funktion f(x) = x^2 derivaattafunktio on f'(x) = 2x ?- jasf ajsf
Vai tarkoitatko derivaatan todistamisella sitä, että pitäisi todistaa, että jonkin tietyn funktion f derivaattafunktio on f', vaikkapa että funktion f(x) = x^2 derivaattafunktio on f'(x) = 2x ?
joo. Juuri tätä tarkoita. En tajua ollenkaan, koko prosessia. Voitko todistaa tuon kirjoittamsi lauseen?
Kiitos avusta. - yksi vain
jasf ajsf kirjoitti:
Vai tarkoitatko derivaatan todistamisella sitä, että pitäisi todistaa, että jonkin tietyn funktion f derivaattafunktio on f', vaikkapa että funktion f(x) = x^2 derivaattafunktio on f'(x) = 2x ?
joo. Juuri tätä tarkoita. En tajua ollenkaan, koko prosessia. Voitko todistaa tuon kirjoittamsi lauseen?
Kiitos avusta.Derivaatan määritelmä:
Df(x) = lim(h->0)((f(x h)-f(x))/h)
Nyt f(x) = x^2, joka sijoitettuna määritelmään tekee:
Dx^2 = lim(h->0)(((x h)^2 - x^2)/h)
Dx^2 = lim(h->0)((x^2 2hx h^2-x^2)/h)
Dx^2 = lim(h->0)((2hx h^2)/h)
Dx^2 = lim(h->0)(2x h)
Dx^2 = 2x
- Toristaja
Lausekkeiden sieventäminen ja muut muunnokset, esimerkiksi derivonti, ovat jo tavallaan todistamista. Niissähän edetään jo todistettujen sääntöjen mukaan vaiheesta toiseen.
Edellä olleessa postauksessa mainittu tietokoneohjelmanpätkän oikeaksi todistaminen on myös erinomainen esimerkki. Tämänkaltaista todistamista tarvitaan ohjelmoinnissa, vaikka sitä ei aina edes tunnisteta. Kokeneet ohjelmoijat tekevät sitä kaiken aikaa sekä koodatessaan ja virheiden jäljityksessä.
Eräänlaista todistamista on myös vianhaku teknisissä laitteissa ja järjestelmissä. Esimerkiksi vuotavan vesijohdon löytämiseksi suljetaan ja avataan venttiilejä verkoston eri kohdissa ja päätellään näiden avulla viallisen paikan sijainti.
Todistamisen huippu on tietysti matemaattinen tutkimus. Joissakin tapauksissa todistukset ovat hyvinkin pitkiä ja ovelia. Tällöin todisteluun eksyy helposti myös virheitä. Esimerkiksi neliväriprobleeman todistus esitettiin jo 1800-luvulla, mutta se osoitettiin myöhemmin virheelliseksi. Vasta 100 vuoden kuluttua saatiin lopullinen todistus.
Laajassa mielessä todistamista on kaikenlainen päättely, missä alkutilanteesta ja tunnetuista tosiasioista lähtien tullaan johonkin lopputulokseen. Mikäli alkutilanne on tosi ja päättelyketju on virheetön, niin lopputuloskin on tosi.- algebrikko
"Laajassa mielessä todistamista on kaikenlainen päättely, missä alkutilanteesta ja tunnetuista tosiasioista lähtien tullaan johonkin lopputulokseen"
Todistaminen ja osoittaminen ovat eri asioita, vaikka kummassakin päätellään asioita lähtötilanteesta lopputulokseen. - -maallikko-
algebrikko kirjoitti:
"Laajassa mielessä todistamista on kaikenlainen päättely, missä alkutilanteesta ja tunnetuista tosiasioista lähtien tullaan johonkin lopputulokseen"
Todistaminen ja osoittaminen ovat eri asioita, vaikka kummassakin päätellään asioita lähtötilanteesta lopputulokseen.mutta vaatinee jonkinlaista askeleen ottamista normaalin kielenkäytön piiristä ns.matematiikan sisäkehään :) Eiköhän arkimerkityksessään osoittaminen, todistaminen, näyttö, perustelu liene aika lailla samaa asiaa. Etenkin tosi-suuntaan ajatellessa.
Yllä mainittiin tietokoneohjelman oikeellisuuden arvioimisesta. Lienee tosin arkikielessäkin merkityseroja siinä mielessä, että jos ohjelma toimii selvästi väärin, niin ei tarvinne yleensä matemaattisesti 'todistaa' (selväjärkinen havainto riittää), että toimii väärin. (Paitsi nipo autokauppias, kun uusi elektroniikka vielä 'pykii', niin vaatii asiakkaalta vian ns.osoittamista, ennen kuin haluaa ottaa takuukorjaukseen :/)
Mutta toiseen suuntaan, ohjelmien oikeaksi todistaminen lienee visainen pala tänäkin päivänä vielä, eli tietokonekauden alkuajat on hyvin pitkälle tultu toimeen periaatteella: oikein on jos siltä tuntuu. Ja monesti 'oikein' on ollutkin, ennen kuin tulee uusi ennakoimaton tapaus, suojaus puuttuu... ja äkkiä tilanne onkin kuin sarjakuvissa!
