Pyöreän pöydän ritarit

Oisko 28?

Eipä nyt näytä kukaan muu tuohon tehtävään vastaavan. Liekö tehtävä toisille liian helppo mutta ehkä kuitenkin toisille liian vaativa?

Ensinnäkin todettakoon, että tehtävän ratkaisua helpottanee se, jos ajattelee noita ritareita kellotaulun numeroina.

Viiden alkion osajoukko 12 alkiosta voidaan kaikkiaan valita 12!/(5!*7!)=792 eri tavalla.

Kahta vierekkäistä ritaria ei kuitenkaan voida tuohon viiden hengen ryhmään valita. Muita rajoituksia ei ole.

Minun ratkaisuni olisi tähän ongelmaan seuraava:

1: 1, 3, 5, 7, 9
2: 1, 3, 5, 7,10
3: 1, 3, 5, 7,11
4: 1, 3, 5, 8,10
5: 1, 3, 5, 8,11
6: 1, 3, 5, 9,11
7: 1, 3, 6, 8,10
8: 1, 3, 6, 8,11
9: 1, 3, 6, 9,11
10: 1, 3, 7, 9,11
11: 1, 4, 6, 8,10
12: 1, 4, 6, 8,11
13: 1, 4, 6, 9,11
14: 1, 4, 7, 9,11
15: 1, 5, 7, 9,11
16: 2, 4, 6, 8,10
17: 2, 4, 6, 8,11
18: 2, 4, 6, 8,12
19: 2, 4, 6, 9,11
20: 2, 4, 6, 9,12
21: 2, 4, 6,10,12
22: 2, 4, 7, 9,11
23: 2, 4, 7, 9,12
24: 2, 4, 7,10,12
25: 2, 4, 8,10,12
26: 2, 5, 7, 9,11
27: 2, 5, 7, 9,12
28: 2, 5, 7,10,12
29: 2, 5, 8,10,12
30: 2, 6, 8,10,12
31: 3, 5, 7, 9,11
32: 3, 5, 7, 9,12
33: 3, 5, 7,10,12
34: 3, 5, 8,10,12
35: 3, 6, 8,10,12
36: 4, 6, 8,10,12

Ratkaisuja on siis 36 kappaletta.

Esimerkki 2.6. Kaksi ystävystä ovat sopineet, että he saapuvat lounasaikaan tietyn ravintolan
eteen ja lounastavat yhdessä, jos tapaavat toisensa. Kumpikin valitsee saapumisajankohdan täysin
sattumanvaraisesti klo 12.00 ja 13.00 väliltä. Ensiksi saapuva odottaa ravintolan edessä tasan 10
minuuttia, jos toinen ei ole paikalla. Kuinka suurella todennäköisyydellä ystävykset tapaavat toisensa? Vastaus on 11/36, mutta miten siihen päädytään? Huh huh,pää jumissa. Kiitos etukäteen.

Voit ajatella sitä todennäköisyyttä graafisena kuvaajana, vaaka-asteikkona aika klo 12->13 ja pystyasteikkona tapaamis-todennäköisyys. Jos henkilö A tulee täsmälleen klo 12, täytyy B:n tulla klo 12:10 mennessä. Tästä tulee todennäköisyys 10 min/60 min = 1/6. Jos A tulee klo 12:10, täytyy B:n tulla välillä 12:00-12:20. Tästä tulee vastaavasti todennäköisyys 1/3. A:n saapumisvälillä 12:00-12:10 tapaamistodennäköisyys kasvaa lineaarisesti arvosta 1/6->1/3. A:n saapumisvälillä 12:10-12:50 todennäköisyys on vakio 1/3. Vastaavasti A:n saapumisvälillä 12:50-13:00 todennäköisyys pienenee arvosta 1/3->1/6. Kun otetaan keskiarvo todennäköisyysestä 60 minuutin ajalta, saadaan tuo 11/36.