Kirjotusvirhe vaiko en osaa?

Korjaus:

∫ u² du = u³ / 3 C = (ln x)³ / 3 C

Ok
Yritän sitten selittää asian toisella tavalla.

∫ [ (ln x)² / x ] dx

Tällainen kaava pitäisi olla tuttu:
∫ f´(x)*g´(f(x)) dx = g(f(x)) C

Nyt siis f(x) = ln x, f´(x) = 1 / x ja g´(f(x)) = (ln x)²

Tässä tapauksessa tuossa on jo valmiina sisäfunktion derivaatta, joka "häviää" integroitaessa. Ulkofunktion integrointi on helposti pääteltävissä (vrt. polynomifunktioiden integrointi).

∫ [ (ln x)² / x ] dx = (ln x)³ / 3 C

Toivottavasti tämä auttoi.

Tuossa tehtiin sijoitus, jotta ongelma saataisiin helpommin ratkaistavaan muotoon. Todella usein sulkujen sisällä oleva tavara kannattaa merkitä yhtä suureksi kuin u.

"näillä tehdään yhteys tohon alkuperäiseen lausekkeeseen?"
Kyllä.
u = ln x, joten siis u² = (ln x)²
du = (1 / x) dx
Tämän jälkeen (ln x)² = u² ja (1 / x) dx = du sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin.
Tällöin se saa muodon
∫ u² du,
joka on todella helppo integroida.

Integroinnin jälkeen sijoitetaan takaisin u = ln x.
(Alussa oli x, joten lopullisessa vastauksessakin tulee olla.)

Sijoitettaessa
u = "jotain"
tulee myöhemmässä vaiheessa AINA du osoittajaan.
Mieleeni tulee tosin joitain poikkeuksia, mutta niissäkin siis tietenkin ratkaistaisiin yhtälö ensin sen toisen muuttujan suhteen.
Esim.
u = e^x ln u = x
ja tästä sitten
1 / u = dx / du eli (1 / u) du = dx

Toivottavasti selvisi.