Matematiikan teorioissahan näin ei tarkoiteta käyvän, että homma romahtaa (ei tosin ohjelmissäkaan :) Eli "algebrikko" voisi hieman valaista, mitä eroja noiden sanojen merkityksissä on matematiikassa. Onko sanoilla jotain tiukkuusasteita, että näyttö olisi löysempi kuin osoitus tms. Onko todistus sitten se teoriaan kirjoitettava virallinen sana ym.tällaista.. - algebrikko
-maallikko- kirjoitti:
mutta vaatinee jonkinlaista askeleen ottamista normaalin kielenkäytön piiristä ns.matematiikan sisäkehään :) Eiköhän arkimerkityksessään osoittaminen, todistaminen, näyttö, perustelu liene aika lailla samaa asiaa. Etenkin tosi-suuntaan ajatellessa.
Yllä mainittiin tietokoneohjelman oikeellisuuden arvioimisesta. Lienee tosin arkikielessäkin merkityseroja siinä mielessä, että jos ohjelma toimii selvästi väärin, niin ei tarvinne yleensä matemaattisesti 'todistaa' (selväjärkinen havainto riittää), että toimii väärin. (Paitsi nipo autokauppias, kun uusi elektroniikka vielä 'pykii', niin vaatii asiakkaalta vian ns.osoittamista, ennen kuin haluaa ottaa takuukorjaukseen :/)
Mutta toiseen suuntaan, ohjelmien oikeaksi todistaminen lienee visainen pala tänäkin päivänä vielä, eli tietokonekauden alkuajat on hyvin pitkälle tultu toimeen periaatteella: oikein on jos siltä tuntuu. Ja monesti 'oikein' on ollutkin, ennen kuin tulee uusi ennakoimaton tapaus, suojaus puuttuu... ja äkkiä tilanne onkin kuin sarjakuvissa!
Matematiikan teorioissahan näin ei tarkoiteta käyvän, että homma romahtaa (ei tosin ohjelmissäkaan :) Eli "algebrikko" voisi hieman valaista, mitä eroja noiden sanojen merkityksissä on matematiikassa. Onko sanoilla jotain tiukkuusasteita, että näyttö olisi löysempi kuin osoitus tms. Onko todistus sitten se teoriaan kirjoitettava virallinen sana ym.tällaista..Valitettavasti en tiedä todistuksen ja osoituksen eroa. Kandia kirjoittaessani kirjoitin yhteen kohtaan "todistetaan", mutta ohjaajani käski korjata sen muotoon "osoitetaan". Siten sanoilla on oltava jokin ero matematiikassa, mutta enpä muistanut selvittää asiaa perinpohjin.
- Q. Mark
algebrikko kirjoitti:
Valitettavasti en tiedä todistuksen ja osoituksen eroa. Kandia kirjoittaessani kirjoitin yhteen kohtaan "todistetaan", mutta ohjaajani käski korjata sen muotoon "osoitetaan". Siten sanoilla on oltava jokin ero matematiikassa, mutta enpä muistanut selvittää asiaa perinpohjin.
Ero on itsellenikin epäselvä, mutta tällainen on mielessä. Osoittamisessa päästään lopputulokseen jo todistettuja laskusääntöjä tms. käyttämällä. Todistaminen taas liittyy noiden sääntöjen luomiseen.
Esimerkki. Päädytään numeerisen ongelman ratkaisuun yleisellä tasolla soveltaen Newton-Raphsonin menetelmää; kysymys on osoittamisesta. Todistamista taas tekivät Newton ja Raphson. - yksi vain
algebrikko kirjoitti:
Valitettavasti en tiedä todistuksen ja osoituksen eroa. Kandia kirjoittaessani kirjoitin yhteen kohtaan "todistetaan", mutta ohjaajani käski korjata sen muotoon "osoitetaan". Siten sanoilla on oltava jokin ero matematiikassa, mutta enpä muistanut selvittää asiaa perinpohjin.
Itse ymmärtäisin niin, että todistamisessa osoitetaan jonkun väitteen totuusarvo. Osoittaminen taas on (myös todistamisessa käytettyä) loogista päättelyä, joka etenee vaiheesta toiseen.
Väite: Neliöjuuri 2 on irrationaalinen.
Todistus: Osoitetaan, että jos neliöjuuri 2 olisi rationaalinen, seuraisi tästä ristiriita.
Osoittaminen on myös minusta väljempää kuin todistaminen. Jos esimerkiksi jakolasku määritellään siten, että a/b tarkoittaa sitä lukua c, jolle pätee bc=a, voidaan (annetun määritelmän pohjalta) osoittaa, että 0/0=0 (koska 0*0=0), tai että 0/0=1 (koska 0*1=0), tai että 0/0=2, jne. Tämä tietenkin on järjetöntä, eli määritelmämme jakolaskulle ei ehkä ollut paras mahdollinen. Osoitukset olivat kuitenkin (annettujen lähtökohtien pohjalta) ihan oikein. Mitään ei kuitenkaan tainnut tulla todistettua, ainakaan laskutoimituksen 0/0 tuloksesta - korkeintaan todistimme että annettu jakolaskun määritelmä johtaa ristiriitaan. - mat.dil.
algebrikko kirjoitti:
Valitettavasti en tiedä todistuksen ja osoituksen eroa. Kandia kirjoittaessani kirjoitin yhteen kohtaan "todistetaan", mutta ohjaajani käski korjata sen muotoon "osoitetaan". Siten sanoilla on oltava jokin ero matematiikassa, mutta enpä muistanut selvittää asiaa perinpohjin.
näyttää esim. ettei numerojono "123456789" piin desimaaleissa löydy missään, ja pystyy vielä perustelemaan asian ja vakuuttamaan (matemaatikot lähinnä), lienee kyseessä todistus. Jos taas joku tietokoneella askaroidessaan sattumoisin huomaa, että siellähän se jossain vilahti--- ja pystyy toistamaan sen, niin onko se matemaattinen todistus? Vai pitäisikö siihen varmennukseksi jokin formulointi pystyä rakentamaan päälle, minkä näki jo "suoraan päältä".
Karkea käsitys on, että väittämiä todistetaan, joko oikeaksi tai vääräksi. Sitten jos on saman asian vaihtoehtoisia määritelmiä, niin niitten kesken osoitetaan, ettei eri määritelmien vuoksi jouduta teoriassa ristiriitoihin.
Luonnollinen kielihän on täynnänsä kaikkia epämääräisyyksiä: ajatellaan vaikka käsitteet puhelinnumero tai sähkömittarin numero. Matematiikan 'rohvessori' tykkäisi kai paremmin sanoa puhelinluku, ja ehkä myöskin sähkömittarin luku!
Jännä sinänsä, että luonnollisen kielen puitteissä ei tule kiinnittäneeksi huomiota tällaisiin, vaikka olisi kasassa kokonainen mat.alan tutkinto. Ja rohvessorit eivät (hajamielisyyttään?) tule tulkaneeksi luonnon kielen ja matematiikkasanontojen välisiä vastaavuuksia. Sinälläänhän tuo ei salaista tietoa liene, vaikka tässä 10 min. googletuksella ei tyhjentävää selvitystä asialle löytynyt 8/ - Toristaja
mat.dil. kirjoitti:
näyttää esim. ettei numerojono "123456789" piin desimaaleissa löydy missään, ja pystyy vielä perustelemaan asian ja vakuuttamaan (matemaatikot lähinnä), lienee kyseessä todistus. Jos taas joku tietokoneella askaroidessaan sattumoisin huomaa, että siellähän se jossain vilahti--- ja pystyy toistamaan sen, niin onko se matemaattinen todistus? Vai pitäisikö siihen varmennukseksi jokin formulointi pystyä rakentamaan päälle, minkä näki jo "suoraan päältä".
Karkea käsitys on, että väittämiä todistetaan, joko oikeaksi tai vääräksi. Sitten jos on saman asian vaihtoehtoisia määritelmiä, niin niitten kesken osoitetaan, ettei eri määritelmien vuoksi jouduta teoriassa ristiriitoihin.
Luonnollinen kielihän on täynnänsä kaikkia epämääräisyyksiä: ajatellaan vaikka käsitteet puhelinnumero tai sähkömittarin numero. Matematiikan 'rohvessori' tykkäisi kai paremmin sanoa puhelinluku, ja ehkä myöskin sähkömittarin luku!
Jännä sinänsä, että luonnollisen kielen puitteissä ei tule kiinnittäneeksi huomiota tällaisiin, vaikka olisi kasassa kokonainen mat.alan tutkinto. Ja rohvessorit eivät (hajamielisyyttään?) tule tulkaneeksi luonnon kielen ja matematiikkasanontojen välisiä vastaavuuksia. Sinälläänhän tuo ei salaista tietoa liene, vaikka tässä 10 min. googletuksella ei tyhjentävää selvitystä asialle löytynyt 8/Jos matemaatikko saa julkaistuksi vaikkapa kymmenien sivujen pituisen todistuksen kuuluisaan probleemaan, niin onko se varmasti oikein? Artikkelin referee ei ehkä ole ehtinyt tutkia todistusta riittävän huolellisesti. Silloin kuitenkin useat saman alan tutkijat ryhtyvät käymään todistusta läpi suurennuslasilla, koska he ovat ehkä itsekin yrittäneet todistaa samaa asiaa. He kiljuisivat riemusta, jos onnistuisivat löytämään virheen. Jos kukaan ei löydä virhettä, niin asia katsotaan vähitellen lopullisesti selvitetyksi, varsinkin jos todistusta pystytään vielä yksinkertaistamaan. Kuitenkin voi vieläkin käydä niin, että todistus on jollakin umpikierolla tavalla virheellinen, ja vasta joku tulevaisuuden väitöskirjantekijä huomaa sen.
Monimutkaisissa todistuksissa on joskus pakko täyttää jokin aukkopaikka tietokoneen suorittamalla vaihtoehtojen täydellisellä tutkimisella, tai ainakin helpottaa mutkikkaiden lausekkeiden käsittelyä. Puhdasverisimpien matemaatikkojen on ehkä vaikeaa hyväksyä tällaista todistusta, koska se nojautuu siihen oletukseen, että tietokone ei juuri tee virheitä. Yleensä virhe on ohjelmassa. Nytkin asia varmentuu tiedeyhteisön yhteistyöllä, kun jokin toinen porukka tekee saman toisenlaisella ohjelmalla ja laitteistolla.
Voidaan siis todeta, että mutkikkaammat matemaattiset todistukset on katsottava oikeiksi vasta, kun niitä on tarkastettu riittävän monen asiantuntijan voimin. Silloinkin voi mieleen ryömiä pieni epäilyksen kyy. Pahimmassa tapauksessa joku nero voi osoittaa teorian perusoletukset ristiriitaisiksi, jolloin kaikki kaatuu. Erityisesti matemaattisen filosofian tutkijat pitävätkin matematiikkaa kovin epätäsmällisenä tieteenä. - rty...
Toristaja kirjoitti:
Jos matemaatikko saa julkaistuksi vaikkapa kymmenien sivujen pituisen todistuksen kuuluisaan probleemaan, niin onko se varmasti oikein? Artikkelin referee ei ehkä ole ehtinyt tutkia todistusta riittävän huolellisesti. Silloin kuitenkin useat saman alan tutkijat ryhtyvät käymään todistusta läpi suurennuslasilla, koska he ovat ehkä itsekin yrittäneet todistaa samaa asiaa. He kiljuisivat riemusta, jos onnistuisivat löytämään virheen. Jos kukaan ei löydä virhettä, niin asia katsotaan vähitellen lopullisesti selvitetyksi, varsinkin jos todistusta pystytään vielä yksinkertaistamaan. Kuitenkin voi vieläkin käydä niin, että todistus on jollakin umpikierolla tavalla virheellinen, ja vasta joku tulevaisuuden väitöskirjantekijä huomaa sen.
Monimutkaisissa todistuksissa on joskus pakko täyttää jokin aukkopaikka tietokoneen suorittamalla vaihtoehtojen täydellisellä tutkimisella, tai ainakin helpottaa mutkikkaiden lausekkeiden käsittelyä. Puhdasverisimpien matemaatikkojen on ehkä vaikeaa hyväksyä tällaista todistusta, koska se nojautuu siihen oletukseen, että tietokone ei juuri tee virheitä. Yleensä virhe on ohjelmassa. Nytkin asia varmentuu tiedeyhteisön yhteistyöllä, kun jokin toinen porukka tekee saman toisenlaisella ohjelmalla ja laitteistolla.
Voidaan siis todeta, että mutkikkaammat matemaattiset todistukset on katsottava oikeiksi vasta, kun niitä on tarkastettu riittävän monen asiantuntijan voimin. Silloinkin voi mieleen ryömiä pieni epäilyksen kyy. Pahimmassa tapauksessa joku nero voi osoittaa teorian perusoletukset ristiriitaisiksi, jolloin kaikki kaatuu. Erityisesti matemaattisen filosofian tutkijat pitävätkin matematiikkaa kovin epätäsmällisenä tieteenä.Jos nyt lukaisee vaikka näitä sivulta löytyvät prujut läpi, niin osaa todistaa jo jotakin:
http://matriisi.ee.tut.fi/courses/MAT-21160/p5/index.html
http://www.students.tut.fi/~majorl/algmat/
Kyllähän vaikka noita totuusfunktiota voisi käyttää, ja käytetäänkin, osoittamaan tietokoneohjelmien oikeaa toimintaa. Syy siihen, että niitä ei juurikaan käytetä, johtunee resursseista ja myös osaamattomuudesta. - Sh. Holmes
Toristaja kirjoitti:
Jos matemaatikko saa julkaistuksi vaikkapa kymmenien sivujen pituisen todistuksen kuuluisaan probleemaan, niin onko se varmasti oikein? Artikkelin referee ei ehkä ole ehtinyt tutkia todistusta riittävän huolellisesti. Silloin kuitenkin useat saman alan tutkijat ryhtyvät käymään todistusta läpi suurennuslasilla, koska he ovat ehkä itsekin yrittäneet todistaa samaa asiaa. He kiljuisivat riemusta, jos onnistuisivat löytämään virheen. Jos kukaan ei löydä virhettä, niin asia katsotaan vähitellen lopullisesti selvitetyksi, varsinkin jos todistusta pystytään vielä yksinkertaistamaan. Kuitenkin voi vieläkin käydä niin, että todistus on jollakin umpikierolla tavalla virheellinen, ja vasta joku tulevaisuuden väitöskirjantekijä huomaa sen.
Monimutkaisissa todistuksissa on joskus pakko täyttää jokin aukkopaikka tietokoneen suorittamalla vaihtoehtojen täydellisellä tutkimisella, tai ainakin helpottaa mutkikkaiden lausekkeiden käsittelyä. Puhdasverisimpien matemaatikkojen on ehkä vaikeaa hyväksyä tällaista todistusta, koska se nojautuu siihen oletukseen, että tietokone ei juuri tee virheitä. Yleensä virhe on ohjelmassa. Nytkin asia varmentuu tiedeyhteisön yhteistyöllä, kun jokin toinen porukka tekee saman toisenlaisella ohjelmalla ja laitteistolla.
Voidaan siis todeta, että mutkikkaammat matemaattiset todistukset on katsottava oikeiksi vasta, kun niitä on tarkastettu riittävän monen asiantuntijan voimin. Silloinkin voi mieleen ryömiä pieni epäilyksen kyy. Pahimmassa tapauksessa joku nero voi osoittaa teorian perusoletukset ristiriitaisiksi, jolloin kaikki kaatuu. Erityisesti matemaattisen filosofian tutkijat pitävätkin matematiikkaa kovin epätäsmällisenä tieteenä.Jos todistukseen sisältyy jonkun toisen tekemän algiritmin käyttö, niin sen matemaattinen loogisuus on oltava todistettu. Vähän tietysti on hämärän rajamailla, jos analyyttisen ongelman välivaiheessa tarvitaan numeerisen tuloksen tuottavaa algoritmia. Tapauskohtaista.
Tuo "riittävän monen asiantuntijan tarkastelu" on kyllä käytännössä sitä sun tätä. Jos kysymys ei ole todella aktuellista tai riittävän tärkestä uudesta (tai klassisesta) ongelmasta, niin harva matemaatikko viitsii alkaa uudelleen kelaamaan koko juttua juurta jaksain. Omaa vastaavaa kun pitää myös suoltaa, jos mieli pysyä näkkärin syrjässä kiinni, eikä sittenkään pysy; tunnustuspalkinnot riittävät vain vesivelliin ilman jauhoa. Onneksi nyt kuitenkin on tuo sovelluspuoli, jolla meikäläinenkin voi ansaita jotain, kun Boolet tuli aikoinaan omaksuttua kunnolla. - -maallikko-
Toristaja kirjoitti:
Jos matemaatikko saa julkaistuksi vaikkapa kymmenien sivujen pituisen todistuksen kuuluisaan probleemaan, niin onko se varmasti oikein? Artikkelin referee ei ehkä ole ehtinyt tutkia todistusta riittävän huolellisesti. Silloin kuitenkin useat saman alan tutkijat ryhtyvät käymään todistusta läpi suurennuslasilla, koska he ovat ehkä itsekin yrittäneet todistaa samaa asiaa. He kiljuisivat riemusta, jos onnistuisivat löytämään virheen. Jos kukaan ei löydä virhettä, niin asia katsotaan vähitellen lopullisesti selvitetyksi, varsinkin jos todistusta pystytään vielä yksinkertaistamaan. Kuitenkin voi vieläkin käydä niin, että todistus on jollakin umpikierolla tavalla virheellinen, ja vasta joku tulevaisuuden väitöskirjantekijä huomaa sen.
Monimutkaisissa todistuksissa on joskus pakko täyttää jokin aukkopaikka tietokoneen suorittamalla vaihtoehtojen täydellisellä tutkimisella, tai ainakin helpottaa mutkikkaiden lausekkeiden käsittelyä. Puhdasverisimpien matemaatikkojen on ehkä vaikeaa hyväksyä tällaista todistusta, koska se nojautuu siihen oletukseen, että tietokone ei juuri tee virheitä. Yleensä virhe on ohjelmassa. Nytkin asia varmentuu tiedeyhteisön yhteistyöllä, kun jokin toinen porukka tekee saman toisenlaisella ohjelmalla ja laitteistolla.
Voidaan siis todeta, että mutkikkaammat matemaattiset todistukset on katsottava oikeiksi vasta, kun niitä on tarkastettu riittävän monen asiantuntijan voimin. Silloinkin voi mieleen ryömiä pieni epäilyksen kyy. Pahimmassa tapauksessa joku nero voi osoittaa teorian perusoletukset ristiriitaisiksi, jolloin kaikki kaatuu. Erityisesti matemaattisen filosofian tutkijat pitävätkin matematiikkaa kovin epätäsmällisenä tieteenä.palstalla on näköjään menossa ketju "Logiikan suhde todellisuuteen". Ei siitä muuten, arvelen vain, että matemaattisten todistusten 'oikeus' ja ns.luonnon todellisuus eivät välttämätta käy aina yksiin. Joku toisinajattelija on jopa mieltä, että matematiikka (ja siinä sivussa filosofia) ei olisi edes tiedettä, koska sen tutkimus ei suoranaisesti kohdistu fyysisen maailman ilmiöihin. Eli näin ajatellen matematiikka tutkii abstrakteja "artefakteja" (keinotekoisia luomuksia) ja niiden ominaisuuksia, eikä olisi tiede siten kuin fysiikka esimerkiksi. Matematiikka on kokoelma sinänsä hyödyllisiä teknologioita.
Oli miten oli, yltä lainatussa lauseessakin"..matemaattisen filosofian tutkijat pitävätkin matematiikkaa kovin epätäsmällisenä tieteenä" on ehkä jotain... olkoon vaikka ns.lapin lisää (tai vähennystä, miten vain :). Ja tuskin mikään mat.teoria on viime aikoina kokonaan kaatunut; yleistysten vuoksi on jouduttu vain teoreetikkojen keksimien (keinotekoisten?) paradoksien eteen. Toisessa palstan ketjussa taitaakin olla tämän ympäriltä esimerkki (naiivi joukko-oppi -> yleistetty formaali joukk-oppi). Ei matematiikan kelpoisuus ja ymmärrys em.filosofoinneista mihinkään heilahtele, eikä noista kieli-ilmausten epätäsmällisyyksistäkään yleiskielessä (esim.todistaa vs.osoittaa). Toisinpäin: jos yleistekstissä tulee vastaan esim.sanonta "jos ja vain jos" (tai vielä paremmin "joss"), niin jos ei huomaamattaan ohita, niin jää kenties ihmettelemään "..mitähän tuokin on?"
Noista kielijutuista opetuksen puitteissa lienee tehtykin jotain selvityksiä, ainakin opettajaharjoittelijoiden oppilastöinä. Yksi esimerkki kielen aiheuttamasta kiinnittymästä peruskoulussa on potenssikäsite silloin kun lukua aletaan korottaa muuhun kuin luonnollisen luvun osoittamaan potenssiin: a^nolla esim. "Mitenkä sitä lukua kerrotaan itsellään nolla kertaa..", "..ja mitenkä siitä siinä tapauksessa pystyy tulemaan yksi... huijausta... salaliitto?? "
No joo. Mutta kiinnostaisi kyllä, jos joku löytää linkin, missä yksikäsitteisesti määrätään milloin matemaatikon ajatustavalla suomen kielessä "todistetaan", ja milloin "osoitetaan" tai "näytetään".
Sitä odotellessa lienee tyytyminen vain, että todistellaan ja näytellään..... - dx
-maallikko- kirjoitti:
palstalla on näköjään menossa ketju "Logiikan suhde todellisuuteen". Ei siitä muuten, arvelen vain, että matemaattisten todistusten 'oikeus' ja ns.luonnon todellisuus eivät välttämätta käy aina yksiin. Joku toisinajattelija on jopa mieltä, että matematiikka (ja siinä sivussa filosofia) ei olisi edes tiedettä, koska sen tutkimus ei suoranaisesti kohdistu fyysisen maailman ilmiöihin. Eli näin ajatellen matematiikka tutkii abstrakteja "artefakteja" (keinotekoisia luomuksia) ja niiden ominaisuuksia, eikä olisi tiede siten kuin fysiikka esimerkiksi. Matematiikka on kokoelma sinänsä hyödyllisiä teknologioita.
Oli miten oli, yltä lainatussa lauseessakin"..matemaattisen filosofian tutkijat pitävätkin matematiikkaa kovin epätäsmällisenä tieteenä" on ehkä jotain... olkoon vaikka ns.lapin lisää (tai vähennystä, miten vain :). Ja tuskin mikään mat.teoria on viime aikoina kokonaan kaatunut; yleistysten vuoksi on jouduttu vain teoreetikkojen keksimien (keinotekoisten?) paradoksien eteen. Toisessa palstan ketjussa taitaakin olla tämän ympäriltä esimerkki (naiivi joukko-oppi -> yleistetty formaali joukk-oppi). Ei matematiikan kelpoisuus ja ymmärrys em.filosofoinneista mihinkään heilahtele, eikä noista kieli-ilmausten epätäsmällisyyksistäkään yleiskielessä (esim.todistaa vs.osoittaa). Toisinpäin: jos yleistekstissä tulee vastaan esim.sanonta "jos ja vain jos" (tai vielä paremmin "joss"), niin jos ei huomaamattaan ohita, niin jää kenties ihmettelemään "..mitähän tuokin on?"
Noista kielijutuista opetuksen puitteissa lienee tehtykin jotain selvityksiä, ainakin opettajaharjoittelijoiden oppilastöinä. Yksi esimerkki kielen aiheuttamasta kiinnittymästä peruskoulussa on potenssikäsite silloin kun lukua aletaan korottaa muuhun kuin luonnollisen luvun osoittamaan potenssiin: a^nolla esim. "Mitenkä sitä lukua kerrotaan itsellään nolla kertaa..", "..ja mitenkä siitä siinä tapauksessa pystyy tulemaan yksi... huijausta... salaliitto?? "
No joo. Mutta kiinnostaisi kyllä, jos joku löytää linkin, missä yksikäsitteisesti määrätään milloin matemaatikon ajatustavalla suomen kielessä "todistetaan", ja milloin "osoitetaan" tai "näytetään".
Sitä odotellessa lienee tyytyminen vain, että todistellaan ja näytellään.....""No joo. Mutta kiinnostaisi kyllä, jos joku löytää linkin, missä yksikäsitteisesti määrätään milloin matemaatikon ajatustavalla suomen kielessä "todistetaan", ja milloin "osoitetaan" tai "näytetään".
Sitä odotellessa lienee tyytyminen vain, että todistellaan ja näytellään..... ""
Ei tällaisella sanahelinällä kuin että mikä ero on "osoituksella" ja "todistuksella" ole aikuisten oikeasti yhtään mitään väliä. Matemaatikot itsekin käyttävät suomen kielen termejä ihan miten sattuu, mutta silti se itse asia (matematiikka) on silti täysin täsmällistä. - y''
dx kirjoitti:
""No joo. Mutta kiinnostaisi kyllä, jos joku löytää linkin, missä yksikäsitteisesti määrätään milloin matemaatikon ajatustavalla suomen kielessä "todistetaan", ja milloin "osoitetaan" tai "näytetään".
Sitä odotellessa lienee tyytyminen vain, että todistellaan ja näytellään..... ""
Ei tällaisella sanahelinällä kuin että mikä ero on "osoituksella" ja "todistuksella" ole aikuisten oikeasti yhtään mitään väliä. Matemaatikot itsekin käyttävät suomen kielen termejä ihan miten sattuu, mutta silti se itse asia (matematiikka) on silti täysin täsmällistä.Todistus kylläkin on aika vahva sana ja vaatii tuollaista step-by-step -esitystä uudelle asialle. Itse inhoan eniten tyyliä "Now it can easely be shown, that ...", jossa kirjoittaja on pakottavinaan lukijan laskemaan oman juttunsa uudelleen. Minä en kylläkään enää laske, vaan vaadin kirjoittajan esittämään "helpon näyttämisensä", jos asiaa ei kohtuullisella matemaatisella osaamisella ymärrä.
- Näin_se_vain_on
y'' kirjoitti:
Todistus kylläkin on aika vahva sana ja vaatii tuollaista step-by-step -esitystä uudelle asialle. Itse inhoan eniten tyyliä "Now it can easely be shown, that ...", jossa kirjoittaja on pakottavinaan lukijan laskemaan oman juttunsa uudelleen. Minä en kylläkään enää laske, vaan vaadin kirjoittajan esittämään "helpon näyttämisensä", jos asiaa ei kohtuullisella matemaatisella osaamisella ymärrä.
Saadaan helposti tai voidaan osoittaa helposti tarkoittaa tilannetta, jossa kirjoittaja tai esittäjä ei viitsi kirjoittaa kolmesta viiteen sivuun takkuista matemaattista tekstiä, joka asian osaavalle on sinänsä selvää.
- On_ääretön_ja_äärellinen
rty... kirjoitti:
Jos nyt lukaisee vaikka näitä sivulta löytyvät prujut läpi, niin osaa todistaa jo jotakin:
http://matriisi.ee.tut.fi/courses/MAT-21160/p5/index.html
http://www.students.tut.fi/~majorl/algmat/
Kyllähän vaikka noita totuusfunktiota voisi käyttää, ja käytetäänkin, osoittamaan tietokoneohjelmien oikeaa toimintaa. Syy siihen, että niitä ei juurikaan käytetä, johtunee resursseista ja myös osaamattomuudesta.Numeerisissa menetelmissä olen usempaankin kertaan törmännyt tilanteeseen, jossa matemaattisesti suppenevaksi osoitettu algoritmi on tuottanut divergenttejä tuloksia. Syy siihen on ollut, että suppenevuus pätee vain äärettömälle tarkkuudelle. Äärelliselle tarkkuudelle suppenevuusehdot ovat aivan toiset.
Olenpa muutaman kerran päätynyt tilanteeseen, että jopa ohjelmoidut analyyttiset ratkaisut tuottavat epätarkkoja tuloksia. Taas syy on äärellisessä tarkkuudessa, jolloin analyyttinen ratkaisu pitää koodata eri tavalla erisuuruisille kerroinyhdistelmille.
Näistä asioista ei yliopistokursseissa juuri puhuta. - reaaliluvut
>Näistä asioista ei yliopistokursseissa juuri puhuta.
Muistaakseni kyllä funktioiden suppenemista yms. tarkastellessa kyllä selvästi kerrottiin että kyse on reaaliluvuista. En tiedä missä yliopistokursseilla sinä olet käynyt jos tuollaiset perusasiat ovat jääneet mainitsematta.
Tietokone ei laske reaaliluvuilla joten tietenkään reaalilukjen tulokset eivät päde niissä yleisesti. - On_ääretön_ja_äärellinen
reaaliluvut kirjoitti:
>Näistä asioista ei yliopistokursseissa juuri puhuta.
Muistaakseni kyllä funktioiden suppenemista yms. tarkastellessa kyllä selvästi kerrottiin että kyse on reaaliluvuista. En tiedä missä yliopistokursseilla sinä olet käynyt jos tuollaiset perusasiat ovat jääneet mainitsematta.
Tietokone ei laske reaaliluvuilla joten tietenkään reaalilukjen tulokset eivät päde niissä yleisesti.Nyt kyllä, tahallasi, ymmärsit väärin. Tietysti matemaattinen suppenevuuden päteminen reaaliluvuille kuuluu matematiikan kursseihin. Mutta numeerisissa menetelmissä ei juuri kerrottu laskennan merkitsevien numeroiden määrän vaikutusta eri menetelmien suppenevuuteen. Vain joissakin numeeristen menetelmien sovellutuksissa asiaa hieman sivuttiin. Tosin omista opiskeluistani on sen verran kauan, että tämäkin asia saattaa olla nykykursseissa paremmin.
Reaalilukusuppenevuus on tietysti välttämätön, mutta ei riittävä ehto silloin, kun laskelmat tehdään tietokoneella, jolloin merkitseviä numeroita on käytössä aina rajallinen määrä.
- Derivaatikko
Derivaatta saadaan,kun lasketaan funktion kuvaajalle pisteeseen x piirretyn tangentin kulmakerroin.Kun se yleisillä kirjainmerkeillä suoritetaan, saadaan raja-arvo, jota kutsutaan erotusosamäärän raja-arvoksi, joka=derivaatta."Todistus" tulaa suoraan laskemisesta.
- derieridx
Hieman on rajoittunut näkemys, mutta voidaanhan sitä noinkin kuvailla yhden muuttujan reaaliarvoisen funktion tapauksessa. Hieman yleisimmin, tarkasteltaessa funktiota f: R^n -> R, derivaatta pisteessä x E R^n on R^n:n lineaarikuvaus. Tällöin f:n derivaattafunktio on kuvaus R^n:ltä sen lineaarikuvausten joukolle.
- Derivaatikko
Tässä oli kysymys vain yhden muuttujan funktion derivaatan määritelmästä, jota käytetään todistettaessa derivoimissääntöjä. Lukiolainen kaipasi todistuksia. Esityksesi koski korkeampaa matematiikkaa ! Kiitos kuitenkin.
Jos ollaan vakavia asian suhteen, kuten toki ollaan, niin kaiken matematiikan alla on vielä voimakkaampi "rakenne", nimeltään logiikka.
Logiikasta alkaen lähtee koko matematiikka kasvamaan. Hieman karkeistaen: Logiikka -> Joukko-oppi -> matematiikan haarautuminen -> esim. algebra, geometria jne. Mutta niillä kaikilla on yhteinen sukulainen, paitsi logiikalla, jonka joudumme vetämään hatusta, kuten taikuri jäniksen, ja sille taikatempulle ei voi oikeastaan muuta, kuin yrittää tehdä parempi taikatemppu!
Näitä mainitsemiasi todistuksia tarvitaan, jotta voidaan jatkaa todistuksen johdosta, kiistatomasti
jotakin matematiikan haaraa. Et sinäkään tekisi noita derivaattojasi niin helposti, jollei joku olisi ensin todistanut, että kyseinen raja-arvo on olemassa.
Tai toki voisit yrittää tehdä, vetämällä myös jotakin uutta hatustasi - luulen kyllä, ettei
se jäniksenkolo johtaisi pidemmälle, kuin leukaluihisi.- todistamisesta
Matemaattinen todistaminen on hyvää päättelyn harjoittelemista.
Anekdootti toisen maailmansodan ajalta: Liittoutuneet suunnittelivat lentokoneiden vahvistamista niiltä alueilta joihin palanneissa koneissa oli eniten osumia. Vaikuttihan luontevalta että näihin kohtiin osutaan keskimääräistä enemmän joten niitä kannattaa vahvistaa. Paikalla ollut matemaatikko sen sijaan päätteli että lentokoneita tulee vahvistaa moottorin kohdalta, jossa luodinreikiä oli vähemmän. Tähän kohtaan osuman saaneet koneet eivät olleet palanneet.- täsmennys
Kyseinen tarina on tosi. Tuon kyseisen matemaatikon nimi oli Abraham Wald .
- erqrewq
Mikä meni pieleen seuraavassa tarinassa?
Kesällä tilastossa oli paljon hukkumiskuolemia. Myös paljon jäätelön myyntiä. Johtopäätös: ihmiset hukkuivat, koska heille myytiin jäätelöä. Sitten jäätelölle haluttiin haittavero.
Tästä on aikaa muutamia kuukausia, kun jäätelön hintaan tehtiin veron korotus. Olikohan toissavuonna tai viime vuonna? - derivaatikko
Traktor kirjoitti logiikasta.
"Matematiikka on eräs ns. eksakteista menetelmätieteistä, joihin katsotaan kuuluvan myös logiikan, tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen." Tämä on lainaus eräästä yliopistokurssista. Sen mukaan matematiikalla on oma logikkansa eikä siten perustuisi Aristoteeliseen lause- ja predikaattilogiikkaan. Looginen se tietenkin on johtuen sen aksiomatisoinnista. - JIK
Derivaatikolla on haju asiasta. Matematiikkaa on yritetty logisoida. Gottlob Frege ja Bertrand Russell tekivät yrityksen soveltaa logiikkaa matematiikkaan. Heidän ajatuksensa oli, että matemaattiset teoriat olivat loogisia tautologioita, ja he pyrkivät osoittamaan tämän palauttamalla matematiikan logiikkaan. Tämä kuitenkin epäonnistui, mistä esimerkkinä Fregen ohjelman lamaannuttanut Russellin paradoksi ja Hilbertin ohjelman romuttanut Gödelin epätäydellisyyslause.
Anteeksi nyt vaan, mutta modernin joukko-opin alla on logiikka!
Russelin paradoksi oli aikanaan äimistyttävä mutta ei enää - olet varmastikin tietoinen asiasta?
Gödelin lausetta ei ole osoitettu vääräksi. Itse pidän sitä hieman samassa kategoriassa, kuin "aina löytyy matemaattinen teoria, jossa 1 ei ole 1" - onneksi en ole matemaatikko!
- JIK
Ote filosofi ja loogikko, Tallinnan tekn. yliopiston filosofian professorin Ahti-Veikko Pietarisen artikkelista " Logiikan tila ja tulevaisuus" : "On myös virhe ajatella, että logiikka kuuluisi matematiikkaan tai olisi osa sitä. On toki tunnustettu ja arvokas matemaattisena logiikkana tunnettu tieteenhaara, jotailman logiikka tieteenä jäisi vajaaksi. Mutta matematiikka on itsenäinen tieteenala. joka ei tarvitse logiikkaa eikä liioin palaudu siihen. Matematiikkaa voidaan pitää astetta itsenäisempänä tieteenä kuin logiikkaa, ja logiikkaa astetta itsenäisempänä tieteenä kuin filosofiaa tai erityistieteitä, kuten ihmis- ja luonnontieteitä. Logiikka ei ole ,vastoin Bertrand Russellin kuvitelmia, avain ongelmien ratkaisuihin. Erikoistieteiden ongelmanratkaisuihin käytetään logiikkaa soveliaampia menetelmiä, tyypillisesti matematiikkaa."
En ole tietoinen Russellin paradoksin virheellisyydestä !
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 513154
Joka päivä olen lukenut
Lähes kaiken. Ne sanat ja miten olet minut nähnyt. Se sattuu niin syvälle sydämeen. Ehkä vain manipuloit tai jotain. Sil212460- 222358
- 402321
- 281961
- 281875
- 351730
- 871691
Sanna Marin ja lähestymiskielto
No just joo. Kaikella sitä pitää saada lööppejä. Taas on joku ohimennen hipaissut pyhää Mariinia.661689- 411674